福建省厦门第一中学2024-2025学年下学期八年级3月月考模拟数学试卷

2024-2025学年福建省厦门一中八年级（下）月考数学试卷（3月份）仿真卷3 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分，每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1．（4分）要使二次根式有意义，则实数x的取值范围是（　　） A．x＞3 B．x≥3 C．x＜3 D．x≤3 2．（4分）在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟订的方案，其中正确的是（　　） A．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量对角线是否垂直 D．测量其内角是否都为直角 3．（4分）如图，在单位长度为1的4×4的网格中，下列线段长为的是（　　） A．AB B．AC C．AD D．AE 4．（4分）下列运算不正确的（　　） A．3 B．6 C．±±2 D．|﹣3|＝3 5．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点．若CD＝2，则线段EF的长是（　　） A．2 B．4 C．6 D．5 6．（4分）勾股定理被称为“几何学的基石”，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边长，分别向外作出正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”．如图，设大正方形Y的边长为定值y，四个小正方形MNPQ的边长分别为m，n，p，q，且三个直角三角形中∠1＝∠2＝∠3＝α，当α变化时，以下说法错误的是（　　） A．n＝p B．m+q＝y C．y＝mq D．m2+n2+p2+q2＝y2 7．（4分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BD⊥AD，AB＝5，BC＝3，则以下结论不正确的是（　　） A．AD＝3 B．OB＝2 C． D．▱ABCD的面积为6 8．（4分）如图，E是四边形ABCD的边BC延长线上的一点，且AB∥CD，则下列条件中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．∠D＝∠5 B．AD＝BC C．∠3＝∠4 D．∠B＝∠D 9．（4分）下列各式化简结果为无理数的是（　　） A． B． C． D． 10．（4分）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会微取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边为b，那么（a+b）2的值为（　　） A．169 B．25 C．19 D．13 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11．（4分）若，则m的取值范围为 　 　 ． 12．（4分）已知平行四边形ABCD的周长为16，AB＝5，则BC的长为 　 　 ． 13．（4分）如图，Rt△ABC中，O为斜边中点，CD为斜边上的高，若OC，OD＝2，则△ABC的面积是 　 　 ． 14．（4分）若最简二次根式与是可以合并的二次根式，则a＝　 　 ． 15．（4分）如图，△ABC中∠CAB＝60°，AD平分∠CAB交BC于点D，AC+AB＝6，当△ABD为直角三角形时，线段AD的值为 　 　 ． 16．（4分）把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB＝3cm，BC＝5cm，则ED的长是 　 　 cm． 三、解答题（共9小题，86分） 17．（9分）计算： （1）（）（）； （2）． 18．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，四边形ABHD是平行四边形，BC＝2AD． 求证：四边形AHCD是矩形． 19．（9分）如图，∠AOB＝90°．OA＝9m，OB＝3m，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿BC方向匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？ 20．（9分）已知四边形ABCD是矩形，BD是对角线，过点C作CE⊥BD于点E， （1）尺规作图：过点A作垂线AF，使得AF⊥BD于点F（不写作法）； （2）连接AE、CF，求证：四边形AFCE是平行四边形． 21．（9分）先观察下列等式，再回答下列问题： ①； ②； ③． （1）请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证； （2）请你按照上面各等式反映的规律，试写出一个用n（n为正整数）表示的等式； （3）请利用上述规律来计算（仿照上式写出过程）． 22．