专题03 整式的乘法（考题猜想，压轴必刷7大题型）七年级数学下学期新教材沪科版

专题03 整式的乘法 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 目录 题型一 根据乘法公式变形求值 1 题型二 利用整式运算比较大小 5 题型三 多项式乘法中的规律性问题 8 题型四 平方差公式中几何图形的应用 12 题型五 完全平方公式中几何图形的应用 19 题型六 利用完全平方公式求最值 24 题型七 整式的运算中的新定义型问题 31 题型一 根据乘法公式变形求值 1．（24-25八年级上·海南儋州·期中）已知，； (1)求的值； (2)求的值． 2．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期中）用乘法公式计算． (1)已知，，求的值． (2)已知，求的值． 3．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例：若，求的值． 解：∵，， ∴，， ∴， ， 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若，，求的值； 类比应用： （2）若，，求的值． 4．（24-25八年级上·江西南昌·期中）问题情境： 我们已经学过完全平方公式，通过对进行适当的变形，如或，可以使某些问题得到解决． 例如：已知，，求的值． 解：． 独立思考： （1）已知，，求的值； （2）若，求的值； 解决问题： （3）如图，小唯家打算用长为的篱笆围一个长方形院子即长方形以，为边分别向外作正方形、正方形，并在两块正方形空地上种植不同品种的农作物，其种植面积和为，求长方形院子的面积． 题型二 利用整式运算比较大小 1．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）已知，，，试比较a，b，c的大小，用“>”将它们连接起来： ． 2．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），面积分别为、． （1）请比较与的大小： ． （2）若满足条件的整数n有且只有5个，则m的值为 ． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）根据等式和不等式的性质，我们可以得到比较两数大小的方法： (1)①如果，那么　　； ②如果，那么　　； ③如果，那么　　． (2)如（1）中这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”，请运用这种方法尝试解决下面的问题： ①若，比较，的大小； ②比较与的大小． 题型三 多项式乘法中的规律性问题 1．（24-25七年级上·上海松江·期中）我们知道：． 类似的有：①；②；…… (1)验证上述②式成立； (2)再写出一个类似的等式； (3)计算：（结果用含3的幂表示）． 2．（24-25八年级上·广东东莞·期中）（1）填空并观察下列各式的规律： ________； ； ； ； …… 可得到________． （2）猜想：________（其中为正整数，且）； （3）利用（2）猜想的结论计算：． 3．（24-25八年级上·吉林·期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图所示）就是一例．这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和．事实上，这个三角形给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应展开式中各项的系数等等．根据上面的规律，请你解答下列问题．      (1)计算：________． (2)若（m，n是常数），则______，______． (3)若（x，y是常数），则______，_____． (4)直接写出式子的值． 4．（24-25八年级上·山东威海·期中）对于较为复杂的问题，可以先从简单情况入手，通过观察和分析，发现规律，进而解决复杂问题． 【探究发现】 （1）______； （2）______； （3）______； …… 【猜想归纳】 （4）______； 【问题解决】利用上述规律解决下列问题： （5）计算：； （6）若，求的值． 题型四 平方差公式中几何图形的应用 1．（24-25七年级下·全国·期中）【探究】如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分按如图方式剪开，拼成图的长方形． 请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图： ，图： ，比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 ； 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （1）已知，，则的值为 ； （2）计算：； 【拓展】计算：的结果． 2．（24-25八年级上·山东东营·期中）如图1，从边长为的正方形纸片中剪掉一个边长为的正方形纸片，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ． (2)利用你从（1）中得出的等式，计算： ①已知，，求的值． ②计算： 3．（24-25七年级上·江西赣州·期中）数学中的许多规律不仅可以通过数的运算发现，也可以通过图形的面积发现 (1)如图①，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形．小明和小红分别用了两种不同的方法计算图中阴影部分的面积．小明的方法：若阴影部分看成大正方形与小正方形的面积差，则阴影部分的面积用代数式表示为____________________；小红的方法：若沿图①中的虚线将阴影部分剪开拼成新的长方形（图②），则阴影部分的面积用代数式表示为______________________________； (2)【发现规律】 猜想：这三个代数式之间的数量关系是______________________________； (3)【运用规律】 运用上述规律计算：． 