6.3平面向量线性运算的应用教学设计课件-2024-2025学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册

题 目：6.3 平面向量线性运算的应用 ---向量在几何中的应用 教 材：人教B版高中教科书数学必修二 展示分享 复习知识 环节1 请介绍你们小组平面向量知识结构图的特点，并说一说你觉得哪部分知识比较难？ 基础练习 梳理步骤 环节2 A B C E F 问题：题中涉及的几何元素如何用向量表示？ 1.你能总结一下向量方法解决几何问题的基本步骤吗？ 基础练习 梳理步骤 环节2 抽象概括 问题：你们如何想这个问题？在解决问题的过程中，采用了什么知识和方法？蕴含了什么数学思想？ 深入研究 提升能力 环节3 A B C E F O 深入研究 提升能力 环节3 A B C E F O 问题1：题中涉及的几何元素如何用向量表示？ 深入研究 提升能力 环节3 问题2：如何设参数，怎样找等量关系？ A B C E F O 深入研究 提升能力 环节3 问题3：向量运算有几种形式？ A B C E F O 深入研究 提升能力 环节3 x y A B C E F O 深入研究 提升能力 环节3 x y A B C E O F 讨论交流、归纳总结 环节4 1.为什么要用平面向量来解决几何问题？ 2.平面向量可以解决哪些几何问题？ 3.运用平面向量来解决几何问题常用的方法是什么？ 讨论交流、理性思维 环节4 平面 向量 应用 平面几何 位置关系 度量关系 垂直 平行 长度 共线 角度 理性思考 反思升华 环节5 在本节课的学习过程中，你在方法和能力方面有哪些收获和提升？ 反思感悟 向量有了方向才能定位，人有了方向才能找到成功的路；人生有了方向才会成功；愿每一位同学找准人生方向，都能成功抵达成功的彼岸！ $$2023年北京市中小学优秀教学设计征集 教学基本信息 单元（或主题）名称 平面向量线性运算的应用 学科 数学 学段 高中 年级 高一 其他相关 领域或学科 物理 主要教材 书名：普通高中教科书数学必修二出版社：人民教育出版社 出版日期：2020年 8 月 教学设计参与人员 姓名 单位 联系方式 设计者 实施者 指导者 课件制作者 其他参与者 单元（或主题）指导思想与理论依据 著名教育学家布鲁纳说过：“知识的获得是一个主动过程。学习者不应该是信息的被动接受者，而应是知识获取的主动参与者。”《普通高中数学课程标准》（2017年版）指出：“教师要把教学活动的重心放在促进学生学会学习上，积极探索有利于促进学生学习的多样化教学方式，不仅限于讲授与练习，也包括引导学生阅读自学、独立思考、动手实践、自主探索、合作交流等，教师要善于根据不同的内容和学习任务采用不同的教学方式，优化教学，抓住关键的教学与学习环节，增强实效” ． 本单元研究平面向量线性运算的应用，用向量方法解决几何问题物理问题、实际问题中，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面问题转化为向量问题，体现了转化与化归、数形结合、函数与方程、分类与整合等思想；发展学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模等数学学科素养.教学中努力体现学生的主体地位，充分给学生思考、分析的时间与空间，通过自主探索、合作交流，来展示学生解决问题的思维过程。 单元（或主题）教学背景分析 一、教学内容分析及课时分配 1.1内容：课标中，平面向量的内容是必修“主题三 几何与代数”的第一单元，课标指出：“几何与代数”是高中数学课程的主线之一.在必修课程与选择性必修课程中，应突出几何直观与代数运算之间的融合.即通过形与数的结合，感悟数学知识之间的关联，加强对数学整体性的理解.本单元是平面向量线性运算的应用，主要包括两个内容.一个内容是向量在几何中的应用，总结用向量解决几何问题的一般步骤，建立向量与平面几何的联系，并渗透转化的思想.另一个内容是向量在物理学中的应用，主要是力向量的应用，由于向量来源于物理，并且具有“形”与“数”两重特点，所以在物理中有广泛的应用. 