福建省福州市屏东中学2024-2025学年八年级下学期校本练习数学试卷（1）仿真卷3

2024-2025学年福建省福州市屏东中学八年级（下）校本练习数学试卷（1）仿真卷3 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．（4分）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于x轴的对称点是（　　） A．（﹣2，3） B．（2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣3，2） 2．（4分）若一个多边形为正十边形，则它每个内角的度数为（　　） A．108° B．144° C．140° D．135° 3．（4分）下列运算正确的是（　　） A．x2+x3＝x5 B．x2•x3＝x6 C．6x6÷2x2＝3x3 D．（﹣x2）3＝﹣x6 4．（4分）如图，在矩形ABCD中，两条对角线交于点O，∠AOD＝120°，AB＝3，则BC长为（　　） A． B．3 C． D．6 5．（4分）如图，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的位置可以在（　　） A．① B．② C．③ D．④ 6．（4分）下列长度的各组线段能组成三角形的是（　　） A．5cm，8cm，3cm B．4cm，4cm，9cm C．5cm，9cm，5cm D．9cm，4cm，2cm 7．（4分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，P是AC上任一点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，若AC＝8，BD＝6，则PE+PF的值为（　　） A． B．5 C． D．10 8．（4分）在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果AC＝12，BD＝10，AB＝m，那么m的取值范围是（　　） A．10＜m＜12 B．2＜m＜22 C．1＜m＜11 D．5＜m＜6 9．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠ABC＝30°，AD是△ABC的高，AE平分∠BAD，过点D作DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 10．（4分）若使分式的值为正整数，则符合条件的整数x的值共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．（4分）若二次根式有意义，则x的取值范围是 　 　 ． 12．（4分）32012×（）2013＝　 　 ． 13．（4分）如图，点A表示的实数是 　 　 ． 14．（4分）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若∠EAF＝62°，则∠B＝　 　 ． 15．（4分）如图，菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，M是边BC上一点，N是CD的中点，在线段BD上有一点P使PM+PN的距离最短，则最短距离是 　 　 ． 16．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），E、F分别为DM、MN的中点，若AB＝4，AD＝3，则EF长度的最大值为　 　 ． 三、解答题（本大题共8小题，共86分） 17．计算：． 18．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别为AB和CD上两点，BE＝DF，求证：AF＝CE． 19．先化简，再求值，其中a＝2． 20．如图，在▱ABCD中，O为对角线AC、BD的交点，E、F分别是OA、OC的中点，顺次连接D、E、B、F． （1）求证：四边形DEBF是平行四边形． （2）若△ABE的面积为2，直接写出四边形DEBF的面积． 21．如图，▱ABCD地块的周长为56m，四边形DEFG为种植花卉区域，DE⊥AB于点E，点F、G分别在边EB、CD上，且AE+FB＝GC． （1）求证：四边形DEFG是矩形； （2）若E是AF的中点，GC＝2DG，AD＝10m，AD＝10m，求种植花卉区域四边形DEFG的面积． 22．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB∥DC，对角线AC，BD交于点O，以OD，OC为边作矩形DOCE，连接OE，交CD于点F． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若∠ABC＝120°，菱形ABCD的面积是，求OE的长． 23．平面直角坐标系xOy中，过原点O及点A（0，4）、C（12，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒4个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒． （1）当点P移动到点D时，求出此时t的值； （2）若点P在线段OD上运动（包含端点），求t为何值时△PQB的面积达到最大值； （3）若点P在射线OD上运动，当t为何值时，△PQB为直角三角形． 24．小明和小红做游戏：在一个不透明的盒子中放入三张卡片，每张卡片上写着一个实数，分别为，2，（每张卡片除数字不同外其余均相同），游戏规则：小明先从盒子中取出一张卡片，记下卡片上的数字，放回摇匀后小红再取出一张卡片，如果取出的两数之积是有理数，小明赢；反之小红赢． （1）用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果； （2）这个游戏规则公平吗？