4．（24-25八年级上·广西南宁·期中）【知识生成】 通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分的面积可表示为：，图2中阴影部分的面积可表示为：，因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式：． 【结论探究】 图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个大正方形． （1）如图4，用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于，，的等式是______． （2）若，，求的值． 【类比迁移】 （3）如图5，点是线段上的一点，以为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 题型五 完全平方公式中几何图形的应用 1．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）如图，是由四个长为m，宽为n的小长方形拼成的正方形． (1)图中的阴影正方形的边长可表示为 （用含m，n的代数式表示）； (2)根据图形中的数量关系，请你结合图形直接写出，，之间的一个等量关系 ． (3)若 ， ，求阴影正方形的面积． 2．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）完全平方公式：经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若 ， ， 求的值． 解；因为， ， 所以， ， 所以， 所以， 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，求． (2)如图，C是线段上的一点，分别以为边作正方形，设， 两正方形的面积之和， 求三角形的面积． (3) 3．（24-25八年级上·河南新乡·期中）如图1，一个长为，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2） (1)观察图2，请直接写出，ab 之间的等量关系； (2)根据（1）中的结论，若，求的值； (3)拓展应用：若的值． 4．（24-25八年级上·重庆·期中）把完全平方公式适当的变形，如：等，这些变形可解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为，，所以， 即，，所以． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题． (1)①若，，且，则________； ②我们知道，若，则________． (2)如图，C是线段上的一点，，以，为边向两边作正方形和正方形，两个正方形的面积分别为，，，设，，求图中阴影部分的面积． 题型六 利用完全平方公式求最值 1．（24-25九年级上·湖南湘潭·期中）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式的最小值． 解： ∵ ∴ ∴的最小值是4 (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值； 2．（24-25八年级上·四川乐山·期中）请阅读下列材料： 我们可以通过以下方法，求代数式的最小值． ， ∵，∴当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)，则________，________； (2)求证：无论x取何值，代数式的值都是负数； (3)若代数式的最小值为3，求k的值． 3．（22-23七年级下·江苏扬州·期中）阅读理解并解答： 为了求代数式的值，我们必须先知道x的值，若，则这个代数式的值为5；若，则这个代数式的值为10，……可见，这个代数式的值因x的取值不同而变化，尽管如此，我们还是有办法来考虑这个代数式的值的范围． （1）把一个多项式进行部分因式分解可以来解决代数式值的最大（或最小）值问题，例如：，因为是非负数，所以，这个代数式的最小值为______，这时相应的x的值是_______． 尝试探究并解答： （2）求代数式的最大（或最小）值，并写出相应x的值． （3）求代数式的最大（或最小）值，并写出相应x的值． （4）已知代数式，当x的值在（包含和4）之间变化时，直接写出代数式的值的变化范围． 4．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子： ①， ； ； 代数式有最小值； ②， ； ； 代数式有最大值4； 阅读上述材料并完成下列问题： (1)代数式的最小值为______；代数式的最大值为______； (2)求代数式的最小值； (3)如图，在四边形中，对角线、相交于点，且，若，求四边形面积的最大值． 题型七 整式的运算中的新定义型问题 1．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）已知，是实数，定义关于“Δ”的一种运算如下：Δ． (1)Δ= ，Δ=　　； (2)利用以上信息计算： ①若Δ，，则 ， ； ②若，求的值； (3)请判断等式是否成立？并说明理由． 2．（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）定义，如．已知（m为常数），． (1)若A的代数式中不含x的一次项，求m的值； (2)若A中的m满足，计算的结果． 3．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期中）阅读理解： 材料一：把形如的二次三项式配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用． 