（9分）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若∠EAF＝60°，CF＝2cm，CE＝3cm，求▱ABCD的周长和面积． 23．（9分）勾股定理具有丰富的文化内涵，它揭示了直角三角形的三边关系，搭建起几何与代数之间的桥梁，为解决几何问题拓宽了思路．请完成下面问题： （1）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为b，较短直角边长为a，若（a+b）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积是多少？ （2）同学们在探索过程中发现，当把赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，可以得到如图的图形，设直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c，利用这个图形也可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？ （3）图（1）“赵爽弦图”中，若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图（2）所示的“数学风车”，请直接写出这个风车的外围（实线）周长． 24．（9分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BE交AD于点E，AF⊥BE交BE于点F，交BC于点G，连结EG，CF． （1）判断四边形AEGB的形状，并说明理由． （2）若，CD＝8，AD＝10，求线段CF的长． 25．（14分）如图，在正方形ABCD中，，点E为对角线AC上一动点（点E不与点A、C重合），连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． （1）求AC的长； （2）求证矩形DEFG是正方形； （3）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 2024-2025学年福建省厦门一中八年级（下）月考数学试卷（3月份）仿真卷3 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D B A C D B A B 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分，每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1．（4分）要使二次根式有意义，则实数x的取值范围是（　　） A．x＞3 B．x≥3 C．x＜3 D．x≤3 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：3x﹣9≥0， ∴x≥3， 故选：B． 【点评】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型． 2．（4分）在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟订的方案，其中正确的是（　　） A．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量对角线是否垂直 D．测量其内角是否都为直角 【分析】A、测量对角线是否平分是平行四边形的判断方法，无法确定对角线是否相等； B、测量两组对边是否分别相等是平行四边形的判断方法，无法确定每个角是否是直角； C、根据矩形的定义即可判断； D、根据矩形的定义即可判断． 【解答】解：A、根据对角线互相平分只能得出四边形是平行四边形，故本选项错误； B、根据两组对边分别相等，只能得出四边形是平行四边形，故本选项错误； C、根据对角线是否垂直不能确定出是否为矩形，故本选项错误； D、由三个角为直角得到另外一个角也为直角，故可得到四边形为矩形，故本选项正确． 故选：D． 【点评】本题侧重考查矩形的判定，掌握其判定方法是解决此题的关键． 3．（4分）如图，在单位长度为1的4×4的网格中，下列线段长为的是（　　） A．AB B．AC C．AD D．AE 【分析】根据勾股定理求得线段AB、AC、AD、AE的长，即可求得正确答案． 【解答】解：根据勾股定理得： AE， AD2， AC， AB2， 故选：D． 【点评】此题考查了勾股定理的应用．要注意格点三角形的三边的求解方法：借助于直角三角形，用勾股定理求解． 4．（4分）下列运算不正确的（　　） A．3 B．6 C．±±2 D．|﹣3|＝3 【分析】根据二次根式及绝对值的性质逐个判断即可． 【解答】解：A、3正确，不符合题意， B、6错误，符合题意， C、±±2正确，不符合题意， D、|﹣3|＝3正确，不符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查了二次根式化简、绝对值的计算，正确的运用性质是解题关键． 5．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点．若CD＝2，则线段EF的长是（　　） A．2 B．4 C．6 D．