知识的上下位关系：在前面学习向量的加法法则及运算律、向量数乘的意义及运算律、向量数量积的意义和运算律、向量基本定理及一些几何图形的性质基础上，通过向量法解决平面几何、物理中的问题，感受向量在解决数学和实际问题中的作用；借助向量的运算探索三角形边长与角度的关系，把初中的平面几何图形问题转化为向量法解决的数学问题；为后续知识的学习奠定基础，实现了向量的一维线性定理向二维平面定理到三维的空间定理的体系建构，在探索中体悟向量方法的优势和向量作为运算工具的力量无限. 1.2内容的本质：现代数学的研究中，向量及其运算是最基本的工具.向量集数与形于一身，它具有代数与几何性质，本单元在已学习过的向量加法法则及运算律、向量数乘的意义及其运算律、向量的数量积意义和运算律、向量基本定理作为运算的理论依据，证明平面几何问题，使之前较为困难的几何证明问题，通过向量方法很容易完成证明，实现了复杂问题简单化，证明过程中，首先，正确选择基底，用向量表达几何元素，利用图形中元素的基本关系列出向量的等式，使计算与图形融为一体，通过向量运算解决几何问题，这样，运算的过程实际上利用几何图形性质的过程，向量运算既是数的运算，也是“图形的运算”； 1.3蕴含的思想和方法：在教学中，利用平面向量基本定理或正交分解，将简单的平面几何问题、物理问题向量化、坐标化，进而通过向量运算发现或解决几何问题、求解物理问题，体会向量集代数与几何于一身的特点，体会数形结合思想； 能利用共线向量定理、平面向量基本定理将研究的向量用基底表示，从而将问题简化；在运用平面向量解决简单的平面几何问题、一些物理问题时，体会这些问题与向量问题的相互转化，并能在一些具体情境中，通过向量运算、几何意义和运算性质等将陌生问题转化为熟悉的向量问题加以解决，体会转化与化归的思想； 能在一般向量的运算过程中，能从代数与几何两个角度考虑向量的有关问题.用向量方法解决几何问题物理问题、实际问题中，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面问题转化为向量问题，体现了转化与化归、数形结合、函数与方程、分类与整合等思想；发展学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模等数学学科素养. 1.4内容的育人价值：在以核心知识为基础，以问题情境为依托，学生经历解决问题的全过程，体悟数学思想方法，发展学生利用向量法研究有关问题的思维方式，在具体问题情境中融入数形结合、化归与转化、分类与整合等数学思想方法，形成通性通法；平面向量应用中，借助问题情境，学生综合运用向量知识和运算方法解决实际问题中，逐步将平面向量的核心知识、思想方法和实际应用有机地结合，培养学生良好的思维品质，提升学生理性思维能力，发展学生数学运算、直观想象、逻辑推理、数学建模等数学核心素养. 1.5教学重点：会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际应用. 1.6课时分配 向量在几何中的应用 1课时 向量在物理中的应用 1课时 二、学生情况分析 2.1知识准备：学生在初中学过的平面几何及前面学过的向量知识基础上，能够用几何法分别证明直线平行、垂直、线段相等，求三角形、四边形的边长、内角、外角大小等，综合法证明两平面图形全等、相似等问题. 2.2思维准备、研究方法：学生已经习惯了用综合几何方法解决平面几何图形问题，遇到平面几何问题直接考虑定理、公理及辅助线，对向量及其运算的理解还不够到位，特别是对“向量集数与形于一身”的含义、“方向”的重要性及其数学表达的意义、用向量研究图形位置关系和数量关系的优势缺乏必要的思考，缺少向量法解决几何图形问题的活动经验；学生初次接触用向量的语言表示几何中的定性关系定量关系，对其中蕴含的数学思想需要在解决问题的过程中逐步领会. 基于以上分析，确定本单元的教学难点为：能用向量熟练解决平面几何问题及简单的实际问题 一、教学内容分析及课时分配 1.1内容：课标中，平面向量的内容是必修“主题三 几何与代数”的第一单元，课标指出：“几何与代数”是高中数学课程的主线之一.在必修课程与选择性必修课程中，应突出几何直观与代数运算之间的融合.即通过形与数的结合，感悟数学知识之间的关联，加强对数学整体性的理解.本单元是平面向量线性运算的应用，主要包括两个内容.一个内容是向量在几何中的应用，总结用向量解题的一般步骤，建立向量与平面几何的联系，并渗透转化的思想.另一个内容是向量在物理学中的应用，主要是力向量的应用，由于向量来源于物理，并且具有“形”与“数”两重特点，所以在物理中有广泛的应用. 