例如：我们可以将代数式进行变形，其过程如下： 该式有最小值1 材料二：我们定义：如果两个多项式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅常式”，这个常数称为关于的“雅常值”．如多项式，；，则是的“雅常式”，关于的“雅常值”为9． 根据材料，完成下面问题： (1)已知多项式，，判断C是否为D的“雅常式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“雅常值”； (2)已知多项式，（，为常数），M是N的“雅常式”，且当为实数时，N的最小值为，求M关于N的“雅常值”． 4．（23-24七年级下·四川成都·期中）对于任意有理数a、 b、c、d，定义一种新运算： ． (1)______； (2)对于有理数x、y，若 ，． ①求 的值： ②将长方形和长方形按照如图方式进行放置，其中点B、C、G 在同一条直线上，点E在边上，连接、．若 ，图中阴影部分的面积为45，求n的值． 5．（23-24八年级上·北京海淀·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如，把二次三项式进行配方． 解： 我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为．再如，（x，y是整数），所以M也是“完美数”． (1)解决问题： 请你再写一个小于16的“完美数”______；并判断40是否为“完美数”______； (2)若二次三项式（x是整数）是“完美数”，可配方成（m，n为常数），则的值为______； (3)探究问题： 已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，则符合条件的k值为______； 拓展结论：已知实数x，y满足，求的最小值． $$专题03 整式的乘法 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 目录 题型一 根据乘法公式变形求值 1 题型二 利用整式运算比较大小 5 题型三 多项式乘法中的规律性问题 8 题型四 平方差公式中几何图形的应用 12 题型五 完全平方公式中几何图形的应用 19 题型六 利用完全平方公式求最值 24 题型七 整式的运算中的新定义型问题 31 题型一 根据乘法公式变形求值 1．（24-25八年级上·海南儋州·期中）已知，； (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式的运用，代数式求值，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）利用完全平方公式得到，代入，求解即可； （2）利用完全平方公式得到，代入，求解即可． 【详解】（1）解：当，时                                                                        （2） 2．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期中）用乘法公式计算． (1)已知，，求的值． (2)已知，求的值． 【答案】(1)53 (2)14 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】（1）根据，，求和解答即可． （2）根据完全平方公式解答即可． 本题考查了完全平方公式的变形计算，求代数式的值，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 3．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例：若，求的值． 解：∵，， ∴，， ∴， ， 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若，，求的值； 类比应用： （2）若，，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式变形即可求解； （2）根据完全平方公式变形即可求解； 【详解】解：（1）∵，， ∴，， ∴， ∴． （2）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（24-25八年级上·江西南昌·期中）问题情境： 我们已经学过完全平方公式，通过对进行适当的变形，如或，可以使某些问题得到解决． 例如：已知，，求的值． 解：． 独立思考： （1）已知，，求的值； （2）若，求的值； 解决问题： （3）如图，小唯家打算用长为的篱笆围一个长方形院子即长方形以，为边分别向外作正方形、正方形，并在两块正方形空地上种植不同品种的农作物，其种植面积和为，求长方形院子的面积． 【答案】（1）18；（2）7；（3） 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，掌握相应的运算法则是关键． （1）利用完全平方公式进行变形求解即可； （2）①根据合并同类项法则进行计算即可； 由可得，再利用完全平方公式进行计算即可； （3）由题意得，，再利用完全平方公式进行变形计算即可求解． 【详解】解：（1），， ， 即， ； （2）由得，， ， ， ； （3）由题意得，，， ， 即， ， ， 答：长方形院子的面积． 题型二 利用整式运算比较大小 1．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）已知，，，试比较a，b，c的大小，用“>”将它们连接起来： ． 【答案】 【知识点】幂的乘方的逆用、幂的乘方运算 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，幂的乘方的逆运算，幂的乘方计算，先根据幂的乘方和幂的乘方的逆运算法则得到，，，据此可得答案． 【详解】解：，，， ∵， ∴， 故答案为：． 2．