6.3平面向量线性运算的应用课件-2023-2024学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册

6.3 平面向量线性运算的应用 整体概览 （1）本节将要研究哪类问题？ （2）本节要研究的对象在高中的地位是怎样的？ （1）本节主要研究平面向量线性运算的应用． （2）平面向量线性运算的应用，重点介绍了向量在平面几何中的应用和向量在物理中的应用这两个方面．总结用向量解决问题的一般思路及方法，体会向量的工具作用，进而建立起向量与几何之间的联系． 问题1　阅读课本，回答下列问题： 新知探究 在学习向量及其运算时，我们已经看到向量在三角形、平行四边形等平面几何中的应用．实际上，利用平面向量可以很好地描述有关全等、相似平行等关系，从而可以求解和证明平面几何问题． 新知探究 例1　如图所示，MN是△ABC的中位线，求证： MN∥BC且MN = 　　 ． A B C M N 证明： 因为M，N分别是AB，AC边上的中点， 所以　　　　　，　　　　　， 因此　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ， 从而可知MN∥BC且　　　　 ． 4 新知探究 例2　如图所示，已知平行四边形ABCD中，E，F在对角线BD上，并且BE＝FD．求证：四边形AECF是平行四边形 E F A B C D 证明： 由已知可设　　　　　 ，　　　　　 ， 则　　　　　　　　　 ，　　　　　　　　　 ， 又因为　　　　　，所以　　　　， 因此AE　FC，从而可知四边形AECF是平行四边形． 5 新知探究 例3　如图所示，已知△ABC中，E，F分别是AB，BC的中点，AF与CE相交于点O，求AO∶OF与CO∶OE的值． B A C F E O 解： 因为　　　　　　　　　　 ， 又因为E，F分别是AB，BC的中点， 所以　　　　　　　　　　　　　　　　　． 另外，　　　　　　，所以　　　　　　　　　 ． 设　　　　 ，　　　　，则有　　　　　　　　　　， 即　　　　　　　　　， 从而由共线向量基本定理可知s＝t＝2， 因此AO∶OF＝CO∶OE＝2∶1． 6 新知探究 我们在物理中已经学习过，利用向量可以描述物理学中的位移、力、速度、加速度等，因此，在涉及这些量的运算时，我们都可以借助向量来完成．例如，从物理学中我们知道，同一个力F可以分解成无数对大小、方向不同的分力．从数学上来说，这是因为对于同条对角线，可以有无数个平行四边形，如图所示． F 新知探究 又如，如果一个质点O处于平衡状态，而且受到多个力的作用，那就是说这些力的合力为零．特别地，如果两个力F1，F2的合力为零，则F1＋F2＝ ，也就是说，这两个力互为相反向量，如图所示； O F1 F2 （1） 如果三个力F1， F2，F3的合力为零，则F1＋F2＋F3 ＝ ，也就是说，其中任意两个力的合力是另外一个力的相反向量，如图（2）所示． O F1 F2 F1 + F2 F3 （2） 新知探究 例4　如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知物体所受的重力大小为50 N，求每条绳上的 拉力大小． 解： 因为物体处于平衡状态，所以F1＋F2是重力的相反向量， 因此|F1＋F2|＝50 N， F1 F2 45° 45° 又由图与向量加法的平行四边形法则可知， F1＋F2的方向是竖直向上的，且|F1＋F2|＝2|F1|sin 45°＝2|F2|sin 45°， 所以|F1|＝|F2|＝　　　 ＝　　 N，因此，每条绳上的拉力为　　 N． 9 新知探究 例5　如图所示，把一个物体放在倾角为30°的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力F1，垂直斜面向上的弹力F2，已知|G|＝10 N，求F1，F2的大小 解： 建立如图所示的平面直角坐标系， 则F1＝（－|F1|，0），F2＝（0，－|F2|）， 又由已知可得G＝（100 sin 30°，100 cos 30°）＝（50，　　）且G＋F1＋F2＝ ， 所以（50，　　）＋（－|F1|，0）＋（0，－|F2|）＝（0，0）， 从而可知，|F1|＝50 N，|F2|＝　　 N F1 F2 G 30° x y 10 归纳小结 问题2　在实际应用向量时，有什么方法？ （1）基底法：选取适当的基底，将题中涉及的向量用基底表示，然后进行计算． 方法可分为两类： （2）坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将问题中的长度、平行等问题转化为代数问题，然后进行计算． 目标检测 已知三个力f1＝（－2，－1），f2＝（－3，2），f3＝（4，－3）同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f4，则f4 （　　） 解析： 1 由物理知识知f1＋f2＋f3＋f4＝0，故f4＝－（f1＋f2＋f3）＝（1，2）． A．（－1，－2） B．（1，－2） C．（－1，2） D．（1，2