知识的上下位关系：在前面学习向量的加法法则及运算律、向量数乘的意义及运算律、向量数量积的意义和运算律、向量基本定理及一些几何图形的性质基础上，通过向量法解决平面几何、物理中的问题，感受向量在解决数学和实际问题中的作用；借助向量的运算探索三角形边长与角度的关系，把初中的平面几何图形问题转化为向量法解决的数学问题；为后续知识的学习奠定基础，实现了向量的一维线性定理向二维平面定理到三维的空间定理的体系建构，在探索中体悟向量方法的优势和向量作为运算工具的力量无限. 1.2内容的本质：现代数学的研究中，向量及其运算是最基本的工具.向量集数与形于一身，它具有代数与几何性质，本单元在已学习过的向量加法法则及运算律、向量数乘的意义及其运算律、向量的数量积意义和运算律、向量基本定理作为运算的理论依据，证明平面几何问题，使之前较为困难的几何证明问题，通过向量方法很容易完成证明，实现了复杂问题简单化，证明过程中，首先，正确选择基底，用向量表达几何元素，利用图形中元素的基本关系列出向量的等式，使计算与图形融为一体，通过向量运算解决几何问题，这样，运算的过程实际上利用几何图形性质的过程，向量运算既是数的运算，也是“图形的运算”； 1.3蕴含的思想和方法：在教学中，利用平面向量基本定理或正交分解，将简单的平面几何问题、物理问题向量化、坐标化，进而通过向量运算发现或解决几何问题、求解物理问题，体会向量集代数与几何于一身的特点，体会数形结合思想； 能利用共线向量定理、平面向量基本定理将研究的向量用基底表示，从而将问题简化；在运用平面向量解决简单的平面几何问题、一些物理问题时，体会这些问题与向量问题的相互转化，并能在一些具体情境中，通过向量运算、几何意义和运算性质等将陌生问题转化为熟悉的向量问题加以解决，体会转化与化归的思想； 能在一般向量的运算过程中，能从代数与几何两个角度考虑向量的有关问题.用向量方法解决几何问题物理问题、实际问题中，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面问题转化为向量问题，体现了转化与化归、数形结合、函数与方程、分类与整合等思想；发展学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模等数学学科素养. 1.4内容的育人价值：在以核心知识为基础，以问题情境为依托，学生经历解决问题的全过程，体悟数学思想方法，发展学生利用向量法研究有关问题的思维方式，在具体问题情境中融入数形结合、化归与转化、分类与整合等数学思想方法，形成通性通法；平面向量应用中，借助问题情境，学生综合运用向量知识和运算方法解决实际问题中，逐步将平面向量的核心知识、思想方法和实际应用有机地结合，培养学生良好的思维品质，提升学生理性思维能力，发展学生数学运算、直观想象、逻辑推理、数学建模等数学核心素养. 1.5教学重点：会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际应用 1.6课时分配 向量在几何中的应用 1课时 向量在物理中的应用 1课时 二、学生情况分析 2.1知识准备：学生在初中学过的平面几何及前面学过的向量知识基础上，能够用几何法分别证明直线平行、垂直、线段相等，求三角形、四边形的边长、内角、外角大小等，综合法证明两平面图形全等、相似等问题. 2.2思维准备、研究方法：学生已经习惯了用综合几何方法解决平面几何图形问题，遇到平面几何问题直接考虑定理、公理及辅助线，对向量及其运算的理解还不够到位，特别是对“向量集数与形于一身”的含义、“方向”的重要性及其数学表达的意义、用向量研究图形位置关系和数量关系的优势缺乏必要的思考，缺少向量法解决几何图形问题的活动经验；学生初次接触用向量的语言表示几何中的定性关系定量关系，对其中蕴含的数学思想需要在解决问题的过程中逐步领会. 基于以上分析，确定本单元的教学难点为：能够利用平面向量熟练地解决平面几何问题及简单的实际问题. 单元（或主题）教学目标 三．