精品解析：山西太原师范学院附属中学2025-2026学年第二学期初一年级数学学科6月限时训练

太原师院附中2025−2026学年第二学期 初一年级数学学科限时训练 一、选择题（本大题共10个小题） 1. 中国茶文化源远流长，在下列有关茶的标识中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 2. 下列每组数分别是三根小木棒的长度（单位），用它们能摆成三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 8，7，15 C. 13，6，20 D. 5，5，11 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、，能摆成三角形，该选项符合题意； B、，不能摆成三角形，该选项不符合题意； C、，不能摆成三角形，该选项不符合题意； D、，不能摆成三角形，该选项不符合题意． 3. 在中，，则是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理及三个内角的比例关系即可解答． 【详解】解：设∠A=2x，∠B=3x，∠C=5x， ∴2x+3x+5x=180°， 解得：x=18°， ∴∠A=36°，∠B=54°，∠C=90°， ∴△ABC为直角三角形， 故答案为：A． 【点睛】本题考查了三角形的分类，根据已知条件求出三个内角的度数是解题的关键． 4. 作的边上的高，其中直角三角板摆放正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形高的定义，从三角形的一个顶点出发向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，根据高的定义即可得出结论，熟知三角形高的定义是解题的关键． 【详解】解：、作出的是中边上的高，故本选项错误，不符合题意； 、不能作出中边上的高，故本选项错误，不符合题意； 、作出的是中边上的高，故本选项正确，符合题意； 、不能作出中边上的高，故本选项错误，不符合题意； 故选：． 5. 如图，为测量池塘两端的距离，学校课外实践小组在池塘旁的开阔地上选了一点C，测得的度数，在的另一侧测得，，再测得的长，就是的长．则其依据是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：已知条件是，，， ∴， ∴． 故选：B． 6. 如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了成轴对称图形的性质，熟练掌握相关性质内容是解题的关键．根据轴对称图形的特征判断即可，成轴对称的两个图形全等，对应角相等，对称轴两侧的对应点到对称轴的距离相等，对称轴是对称点连线的垂直平分线； 【详解】解：∵与关于直线对称，交于点， ∴，，，无法判断与的位置关系， ∴A、C、D选项不符合题意，B选项符合题意； 故选：B． 7. 如图，一条笔直的河L，牧马人从P地出发,到河边M处饮马，然后到Q地，现有如下四种方案，可使牧马人所走路径最短的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离；以及垂线段最短求解． 【详解】作点P关于直线l的对称点P′，连接QP′交直线l于M． 如图， 根据两点之间，线段最短，可知选项B使牧马人所走路径最短． 故选D． 【点睛】本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”． 8. 如图，在中，，，垂足为 D，与关于直线对称，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质以及直角三角形的性质，准确利用相关性质求解是解题的关键． 根据轴对称的性质可知对应角相等，再结合直角三角形的两锐角互余的性质进行求解即可． 【详解】解：，， ， 与关于直线对称， ， ， ， ． 故选：． 9. 如图，，，于点，于点．若，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意易得，然后可得，则有，进而可得，则问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 10. 如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质；根据题意可知为的平分线，由角平分线的性质得出，再由三角形的面积公式可得出结论． 【详解】解：由题意可知为的平分线，过点作于点， ，， ． 故选：B． 二、填空题（本大题共7个小题） 11. 已知等腰三角形的底角等于，则顶角等于________°． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角形的两底角相等，结合三角形内角和为即可求解． 【详解】解：等腰三角形的底角等于，等腰三角形的两个底角相等， 顶角的度数为． 12. 如图，跪姿射击的动作，由左手、左肘、左肩构成的托枪姿势，可以使射击者在射击过程中保持枪的稳定性，这里所运用的几何知识是________． 【答案】三角形的稳定性 【解析】 【详解】解：由题意可知：所运用的几何知识是三角形的稳定性． 13. 如图，在与中，，若利用“边角边”来判定，还需添加的一个直接条件为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：若添加时，则有： ， ∴，故符合题意． 14. 如图，在中，是边上的中线，是的边上的中线，若的面积是，则的面积是_________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查三角形的中线，根据三角形的中线平分三角形的面积进行求解即可． 【详解】解：∵在中，是边上的中线， ∴， 同理：， ∴， ∵的面积是， ∴； 故答案为：12． 15. 如图，点是的两条角平分线的交点．若，则的度数为________． 【答案】##124度 【解析】 【分析】由题意易得，然后根据三角形内角和进行求解即可． 