5 【分析】首先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AB的长，然后根据三角形的中位线定理求解． 【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点． ∴AB＝2CD＝4， ∵E、F分别是BC、CA的中点， ∴， 故选：A． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线以及三角形的中位线定理，求得AB的长是本题的关键． 6．（4分）勾股定理被称为“几何学的基石”，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边长，分别向外作出正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”．如图，设大正方形Y的边长为定值y，四个小正方形MNPQ的边长分别为m，n，p，q，且三个直角三角形中∠1＝∠2＝∠3＝α，当α变化时，以下说法错误的是（　　） A．n＝p B．m+q＝y C．y＝mq D．m2+n2+p2+q2＝y2 【分析】连接BF，过点E作EC⊥BF于C，先证△EBF和△EHI全等得BF＝HI＝y，∠4＝∠1，证△KAB和△ECB全等得AB＝EC＝n，AK＝BC＝m，证△FDT和△ECF全等得FD＝EC＝p，DT＝CF＝q，从而得AB＝EC＝FD，则n＝p，据此可对选项A进行判断；再由BF＝BC+CF＝m+q，BF＝HI＝y可对选项B进行判断；由于y＝m+q正确，显然y＝mq不正确，据此可对选项C进行判断；在Rt△BEC中由勾股定理得m2+n2＝BE2，在Rt△ECF中由勾股定理得p2+q2＝BF2，在Rt△BEF中，由勾股定理得BE2+BF2＝BF2＝y2，据此可对选项D进行判断． 【解答】解：连接BF，过点E作EC⊥BF于C，如图所示： 依题意得：EB＝EH＝KB，EF＝EI＝FT，∠BEF＝∠HEI＝90°， ∠BAK＝90°，∠FDT＝90°， 在△EBF和△EHI中， ， ∴△EBF≌△EHI（SAS）， ∴BF＝HI＝y，∠4＝∠1， ∵∠1＝∠2＝∠3＝α， ∴∠4＝∠1＝∠2＝∠3＝α， ∵EC⊥BF于C， ∴∠ECB＝∠ECF＝90°， ∴∠BAK＝∠ECB＝90°，∠ECF＝∠FDT＝90°， 在△KAB和△ECB中， ， ∴△KAB≌△ECB（AAS）， ∴AB＝EC＝n，AK＝BC＝m， ∵∠4+∠BEC＝90°，∠BEC+∠CEF＝90°， ∴∠4＝∠CEF， ∴∠3＝∠CEF， 在△FDT和△ECF中， ， ∴△FDT≌△ECF（AAS）， ∴FD＝EC＝p，DT＝CF＝q， ∴AB＝EC＝FD， 即n＝p， 故选项A正确， ∵BF＝BC+CF＝m+q， 又∵BF＝HI＝y， ∴y＝m+q， 故选项B正确； ∴y＝m+q正确，显然y＝mq不正确， 故选项C不正确： 在Rt△BEC中，BC＝AK＝m，EC＝n， 由勾股定理得：BC2+EC2＝BE2， 即m2+n2＝BE2， 在Rt△ECF中，EC＝FD＝p，CF＝q， 由勾股定理得：EC2+CF2＝BF2， 即p2+q2＝BF2， 在Rt△BEF中，BF＝y， 由勾股定理得：BE2+BF2＝BF2， 即m2+n2+p2+q2＝y2， 故选项D正确． 故选：C． 【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理是解决问题的关键，难点是根据题意正确地作出辅助线，构造全等三角形． 7．（4分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BD⊥AD，AB＝5，BC＝3，则以下结论不正确的是（　　） A．AD＝3 B．OB＝2 C． D．▱ABCD的面积为6 【分析】根据平行四边形的性质判断AD＝BC＝3；根据勾股定理求出BD判断OB＝2；根据勾股定理求出AO判断AC的长；根据AD和BD的长计算平行四边形的面积即可解答． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，BC＝3， ∴OD＝OB，OA＝OC，AD＝BC＝3，故A正确； ∵BD⊥AD， ∴∠ADB＝90°， ∵AB＝5， ∴BD4， ∴OB＝OD＝2，故B正确； ∴OA， ∴AC＝2OA＝2，故C正确； ∴平行四边形ABCD的面积为AD×BD＝3×4＝12，故D错误． 故选：D． 【点评】本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质并灵活运用． 8．（4分）如图，E是四边形ABCD的边BC延长线上的一点，且AB∥CD，则下列条件中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．∠D＝∠5 B．AD＝BC C．∠3＝∠4 D．∠B＝∠D 【分析】利用平行线的判定方法及平行四边形的判定可得出答案． 【解答】解：A、∵∠D＝∠5， ∴AD∥BC， 又∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故本选项不符合题意； B、AD＝BC不能判断四边形ABCD是平行四边形， 故本选项符合题意； C、∵∠3＝∠4， ∴AD∥BC， 又∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故本选项不符合题意； D、∵AB∥CD， ∴∠B+∠BCD＝180°， ∵∠B＝∠D， ∴∠D+∠BCD＝180°， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故本选项不符合题意． 故选：B． 【点评】此题考查了平行线的判定，平行四边形的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键． 9．（4分）下列各式化简结果为无理数的是（　　） A． B． C． D． 【分析】运用算术平方根、零次幂和立方根知识进行逐一求解、辨别． 【解答】解：∵3， ∴选项A符合题意； ∵（2）0＝1， ∴选项B不符合题意； ∵2， ∴选项C不符合题意； ∵4， ∴选项D不符合题意， 故选：A． 【点评】此题考查了算术平方根、零次幂和立方根的运算能力，关键是能准确理解并运用以上知识，并进行正确地计算． 10．（4分）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会微取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边为b，那么（a+b）2的值为（　　） A．169 B．25 C．19 D．13 【分析】根据大正方形的面积即可求得c2，利用勾股定理可以得到a2+b2＝c2，然后求得直角三角形的面积即可求得ab的值，根据（a+b）2＝a2+b2+2ab＝c2+2ab即可求解． 【解答】解：如图，∵大正方形的面积是13， ∴c2＝13， ∴a2+b2＝c2＝13， ∵直角三角形的面积是（13﹣1）÷4＝3， 又∵直角三角形的面积是ab＝3， ∴ab＝6， ∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝c2+2ab＝13+2×6＝13+12＝25． 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理以及完全平方公式．注意完全平方公式的展开：（a+b）2＝a2+b2+2ab，还要注意图形的面积和a，b之间的关系． 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11．（4分）若，则m的取值范围为 　m≥0　 ． 【分析】由题意得，，即可得m≥0． 【解答】解：由题意得，， 解得m≥0． 故答案为：m≥0． 【点评】本题考查二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的基本性质是解答本题的关键． 12．（4分）已知平行四边形ABCD的周长为16，AB＝5，则BC的长为 　3　 ． 【分析】根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AD＝BC，根据2（AB+BC）＝16，AB＝5，即可求出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC， ∵平行四边形ABCD的周长是16，AB＝5， ∴2（AB+BC）＝16， ∴BC＝3． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查对平行四边形的性质的理解和掌握，能利用平行四边形的性质进行计算是解此题的关键． 13．（4分）如图，Rt△ABC中，O为斜边中点，CD为斜边上的高，若OC，OD＝2，则△ABC的面积是 　　 ． 【分析】先根据直角三角形斜边上的中线可得AB＝2，再根据垂直定义可得∠CDO＝90°，从而在Rt△OCD中，利用勾股定理求出CD的长，然后利用三角形的面积公式进行计算，即可解答． 【解答】解：在Rt△ABC中，O为斜边中点， ∴AB＝2OC＝2， ∵CD⊥AB， ∴∠CDO＝90°， ∵OD＝2， ∴CD， ∴△ABC的面积AB•CD 2 ， 故答案为：． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形的面积，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． 14．（4分）若最简二次根式与是可以合并的二次根式，则a＝　1　 ． 【分析】几个二次根式化简成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式．所以根据题意得a+1＝2，解出a的值即可． 【解答】解：2， 根据题意得：a+1＝2， 解得a＝1． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查同类二次根式这个知识点，清楚同类二次根式的概念，即可解决该类试题． 15．（4分）如图，△ABC中∠CAB＝60°，AD平分∠CAB交BC于点D，AC+AB＝6，当△ABD为直角三角形时，线段AD的值为 　或　 ． 【分析】分两种情况，①当∠ADB＝90°时，②当∠ABD＝90°时，由含30°角的直角三角形的性质和勾股定理分别求出AD的长即可． 【解答】解：∵∠CAB＝60°，AD平分∠CAB， ∴∠CAD＝∠DAB∠CAB＝30°， 分两种情况： ①如图1，当∠ADB＝90°时， ，∠ADC＝90°， ∴∠B＝90°﹣30°＝60°，∠C＝90°﹣30°＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC（AC+AB）6＝3， 在Rt△ADB中，∠DAB＝30°， ∴BDAB3， 由勾股定理得：AD； ②如图2，当∠ABD＝90°时， 则∠C＝90°﹣60°＝30°， ∴AC＝2AB， ∴AC+AB＝2AB+AB＝3AB＝6， ∴AB＝2， 在Rt△ABD中，∠DAB＝30°， ∴BDAD， 由勾股定理得：AD2＝AB2+BD2， 即AD2＝22+（AD）2， 解得：AD（负值已舍去）； 综上所述，当△ABD为直角三角形时，线段AD的值为或， 故答案为：或． 【点评】本题考查了勾股定理、含30°角的直角三角形的性质、角平分线的定义、分类讨论等知识，熟练掌握勾股定理，进行分类讨论是解题的关键． 16．（4分）把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB＝3cm，BC＝5cm，则ED的长是 　3.4　 cm． 【分析】根据矩形的性质和折叠的性质可得：AE＝AE′，AB＝A′D＝3cm，∠A＝∠A′＝90°，然后设ED＝x，在Rt△A′DE中，根据勾股定理建立方程求解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝5cm，∠A′＝90°， 由折叠的性质可得：AE＝A′E，AB＝A′D＝3cm，∠A＝∠A′＝90°， 设DE＝x，则A′E＝5﹣x， 在Rt△A′DE中，根据勾股定理得：A′E2+A′D2＝DE2， 即（5﹣x）2+32＝x2， 解得：x＝3.4，即ED＝3.4cm． 故答案为：3.4． 【点评】本题考查了折叠的性质、矩形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 三、解答题（共9小题，86分） 17．（9分）计算： （1）（）（）； （2）． 【分析】（1）先变形，然后根据平方差公式和完全平方公式计算即可； （2）先分母有理化，然后去括号，再合并同类二次根式即可． 【解答】解：（1）（）（） ＝[（）][（）] ＝（）2﹣2 ＝5﹣23﹣2 ＝6﹣2； （2） ＝4（）﹣（3） ＝43 ＝1． 【点评】本题考查二次根式的混合运算、平方差公式、分母有理化，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 18．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，四边形ABHD是平行四边形，BC＝2AD． 求证：四边形AHCD是矩形． 【分析】由平行四边形的性质和已知条件证得AB＝DH，AD∥HC，AD＝HC，得到四边形AHCD是平行四边形，再证得AC＝DH，根据矩形的判定即可证得四边形AHCD是矩形． 【解答】证明：∵四边形ABHD是平行四边形， ∴AB＝DH，AD＝BH，AD∥BH， ∴AD∥HC， ∵BC＝BH+HC＝2AD， ∴AD＝HC， ∴四边形AHCD是平行四边形， ∵AB＝AC， ∴AC＝DH，∴四边形AHCD是矩形． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质和矩形的判定，熟练掌握平行四边形的性质和矩形的判定方法是解决问题的关键． 19．（9分）如图，∠AOB＝90°．OA＝9m，OB＝3m，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿BC方向匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？ 【分析】根据小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等得出BC＝CA．设AC为x，则OC＝9﹣x，根据勾股定理即可得出结论． 【解答】解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等， ∴BC＝CA． 设AC为x m，则OC＝（9﹣x）m， 由勾股定理得：OB2+OC2＝BC2， 又∵OA＝9m，OB＝3m， ∴32+（9﹣x）2＝x2， 解得：x＝5． 答：机器人行走的路程BC是5m． 【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，解答本题的关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 20．（9分）已知四边形ABCD是矩形，BD是对角线，过点C作CE⊥BD于点E， （1）尺规作图：过点A作垂线AF，使得AF⊥BD于点F（不写作法）； （2）连接AE、CF，求证：四边形AFCE是平行四边形． 【分析】（1）以A为圆心，以恰当长度为半径画弧与BD交于两点，再以这两点为圆心，以恰当长度为半径分别画弧交于一点，过这点和点A作垂线AF即可得到答案； （2）由垂直定义得到∠AFB＝∠CED＝90°，AF∥EC，再由矩形性质确定∠ABF＝∠CDE，AB∥DC，然后由全等的判定与性质得到AF＝CE，最后根据平行四边形的判定定理即可得证． 【解答】（1）解：如图1所示： ∴垂线AF即为所求； （2）证明：如图2所示： ∵CE⊥BD，AF⊥BD， ∴∠AFB＝∠CED＝90°，AF∥EC， 在矩形ABCD中，AB∥DC，AB＝DC，则∠ABF＝∠CDE， 在△ABF和△CDE中， ， ∴△ABF≌△CDE（AAS）， ∴AF＝CE， ∵AF∥EC， ∴四边形AFCE是平行四边形． 【点评】本题考查尺规作图﹣作垂线、垂直定义、平行线的判定与性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定等知识，熟练掌握基本尺规作图、灵活运用几何判定与性质证明是解决问题的关键． 21．（9分）先观察下列等式，再回答下列问题： ①； ②； ③． （1）请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证； （2）请你按照上面各等式反映的规律，试写出一个用n（n为正整数）表示的等式； （3）请利用上述规律来计算（仿照上式写出过程）． 【分析】（1）根据题干中提供的信息进行解答即可； （2）根据题目中的式子找出一般规律即可； （3）将变形为，然后再根据解析（2）中得出的规律进行运算即可． 【解答】解：（1）； 理由：； （2）； ； ； …… ； （3） ． 【点评】本题主要考查了二次根式的规律运算，解题的关键是理解题意，熟练掌握二次根式的性质． 22．（9分）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若∠EAF＝60°，CF＝2cm，CE＝3cm，求▱ABCD的周长和面积． 【分析】根据平行四边形的性质和直角三角形的性质，可以求得AB、BC和AF的长，然后即可得到▱ABCD的周长和面积． 【解答】解：∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴∠AEB＝∠AEC＝90°，∠AFD＝∠AFC＝90°， ∵∠EAF＝60°， ∴∠C＝120°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B+∠C＝180°，∠C+∠D＝180°， ∴∠B＝∠D＝60°， ∴∠BAE＝∠DAF＝30°， 设DF＝x cm，则AD＝2x cm，AFx cm， ∵CF＝2cm，CE＝3cm， ∴AB＝CD＝（x+2）cm， ∴BEcm， ∵AD＝BE+EC， ∴2x3， 解得x， ∴AD＝BC＝2x（cm），AB＝CD2（cm），AFcm， ∴▱ABCD的周长是：20（cm），面积是：CD•AF（cm2）， 即▱ABCD的周长是20cm，面积是cm2． 【点评】本题考查平行四边形的性质、直角三角形的性质，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 23．（9分）勾股定理具有丰富的文化内涵，它揭示了直角三角形的三边关系，搭建起几何与代数之间的桥梁，为解决几何问题拓宽了思路．请完成下面问题： （1）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为b，较短直角边长为a，若（a+b）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积是多少？ （2）同学们在探索过程中发现，当把赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，可以得到如图的图形，设直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c，利用这个图形也可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？ （3）图（1）“赵爽弦图”中，若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图（2）所示的“数学风车”，请直接写出这个风车的外围（实线）周长． 【分析】（1）设直角三角形的斜边为c，利用勾股定理和完全平方公式求出ab的值，利用大正方形的面积减去小正方形的面积进行计算即可； （2）根据图形的总面积等于一个大正方形的面积加上两个直角三角形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，然后整理即可得证； （3）根据外延的4部分全等，且AD＝AC＝6，由勾股定理求得，根据风车的外围周长是4×（BD+AD），计算求解即可． 【解答】解：（1）设斜边的长为c，由题意，得：c2＝13，a2+b2＝c2＝13， ∵（a+b）2＝a2+2ab+b2＝21， ∴2ab＝21﹣13＝8， ∴小正方形的面积为：c2﹣2ab＝5； （2）图形的总面积可以表示为或， ∴c2+ab＝a2+b2+ab． ∴a2+b2＝c2； （3）如图2，由题意知，外延的4部分全等，且AD＝AC＝6， ∴CD＝12， ∴BD13， ∴这个风车的外围周长是4×（BD+AD）＝4×（13+6）＝76． 