单元教学目标 3.1单元目标：会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用； 3.2达成目标的标志： （1）学生会用向量方法解决简单的平面几何问题，力学问题以及其他实际问题，首先，会用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素，根据图形的基本特征，利用图形中元素的基本关系列出向量等式，再通过向量的运算来研究点、线段等元素之间的关系，最后把运算结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论，学生熟练运用向量法解决平面几何问题的“三步曲”，形成基本思路：几何问题向量化---向量运算关系化---向量关系几何化. （2）向量有丰富的物理背景，物理中具有矢量的问题可以转化为向量来解决，学生在向量向量运算基础上，把物理中的力学问题、运动问题转化为数学问题，抽象成数学模型，再有利用数学模型的解来解释相应的物理现象，通过代数运算获取向量的模及，将问题转化为一般代数方程问题，通过两个例题，使学生进一步理解“有了运算，向量的力量无限，如果没有运算，向量只是一个路标”，在解决问题的过程中，体会方程思想和模型思想. （3）单元学习目标与各学习目标层次性，通过这一单元的学习，学生从中感受向量的几何背景、物理背景和向量的工具作用，领会向量法和坐标法的实质.学生要在问题情境中经历由特殊到一般再到特殊的认识过程，由此认识和理解数学知识、感受数形结合、化归转化的思想方法，领悟研究新对象的根本方法和思路，从而学会学习，发展数学素养. 单元（或主题）教学过程设计 第一课时 向量在几何中的应用 环节一、展示分享、复习知识 学生展示平面向量知识结构图，介绍本组绘制的结构图的特点，为本节课的学习做铺垫. 环节二、基础练习、梳理步骤 用向量方法证明中位线定理，总结用向量解决几何问题的一般步骤. 环节三.深入研究，提升能力 师生共同分析、用基底法和坐标法解决几何问题.培养学生分析问题、解决问题的能力，体会化归转化的数学思想. 环节四. 讨论交流、归纳总结 通过学生的交流讨论，形成向量解决几何问题的思维路径（即解决步骤、解决方法）通过问题引发学生思考知识间的内在逻辑和联系. 环节五. 理性思考、反思升华 通过学生的反思，形成向量解决几何问题的思维路径（即解决步骤、解决方法）发展学生的理性思维. 环节六. 学以致用、作业提升 针对教学目标，设计不同层次要求和难度的作业，巩固方法，检测学生学习目标达成的情况，促进学生有效提升运算能力、逻辑推理能力及相应的数学核心素养. 第二课时 向量在中的应用 环节一、复习引入 回顾用平面向量解决平面几何问题的“三步曲”，为新授课做铺垫 环节二、探究归纳 由生活经验建立数学模型，归纳用向量方法解决物理问题的“三步曲”. 环节三、应用举例 通过向量在研究力的合成、分解、刻画位移等物理问题中等应用，使学生进一步了解向量丰富的实际背景. 环节四、课堂小结 梳理用向量研究物理问题的思维路径，培养学生归纳概括的能力，发展学生理性思维. 环节五、课后作业 针对教学目标，设计不同层次要求和难度的作业，巩固方法，检测学生学习目标达成的情况，促进学生有效提升运算能力、逻辑推理能力及相应的数学核心素养. 单元（或主题）的作业设计及学习效果评价设计 一、作业设计 第一课时作业： 1.1书面作业 基础题： 1，已知四边形ABCD的四个顶点坐标分别为A（5，1）B（3，5）C（7，3） D（9，1），则四边形ABCD的形状为 菱形 2.如图所示，已知平行四边形ABCD中，E，F在对角线BD上，并且BE＝FD，判断四边形AECF的形状并说明理由． 拓展题： 3. 在ΔABC中,点C分OA为1:3的两段，点D为OB的中点，AD与BC交于P点，延长OP交AB于点E.求证：AE=3EB 1.2阅读作业：阅读教材174-175页 1.3预习作业：预习下节课《平面向量在物理中的应用》 1.4通过今天的学习进一步完善本单元的思维导图。 第二课时作业： 1.1书面作业 1.一艘船以的速度出发向垂直于河对岸的方向行驶，而该船实际航行的方向与水流方向成角，则船的实际速度大小为_______，水流速度的大小为_______. 2.一物体在力F的作用下，由点A(20,15)移动到点B(7,0).已知F=(4,-5)，求F对该物体所做的功. 1.2查找资料：总结向量在物理中的应用 二、学习效果评价设计 评价目标：通过课堂观察、作业批改、课后访谈等方式进行正向评价，给予学生鼓励和赞赏，激发学生的学习兴趣，促进学生数学学习良性循环。 评价内容：课堂表现，课后作业正确率. 评价方式：课堂观察，作业批改，小测批改，访谈。 评价工具：作业正确答案，小测正确答案，课堂观察量表，访谈提纲等。 