重难点01 全等三角形中常见七种模型及其综合题综合训练（7大题型+高分技法+限时提升练）-2025年中考数学【热点•重点•难点】专练（广东专用）

重难点01 全等三角形中常见七种模型及其综合题综合训练 在广东数学中考中，全等三角形主要有以下考查方式： 1.直接证明三角形全等：给出两个三角形的边和角的信息，要求考生依据全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）来证明。 2.通过全等三角形证明线段相等或角相等：需要证明两条线段或两个角相等时，若它们所在的三角形能证明全等，就利用全等三角形的性质得出结论，有时需添加辅助线构造全等三角形。 3.与其他几何图形综合考查：常和四边形、圆等结合，通过证明三角形全等，再结合相关图形的性质来解题。 广东中考中全等三角形一般在解答题中出现，作为其中一个环节或者解答工具，很少单独考查。2025年预计仍会延续这种考查形式，可能会在几何综合题中，通过证明三角形全等进一步求解其他问题，分值大约在5 - 8分。 考向一：平行线+线段中点构造全等模型 已知：AB//CD，点E是BC的中点 【模型分析】口诀：有中点，有平行，轻轻延长就能行 如图①，延长DE交AB于点F，易证：△DCE≌△FBE（AAS）。 如图②，延长AE交CD延长线于点F，易证：△ABE≌△FCE（AAS） 1．（2024·山东济南·一模）如图，中，E是的中点，连结并延长交的延长线于点F．求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质证明 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识点，根据题意得，，进而得，证即可． 【详解】证明：∵平行四边形 ∴， ∴ ∵E为AB中点 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 2．（2025·广东梅州·一模）如图，中，点是的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)点是线段上一点，满足交于点． ①求证：； ②若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、相似三角形的判定与性质综合、利用平行四边形的性质证明、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用上述性质证明三角形相似是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质可得，证明，推出，即可解答； （2）①通过平行四边形的性质证明，再通过（1）中的结论得到，最后证明，利用对应线段比相等，②把数值代入①中比例线段列方程即可解答． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 是的中点， ， ， ， ； （2）①证明： 四边形是平行四边形， ， ， ， ； ②解：由①得， ，即， ． 考向二：角平分线+垂直构造全等模型 （1）过角平分线上的点作角两边的垂线，构造全等三角形 （2）角平分线上任意一点作角平分线的垂线，构造全等三角形. (即角平分线+垂线得等腰三角形) 1．（2023·广东惠州·二模）如图，，，于． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，关键是作出辅助线构造全等三角形． （1）过点作，交的延长线于点．由证明，可得，结论得证； （2）证明，可得，可求出． 【详解】（1）证明：过点作，交的延长线于点． ， ， ，， ， 在与中， ， ， ， 又∵ 平分； （2）解：由（1）可得， 在和中， ， ∴， ， ． 2．（23-24八年级上·湖南常德·期末）如图1：在中，平分，且， (1)若，求的长； (2)如图2，若交于，交于，且为等腰三角形，求的长． 【答案】(1)10 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质． （1）延长交于点．证明，由即可得出结论； （2）根据题意得到，由为等腰直角三角形，证明即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，延长交于点． 平分， ， ， 又， ， ，即， 在中， ， ， ； （2）解：如图，（对顶角）， ， ， 又为等腰直角三角形， ，， 在与中， ， ， ，即． 考向三：一线三等角构造全等模型 三步模型抽离法 “一线三等角”模型是指有三个等角的顶点在同一条直线上构成的全等三角形,这个角可以是直角,也可以是锐角或钝角,解题步骤如下: 第一步：依据特征找模型 特征1:是否存在两个三角形共顶点; 特征2:是否存在一条直线上有三个等角; 特征3:是否存在等线段 第二步：抽离模型 在题图中抽离出两个全等三角形 第三步：利用性质解题 利用全等三角形的性质解题 类型 图示 条件 结论 同侧一线三等 角 点P在线段AB上，∠1=∠2=∠3，且AP=BD (或AC=BP或CP=PD) △APC≌△BDP 异侧一线三等 扇 点P在线段AB的延长线上,∠1=∠2=∠3， 且AP=BD(或AC=BP或CP=PD) △APC≌△BDP 1．（24-25八年级上·山西忻州·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： （模型呈现） （1）如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到________， ________．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； （模型应用） （2）如图2，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点； （深入探究） （3）如图，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，则有________（填“、、”） 【答案】（1），，（2）见解析，（3），理由见解析 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等三角形综合问题 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、直角三角形的两个锐角互余及等积法，熟练掌握全等三角形的判定条件是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质可直接进行求解； （2）分别过点D和点E作于点H，于点Q，进而可得，然后可证，则有，进而可得，通过证明可求解问题； （3）过点作交于，过点作交延长线于，过点作交延长线于由题意易得，，然后可得，则有，，进而可得，通过证明及等积法可进行求解问题． 【详解】解：（1）∵， ∴， 故答案为， （2）分别过点D和点E作于点H，于点Q，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可知， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即点是的中点； （3），理由如下： 如图所示，过点作交于，过点作交延长线于，过点作交延长线于 ∵四边形与四边形都是正方形 ∴，， ∵，， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴，， 同理可以证明， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴即， 故答案为：． 2.（24-25九年级上·重庆南岸·期末）在菱形中，，点是边上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，，求的度数； (2)如图2，，用的度数（含的代数式表示）； (3)如图3，，，点是边上一动点，连接，若，是延长线上一点，且，连接，请直接写出的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】利用菱形的性质证明、根据正方形的性质与判定证明、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，菱形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的形状，熟练掌握一线三等角全等模型，并会利用条件构造一线三等角全等模型是解题的关键． （1）过点作，交延长线于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的性质可得，由此即可得； （2）延长到点，使，连接，先根据菱形的性质、平行线的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，，然后根据等腰三角形的性质可得，由此即可得； （3）先由（2）知当时，，过点作于点，且使，连接，构造出，得出，，再得出，取中点，连接，，得出， ，由两点之间线段最短得，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，过点作，交延长线于点， ∵在菱形中，， ∴四边形是正方形，， ∴，， 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：如图2，延长到点，使，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（2）知当时，， 如图，过点作于点，且使，连接， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，取中点，连接，， ∵，， ∴， ∴， 由两点之间线段最短得，且当、、依次共线时，取得最大值． 考向四：手拉手模型-旋转型全等 三步模型抽离法 第一步：依据特征找模型 特征1:是否存在两个等腰三角形; 特征2:是否存在两个等腰三角形的顶角相等，且共顶点 第二步：抽离模型 以两个等腰三角形的腰及对应顶点的连线围成的两个新三角形全等 第三步：利用性质解题 利用全等三角形的性质解题 常见基础模型如下： 图示 OC在△OAB内且拉手线无交点 OC在△OAB外且拉手线无交点 OC在△OAB外且拉手线有交点 条件 在等腰ΔOAB中,OA=OB,在等腰△OCD中,OC=OD,∠AOB=∠COD=a,将ΔOCD 绕点0旋转一定角度后,连接AC,BD(称为“拉手线”左手拉左手,右手拉右手),若拉手线有交点,记相交于点,连接 OE 结论 1.△AOC≌△BOD,AC=BD(即拉手线相等); 2.EO平分∠AED: 3.∠AEB=∠AOB=a 1．（24-25九年级上·重庆江津·期末）如图，等腰直角与等腰直角按图1位置放置，已知， ． (1)填空：　　　，　　　； (2)现将图1中等腰直角绕点A按顺时针方向旋转，当旋转到点C、D、E在一条直线上时，如图2所示，求的长度； (3)当图1中等腰直角绕点A顺时针方向旋转到满足时，如图3所示，猜想：与的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)， (2) (3)，证明见解析 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、根据旋转的性质求解 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）过作于，由直角三角形斜边中线的性质得，由勾股定理得，进而可求出的长度； （3）连接交于F，交于G，证明得，再证明得，进而可求出． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，， ∴． ∵是等腰直角三角形，， ∴． 故答案为：，； （2）解：过作于， 在等腰中，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 连接交于F，交于G 在和中，， ∴ ∴ ∴ 在和中， ∴ ∴ ∴ 又∵且 ∴ ∵是公共边 ∴ ∴ 又∵在等腰中，是斜边 ∴ ∴ ∵ ∴ 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 2.（24-25九年级上·重庆开州·阶段练习）如图1，是等腰直角三角形，其中，点D是边上一点，以为边向外作正方形，连接，将正方形绕点C顺时针旋转，如图2所示． (1)旋转过程中线段与之间存在怎样的关系，请说明理由． (2)当且时，求的面积． 【答案】(1)，，见解析 (2) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、三角形内角和定理的应用、根据等角对等边求边长 【分析】（1）证明，则，，如图1，延长交于，可求，进而可得； （2）证明，则，如图2，作的延长线于，由勾股定理得，，可求，根据，计算求解，进而可得的面积． 【详解】（1）解：，，理由如下； 由题意知，， ∵正方形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，， 如图1，延长交于， ∴， ∴； （2）解：由题意知，，即， 又∵，， ∴， ∴， 如图2，作的延长线于， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得，， 解得，， ∵， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等角对等边，勾股定理．熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等角对等边，勾股定理是解题的关键． 考向五：全等三角形之倍长中线模型 1）倍长中线模型（中线型） 条件：AD为△ABC的中线。 结论： 证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。 ∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS） 2）倍长类中线模型（中点型） 条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。 证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。 ∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS） 1．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）（1）阅读理解 如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点使，连接，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是 　　．这种方法叫做倍长中线法． （2）问题解决： 如图2，，，此时成立吗？请说明你的理由． （3）问题拓展： 如图3，已知：，，，，为的中线，反向延长交于点，求证：． 【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3）证明见解析． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】（1）延长至，使，连接，由证明，得出，在中，由三角形的三边关系求出的取值范围，即可得出的取值范围； （2）延长至，使，连接，证明，可得到，，再证明，可得． （3）延长到，使得．首先证明四边形是平行四边形，再证明，推出，由，推出，推出，即可解决问题； 【详解】（1）解：延长至，使，连接，如图1所示： ， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，由三角形的三边关系得：， ，即， ； 故答案为：； （2）解：成立． 理由：延长至，使，连接，如图2所示： 在和中， ， ， ，， ， ， ， ． （3）证明：如图，延长到，使得． ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】 本题是三角形的综合题，考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，余角的性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 2．（2023八年级上·全国·专题练习）综合与实践 小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点为的中点，求的取值范围．小明的做法是：如图2，延长到，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决．    请回答： （1）小明证明用到的判定定理是：　　； ．  ．  ．  ． （2）的取值范围是 　　． 小明总结：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造． 参考小明思考问题的方法，解决问题： （3）如图3，在正方形（各角都为直角）中，为边的中点，、分别为边上的点，若，，，求的长． 【答案】（1）A；（2）；（3） 【知识点】根据正方形的性质证明、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】（1）延长到，使，连接，由即可证明问题； （2）由三角形三边的关系即可求出的取值范围； （3）延长，交于，即可证明，得到，，由线段垂直平分线的性质定理得到． 【详解】（1）证明：如图2，延长到，使，连接， 是中点， ， 在和中， ， ． 故选：； （2）解：∵， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：如图3，延长，交于，   四边形是正方形， ， ∴， ， 是中点， ， ∵， ∴， ∴，， ， 垂直平分， ， ∵， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，一元一次不等式的应用，关键是通过作辅助线构造全等三角形． 考向六：全等三角形之截长补短模型 条件：AD为△ABC的角平分线，∠B=2∠C。 结论：AB＋BD＝AC。 证明：法1（截长法）:在线段AC上截取线段AB′＝AB，连接DB。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠B′AD，∵AD=AD，∴△ABD≌△AB′D（SAS） ∴∠B=∠AB′D，BD=B′D，∵∠B=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠B′DC=∠C， ∴B′C＝B′D，∴BD=B′C，∵AB′＋B′C＝AC，∴AB＋BD＝AC。 法2（补短法）:延长AB至点C′使得AC′＝AC，连接BC′。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠C′AD=∠CAD，∵AD=AD，∴△C′AD≌△CAD（SAS） ∴∠C′=∠C，∵∠B=2∠C，∴∠B=2∠C′，∴∠BDC′=∠C′，∴BC′＝BD， ∵AB＋BC′＝AC′，∴AB＋BD＝AC。 1．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，为等腰直角三角形，，直线经过点A且绕点A在所在平面内转动，作，为垂足． (1)如图①，求证：； (2)在图②和图③中，（1）的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，直接写出三条线段的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)不成立，见解析 【知识点】证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定，学会结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）在上截取，连接，利用全等三角形判定，得出，进而用判定得到，得出，再通过线段的等量代换即可证明； （2）在上截取，连接，用类似（1）的方法可得图②和图③中（1）的结论不成立，写出数量关系即可． 【详解】（1）证明：如图，在上截取，连接， 为等腰直角三角形，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ， ， ． （2）解：在图②和图③中，（1）的结论不成立． 图②中，结论：； 图③中，结论：． 对于②，截取，连接， 为等腰直角三角形，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 又， ， ， ． 对于③，截取，连接，同理可证：． 2．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）【问题情境】神奇的半角模型 在几何图形中，共顶点处的两个角，其中较小的角是较大的角的一半时，我们称之为半角模型．截长补短法是解决这类问题常用的方法． 如图1，在正方形中，以A为顶点的，与分别交于E、F两点，为了探究之间的数量关系，小明的思路如下： 如图2，延长到点H，使，连接，先证明，再证明．从而得到之间的数量关系． (1)提出问题：之间的数量关系为________________． (2)知识应用：如图3，，，以A为顶点的，，与分别交于E、F两点，你认为（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． (3)知识拓展：如图4，在四边形中，，，．与互补，与分别交于E、F两点，且，请直接写出的周长________________．（用含a、b、c的式子表示．） 【答案】(1) (2)（1）中的结论还成立，证明见解析 (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质证明 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，正确作出辅助线是解决此题的关键． （1）延长到点H，使，连接，先证明，再证明，即可解答； （2）延长到点M，使，连接，先证明，再证明，即可解答； （3）延长到点P，使，连接，先证明，再证明，可得，从而得到的周长，即可解答． 【详解】（1）解：延长到点H，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为： （2）解：（1）中的结论还成立，证明如下： 延长到点M，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，延长到点P，使，连接， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴的周长． 故答案为： 考向七：全等三角形之半角模型 过等腰三角形顶点 两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。 常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。 解题技巧： 在图1中，△AEB由△AND旋转所得，可得△AEM≌△AMN， ∴BM+DN=MN[来源:学科网ZXXK] ∠AMB=∠AMN AB=AH △CMN的周长等于正方形周长的一半 在图2中将△ABC旋转至△BEF，易得△BED≌△BCD同理得到边角之间的关系； 总之：半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论. 例1．（2024·甘肃兰州·模拟预测）综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，M，N分别在边上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，连接．用等式写出线段的数量关系，并说明理由； (2)【类比探究】小启改变点的位置后，进一步探究：如图2，点M，N分别在正方形的边的延长线上，，连接，用等式写出线段的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】李老师提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点N，M分别在边上，，用等式写出线段的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)；理由见解析 (2)；理由见解析 (3)；理由见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质证明、根据旋转的性质求解 【分析】（1）由旋转的性质和正方形的性质，先证E，B，C三线共线．再证，进而证明，推出，可得． （2）在上取，连接．依次证明，，可得． （3）将绕点A逆时针旋转得，先证E，D，C三点共线，由（1）同理可得，进而可得． 【详解】（1）解：．理由如下： 由旋转的性质，可知，，，， ∴， ∴E，B，C三线共线． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）解：．理由如下： 如图，在上取，连接． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． （3）解：．理由如下： 如图，将绕点A逆时针旋转得， ∴． ∵， ∴， ∴E，D，C三点共线． 由（1）同理可得， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用“半角模型”，正确作出辅助线是解题的关键． 例2．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图1，四边形是正方形，分别在边和上，且（此时），我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段之间的关系，将绕点A顺时针旋转后解决了这个问题． (1)①请直接写出线段之间的关系___________． ②若正方形边长为12，点E为中点，则________． (2)如图3，等腰直角三角形，点E、F在边上，且，请写出之间的关系，并说明理由． (3)如图4，在中，，点在边上，且，当时，则的长为_________． 【答案】(1)①；②①② (2)，理由见解析； (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、根据旋转的性质求解 【分析】（1）①利用旋转的性质，证明，得到，等量代换即可证明；②利用①中的结论，结合勾股定理即可求解； （2）把绕点顺时针旋转得到，连接，根据旋转的性质，可知， ， ， ，在中， ，可求得，所以，证，利用得到； （3）同(2)方法，把绕点顺时针旋转得到，连接．可证明∶ ．在中，，，，过点作，垂足为，利用直角三角形性质和勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：①， 理由如下：由旋转可得，，，， 四边形为正方形， ， ， 三点共线， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； 故答案为：； ②正方形边长为12，点E为中点， ， 设， 则， 在中，， ， 解得， 在中，， 故答案为：； （2）解：猜想∶， 理由如下： 把绕点顺时针旋转得到，连接， 如图3 ，，，， ， ， ，即， ， 又， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ； （3）解：把绕点顺时针旋转得到，连接， 如图4 ，，，， ，， ， ，即， 又， ， 在和中， ， ， ， 过点作，垂足为， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质、勾股定理，解题的关键是∶利用旋转转化线段关系，将分散的条件集中到同一个三角形求解． 1．（24-25九年级上·四川广安·阶段练习）如图，是的中线，于点C，，且，则的长为 ． 【答案】8 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 延长交的延长线于点F，证明，可得，再由，可得，即可求解． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点F， ∵， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：8 2．（24-25九年级上·河南许昌·期中）如图，和为等腰直角三角形，将绕点顺时针旋转，连接，，点为直线，的交点．若，，则 ，在旋转过程中，的最大值为 ． 【答案】 45 / 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、三角形三边关系的应用 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形三边关系的应用，，得出，根据求出结果即可；根据，且当、A、D三点共线时等号成立，得出． 【详解】解：∵和为等腰直角三角形， ∴，，，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴； ∵将绕点顺时针旋转，，且当、A、D三点共线时等号成立， 又∵，， ∴的最大值为：． 故答案为：45；． 3．（23-24八年级上·山东临沂·期中）【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1），证明见解析（2），证明见解析 【知识点】旋转模型(全等三角形的辅助线问题)、证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质．本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形． （1）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解； （2）结论：，证明方法同法（1）． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：，，， ∴，即：三点共线， ， ∴， ∴， ， 在和中， ， ， ， 又， ． （2）结论：． 理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：， 同法（1）可得：， ， 又， ． 4．（24-25九年级上·重庆江津·期末）如图，等腰直角与等腰直角按图1位置放置，已知， ． (1)填空：　　　，　　　； (2)现将图1中等腰直角绕点A按顺时针方向旋转，当旋转到点C、D、E在一条直线上时，如图2所示，求的长度； (3)当图1中等腰直角绕点A顺时针方向旋转到满足时，如图3所示，猜想：与的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)， (2) (3)，证明见解析 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、根据旋转的性质求解 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）过作于，由直角三角形斜边中线的性质得，由勾股定理得，进而可求出的长度； （3）连接交于F，交于G，证明得，再证明得，进而可求出． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，， ∴． ∵是等腰直角三角形，， ∴． 故答案为：，； （2）解：过作于， 在等腰中，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 连接交于F，交于G 在和中，， ∴ ∴ ∴ 在和中， ∴ ∴ ∴ 又∵且 ∴ ∵是公共边 ∴ ∴ 又∵在等腰中，是斜边 ∴ ∴ ∵ ∴ 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 5．（23-24九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在菱形中，，，为正三角形，点分别在菱形的边，上滑动，且点不与点重合，连结，与交于点． (1)的形状为 ； (2)求证：当点在边上滑动时，总有； (3)求四边形周长的最小值； (4)在不添加辅助下的情况下，图中始终与相似的三角形有 个，并直接写出与相似比为时线段的长． 【答案】(1)等边三角形 (2)证明见解析 (3)四边形周长的最小值为 (4)；， 【知识点】用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质综合、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查菱形，全等三角形，等边三角形，相似三角形等知识，解题的关键是掌握菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，即可． （1）根据等边三角形的判定，即可； （2）根据全等三角形的判定和性质，即可； （3）根据全等三角形的性质，则，，得到四边形周长为：，根据，则当时，四边形周长值最小，根据菱形的性质，勾股定理的运用，即可； （4）根据相似三角形的判定和性质，即可． 【详解】（1）∵四边形是菱形， ∴， ∵是对角线， ∴， ∴是等边三角形． （2）∵是等边三角形， ∴，， ∵是正三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴． （3）∵， ∴，， ∴四边形周长为： ∵ ∴当时，四边形周长值最小， 四边形是菱形 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴四边形周长为：． （4）∵，， ∴； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ∴图中始终与相似的三角形有个； 当与的相似比为， ∴， ∵， ∴， ∴； 过点作交于点， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 当且相似比为， ∴， 设， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 解得：，（舍）， ∴， ∴． 6．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图①平分．点A 为 上一点，过点A作,  垂足为C，延 长交于点B，可证得，则，． 【问题提出】 （1）如图②，在中，平分，于点E，若，， 通过上述构造全等的办法，求∠的度数； 【问题探究】 （2）如图③，在中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系； 【问题解决】 （3）如图④是一块肥沃的土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地 进行水稻试验，他进行了如下操作： ①作的平分线； ②再过点A作交于点D． 已知 米，米，面积为平方米，求划出的的面积． 【答案】（）；（），理由见解析；（） 【知识点】三角形的外角的定义及性质、角平分线的有关计算、等边对等角、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（）延长交于点，由已知可知，再由等腰三角形的在得 ，然后由三角形的外角性质即可得出结论； （）延长交于点，证，得，再由已知可知，即可得出结论； （）延长交于， 由已知可知，，则再由三角形面积关系得，即可得出结论． 【详解】（）解：如图， 延长交于点， 由已知可知， ∴， ∵， ∴； （）解：，证明如下： 如图，延长交于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由已知可知，， ∴； （）解：如图，延长交于， 由已知可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质、角平分线定义以及三角形面积等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 7．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． （1）如图1，是的中线，且，延长至点，使，连接． ①根据所作辅助线可以证得，其中判定全等的依据为：______； ②若，则的取值范围是______； 【方法运用】 运用上面的方法解决下面的问题： （2）如图2，是的中线，点在的延长线上，，求证：平分； 【问题拓展】 （3）如图3，是四边形的对角线，，点是边的中点，点在上，，若，求的长． 【答案】（1）①；②；（2）见解析；（3）10 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、三角形三边关系的应用 【分析】（1）①根据证明，即可；②由①得：，可得，在中，根据三角形的三边关系，即可求解； （2）延长至点F，使，连接．由（1）得：，从而得到，再由，可得，从而得到，可证明，即可求证； （3）延长至，使得，连接，证明，得到，，进而得到，推出，，证明等边三角形，推出，证明，得到，，进而推出为等边三角形，得到，即可得出结论． 【详解】解：①∵是的中线， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， 故答案为： ②由①得：， ∴， 在中，， ∴，即， ∴； 故答案为：； （2）如图，延长至点F，使，连接． 同法（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 即平分； （3）延长至，使得，连接， ∵是的中点 ∴ ∵， ∴ ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴等边三角形， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，即：， ∴为等边三角形， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，等边三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，掌握倍长中线法构造全等三角形，是解题的关键． 8．（23-24八年级下·云南红河·期末）【方法感悟】在解决几何问题中，我们会接触很多典型的基本图形，例如“一线三等角．形全等”，我们把它称之为“三垂直模型”，掌握好该模型及其变形，有助于我们解决一些复杂的几何数学题． 今天，我们就来认识它：（1）如图①，中，，，直线经过点直线直线，垂足分别为，那么我们可以得到结论．请你用所学习过的数学知识证明该结论， 【方法迁移】（2）如图②，中，，，点在同一条直线上，，，．求菱形的面积． 【问题拓展】（3）如图③，分别以的直角边向外作正方形和正方形，连接是的高，延长交于点，若，，求的长度． 【答案】（1）证明过程见详解；（2）；（3） 【知识点】全等三角形综合问题、利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】(1)证，，由证明即可； (2)连接，交于，由菱形的性质得，同(1)得，得，，由三角形面积公式求出，即可得出答案； (3)过E作的延长线于M，过点G作于，同(1)得，，得，证，得，证，由勾股定理求出，，再由直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解： ， 设，则， ， ， ，，， ，即， ， 连接，交于， 如图所示： 四边形是菱形， ， ， 同（1）得：，，， ； （3）解：过作的延长线于，过点作于， 如图③所示： ， 四边形和四边形都是正方形，，，，，， 同（1）得：，， ， 在和中，， ， ， 是的中点， ， ， 在中，由勾股定理得：， 是的中点， 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、菱形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角角形斜边上的中线性质、勾股定理、三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 15 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点01 全等三角形中常见七种模型及其综合题综合训练 在广东数学中考中，全等三角形主要有以下考查方式： 1.直接证明三角形全等：给出两个三角形的边和角的信息，要求考生依据全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）来证明。 2.通过全等三角形证明线段相等或角相等：需要证明两条线段或两个角相等时，若它们所在的三角形能证明全等，就利用全等三角形的性质得出结论，有时需添加辅助线构造全等三角形。 3.与其他几何图形综合考查：常和四边形、圆等结合，通过证明三角形全等，再结合相关图形的性质来解题。 广东中考中全等三角形一般在解答题中出现，作为其中一个环节或者解答工具，很少单独考查。2025年预计仍会延续这种考查形式，可能会在几何综合题中，通过证明三角形全等进一步求解其他问题，分值大约在5 - 8分。 考向一：平行线+线段中点构造全等模型 已知：AB//CD，点E是BC的中点 【模型分析】口诀：有中点，有平行，轻轻延长就能行 如图①，延长DE交AB于点F，易证：△DCE≌△FBE（AAS）。 如图②，延长AE交CD延长线于点F，易证：△ABE≌△FCE（AAS） 1．（2024·山东济南·一模）如图，中，E是的中点，连结并延长交的延长线于点F．求证：． 2．（2025·广东梅州·一模）如图，中，点是的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)点是线段上一点，满足交于点． ①求证：； ②若，求的长． 考向二：角平分线+垂直构造全等模型 （1）过角平分线上的点作角两边的垂线，构造全等三角形 （2）角平分线上任意一点作角平分线的垂线，构造全等三角形. (即角平分线+垂线得等腰三角形) 1．（2023·广东惠州·二模）如图，，，于． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 2．（23-24八年级上·湖南常德·期末）如图1：在中，平分，且， (1)若，求的长； (2)如图2，若交于，交于，且为等腰三角形，求的长． 考向三：一线三等角构造全等模型 三步模型抽离法 “一线三等角”模型是指有三个等角的顶点在同一条直线上构成的全等三角形,这个角可以是直角,也可以是锐角或钝角,解题步骤如下: 第一步：依据特征找模型 特征1:是否存在两个三角形共顶点; 特征2:是否存在一条直线上有三个等角; 特征3:是否存在等线段 第二步：抽离模型 在题图中抽离出两个全等三角形 第三步：利用性质解题 利用全等三角形的性质解题 类型 图示 条件 结论 同侧一线三等 角 点P在线段AB上，∠1=∠2=∠3，且AP=BD (或AC=BP或CP=PD) △APC≌△BDP 异侧一线三等 扇 点P在线段AB的延长线上,∠1=∠2=∠3， 且AP=BD(或AC=BP或CP=PD) △APC≌△BDP 1．（24-25八年级上·山西忻州·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： （模型呈现） （1）如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到________， ________．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； （模型应用） （2）如图2，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点； （深入探究） （3）如图，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，则有________（填“、、”） 2.（24-25九年级上·重庆南岸·期末）在菱形中，，点是边上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，，求的度数； (2)如图2，，用的度数（含的代数式表示）； (3)如图3，，，点是边上一动点，连接，若，是延长线上一点，且，连接，请直接写出的最大值． 考向四：手拉手模型-旋转型全等 三步模型抽离法 第一步：依据特征找模型 特征1:是否存在两个等腰三角形; 特征2:是否存在两个等腰三角形的顶角相等，且共顶点 第二步：抽离模型 以两个等腰三角形的腰及对应顶点的连线围成的两个新三角形全等 第三步：利用性质解题 利用全等三角形的性质解题 常见基础模型如下： 图示 OC在△OAB内且拉手线无交点 OC在△OAB外且拉手线无交点 OC在△OAB外且拉手线有交点 条件 在等腰ΔOAB中,OA=OB,在等腰△OCD中,OC=OD,∠AOB=∠COD=a,将ΔOCD 绕点0旋转一定角度后,连接AC,BD(称为“拉手线”左手拉左手,右手拉右手),若拉手线有交点,记相交于点,连接 OE 结论 1.△AOC≌△BOD,AC=BD(即拉手线相等); 2.EO平分∠AED: 3.∠AEB=∠AOB=a 1．（24-25九年级上·重庆江津·期末）如图，等腰直角与等腰直角按图1位置放置，已知， ． (1)填空：　　　，　　　； (2)现将图1中等腰直角绕点A按顺时针方向旋转，当旋转到点C、D、E在一条直线上时，如图2所示，求的长度； (3)当图1中等腰直角绕点A顺时针方向旋转到满足时，如图3所示，猜想：与的数量关系，并证明你的猜想． 2.（24-25九年级上·重庆开州·阶段练习）如图1，是等腰直角三角形，其中，点D是边上一点，以为边向外作正方形，连接，将正方形绕点C顺时针旋转，如图2所示． (1)旋转过程中线段与之间存在怎样的关系，请说明理由． (2)当且时，求的面积． 考向五：全等三角形之倍长中线模型 1）倍长中线模型（中线型） 条件：AD为△ABC的中线。 结论： 证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。 ∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS） 2）倍长类中线模型（中点型） 条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。 证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。 ∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS） 1．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）（1）阅读理解 如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点使，连接，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是 　　．这种方法叫做倍长中线法． （2）问题解决： 如图2，，，此时成立吗？请说明你的理由． （3）问题拓展： 如图3，已知：，，，，为的中线，反向延长交于点，求证：． 2．（2023八年级上·全国·专题练习）综合与实践 小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点为的中点，求的取值范围．小明的做法是：如图2，延长到，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决．    请回答： （1）小明证明用到的判定定理是：　　； ．  ．  ．  ． （2）的取值范围是 　　． 小明总结：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造． 参考小明思考问题的方法，解决问题： （3）如图3，在正方形（各角都为直角）中，为边的中点，、分别为边上的点，若，，，求的长． 考向六：全等三角形之截长补短模型 条件：AD为△ABC的角平分线，∠B=2∠C。 结论：AB＋BD＝AC。 证明：法1（截长法）:在线段AC上截取线段AB′＝AB，连接DB。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠B′AD，∵AD=AD，∴△ABD≌△AB′D（SAS） ∴∠B=∠AB′D，BD=B′D，∵∠B=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠B′DC=∠C， ∴B′C＝B′D，∴BD=B′C，∵AB′＋B′C＝AC，∴AB＋BD＝AC。 法2（补短法）:延长AB至点C′使得AC′＝AC，连接BC′。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠C′AD=∠CAD，∵AD=AD，∴△C′AD≌△CAD（SAS） ∴∠C′=∠C，∵∠B=2∠C，∴∠B=2∠C′，∴∠BDC′=∠C′，∴BC′＝BD， ∵AB＋BC′＝AC′，∴AB＋BD＝AC。 1．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，为等腰直角三角形，，直线经过点A且绕点A在所在平面内转动，作，为垂足． (1)如图①，求证：； (2)在图②和图③中，（1）的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，直接写出三条线段的数量关系． 2．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）【问题情境】神奇的半角模型 在几何图形中，共顶点处的两个角，其中较小的角是较大的角的一半时，我们称之为半角模型．截长补短法是解决这类问题常用的方法． 如图1，在正方形中，以A为顶点的，与分别交于E、F两点，为了探究之间的数量关系，小明的思路如下： 如图2，延长到点H，使，连接，先证明，再证明．从而得到之间的数量关系． (1)提出问题：之间的数量关系为________________． (2)知识应用：如图3，，，以A为顶点的，，与分别交于E、F两点，你认为（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． (3)知识拓展：如图4，在四边形中，，，．与互补，与分别交于E、F两点，且，请直接写出的周长________________．（用含a、b、c的式子表示．） 考向七：全等三角形之半角模型 过等腰三角形顶点 两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。 常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。 解题技巧： 在图1中，△AEB由△AND旋转所得，可得△AEM≌△AMN， ∴BM+DN=MN[来源:学科网ZXXK] ∠AMB=∠AMN AB=AH △CMN的周长等于正方形周长的一半 在图2中将△ABC旋转至△BEF，易得△BED≌△BCD同理得到边角之间的关系； 总之：半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论. 例1．（2024·甘肃兰州·模拟预测）综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，M，N分别在边上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，连接．用等式写出线段的数量关系，并说明理由； (2)【类比探究】小启改变点的位置后，进一步探究：如图2，点M，N分别在正方形的边的延长线上，，连接，用等式写出线段的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】李老师提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点N，M分别在边上，，用等式写出线段的数量关系，并说明理由． 例2．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图1，四边形是正方形，分别在边和上，且（此时），我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段之间的关系，将绕点A顺时针旋转后解决了这个问题． (1)①请直接写出线段之间的关系___________． ②若正方形边长为12，点E为中点，则________． (2)如图3，等腰直角三角形，点E、F在边上，且，请写出之间的关系，并说明理由． (3)如图4，在中，，点在边上，且，当时，则的长为_________． 1．（24-25九年级上·四川广安·阶段练习）如图，是的中线，于点C，，且，则的长为 ． 2．（24-25九年级上·河南许昌·期中）如图，和为等腰直角三角形，将绕点顺时针旋转，连接，，点为直线，的交点．若，，则 ，在旋转过程中，的最大值为 ． 3．（23-24八年级上·山东临沂·期中）【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 4．（24-25九年级上·重庆江津·期末）如图，等腰直角与等腰直角按图1位置放置，已知， ． (1)填空：　　　，　　　； (2)现将图1中等腰直角绕点A按顺时针方向旋转，当旋转到点C、D、E在一条直线上时，如图2所示，求的长度； (3)当图1中等腰直角绕点A顺时针方向旋转到满足时，如图3所示，猜想：与的数量关系，并证明你的猜想． 5．（23-24九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在菱形中，，，为正三角形，点分别在菱形的边，上滑动，且点不与点重合，连结，与交于点． (1)的形状为 ； (2)求证：当点在边上滑动时，总有； (3)求四边形周长的最小值； (4)在不添加辅助下的情况下，图中始终与相似的三角形有 个，并直接写出与相似比为时线段的长． 6．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图①平分．点A 为 上一点，过点A作,  垂足为C，延 长交于点B，可证得，则，． 【问题提出】 （1）如图②，在中，平分，于点E，若，， 通过上述构造全等的办法，求∠的度数； 【问题探究】 （2）如图③，在中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系； 【问题解决】 （3）如图④是一块肥沃的土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地 进行水稻试验，他进行了如下操作： ①作的平分线； ②再过点A作交于点D． 已知 米，米，面积为平方米，求划出的的面积． 7．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． （1）如图1，是的中线，且，延长至点，使，连接． ①根据所作辅助线可以证得，其中判定全等的依据为：______； ②若，则的取值范围是______； 【方法运用】 运用上面的方法解决下面的问题： （2）如图2，是的中线，点在的延长线上，，求证：平分； 【问题拓展】 （3）如图3，是四边形的对角线，，点是边的中点，点在上，，若，求的长． 8．（23-24八年级下·云南红河·期末）【方法感悟】在解决几何问题中，我们会接触很多典型的基本图形，例如“一线三等角．形全等”，我们把它称之为“三垂直模型”，掌握好该模型及其变形，有助于我们解决一些复杂的几何数学题． 今天，我们就来认识它：（1）如图①，中，，，直线经过点直线直线，垂足分别为，那么我们可以得到结论．请你用所学习过的数学知识证明该结论， 【方法迁移】（2）如图②，中，，，点在同一条直线上，，，．求菱形的面积． 【问题拓展】（3）如图③，分别以的直角边向外作正方形和正方形，连接是的高，延长交于点，若，，求的长度． 15 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$