【详解】解：∵分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 16. 如图，是等边三角形内的任意一点，过点向三边作垂线，垂足分别为，，，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由题意易得，设，则有，然后根据勾股定理建立方程进行求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 设， ∴， 连接，如图所示： 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴①， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴②， 同理可得：， ∴③， 将①，③代入②，得：， ∴， 整理得：， ∴， ∴． 17. 如图，在等腰三角形纸片中，，，将一块含角的直角三角形纸片（，）按如图所示的方式放置，顶点在线段上滑动（不与点重合），的斜边始终经过点，直角边交于点，将与的夹角记为（）．在点滑动的过程中，当夹角________，是等腰三角形． 【答案】或 【解析】 【分析】分三种情况讨论：当时，得到，求出；当时，得到，求出；当时，此时P与B重合，因此，于是得到答案． 【详解】解：当时， ∵， ∴， ∴； 当时， ∴， ∴； 当时， ∴， ∴， 此时P与B重合，因此， 综上所述，当夹角或，是等腰三角形． 三、解答题（本大题共6个小题） 18. 计算： （1）； （2）； （3）（利用乘法公式计算）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式； 【小问3详解】 解：原式． 19. 先化简，后计算：，其中，． 【答案】； 【解析】 【详解】解：原式； 当，时，原式． 20. 如图，在中，． （1）用尺规作图法作边的垂直平分线，与，分别交于点，（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，连接，小明同学通过测量发现，同时他很快求出了的度数．以下是小明同学的求解过程，请你帮助他补全过程． 解：垂直平分 ① （依据： ② ）， ③ ． 平分（依据： ④ ） ⑤ ．， ⑥ °． 【答案】（1）如图，直线即为所求作的垂直平分线； （2）①，②线段垂直平分线的性质，③，④三线合一，⑤，⑥50 【解析】 【分析】（1）分别以点A、B为圆心，大于长为半径画弧，连接两弧的交点，进而问题可求解； （2）根据题意直接进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：垂直平分 （依据：线段垂直平分线的性质），． 平分（依据：三线合一）, ∴． ， ． 21. 如图，点、、、在同一条直线上，，，且，，求证：． 【答案】证明：，， ． ， ． ， ，即． 在和中， ， ． 【解析】 【分析】由题意可得，再由线段的和差得出，再利用证明即可． 【详解】略 22. 下面是某数学小组一次研究报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 关于“‘’非全等三角形”的研究报告 研究对象：“”非全等三角形 研究思路：类比全等三角形，从定义及已有基本事实、结论出发，从相关要素之间关系的角度研究“‘’非全等三角形”的性质 研究方法：观察（测量、操作）——猜想——推理 研究内容： 【定义】：只有两边对应相等，且其中一组相等的边所对的角也对应相等的两个三角形，称为一对“”非全等三角形． 如图，与中，，，，，所以与是一对“”非全等三角形． 定义理解：如图，在等腰中，，为上一点，且，连接，那么和 ▲ （填“是”或“不是”）一对“”非全等三角形． 【性质】：如图，与是一对“”非全等三角形，，，，，则． 下面是性质的探究过程：如图，在上取点，使得，连接… 任务： （1）直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：________． （2）请你阅读上述报告，补全性质的探究过程． （3）如图，已知，在上方找一点，作，使得与是一对“”非全等三角形．（要求：尺规作图，不写作法，保留痕迹，画出一种情况即可） 【答案】（1）是 （2）补全过程如下： 如图，在上取点，使得，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）所作图形如图所示： （答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）根据“”非全等三角形的定义进行求解即可； （2）由题意易证，则有，，然后可得，进而问题可求解； （3）作法一：先作，然后以点A为圆心，长为半径画弧，进而问题可求解； 作法二：先作，然后以点B为圆心，长为半径画弧，进而问题可求解； 作法三：先作，然后以点B为圆心，长为半径画弧，进而问题可求解； 作法四：先作，然后以点A为圆心，长为半径画弧，进而问题可求解； 作法五：先作，然后以点A为圆心，长为半径画弧，进而问题可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴在和中，，且， ∴和是一对“”非全等三角形． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：所作图形如图所示： 或或或或 23. 《被数学选中的人》是央视推出的纪录片，节目中说道：“数学区别于其他学科，最主要的特征是抽象与推理”，几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象．形成一些基本的几何模型，用类比等方法，进行探究，推理，以解决新的问题． 【建立模型】 （1）如图，和是顶角相等的等腰三角形，即，，且，分别连接、，则有________，________，________． 【应用模型】 （2）如图，在与中，，，，，，三点在一条直线上，与交于点，连接． ①求的度数； ②若点为中点，，直接写出的面积． 