评价结果：课堂上是否认真听讲并积极思考回答问题，作业是否独立正确完成，课前小测是否独立正确完成。 教学质量分析：学生能够在课堂上积极参与，课后作业完成度高，课前小测测试结果良好标志着教学质量过关。学生在课堂上能够积极参与说明教学过程设计是否合理有效，课后作业完成度说明学生在课堂上的收获大小，课前小测测试结果说明经过复习学生掌握情况。 本单元（或主题）教学特色分析 以教材为依据、以课标为标准的基础上制定单元教学设计，依据学生的实际认知水平，以学生终身发展为目的确定教学目标及重难点。 本单元的逻辑线清晰，突出平面向量的线性运算在平面几何和物理两个方面的应用，构建用向量解决几何问题和物理问题的思维框架.突出学生在教学中的主体地位，通过问题串的形式引导学生分析问题解决问题.重视数学思想方法的渗透，发展学生的核心素养. 由于授课班级学生的数学思维较好，单元设计中重视对学生数学思维的培养，在例题的选取上创造性地使用教材中的例题和课后习题，课堂上的题目具有相似的几何背景，通过一题多解发散学生的数学思维，培养其分析问题、解决问题的能力. 第一课时《向量在几何中的应用》教学目标、教学重点和难点 教学目标 1. 经历对平面向量知识结构图的构建，让学生了解平面向量知识之间的内在联系. 2. 经历对具体问题的探索与分析，让学生掌握向量方法解决平面几何问题的基本程序. 3.经历在用向量方法解决几何问题的过程中，让学生体会利用基底法和坐标法解决几何问题的优越性；在数学活动中积累学习经验，感悟化归转化、数形结合等数学思想在分析数学问题中的应用，发展数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象的数学核心素养. 教学重点：向量法解决几何问题的路径. 教学难点：在用向量解决几何问题时寻找等量关系. 某一课时的教学过程 教学阶段 教师活动 学生活动 设计意图 环节一 展示分享、复习知识 教师点评知识结构图，梳理知识结构图中的数学思想方法和数学核心素养. 学生展示平面向量知识结构图，介绍本组绘制的结构图的特点 通过学生合作绘制平面向量知识结构图，让学生复习向量的相关知识并理清知识脉络，为本节课的学习奠定基础。从中体会数学思想、方法、能力的重要性，为学生终生学习打下坚实的基础. 环节二 基础练习、梳理步骤 ( A B C E F ) 【提问】 1.题中涉及的几何元素如何用向量表示？ 2.你能总结一下向量方法解决几何问题的基本步骤吗？ 学生思考、回答问题 通过本题梳理用向量方法解决几何问题的基本步骤. 环节三 深入研究，提升能力 【提问】 你们如何想这个问题？在解决问题的过程中，采用了什么知识和方法？蕴含了什么数学思想？ 【提问】 1. 题中涉及的几何元素如何用向量表示？ 2. 想解决问题，如何设参数，怎样找等量关系？ 思路1: 以B、F、C、三点共线为等量关系，建立等式. 思路2: 3.向量的运算有几种形式，能不能用坐标法解决？ 由于本题是填空题，做法可以灵活些，将ΔABC想象为特殊的等腰直角三角形，利用坐标法求解. 学生分享解题思路、过程 学生思考、回答问题 本题实质上是平面向量基本定理的应用，通过这道题目让学生回顾利用基底表示向量的一般步骤，感受基底化的思想。为后续研究搭好台阶. 培养学生分析问题解决问题的能力.经历对具体问题的探索分析，感悟基底法在解决几何问题时的便捷性。培养学生运算求解能力、发展数学运算的核心素养. 坐标法是利用向量研究平面几何和解析几何的重要方法，由一般到特殊的思想引出坐标法，拓展学生数学思维 环节四 讨论交流、归纳总结 1.为什么要用平面向量来解决几何问题？ 2. 平面向量可以解决哪些几何问题？ 3.运用平面向量来解决几何问题常用的方法是什么？ 学生分小组讨论 通过学生的交流讨论，形成向量解决几何问题的思维路径（即解决步骤、解决方法）通过问题引发学生思考知识间的内在逻辑和联系，发展学生的理性思维. 环节五. 理性思考、反思升华 在本节课的学习过程中，你在方法和能力方面有哪些收获和提升？ 学生思考、回答问题 通过学生的交流讨论，形成向量解决几何问题的思维路径 板书设计 向量在几何中的应用 1三步曲 转化 （1）几何问题 向量问题 （2）向量运算 还原 （3）向量结果 几何关系 2. 基底法思维框架 等量关系 方法（待定系数法） 核心（分解式唯一性）） 3. 坐标法 建系 坐标表示 等量关系（2个） 2 学科网（北京）股份有限公司 $$