【点评】本题考查勾股定理的证明，完全平方公式与几何图形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 24．（9分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BE交AD于点E，AF⊥BE交BE于点F，交BC于点G，连结EG，CF． （1）判断四边形AEGB的形状，并说明理由． （2）若，CD＝8，AD＝10，求线段CF的长． 【分析】（1）由AD∥BC，得∠AEB＝∠CBE，而∠ABE＝∠CBE，则∠AEB＝∠ABE，所以AB＝AE，则AG垂直平分BE，所以GB＝GE，由∠BAG＝∠EAG，∠BGA＝∠EAG，得∠BAG＝∠BGA，则AB＝GB，所以AB＝AE＝GB＝GE，即可证明四边形AEGB是菱形； （2）作FH⊥BC于点H，由GB＝AB＝CD＝8，BC＝AD＝10，求得CG＝2，由tan∠ABC，得∠ABC＝60°，则△ABG是等边三角形，所以AG＝AB＝8，∠AGB＝60°，则GFAG＝4，∠GFH＝30°，所以GHGF＝2，则CH＝4，FH＝2，求得CF2． 【解答】解：（1）四边形AEGB是菱形， 理由：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠AEB＝∠CBE， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠AEB＝∠ABE， ∴AB＝AE， ∵AG⊥BE于点F， ∴BF＝EF，∠BAG＝∠EAG， ∴AG垂直平分BE， ∴GB＝GE， ∵∠BAG＝∠EAG，∠BGA＝∠EAG， ∴∠BAG＝∠BGA， ∴AB＝GB， ∴AB＝AE＝GB＝GE， ∴四边形AEGB是菱形． （2）作FH⊥BC于点H，则∠CHF＝90°， ∵GB＝AB＝CD＝8，BC＝AD＝10， ∴CG＝BC﹣GB＝10﹣8＝2， ∵tan∠ABC， ∴∠ABC＝60°， ∴△ABG是等边三角形， ∴AG＝AB＝8，∠AGB＝60°， ∴GF＝AFAG＝4，∠GFH＝90°﹣∠AGB＝30°， ∴GHGF＝2， ∴CH＝CG+GH＝2+2＝4，FH2， ∴CF2， ∴线段CF的长是2． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的“三线合一”、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 25．（14分）如图，在正方形ABCD中，，点E为对角线AC上一动点（点E不与点A、C重合），连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． （1）求AC的长； （2）求证矩形DEFG是正方形； （3）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）作出辅助线，得到EM＝EN，然后再判断∠MEF＝∠NED，得到△DEN≌△FEM，则有DE＝EF，即可判断矩形DEFG为正方形； （3）由四边形ABCD为正方形，四边形DEFG是正方形可知AD＝CD，DE＝DG，故可得△ADE≌△CDG，得到AE＝CG，即可判断CE+CG＝10，为定值． 【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠B＝90°， ∴AC2； （2）证明：如图所示，过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BCD＝90°， ∵EM⊥BC，EN⊥CD， ∴∠EMF＝∠ENC＝∠END＝90°， ∴∠MEN＝90°， ∵四边形DEFG为矩形， ∴∠FED＝90°， ∴∠MEN﹣∠FEN＝∠FED﹣∠FEN，即∠MEF＝∠NED， ∵E是正方形ABCD对角线的点， ∴EN＝EM， 在△DEN和△FEM中， ， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴ED＝EF， ∴矩形DEFG为正方形． （3）解：CE+CG的值为定值， ∵矩形DEFG为正方形， ∴DE＝DG，∠EDG＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC，∠ADC＝90°， ∴∠EDG﹣∠EDC＝∠ADC﹣∠EDC，即∠ADE＝∠CDG， 在△ADE和△CDG中， ， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴AE＝CG， ∴CE+CG＝CE+AE＝ACAB＝2， ∴CE+CG＝2是定值． 【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/4/1 9:57:32；用户：高青六中；邮箱：gq6z@xyh.com；学号：41618634 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$