为什么？ 2024-2025学年福建省福州市屏东中学八年级（下）校本练习数学试卷（1）仿真卷3 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D C B C C C B B 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．（4分）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于x轴的对称点是（　　） A．（﹣2，3） B．（2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣3，2） 【分析】在平面直角坐标系中，点P（x，y）关于x轴的对称点是（x，﹣y），根据以上内容得出答案即可．． 【解答】解：在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于x轴的对称点是（2，3）． 故选：B． 【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，能熟记关于x轴、y轴对称的点的坐标特点是解此题的关键，注意：在平面直角坐标系中，点P（x，y）关于x轴对称点的坐标是（x，﹣y），关于y轴对称点的坐标是（﹣x，y）． 2．（4分）若一个多边形为正十边形，则它每个内角的度数为（　　） A．108° B．144° C．140° D．135° 【分析】先求出每一个外角的度数，然后根据每一个外角与内角互为邻补角列式求解． 【解答】解：每一个外角度数为360°÷10＝36°， 每个内角度数为180°﹣36°＝144°． 故选：B． 【点评】本题考查了多边形的内角与外角，主要涉及正多边形的内角与外角的求解，熟记公式是解题的关键． 3．（4分）下列运算正确的是（　　） A．x2+x3＝x5 B．x2•x3＝x6 C．6x6÷2x2＝3x3 D．（﹣x2）3＝﹣x6 【分析】直接利用幂的乘方运算法则、积的乘方运算法则、同底数幂的乘法法则、单项式除以单项式运算法则分别计算，进而判断得出答案． 【解答】解：A．x2+x3≠x5，所以A选项不正确，不符合题意； B．x2•x3＝x5，所以B选项不正确，不符合题意； C.6x6÷2x2＝3x4，所以C选项不正确，不符合题意； D．（﹣x2）3＝﹣x6，所以D选项正确，符合题意． 故选D． 【点评】此题主要考查了幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 4．（4分）如图，在矩形ABCD中，两条对角线交于点O，∠AOD＝120°，AB＝3，则BC长为（　　） A． B．3 C． D．6 【分析】根据矩形的性质和等边三角形的判定和性质，可以得到AC的长，再根据勾股定理，即可得到BC的长，本题得以解决． 【解答】解：∵∠AOD＝120°，∠AOD+∠AOB＝180°， ∴∠AOB＝60°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OB＝OC，∠ABC＝90°， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB＝OA＝OC， ∵AB＝3， ∴AC＝6， ∴BC， 故选：C． 【点评】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 5．（4分）如图，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的位置可以在（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【分析】根据选项所给的点D的位置，正确作出以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，再利用平行四边形的判定方法逐项判断即可． 【解答】解：对于A，如图， 此时，四边形ACBD不是平行四边形，故A不符合题意； 对于B，如图， 此时，AD∥BC，且AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故B符合题意； 对于C，如图， 此时，四边形ABCD不是平行四边形，故C不符合题意； 对于D，如图， 此时，四边形ABDC不是平行四边形，故D不符合题意． 故选：B． 【点评】本题主要考查平行四边形的判定方法，平行四边形的判定方法：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 6．（4分）下列长度的各组线段能组成三角形的是（　　） A．5cm，8cm，3cm B．4cm，4cm，9cm C．5cm，9cm，5cm D．9cm，4cm，2cm 【分析】根据三角形的三边关系，第三边的长应大于已知的两边的差，而小于两边的和． 【解答】解：A、3+5＝8，不能组成三角形，不符合题意； B、4+4＜9，不能组成三角形，不符合题意； C、5+5＞9，能组成三角形，符合题意； D、2+4＜9，不能组成三角形，不符合题意； 故选：C． 【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边；三角形的两边之差小于第三边． 7．（4分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，P是AC上任一点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，若AC＝8，BD＝6，则PE+PF的值为（　　） A． B．5 C． D．10 【分析】过P作PM⊥CD于M，由菱形的性质推出CD∥AB，AC⊥BD，OAAC，OBBD，AC平分∠BCD，由角平分线的性质推出PF＝PM，由PE⊥AB于，PM⊥CD，CD∥AB，得到P、E、M共线，因此PE+PF＝ME，由勾股定理求出AB5，由菱形的面积公式得到AB•EMAC•BD，即可求出EM．得到PE+PF的值． 【解答】解：过P作PM⊥CD于M， ∵四边形ABCD是菱形， ∴CD∥AB，AC⊥BD，OAAC，OBBD，AC平分∠BCD， ∵PF⊥BC于F， ∴PF＝PM， ∵PE⊥AB于，PM⊥CD，CD∥AB， ∴P、E、M共线， ∴PE+PF＝PE+PM＝ME， ∵AC＝8，BD＝6， ∴OA8＝4，OB6＝3， ∴AB5， ∵菱形ABCD的面积＝AB•EMAC•BD， ∴5EM6×8， ∴EM． ∴PE+PF的值为． 故选：C． 【点评】本题考查菱形的性质，勾股定理，关键是过P作PM⊥CD于M，证明PE+PF＝ME，由菱形的面积公式求出EM的长． 8．（4分）在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果AC＝12，BD＝10，AB＝m，那么m的取值范围是（　　） A．10＜m＜12 B．2＜m＜22 C．1＜m＜11 D．5＜m＜6 【分析】由平行四边形的性质得OAAC＝6，OBBD＝5，再由三角形三边关系得OA﹣OB＜AB＜OA+OB，即可解决问题． 【解答】解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝12，BD＝10， ∴OAAC＝6，OBBD＝5， 在△AOB中，由三角形三边关系得：OA﹣OB＜AB＜OA+OB， 即6﹣5＜m＜6+5， ∴1＜m＜11， 故选：C． 【点评】本题主要考查平行四边形的性质及三角形的三边关系，熟练掌握平行四边形的性质和三角形的三边关系是解题的关键． 9．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠ABC＝30°，AD是△ABC的高，AE平分∠BAD，过点D作DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】根据AD⊥BC，∠ADB＝90°，根据直角三角形30度角的性质即可求得AD的长，，再根据角平分线的性质即可得到∠DAE＝∠EAB＝30°，根据平行的∠DFA＝∠DAF，从而可推出AD＝DF，即得到了DF的长． 【解答】解：∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ADAB＝4（根据直角三角形30度角的性质）， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAF＝∠DAF， ∵DF∥AB， ∴∠F＝∠BAF， ∴∠F＝∠DAF， ∴DF＝AD＝4． 故选：B． 【点评】本题考查了直角三角形的性质、角平分线、等腰三角形和平行线的性质，解题的关键是证明DF＝AD． 10．（4分）若使分式的值为正整数，则符合条件的整数x的值共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】利用已知条件与数字的整除性解答即可． 【解答】解：∵分式的值为正整数， ∴2x+3的可能值为1或5． ∴2x+3＝1或2x+3＝5． ∴x＝﹣1或x＝1． ∴符合条件的整数x的值共有2个． 故选：B． 【点评】本题主要考查了分式的值，利用数的整除性解答是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．（4分）若二次根式有意义，则x的取值范围是 　x＜2023　 ． 【分析】根据二次根式及分式有意义的条件列式进行计算即可得解． 【解答】解：根据题意得，2023﹣x＞0， 解得：x＜2023， 故答案为：x＜2023． 【点评】本题考查的是二次根式及分式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 12．（4分）32012×（）2013＝　　 ． 【分析】先根据同底数幂的乘法变形，再根据积的乘方进行计算，最后求出即可． 【解答】解：原式＝32012×（）2012×（） ＝[3×（）]2012×（） ＝（﹣1）2012×（） ． 故答案为：． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，有理数的混合运算的应用，主要考查学生的计算能力． 13．（4分）如图，点A表示的实数是 　1　 ． 【分析】根据数轴上获取的条件和数轴上两点间的距离公式计算即可． 【解答】解：根据数轴可知，， ∴点A表示的实数是：1， 故答案为：1． 【点评】本题考查的是实数与数轴，勾股定理，从数轴上获取已知信息是解题的关键． 14．（4分）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若∠EAF＝62°，则∠B＝　62°　 ． 【分析】根据四边形内角和可得∠C的度数，再根据平行四边形的性质即可得∠B的度数． 【解答】解：∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴∠AEC＝∠AFC＝90°， ∵∠EAF＝62°， ∴∠C＝360°﹣90°﹣90°﹣62°＝118°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠B+∠C＝180°， ∴∠B＝180°﹣118°＝62°． 故答案为：62°． 【点评】本题考查了平行四边形的性质以及四边形内角和定理，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质． 15．（4分）如图，菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，M是边BC上一点，N是CD的中点，在线段BD上有一点P使PM+PN的距离最短，则最短距离是 　4.8　 ． 【分析】作点N关于直线BD的对称点N′，点N′在AD上，连接PN′，MN'，过点N'作N'H⊥BC，则PM+PN最短距离为N'H，再求出N′H即可． 【解答】解：作点N关于直线BD的对称点N′，连接PN′，MN'，过点N'作N'H⊥BC于点H， ∵四边形ABCD是菱形， ∴点N′在AD上，且为AD的中点， ∵PM+PN＝PM+PN′≥MN′≥N'H， ∴PM+PN最小值为N′H的长， ∵菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8， ∴PB＝4，PA＝3， ∴AB5， ∴BC＝5， ∵S菱形ABCDBD•AC＝BC•N'H， ∴N'H4.8， ∴PM+PN最小值为4.8， 故答案为：4.8． 【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题，菱形的性质，勾股定理，利用一条线段的长表示两线段和的最小值是解题的关键． 16．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），E、F分别为DM、MN的中点，若AB＝4，AD＝3，则EF长度的最大值为　2.5　 ． 【分析】连接BD、DN，根据勾股定理求出BD，根据三角形中位线定理解答． 【解答】解：连接BD、DN， 在Rt△ABD中，DB5， ∵点E、F分别为DM、MN的中点， ∴EFDN， 由题意得，当点N与点B重合时，DN最大， ∴DN的最大值是5， ∴EF长度的最大值是2.5， 故答案为：2.5． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共86分） 17．计算：． 【分析】先根据零指数幂，绝对值的性质，算式平方根的相关知识化简，再进行实数的加减运算． 【解答】解：原式＝1+3﹣3 ＝1． 【点评】本题考查了实数的简单加减运算，根据零指数幂，绝对值的性质，算式平方根的相关知识化简是解题的关键． 18．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别为AB和CD上两点，BE＝DF，求证：AF＝CE． 【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得AD＝BC，∠B＝∠D，再利用SAS证明△BEC≌△DFA即可得出结论． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，∠B＝∠D， 在△BEC与△DFA中， ， ∴△BEC≌△DFA（SAS）， ∴AF＝CE． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，证明△BEC≌△DFA是解题的关键． 19．先化简，再求值，其中a＝2． 【分析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把a的值代入计算，得到答案． 【解答】解：原式＝（）• • ， 当a＝2时，原式． 【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 20．如图，在▱ABCD中，O为对角线AC、BD的交点，E、F分别是OA、OC的中点，顺次连接D、E、B、F． （1）求证：四边形DEBF是平行四边形． （2）若△ABE的面积为2，直接写出四边形DEBF的面积． 【分析】（1）由平行四边形的性质得OA＝OC，BO＝DO，再证OE＝OF，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由平行四边形的性质和三角形面积关系即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，BO＝DO， ∵E、F分别是OA、OC的中点， ∴OEOA，OFOC， ∴OE＝OF， ∴四边形DEBF是平行四边形； （2）解：∵E是OA的中点， ∴S△BOE＝S△ABE＝2， 由（1）可知，四边形DEBF是平行四边形， ∴S平行四边形DEBF＝4S△BOE＝4×2＝8． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 21．如图，▱ABCD地块的周长为56m，四边形DEFG为种植花卉区域，DE⊥AB于点E，点F、G分别在边EB、CD上，且AE+FB＝GC． （1）求证：四边形DEFG是矩形； （2）若E是AF的中点，GC＝2DG，AD＝10m，AD＝10m，求种植花卉区域四边形DEFG的面积． 【分析】（1）先证明DG＝EF，结合DG∥EF，可得四边形DEFG是平行四边形．再证明∠DEF＝90°，从而可得结论； （2）先求解DG＝EF＝AE＝6m，再利用勾股定理求解DE＝8m，从而可得答案． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∵DG+GC＝CD，AE+EF+FB＝AB，AE+FB＝GC， ∴DG＝EF， ∵DG//EF， ∴AE+FB＝GC， ∴DG＝EF， ∵DG∥EF， ∴四边形DEFG是平行四边形， ∵DE⊥AB于点E， ∴∠DEF＝90°， ∴四边形DEFG是矩形； （2）解：∵▱ABCD地块的周长为56m，AD＝10cm， ∴AD+AB＝28m， ∴AB＝18m． ∴DG＝EF＝AE＝6m，E是AF的中点， ∴DG＝EF＝AE＝6m． 在Rt△ADE中，∠AED＝90°， 由勾股定理，得AD2＝DE2+AE2， ∴DE＝8m， ∴种植花卉区域四边形DEFG的面积为8×6＝48（m2）． 【点评】本题考查的是平行四边形的性质，矩形的判定与性质，熟记特殊四边形的判定方法是解本题的关键． 22．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB∥DC，对角线AC，BD交于点O，以OD，OC为边作矩形DOCE，连接OE，交CD于点F． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若∠ABC＝120°，菱形ABCD的面积是，求OE的长． 【分析】（1）由AD∥BC，AB∥DC，证明四边形ABCD是平行四边形，由矩形的性质得∠COD＝90°，则AC⊥BD，即可证明四边形ABCD是菱形； （2）由CD∥AB，∠ABC＝120°，求得∠BCD＝60°，则△CBD是等边三角形，所以∠ODC＝60°，则tan60°，所以OCOD，则AC＝2OC＝2OD，BD＝2OD，由菱形ABCD的面积是4，得2OD×2OD＝4，求得OD，则OE＝CD＝BD＝2． 【解答】（1）证明：∵AD∥BC，AB∥DC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵四边形DOCE是矩形， ∴∠COD＝90°， ∴AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形． （2）解：∵CD∥AB，∠ABC＝120°， ∴∠BCD＝180°﹣∠ABC＝60°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝DC， ∴△CBD是等边三角形， ∴∠ODC＝60°， ∴tan60°， ∴OCOD， ∵OA＝OC，OB＝OD， ∴AC＝2OC＝2OD，BD＝2OD， ∵菱形ABCD的面积是4， ∴2OD×2OD＝4， 解得OD或OD（不符合题意，舍去）， ∴CD＝BD＝2OD＝2， ∵四边形DOCE是矩形， ∴OE＝CD＝2， ∴OE的长是2． 【点评】此题重点考查平行四边形的判定、矩形的性质、菱形的判定与性质、菱形的面积公式、等边三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识，证明△CBD是等边三角形是解题的关键． 23．平面直角坐标系xOy中，过原点O及点A（0，4）、C（12，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒4个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒． （1）当点P移动到点D时，求出此时t的值； （2）若点P在线段OD上运动（包含端点），求t为何值时△PQB的面积达到最大值； （3）若点P在射线OD上运动，当t为何值时，△PQB为直角三角形． 【分析】（1）由△AOD 是等腰直角三角形，可得OD，即可得出t的值； （2）由题意得出S＝﹣4t2+16t，根据二次函数的性质可得出答案； （3）根据P（2t，2t），Q（4t，0），B（12，4），表示出PQ，BQ，BP的长，再分∠PQB＝90°或∠PBQ＝90°，分别列出方程求解即可． 【解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形， ∴∠AOC＝∠OAB＝90°， ∵OD平分∠AOC， ∴∠AOD＝∠DOQ＝45°， ∴在Rt△AOD中，∠ADO＝45°， ∴AO＝AD＝4，， ∴； （2）S＝48﹣S△OPQ﹣S△QCB﹣S△PDB＝48﹣4t2﹣24+8t﹣16+8t＝﹣4t2+16t＝﹣4（t﹣2）2+16， ∴当t＝2时，S的最大值为16； （3）解：要使△PQB为直角三角形，显然只有∠PQB＝90°或∠PBQ＝90°． 如图1，作PG⊥OC于点G， 在Rt△POG中， ∵∠POQ＝45°， ∴∠OPG＝45°， ∵， ∴OG＝PG＝2t， ∴点P（2t，2t）， 又∵Q（4t，0），B（12，4）， 根据两点间的距离公式可得：PB2＝（12﹣2t）2+（4﹣2t）2，QB2＝（12﹣4t）2+42，PQ2＝（4t﹣2t）2+（2t）2＝8t2， ①若∠PQB＝90°，则有PQ2+BQ2＝PB2， 即：8t2+[（12﹣4t）2+42]＝（12﹣2t）2+（4﹣2t）2， 整理得：t2﹣2t＝0， 解得：t1＝0（舍去），t2＝2， ∴t＝2， ②若∠PBQ＝90°，则有PB2+QB2＝PQ2， ∴[（12﹣2t）2+（4﹣2t）2]+[（12﹣4t）2+42]＝8t2， 整理得：t2﹣10t+20＝0， 解得：． ∴当t＝2或或时，△PQB为直角三角形． 【点评】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形的性质，直角三角形的性质等知识，将动点问题转化为线段的长是解题的关键． 24．小明和小红做游戏：在一个不透明的盒子中放入三张卡片，每张卡片上写着一个实数，分别为，2，（每张卡片除数字不同外其余均相同），游戏规则：小明先从盒子中取出一张卡片，记下卡片上的数字，放回摇匀后小红再取出一张卡片，如果取出的两数之积是有理数，小明赢；反之小红赢． （1）用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果； （2）这个游戏规则公平吗？为什么？ 【分析】（1）画树状图，利用概率公式求解； （2）比较小明赢的概率，小红赢的概率，即可得到结论． 【解答】解：（1）画树状图为：（用A表示，B表示2，C表示2） 共有9种等可能的结果数，抽取的两数之积是有理数的结果数为5， 所以按照此规则小明赢的概率； （2）这个游戏规则不公平， 理由：∵小明赢的概率，小红赢的概率， ∴， ∴这个游戏规则不公平． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/4/1 9:55:28；用户：高青六中；邮箱：gq6z@xyh.com；学号：41618634 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$