【答案】（1）；； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由题意易得，然后根据“”可判定，然后问题可求解； （2）①由题意易证，然后可得，然后根据角的和差关系可进行求解； ②过点作，由题意易得，由①可知：，则有，然后可得，则，进而问题可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，． 【小问2详解】 解：①∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②过点作，如图所示： ∵， ∴， 由①可知：， ∴， ∵点为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太原师院附中2025−2026学年第二学期 初一年级数学学科限时训练 一、选择题（本大题共10个小题） 1. 中国茶文化源远流长，在下列有关茶的标识中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列每组数分别是三根小木棒的长度（单位），用它们能摆成三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 8，7，15 C. 13，6，20 D. 5，5，11 3. 在中，，则是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 4. 作的边上的高，其中直角三角板摆放正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，为测量池塘两端的距离，学校课外实践小组在池塘旁的开阔地上选了一点C，测得的度数，在的另一侧测得，，再测得的长，就是的长．则其依据是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一条笔直的河L，牧马人从P地出发,到河边M处饮马，然后到Q地，现有如下四种方案，可使牧马人所走路径最短的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，垂足为 D，与关于直线对称，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，，，于点，于点．若，，则的长是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共7个小题） 11. 已知等腰三角形的底角等于，则顶角等于________°． 12. 如图，跪姿射击的动作，由左手、左肘、左肩构成的托枪姿势，可以使射击者在射击过程中保持枪的稳定性，这里所运用的几何知识是________． 13. 如图，在与中，，若利用“边角边”来判定，还需添加的一个直接条件为________． 14. 如图，在中，是边上的中线，是的边上的中线，若的面积是，则的面积是_________． 15. 如图，点是的两条角平分线的交点．若，则的度数为________． 16. 如图，是等边三角形内的任意一点，过点向三边作垂线，垂足分别为，，，若，则________． 17. 如图，在等腰三角形纸片中，，，将一块含角的直角三角形纸片（，）按如图所示的方式放置，顶点在线段上滑动（不与点重合），的斜边始终经过点，直角边交于点，将与的夹角记为（）．在点滑动的过程中，当夹角________，是等腰三角形． 三、解答题（本大题共6个小题） 18. 计算： （1）； （2）； （3）（利用乘法公式计算）． 19. 先化简，后计算：，其中，． 20. 如图，在中，． （1）用尺规作图法作边的垂直平分线，与，分别交于点，（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，连接，小明同学通过测量发现，同时他很快求出了的度数．以下是小明同学的求解过程，请你帮助他补全过程． 解：垂直平分 ① （依据： ② ）， ③ ． 平分（依据： ④ ） ⑤ ．， ⑥ °． 21. 如图，点、、、在同一条直线上，，，且，，求证：． 22. 下面是某数学小组一次研究报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 关于“‘’非全等三角形”的研究报告 研究对象：“”非全等三角形 研究思路：类比全等三角形，从定义及已有基本事实、结论出发，从相关要素之间关系的角度研究“‘’非全等三角形”的性质 研究方法：观察（测量、操作）——猜想——推理 研究内容： 【定义】：只有两边对应相等，且其中一组相等的边所对的角也对应相等的两个三角形，称为一对“”非全等三角形． 如图，与中，，，，，所以与是一对“”非全等三角形． 定义理解：如图，在等腰中，，为上一点，且，连接，那么和 ▲ （填“是”或“不是”）一对“”非全等三角形． 【性质】：如图，与是一对“”非全等三角形，，，，，则． 下面是性质的探究过程：如图，在上取点，使得，连接… 任务： （1）直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：________． （2）请你阅读上述报告，补全性质的探究过程． （3）如图，已知，在上方找一点，作，使得与是一对“”非全等三角形．（要求：尺规作图，不写作法，保留痕迹，画出一种情况即可） 23. 《被数学选中的人》是央视推出的纪录片，节目中说道：“数学区别于其他学科，最主要的特征是抽象与推理”，几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象．形成一些基本的几何模型，用类比等方法，进行探究，推理，以解决新的问题． 【建立模型】 （1）如图，和是顶角相等的等腰三角形，即，，且，分别连接、，则有________，________，________． 【应用模型】 （2）如图，在与中，，，，，，三点在一条直线上，与交于点，连接． ①求的度数； ②若点为中点，，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $