热点11 尺规作图（9大题型+高分技法+限时提升练）-2025年中考数学【热点•重点•难点】专练（广东专用）

热点11 尺规作图 广东中考数学中《尺规作图》部分主要考向分为三类： 一、尺规作图的痕迹（每年1道，6~8分） 二、尺规作图画图（每年1道，3~12分） 三、网格问题中的作图设计（10年8考，3~8分） 在广东数学中考中，尺规作图主要以选择题、填空题或作图题的形式出现。常考查角平分线和线段垂直平分线的尺规作图。要求学生按要求进行尺规作图，如作一个角的平分线、作一条线段的垂直平分线等；也可能给出尺规作图的痕迹，让学生判断结论、计算相关线段长度或角度大小；还可能将尺规作图与证明、分析等数学思维活动相结合，如结合全等、相似等知识点进行考查，要求学生通过作图痕迹反推步骤，以考查学生对尺规作图基本方法和原理的掌握程度及灵活运用能力。 考向一：尺规作图痕迹 【题型01 线段中垂线的尺规作图痕迹】 1、线段垂直平分线的画图痕迹： 2、线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 1．（2024·广东·模拟预测）如图，在已知的中，按以下步骤作图： ①分别以B、C为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于两点M、N； ②作直线交于点D，连接；若，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、等边对等角 【分析】先根据等腰三角形的性质可得，再根据线段垂直平分线的判定与性质可得，然后根据等腰三角形的性质可得，最后根据三角形的内角和定理即可得． 【详解】解：， ， ， 由作图可知，垂直平分， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的判定与性质，三角形的内角和定理的应用等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键． 2．（2024·广东惠州·二模）如图，在菱形中，按如下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于 长为半径作弧，两弧交于点 ， ； ②作直线， 与交于点 ， 连接， 若 ， 直线恰好经过点 ，则的长为 (   ) A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、菱形的性质、勾股定理．由作图可知，直线为线段的垂直平分线，则，，结合菱形的性质，利用勾股定理计算即可． 【详解】解：四边形为菱形， ，． 由作图可知，直线为线段的垂直平分线， ，， 在中，由勾股定理得，， ∵， ， ． 在中，由勾股定理得，． 故选：C． 3．（2024·广东深圳·三模）如图，在已知中，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，；②作直线交于点，交于点，连接．若，，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、等边对等角 【分析】由等腰三角的性质和三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质求出，即可求出答案．本题主要考查了基本作图，线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，综合运用这些知识是解决问题的关键． 【详解】解：，， ， 由作图的步骤可知，直线是线段的垂直平分线， ， ， ． 故选：C． 【题型02 角平分线的尺规作图痕迹】 1、角平分线的画法： 2、角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等 1．（2025·广东清远·一模）如题图，在平行四边形中，，，以点D为圆心，任意长为半径画弧，交于点P，交于点Q，分别以P、Q为圆心，大于为半径画弧交于点M，连接并延长，交于点E，连接，则（    ） A．平分 B． C． D． 【答案】A 【知识点】作角平分线(尺规作图)、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查作图-基本作图，角平分线的性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：由作图可知平分，故选项A正确， 则， 在平行四边形中，，， ∴，，故B不正确， 则， ∴， ∴，则， 故无法判断选项C，D是否正确． 故选：A． 2．（2023·广东深圳·三模）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，交于点，若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】作角平分线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】连接，由作图知，平分，得到，根据平行四边形的性质得到，，求得，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：连接， 由作图知，平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了作图﹣基本作图，平行四边形的性质，勾股定理，菱形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 3．（2024·广东梅州·一模）如图，在中，以点A为圆心AB长为半径作弧交于点F，分别以点B、F为圆心，大于的长度为半径作弧，交于点G，连接并延长交于点E，，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】作角平分线(尺规作图)、根据等角对等边证明边相等、用勾股定理解三角形、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】如图：连接，根据尺规作图可得，平分，证明是菱形可得，再运用勾股定理可得，进而可求出的长． 【详解】解：如图所示：连接，交于点O， 由题中作图可知：，平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ， ∴， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质与判定、尺规作图、勾股定理等知识点，掌握垂直平分线的尺规作图成为解题的关键． 4．（2025·广东·模拟预测）如图，在中，，．以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点D，交的延长线于点E；分别以D，E为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F；作射线．则的度数为 ． 【答案】/65度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、作角平分线(尺规作图) 【分析】此题考查了三角形外角的性质、角平分线的作图、角平分线的定义，根据三角形外角的性质求出的度数，再由平分即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 由题意知：平分， ∴， 故答案为：． 考向二：尺规作图画图 【题型03 作一条线段的垂直平分线】 线段垂直平分线的画图步骤： 1.分别以线段两端点为圆心，相同适当长（大于线段的一半）为半径画圆弧，上下各得两个弧的一个交点； 2.过两个弧的交点作一条直线，则该直线即为所求作的线段中垂线。 1．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，已知等腰中 ，，D是上中点． (1)实践与操作：作的垂直平分线分别交、于 点E、F （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)连接，若， 求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】作垂线(尺规作图)、等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题主要考查了是在等腰三角形为几何背景下的尺规作图，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，需要清晰线段垂直平分线的作法，理解等腰三角形的性质，本题旨在引导教师在教学中注重培养学生分析问题和解决问题的能力，从而培养学生的核心素养，形成良好的学习习惯和数学思维品质． （1）根据垂直平分线的基本作图方法进行作图即可； （2）根据等腰三角形性质得出，，，根据垂直平分线性质得出，，根据直角三角形的性质得出，根据等腰三角形性质得出，根据三角形内角和定理得出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：∵，D是上中点， ∴，， ， ∵垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（2024·广东清远·模拟预测）如图，在 中，， (1)在上作一点，使 (要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)； (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查尺规作图作线段垂直平分线、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定及性质、勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定及性质、勾股定理是解答本题的关键． （1）作线段的垂直平分线，交于点，连接，则点即为所求． （2）利用直角三角形的性质结合，可证，进而可得．再利用勾股定理求出的长，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，作线段的垂直平分线，交于点，连接， 则， 则点即为所求． （2）∵， ∴， ∵，则， ∴， ∴， ∴． 在中，由勾股定理得，， ∴． 3．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，在中，． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点D，交于点O； (2)在直线上截取，使，连接，，．证明：四边形是菱形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、证明四边形是菱形 【分析】（1）根据线段垂直平分线的尺规作图法作图即可． （2）先证四边形是平行四边形，再根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”即可得证． 本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图法，线段垂直平分线的性质及菱形的判定．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）如图，直线即为线段的垂直平分线． （2） ∵直线为线段的垂直平分线， ，， ，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 【题型04 作一个角的角平分线】 一个角的角平分线的画图步骤： 1、以角的顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交角的两边于一点； 2、分别以两个交点为圆心，相同适当长（大于两交点长的一半）为半径画圆弧，相交于一点； 3、连结角的顶点与两弧交点并延长，则该射线即为所求作的角平分线。 1．（2025·广东深圳·一模）如图，在中，． (1)按如下步骤用直尺（不带刻度）和圆规作图．（要求：保留作图痕迹，不写作法．） ①在上取一点，使；②作的平分线交于点；③连接． (2)若，，求出（1）中所作的四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】作角平分线(尺规作图)、证明四边形是菱形、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）①以A为圆心，以长为半径画弧，交于点，则； ②根据角的平分线的基本作图，解答即可； ③用直尺连接． （2）先证明四边形是菱形，再过D作交于G，结合已知，利用菱形的面积公式计算即可． 本题考查了常见的基本作图，菱形的判定和性质，熟练掌握基本作图，菱形的判定是解题的关键． 【详解】（1）解：所求图形，如图所示． （2）解：∵根据作图，平分，则， 又，, ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 过D作交于G， 又，， ∴， ， ∴菱形的面积为． 2．（2025·广东·模拟预测）如图，是的一个外角，，． (1)尺规作图：作的平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，求证：四边形是菱形 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】作角平分线(尺规作图)、证明四边形是菱形 【分析】本题主要考查了作图—基本作图，角平分线的定义，平行线的判定，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和菱形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用基本作图作的平分线即可； （2）根据题意得到，进而得到，，得证四边形是平行四边形，即可证明结论． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）证明：， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形． 3．（23-24九年级下·广东汕头·阶段练习）如图，中，，． (1)尺规作图：作的角平分线；（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，直接写出的面积为： ． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查了尺规作图—作角平分线、角平分线的性质定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据角平分线的作法即可完成作图； （2）作于，由角平分线的性质定理得出，再由三角形面积公式计算即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，角平分线即为所作， ； （2）解：如图，作于， ， ∵平分，， ∴， ∴． 4．（2024·广东广州·二模）如图，在中，． (1)尺规作图：在上找一点，使点到和的距离相等． (2)为上一点，经过点的分别交，于点，．求证：是的切线； (3)若，，求的长． 【答案】(1)作图见解析； (2)证明见解析； (3)． 【知识点】作角平分线(尺规作图)、证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（）根据题意，作平分线即可； （）先判断出，得出，即可得出结论； （）连接，由，得，，然后证明，得，求出，，最后通过勾股定理即可求解． 【详解】（1）如图，根据题意，作平分线即可， 以为圆心，任意长度为半径画弧，交于点； 分别以为圆心画弧交于点； 连接交于点， ∴即为所求； （2）如图，连接，则， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在半径， ∴是的切线； （3）如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了尺规作图，切线的判定，圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，并灵活运用是解题的关键． 【题型05 尺规作图-作角】 利用尺规作图，作一角等于已知角。 1．（2024·广东中山·模拟预测）已知：线段a和，求作：，使，且，． 【答案】见详解 【知识点】尺规作图——作三角形、作角平分线(尺规作图)、作线段(尺规作图)、尺规作一个角等于已知角 【分析】本题主要考查作图，涉及作已知角的角平分线、坐一个角等于已知角和作垂线，首先作的角平分线，其次，以已知线段的一个端点为点作，再次过点B作已知角的另一边的垂线，垂足为C，此时即为所求． 【详解】解：如图， 2．（2024·广东佛山·三模）如图，已知三角形，点E是上一点． (1)尺规作图：在上找到一点F，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，若，且平分，求的度数． 【答案】(1)作图见解析过程 (2) 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、尺规作一个角等于已知角、同位角相等两直线平行 【分析】本题主要考查了作图-基本作图，熟练掌握平行线的性质，角平分线的定义以及相等角的尺规作图是解答本题的关键． （1）如图所示，作交于，根据同位角相等，两直线平行，即可说明平行，则点即为所求； （2）根据平行线的性质得到，再由角平分线的定义即可得到答案． 【详解】（1）解：如图1所示，作，交于，点即为所求； （2）如图2，连接， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 3．（2024·广东佛山·三模）如图，在中，点E在上，连接． (1)尺规作图：过点B作的平行线，交于点F（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）中，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】尺规作一个角等于已知角、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查尺柜作图-作一个角等于已知角和平行四边形的性质， （1）以B点为顶点，以为边，作一个角与相等即可； （2）证明四边形是平行四边形即可． 【详解】（1）如下图所示， （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 4．（2024·广东佛山·一模）如图，在中，是边上的一点． (1)请用尺规作图，在内部求作，使交于点（不要求写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)9 【知识点】尺规作一个角等于已知角、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查作图-复杂作图，相似三角形的判定和性质等知识． （1）根据要求作出图形； （2）利用相似三角形的性质求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型06 过圆外一点作圆的切线】 1.分别以线段两端点为圆心，相同适当长（大于线段的一半）为半径画圆弧，上下各得两个弧的一个交点； 2.过两个弧的交点作一条直线，则该直线即为所求作的线段中垂线。 1．（2024·广东东莞·一模）如图，点为外一点． (1)过点作两条切线、(尺规作图，保留痕迹，不写作法)； (2)证明：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】切线的性质定理、过圆外一点作圆的切线(尺规作图)、全等的性质和HL综合（HL）、作垂线(尺规作图) 【分析】（1）连接，作的垂直平分线，以的中点为圆心，长为半径作圆，交于点，作直线，则即为所求； （2）根据切线的性质，证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】（1）解：如图，、为所求， 理由：为直径， ，， ，是的切线； （2）证明：连接、， 、为两条切线， ，， 在与中， ， ， ， 平分． 【点睛】本题考查了作垂线，作圆的切线，直径所对的圆周角是直角，切线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握切线的性质与判定是解题的关键． 2．（2024·广东广州·一模）如图，为经过圆心的一条线段，且与交于点． (1)过在的上方作的切线，切点为，过作，垂足为，与交于点． 请尺规作图，不用写作图的详细步骤． (2)求证：平分； (3)若，，求的半径． 【答案】(1)作图见解析； (2)证明见解析； (3)． 【知识点】切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合、已知正切值求边长、过圆外一点作圆的切线(尺规作图) 【分析】（）作线段的垂直平分线，交于点，以点为圆心，为半径画圆，交于点，作射线，由直径所对的圆周角是直角可得，即为的切线，再根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法可作出； （）证明可得，又由，得到，进而得到，即可求证； （）连接，证明，得到，由根据，得到，求出即可求解； 本题考查了过圆外一点作圆的切线，过直线外一点作已知直线的垂线，圆周角定理，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，切线的性质，相似三角形的判定和性质，三角函数，正确画出图形是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：如图， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分 （3）解：连接， ∵是直径， ∴， ∴， ∵是切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴的半径为． 考向三：网格作图 【题型07 网格中利用格点作图】 1、找中点：则找矩形对角线交点； 2、找三等分点：则转化为水平或竖直边的平行相似的相似比； 1．（2024·广东深圳·三模）如图，是的正方形网格，每个小正方形的顶点叫作格点．A、B、C、D四点是格点且在圆上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图中，画出经过A、B、C这三点的圆的圆心O； (2)在图中，过点C作的切线． (3)在图中，每个小正方形边长等于1，求阴影部分的面积 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】切线的性质和判定的综合应用、相似三角形的判定与性质综合、勾股定理与网格问题、无刻度直尺作图 【分析】本题考查作图应用与设计作图，切线的判定和性质，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． （1）连接，与的垂直平分线的交点O即为圆心； （2）取格点P、Q、T，连接，取的中点D，连接，则直线即为所作的切线（可证明，得，从而）； （3）先利用勾股定理求出直径，则可得圆的半径；根据即可求解． 【详解】（1）解：如图，点O即为所求； （2）解：如图，直线CD即为所求． （3）解：∵由勾股定理得 ， ∴的面积． ， ． 2．（2024·广东佛山·一模）综合探究 学习几何时，通常是先用几何的眼光去观察，再用代数的方法去验证．网格是研究几何图形的一种工具，也是培养几何直观的一种方式． (1)如图是正方形网格，每一个小正方形的边长为1，其顶点称为格点． ①如图1，点均在格点上，仅用无刻度的直尺找出线段的中点（不写画法，保留画图痕迹）； ②如图2，点均在格点上，求； (2)如图3，仅用无刻度的直尺找出的内心的位置，并说明点的位置是如何找到的； (3)如图4，在和中，点在边上，且，连接．若，求的长． 【答案】(1)①见详解② (2)见详解 (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、无刻度直尺作图、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）①根据格点，构造全等三角形，即可求解，②根据格点，构造全等三角形，，由，即可求解， （2）由图可知，，根据等腰三角形三线合一的性质，找到的中点，是的角平分线，以为临边，找到菱形，根据菱形的性质，得到是的角平分线，，的交点，即为所求， （3）过点作的垂线，过点作的垂线，交于点，设，在中，应用勾股定理，得到，进而求出、的长，在中，求出的长，由，得到，即可求解， 本题考查了无刻度直尺作图，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键是：作辅助线构造全等三角形． 【详解】（1）解：①如图： ②连接、， 由图可知，， ∴，、、共线，， ∴， 故答案为：， （2）解：无刻度的直尺作图如下： 点向右个单位，找到点， 点向右个单位，找到点， 点向右个单位，找到点， 连接，，交于点， 点即的内心． （3）解：过点作的垂线，过点作的垂线，交于点，连接， ∵，，， 设，则， 在中，， ∵， ∴，解得：， ∴，则，,， ∵，， ∴， ∵， ∴，， 在中，， ∵，， ∴，即：， ∵，， ∴， ∴． 【题型08 网格中无刻度直尺作图】 利用几何图形的有关性质，无刻度作图。 1．（2024·广东深圳·三模）如图，是的正方形网格，每个小正方形的顶点叫作格点．A、B、C、D四点是格点且在圆上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图中，画出经过A、B、C这三点的圆的圆心O； (2)在图中，过点C作的切线． (3)在图中，每个小正方形边长等于1，求阴影部分的面积 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】切线的性质和判定的综合应用、相似三角形的判定与性质综合、勾股定理与网格问题、无刻度直尺作图 【分析】本题考查作图应用与设计作图，切线的判定和性质，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． （1）连接，与的垂直平分线的交点O即为圆心； （2）取格点P、Q、T，连接，取的中点D，连接，则直线即为所作的切线（可证明，得，从而）； （3）先利用勾股定理求出直径，则可得圆的半径；根据即可求解． 【详解】（1）解：如图，点O即为所求； （2）解：如图，直线CD即为所求． （3）解：∵由勾股定理得 ， ∴的面积． ， ． 2．（2024·广东佛山·一模）综合探究 学习几何时，通常是先用几何的眼光去观察，再用代数的方法去验证．网格是研究几何图形的一种工具，也是培养几何直观的一种方式． (1)如图是正方形网格，每一个小正方形的边长为1，其顶点称为格点． ①如图1，点均在格点上，仅用无刻度的直尺找出线段的中点（不写画法，保留画图痕迹）； ②如图2，点均在格点上，求； (2)如图3，仅用无刻度的直尺找出的内心的位置，并说明点的位置是如何找到的； (3)如图4，在和中，点在边上，且，连接．若，求的长． 【答案】(1)①见详解② (2)见详解 (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、无刻度直尺作图、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）①根据格点，构造全等三角形，即可求解，②根据格点，构造全等三角形，，由，即可求解， （2）由图可知，，根据等腰三角形三线合一的性质，找到的中点，是的角平分线，以为临边，找到菱形，根据菱形的性质，得到是的角平分线，，的交点，即为所求， （3）过点作的垂线，过点作的垂线，交于点，设，在中，应用勾股定理，得到，进而求出、的长，在中，求出的长，由，得到，即可求解， 本题考查了无刻度直尺作图，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键是：作辅助线构造全等三角形． 【详解】（1）解：①如图： ②连接、， 由图可知，， ∴，、、共线，， ∴， 故答案为：， （2）解：无刻度的直尺作图如下： 点向右个单位，找到点， 点向右个单位，找到点， 点向右个单位，找到点， 连接，，交于点， 点即的内心． （3）解：过点作的垂线，过点作的垂线，交于点，连接， ∵，，， 设，则， 在中，， ∵， ∴，解得：， ∴，则，,， ∵，， ∴， ∵， ∴，， 在中，， ∵，， ∴，即：， ∵，， ∴， ∴． 考向四：几何图形中无刻度作图 【题型09 几何图形中无刻度作图】 利用几何图形的有关性质，无刻度作图。 1．（2023·广东肇庆·一模）如图，在中，E是的中点，仅用一把无刻度的直尺画出的中点F，保留作图痕迹，并证明．    【答案】见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质证明 【分析】连接、交于点O，连接并延长交于一点，该点即为F，证明，得出，根据，得出，得出F是的中点． 【详解】解：如下图：点F即为所求；   证明：∵四边形平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴F是的中点． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定，证明． 2．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，已知，点C在射线上，点D，E在射线上，其中，四边形是平行四边形． (1)请只用无刻度的直尺画出菱形，并说明理由． (2)作出（1）中菱形后，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【知识点】利用菱形的性质求线段长、证明四边形是菱形、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查作图—复杂作图、平行四边形的性质、菱形的判定与性质： （1）连接，相交于点G，连接并延长，交的延长线于点N，连接，则四边形即为所求；结合平行四边形的性质以及全等三角形的判定证明，可得，结合可得四边形是平行四边形，再由等腰三角形的性质可得，即四边形CODN是菱形． （2）由菱形的性质可得，．在中，，则． 【详解】（1）解：如图，连接，相交于点G，连接并延长，交的延长线于点N，连接，则四边形是菱形，即菱形为所求． 理由：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， 即， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴． 在中，，， ∴， ∴． 3．（2024·广东汕头·一模）如图，在菱形中，点E是的中点． (1)请仅用无刻度的直尺作图，作出边的中点F；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接，点G是的中点，连接，若的面积为3，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)． 【知识点】根据三角形中线求面积、利用菱形的性质证明 【分析】本题考查菱形的性质，三角形中线的性质． （1）作菱形对角线的交点，连接交延长交边于点F，点F即为所作； （2）根据三角形中线的性质求得，再根据菱形的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，点F即为所作； （2）解：∵点G是的中点，的面积为3， ∴， ∵点F是的中点， ∴． 一、单选题 1．（2024·广东梅州·一模）已知，下列尺规作图的方法中，能确定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】角平分线的有关计算、作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查作图−基本作图，解题的关键是掌握垂直平分线，角平分线，垂线的尺规作图方法．观察各选项作图痕迹，根据垂直平分线，角平分线，垂线性质逐项判断即可． 【详解】解：A、选项作图痕迹可知，D为中点，不能确定，故本选项不符合题意； B、选项作图痕迹可知，D在的垂直平分线上，能确定，不能确定，故本选项不符合题意； C、选项作图痕迹可知，是边上的高，不能确定，故本选项不符合题意； D、选项作图痕迹可知，D在的平分线上，故本选项符合题意； 故选：D． 2．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，在中， ．尺规作图的步骤为：①以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点D，交的延长线于点E；② 分别以D，E 为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F；③ 作射线．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、作角平分线(尺规作图) 【分析】此题考查了三角形外角的性质、角平分线的作图、角平分线的定义，根据三角形外角的性质求出，再由平分即可得到答案. 【详解】解：∵ ． ∴ 由题意可知，平分， ∴ 故选：B 3．（2024·广东深圳·三模）如图，在中，，以点C为圆心，长为半径作弧，交于点D，再分别以B，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E．若，则的长为（　　） A． B． C．4 D． 【答案】D 【知识点】作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了作图-复杂作图、勾股定理，解决本题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质．根据作图过程可得，根据勾股定理可得，再根据等面积法即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴， 由作图知， ， ∴， ∴， 故选：D． 4．（2024·广东深圳·二模）如图，用尺规过圆外一点P作已知圆O的切线，下列作法无法得到为切线的是（　　） A．  作中垂线交于点D，再以D为圆心，为半径，作圆D交圆O于点A，连接 B．  以O为圆心，为半径作圆弧交延长线于D，再以D为圆心，为半径作弧，两弧交于点A，连接 C．  先用尺规过点D作垂线，再以O为圆心，为半径画弧交垂线于B，再以P为圆心，为半径画弧交圆O于点A，连接 D．  以P为圆心，为半径画弧，再以O为圆心，为半径画弧，两弧交于点D，连接交圆O于点A，连接 【答案】D 【知识点】全等三角形的性质、等边三角形的判定和性质、圆周角定理、过圆外一点作圆的切线(尺规作图) 【分析】利用圆周角性质定理，中位线性质定理，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质进行分析，从而判断出结果． 【详解】解：A、连接，   为直径， ，可得到为切线． B、过点O作，垂足为E，为以为圆的直径，   ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为半径，可得到为切线． C、先用尺规过点作垂线，再以为圆心，为半径画弧交垂线于，再以为圆心，为半径画弧交圆于点，连接， ， ，可得到为切线．    D、以为圆心，为半径画弧，再以为圆心，为半径画弧，两弧交于点，是等边三角形，连接交圆于点，连接，如果为切线，则，必须为中点，    故选：D． 【点睛】本题主要考查的是圆的切线的作法，包含了圆周角的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线性质定理，相似三角形的判定与性质，熟悉性质是本题的关键． 二、填空题 5．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点D，E；②分别以D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点F，若，则的长为 ． 【答案】/ 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、含30度角的直角三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】作于点，根据作图轨迹可知射线为的角平分线，可得，再求出的度数，根据解直角三角形求出的长，从而可得的长，根据即可解题． 【详解】解：由作图轨迹可知：射线为的角平分线， 如图，作于点， ， 射线为的角平分线，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了作角平分线，角平分线性质，含角的直角三角形，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． 6．（2024·广东江门·一模）如图，在菱形中，，，取大于的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点E（作图痕迹如图所示），连接，则的长度为 ．    【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】根据作图依据可知：直线是线段的垂直平分线，得到，由四边形是菱形，，，推出，，利用勾股定理求出，即可求出． 【详解】解：如图，设所作直线交边于点F，    由作图依据可知：直线是线段的垂直平分线， ， 四边形是菱形，，， ， ，， 在中，， ， （负值舍去）， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的作法及性质，勾股定理及含30度角的直角三角形的性质，熟知以上知识点是解题的关键． 7．（23-24九年级下·广东韶关·阶段练习）如图，在中，，，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，适当的长为半径作弧，分别交，于，两点；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点．则 ． 【答案】/23度 【知识点】作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质． 利用基本作图得到平分，所以，然后利用互余计算出，从而得到的度数． 【详解】解：由作法得平分， ， ，， ， ． 故答案为：． 8．（2025·广东揭阳·一模）如图所示为一直角三角形，，，，用圆规以A点为圆心画圆弧s，分别交于点D，E，然后再分别以D，E为圆心，以大于长度的一半画圆弧，两圆弧交于点F，连接交于点G，最后以点G为圆心，以的长度为半径画圆交圆弧s于点M，N，连接分别交于点P，Q，连接，则四边形的周长为 ． 【答案】16 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、根据菱形的性质与判定求面积 【分析】通过题干的尺规作图得出是的角平分线，直线是的垂直平分线，再通过证明，则，所以四边形是菱形，结合三角形外角性质，则，即可作答． 【详解】解：∵，，， ∴， 如图： ∵用圆规以A点为圆心画圆弧s，分别交于点D，E，然后再分别以D，E为圆心，以大于长度的一半画圆弧，两圆弧交于点F，连接交于点G， ∴是的角平分线， ∴， ∵以点G为圆心，以的长度为半径画圆交圆弧s于点M，N，连接分别交于点P，Q，连接， ∴直线是的垂直平分线， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即 ∴四边形是菱形， 则中，， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 即菱形的周长是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了尺规作图，角平分线的性质以及垂直平分线的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 三、解答题 9．（2024·广东·模拟预测）如图，在中，． (1)实践与操作：作的平分线（不写作法，保留作图痕迹）； (2)应用与计算：记的平分线交于点D，E是上一点，且．若，，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、特殊三角形的三角函数 【分析】（1）根据作法利用尺规作图即可． （2）由（1）得为的平分线，利用角平分线的性质可得，再利用三角函数得到，再根据三角形全等的判断及性质即可求解． 【详解】（1）如图所示，即为所求． （2）解：∵， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∵，， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了尺规作图（角平分线），角平分线的定义，锐角三角函数，全等三角形的判定与性质． 10．（2024·广东·模拟预测）如图，在中，，且． (1)作的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接，延长，交直线于点F；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图中，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了垂直平分线的作图，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，证明是等腰三角形是解题的关键． （1）作图：分别以为圆心，大于为半径作圆弧相交于两点，过两点作直线，交于点D，交于点，即可求解； （2）根据和（1）的结论，证明是等腰三角形，且，即可证明． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）如（1）中所作的图 ，且 是的垂直平分线 ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， 又， ． 11．（2024·广东广州·模拟预测）如图，是的直径，点C、D在圆上，，平分，与相交于点E． (1)在的延长线上找一点F，使，连接（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：是的切线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】作线段(尺规作图)、根据平行线判定与性质证明、圆周角定理、证明某直线是圆的切线 【分析】（1）根据基本作图的基本要求作图解答即可． （2）连接．根据直径，得到，进而得出，再由圆周角定理，得到，， 从而推出，得到，即可证明是的切线． 本题考查了基本作图，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，切线的判定定理，熟练掌握作图，切线的判定定理是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，作图如下： 则点、为所求． （2）证明：连接． 是的直径， ， 平分， ， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ． ，， ， ， ， ． 又为半径， 是切线． 12．（2024·广东清远·模拟预测）如图，在菱形中，，． (1)实践操作：用尺规作图法过点B作边上的高；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与证明：在（1）的条件下，在线段上截取线段，使，连接，求证四边形是矩形，并求出它的周长． 【答案】(1)图见解析 (2)图与证明见解析，周长为 【知识点】作线段(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、证明四边形是矩形、利用菱形的性质证明 【分析】（1）根据垂线作法直接作垂线即可； （2）截取线段，连接，根据菱形的性质结合可证得四边形是平行四边形，再结合（1）作法可得，从而证得平行四边形是矩形，再根据锐角三角函数和菱形的性质即可求得矩形的长与宽，从而求得四边形的周长． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求作的高． （2）证明：如图所示，截取线段，连接． ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 由（1）作法知：， ∴， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． ∵四边形是菱形，， ∴． 在中， ∵，， ∴， ， ∴， ∴矩形的周长为：． 【点睛】本题考查了作垂线，作线段等于已知线段，矩形的性质与判定，菱形的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． 13．（2025·山西·一模）如图，点是边上一点（不与重合），连接． (1)尺规作图：以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接（要求在图中作出图形，标明字母）； (2)在（1）的基础上，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)平行，见解析 【知识点】作线段(尺规作图)、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】（1）尺规作图：以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接（要求在图中作出图形，标明字母）； （2）根据平行四边形的判定和性质证明即可． 本题考查了基本作图，平行四边形的判定和性质，熟练掌握作图和平行四边形的判定是解题的关键 【详解】（1）如图： （2）解：． 理由：根据作法知，， 四边形是平行四边形， ，即． 又， 四边形是平行四边形， ； 14．（2023·河南洛阳·二模）如图，在中，，以中点为圆心，长为半径作，交于点，交于点． (1)①请用无刻度的直尺和圆规过点作的切线，连接并延长交于点；（要求：不写作法，保留作图痕迹） ②证明：． (2)若，求的长． 【答案】(1)①图见解析；②证明见解析 (2) 【知识点】作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）①根据过直线上点作已知直线的垂线的方法作图即可； ②连接，由直径所对圆周角为直角得到，根据等腰三角形的性质得到，由切线的性质得到，，由此即可求解； （2）连接，可得，，由为中点，为中点，得到，可证∽，得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：①所作图形如图所示， ②证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， ∴，即． （2）解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为中点， ∵为中点， ∴， ∴， ∵， ∴∽， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握尺规作垂线的方法，圆的切线的性质，直径所对圆周角为直角，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的运用等知识，数形结合分析是解题的关键． 15．（24-25九年级上·河南南阳·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写画法： (1)如图①，连结、交于点，直接写出：的值为_____； (2)如图②，在上找一点，使； (3)如图③，在上找一点，使的面积为，并写出证明． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、格点作图题 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积，作图—应用与设计作图． （1）依题意得，，，则，然后根据相似三角形的性质可得出答案； （2）用无刻度的直尺连接格点，设交于点F，点F即为所求； （3）用无刻度的直尺连接格点，设交于点M，连接，则的面积为，依题意得，，，，，则，根据相似三角形的性质可得出，，进而可得出的面积为． 【详解】（1）解：依题意得：，，， ∴， ∴， 故答案为：2； （2）解：用无刻度的直尺连接格点，设交于点F，点F即为所求；如下图1所示： 理由如下： 连接，如图2所示： 依题意得：是直角三角形，，，，，， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：用无刻度的直尺连接格点，设交于点M，连接，则的面积为，如图3所示： 证明如下：依题意得：，，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为：． 16．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如下图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点均为格点，请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果） (1)在图1中，将绕点O旋转得到，请画出和点O； (2)在图1中，在边上找点P，使得； (3)在图2中，经过A，B，C三个格点，作的角平分线； (4)在图2中，在（3）的条件下，上一点N不在网格线上，作弦弦． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 (4)图见解析 【知识点】利用垂径定理求解其他问题、同弧或等弧所对的圆周角相等、 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案、格点作图题 【分析】（1）根据中心对称图形的性质，得到，得到四边形为平行四边形，在下方确定点使四边形为平行四边形，连接，与的交点即为点； （2）取点关于的对称点，连接，交于点，点即为所求； （3）取的中点，过点作，交于点，连接，即为所求； （4）连接，交于点，取格点，连接交于点，连接并延长，交于点，连接即可． 【详解】（1）解：如图所示，和点O，即为所求； 由作图可知，四边形为平行四边形， ∴可看作绕点O旋转得到； （2）如图所示，点即为所求； 由作图可知：； （3）如图所示，即为所求； 由作图和垂径定理可知：， ∴； （4）如图所示，点即为所求； 由作图可知：， ∴， ∴， ∴， ∴点与点关于对称， 由圆的对称性可知：． 【点睛】本题考查中心对称，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂径定理，圆周角定理等知识点，综合性强，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点11 尺规作图 广东中考数学中《尺规作图》部分主要考向分为三类： 一、尺规作图的痕迹（每年1道，6~8分） 二、尺规作图画图（每年1道，3~12分） 三、网格问题中的作图设计（10年8考，3~8分） 在广东数学中考中，尺规作图主要以选择题、填空题或作图题的形式出现。常考查角平分线和线段垂直平分线的尺规作图。要求学生按要求进行尺规作图，如作一个角的平分线、作一条线段的垂直平分线等；也可能给出尺规作图的痕迹，让学生判断结论、计算相关线段长度或角度大小；还可能将尺规作图与证明、分析等数学思维活动相结合，如结合全等、相似等知识点进行考查，要求学生通过作图痕迹反推步骤，以考查学生对尺规作图基本方法和原理的掌握程度及灵活运用能力。 考向一：尺规作图痕迹 【题型01 线段中垂线的尺规作图痕迹】 1、线段垂直平分线的画图痕迹： 2、线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 1．（2024·广东·模拟预测）如图，在已知的中，按以下步骤作图： ①分别以B、C为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于两点M、N； ②作直线交于点D，连接；若，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 2．（2024·广东惠州·二模）如图，在菱形中，按如下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于 长为半径作弧，两弧交于点 ， ； ②作直线， 与交于点 ， 连接， 若 ， 直线恰好经过点 ，则的长为 (   ) A． B． C． D． 3．（2024·广东深圳·三模）如图，在已知中，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，；②作直线交于点，交于点，连接．若，，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 【题型02 角平分线的尺规作图痕迹】 1、角平分线的画法： 2、角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等 1．（2025·广东清远·一模）如题图，在平行四边形中，，，以点D为圆心，任意长为半径画弧，交于点P，交于点Q，分别以P、Q为圆心，大于为半径画弧交于点M，连接并延长，交于点E，连接，则（    ） A．平分 B． C． D． 2．（2023·广东深圳·三模）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，交于点，若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 3．（2024·广东梅州·一模）如图，在中，以点A为圆心AB长为半径作弧交于点F，分别以点B、F为圆心，大于的长度为半径作弧，交于点G，连接并延长交于点E，，，则的长为 ． 4．（2025·广东·模拟预测）如图，在中，，．以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点D，交的延长线于点E；分别以D，E为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F；作射线．则的度数为 ． 考向二：尺规作图画图 【题型03 作一条线段的垂直平分线】 线段垂直平分线的画图步骤： 1.分别以线段两端点为圆心，相同适当长（大于线段的一半）为半径画圆弧，上下各得两个弧的一个交点； 2.过两个弧的交点作一条直线，则该直线即为所求作的线段中垂线。 1．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，已知等腰中 ，，D是上中点． (1)实践与操作：作的垂直平分线分别交、于 点E、F （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)连接，若， 求的度数． 2．（2024·广东清远·模拟预测）如图，在 中，， (1)在上作一点，使 (要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)； (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 3．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，在中，． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点D，交于点O； (2)在直线上截取，使，连接，，．证明：四边形是菱形． 【题型04 作一个角的角平分线】 一个角的角平分线的画图步骤： 1、以角的顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交角的两边于一点； 2、分别以两个交点为圆心，相同适当长（大于两交点长的一半）为半径画圆弧，相交于一点； 3、连结角的顶点与两弧交点并延长，则该射线即为所求作的角平分线。 1．（2025·广东深圳·一模）如图，在中，． (1)按如下步骤用直尺（不带刻度）和圆规作图．（要求：保留作图痕迹，不写作法．） ①在上取一点，使；②作的平分线交于点；③连接． (2)若，，求出（1）中所作的四边形的面积． 2．（2025·广东·模拟预测）如图，是的一个外角，，． (1)尺规作图：作的平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，求证：四边形是菱形 3．（23-24九年级下·广东汕头·阶段练习）如图，中，，． (1)尺规作图：作的角平分线；（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，直接写出的面积为： ． 4．（2024·广东广州·二模）如图，在中，． (1)尺规作图：在上找一点，使点到和的距离相等． (2)为上一点，经过点的分别交，于点，．求证：是的切线； (3)若，，求的长． 【题型05 尺规作图-作角】 利用尺规作图，作一角等于已知角。 1．（2024·广东中山·模拟预测）已知：线段a和，求作：，使，且，． 2．（2024·广东佛山·三模）如图，已知三角形，点E是上一点． (1)尺规作图：在上找到一点F，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，若，且平分，求的度数． 3．（2024·广东佛山·三模）如图，在中，点E在上，连接． (1)尺规作图：过点B作的平行线，交于点F（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）中，求证：． 4．（2024·广东佛山·一模）如图，在中，是边上的一点． (1)请用尺规作图，在内部求作，使交于点（不要求写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【题型06 过圆外一点作圆的切线】 1.分别以线段两端点为圆心，相同适当长（大于线段的一半）为半径画圆弧，上下各得两个弧的一个交点； 2.过两个弧的交点作一条直线，则该直线即为所求作的线段中垂线。 1．（2024·广东东莞·一模）如图，点为外一点． (1)过点作两条切线、(尺规作图，保留痕迹，不写作法)； (2)证明：平分． 2．（2024·广东广州·一模）如图，为经过圆心的一条线段，且与交于点． (1)过在的上方作的切线，切点为，过作，垂足为，与交于点． 请尺规作图，不用写作图的详细步骤． (2)求证：平分； (3)若，，求的半径． 考向三：网格作图 【题型07 网格中利用格点作图】 1、找中点：则找矩形对角线交点； 2、找三等分点：则转化为水平或竖直边的平行相似的相似比； 1．（2024·广东深圳·三模）如图，是的正方形网格，每个小正方形的顶点叫作格点．A、B、C、D四点是格点且在圆上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图中，画出经过A、B、C这三点的圆的圆心O； (2)在图中，过点C作的切线． (3)在图中，每个小正方形边长等于1，求阴影部分的面积 2．（2024·广东佛山·一模）综合探究 学习几何时，通常是先用几何的眼光去观察，再用代数的方法去验证．网格是研究几何图形的一种工具，也是培养几何直观的一种方式． (1)如图是正方形网格，每一个小正方形的边长为1，其顶点称为格点． ①如图1，点均在格点上，仅用无刻度的直尺找出线段的中点（不写画法，保留画图痕迹）； ②如图2，点均在格点上，求； (2)如图3，仅用无刻度的直尺找出的内心的位置，并说明点的位置是如何找到的； (3)如图4，在和中，点在边上，且，连接．若，求的长． 【题型08 网格中无刻度直尺作图】 利用几何图形的有关性质，无刻度作图。 1．（2024·广东深圳·三模）如图，是的正方形网格，每个小正方形的顶点叫作格点．A、B、C、D四点是格点且在圆上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图中，画出经过A、B、C这三点的圆的圆心O； (2)在图中，过点C作的切线． (3)在图中，每个小正方形边长等于1，求阴影部分的面积 2．（2024·广东佛山·一模）综合探究 学习几何时，通常是先用几何的眼光去观察，再用代数的方法去验证．网格是研究几何图形的一种工具，也是培养几何直观的一种方式． (1)如图是正方形网格，每一个小正方形的边长为1，其顶点称为格点． ①如图1，点均在格点上，仅用无刻度的直尺找出线段的中点（不写画法，保留画图痕迹）； ②如图2，点均在格点上，求； (2)如图3，仅用无刻度的直尺找出的内心的位置，并说明点的位置是如何找到的； (3)如图4，在和中，点在边上，且，连接．若，求的长． 考向四：几何图形中无刻度作图 【题型09 几何图形中无刻度作图】 利用几何图形的有关性质，无刻度作图。 1．（2023·广东肇庆·一模）如图，在中，E是的中点，仅用一把无刻度的直尺画出的中点F，保留作图痕迹，并证明．      证明：∵四边形平行四边形， ∴，，， 2．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，已知，点C在射线上，点D，E在射线上，其中，四边形是平行四边形． (1)请只用无刻度的直尺画出菱形，并说明理由． (2)作出（1）中菱形后，若，，求的长． 3．（2024·广东汕头·一模）如图，在菱形中，点E是的中点． (1)请仅用无刻度的直尺作图，作出边的中点F；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接，点G是的中点，连接，若的面积为3，求菱形的面积． 一、单选题 1．（2024·广东梅州·一模）已知，下列尺规作图的方法中，能确定的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，在中， ．尺规作图的步骤为：①以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点D，交的延长线于点E；② 分别以D，E 为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F；③ 作射线．则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·广东深圳·三模）如图，在中，，以点C为圆心，长为半径作弧，交于点D，再分别以B，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E．若，则的长为（　　） A． B． C．4 D． 4．（2024·广东深圳·二模）如图，用尺规过圆外一点P作已知圆O的切线，下列作法无法得到为切线的是（　　） A．  作中垂线交于点D，再以D为圆心，为半径，作圆D交圆O于点A，连接 B．  以O为圆心，为半径作圆弧交延长线于D，再以D为圆心，为半径作弧，两弧交于点A，连接 C．  先用尺规过点D作垂线，再以O为圆心，为半径画弧交垂线于B，再以P为圆心，为半径画弧交圆O于点A，连接 D．  以P为圆心，为半径画弧，再以O为圆心，为半径画弧，两弧交于点D，连接交圆O于点A，连接 二、填空题 5．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点D，E；②分别以D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点F，若，则的长为 ． 6．（2024·广东江门·一模）如图，在菱形中，，，取大于的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点E（作图痕迹如图所示），连接，则的长度为 ．    7．（23-24九年级下·广东韶关·阶段练习）如图，在中，，，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，适当的长为半径作弧，分别交，于，两点；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点．则 ． 8．（2025·广东揭阳·一模）如图所示为一直角三角形，，，，用圆规以A点为圆心画圆弧s，分别交于点D，E，然后再分别以D，E为圆心，以大于长度的一半画圆弧，两圆弧交于点F，连接交于点G，最后以点G为圆心，以的长度为半径画圆交圆弧s于点M，N，连接分别交于点P，Q，连接，则四边形的周长为 ． 三、解答题 9．（2024·广东·模拟预测）如图，在中，． (1)实践与操作：作的平分线（不写作法，保留作图痕迹）； (2)应用与计算：记的平分线交于点D，E是上一点，且．若，，求的面积． 10．（2024·广东·模拟预测）如图，在中，，且． (1)作的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接，延长，交直线于点F；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图中，求证：． 11．（2024·广东广州·模拟预测）如图，是的直径，点C、D在圆上，，平分，与相交于点E． (1)在的延长线上找一点F，使，连接（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：是的切线． 12．（2024·广东清远·模拟预测）如图，在菱形中，，． (1)实践操作：用尺规作图法过点B作边上的高；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与证明：在（1）的条件下，在线段上截取线段，使，连接，求证四边形是矩形，并求出它的周长． 13．（2025·山西·一模）如图，点是边上一点（不与重合），连接． (1)尺规作图：以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接（要求在图中作出图形，标明字母）； (2)在（1）的基础上，判断与的位置关系，并说明理由． 14．（2023·河南洛阳·二模）如图，在中，，以中点为圆心，长为半径作，交于点，交于点． (1)①请用无刻度的直尺和圆规过点作的切线，连接并延长交于点；（要求：不写作法，保留作图痕迹） ②证明：． (2)若，求的长． 15．（24-25九年级上·河南南阳·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写画法： (1)如图①，连结、交于点，直接写出：的值为_____； (2)如图②，在上找一点，使； (3)如图③，在上找一点，使的面积为，并写出证明． 16．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如下图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点均为格点，请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果） (1)在图1中，将绕点O旋转得到，请画出和点O； (2)在图1中，在边上找点P，使得； (3)在图2中，经过A，B，C三个格点，作的角平分线； (4)在图2中，在（3）的条件下，上一点N不在网格线上，作弦弦． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$