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），面积分别为、． （1）请比较与的大小： ． （2）若满足条件的整数n有且只有5个，则m的值为 ． 【答案】 8 【知识点】由不等式组解集的情况求参数、整式四则混合运算 【分析】（1）根据矩形的面积公式计算出和，再求出差即可比较出大小； （2）根据题意得出关于m的不等式，解之即可得到结论． 【详解】解：（1）， ， ， 为正整数， , 故答案为：； （2）由（1）得，， 有5个整数解， 这5个整数为4，5，6，7，8， 为正整数， ， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查整式的混合运算、一元一次不等式的应用，解题的关键是掌握多项式乘多项式运算法则，准确计算． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）根据等式和不等式的性质，我们可以得到比较两数大小的方法： (1)①如果，那么　　； ②如果，那么　　； ③如果，那么　　． (2)如（1）中这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”，请运用这种方法尝试解决下面的问题： ①若，比较，的大小； ②比较与的大小． 【答案】(1)①；②；③ (2)①；② 【知识点】不等式的性质、因式分解的应用 【分析】本题考查因式分解的应用、非负数的性质、不等式的性质，解答本题的关键是明确题意，求出题目中的不等关系． （1）①根据不等式的性质，可以求得、的大小关系； ②根据不等式的性质，可以求得、的大小关系； ③根据不等式的性质，可以求得、的大小关系； （2）①根据，移项并作差，然后即可得到和的关系； ②将两个多项式作差，然后与0比较大小，即可得到与的大小． 【详解】（1）解：①， ， ， 故答案为：； ②， ， ， 故答案为：； ③， ， ， 故答案为：； （2）解：①， ， ， ， ， ； ② ， ． 题型三 多项式乘法中的规律性问题 1．（24-25七年级上·上海松江·期中）我们知道：． 类似的有：①；②；…… (1)验证上述②式成立； (2)再写出一个类似的等式； (3)计算：（结果用含3的幂表示）． 【答案】(1)验证过程见解析部分 (2) (3) 【知识点】多项式乘法中的规律性问题、计算多项式乘多项式 【分析】本题考查了多项式乘多项式，读懂题意，找出规律是解答本题的关键． （1）按多项式乘多项式展开，即可得到结果； （2）对照示例写出； （3）参照示例，看作是当时，所得到的等式，即可得到结果． 【详解】（1）解： ， 成立． （2）解：； （3）解：∵， ． 2．（24-25八年级上·广东东莞·期中）（1）填空并观察下列各式的规律： ________； ； ； ； …… 可得到________． （2）猜想：________（其中为正整数，且）； （3）利用（2）猜想的结论计算：． 【答案】（1） （2） （3） 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的规律问题， 对于（1），根据题目中的规律可得结果； 对于（2），根据（1）中的例子可以写出相应的猜想； 对于（3），把（2）中式子中的代入求解． 【详解】解：（1）； ； 故答案为：，； （2），根据（1）中规律可得； 故答案为：； （3），设（2）中式子中的， 则有， 即， ∴． 3．（24-25八年级上·吉林·期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图所示）就是一例．这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和．事实上，这个三角形给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应展开式中各项的系数等等．根据上面的规律，请你解答下列问题．      (1)计算：________． (2)若（m，n是常数），则______，______． (3)若（x，y是常数），则______，_____． (4)直接写出式子的值． 【答案】(1)1 (2)4，6 (3)5，10 (4)32 【知识点】零指数幂、多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题考查了零指数幂、多项式乘法中的规律问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据零指数幂计算即可得解； （2）由图可得：，结合题意即可得解； （3）由图可得：的各项系数为，，，，，，则，结合题意即可得解； （4）由（3）可得：，将式子变形为，计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：由图可得：， ∵， ∴，； （3）解：由图可得：的各项系数为，，，，，， ∴， ∵， ∴，； （4）解：由（3）可得：， ∴ ． 4．（24-25八年级上·山东威海·期中）对于较为复杂的问题，可以先从简单情况入手，通过观察和分析，发现规律，进而解决复杂问题． 【探究发现】 （1）______； （2）______； （3）______； …… 【猜想归纳】 （4）______； 【问题解决】利用上述规律解决下列问题： （5）计算：； （6）若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题考查的是多项式的乘法运算中的规律探究，掌握探究的一般方法是解决此类问题的关键．（1）掌握探究规律的方法，可以通过具体到抽象、特殊到一般的方法，有时通过类比、联想，还要充分利用已知条件或图形特征进行透彻分析，从中找出隐含的规律；（2）恰当合理的联想、猜想，从简单的、局部的特殊情况到一般情况是基本思路，经过归纳、提炼、加工，寻找出一般性规律，从而求解问题． 〖探究发现〗（1）（2）（3）利用多项式乘以多项式法则及平方差公式化简即可得到结果； 〖猜想归纳〗（4）根据〖探究发现〗归纳出规律即可； 〖问题解决〗（5）利用归纳总结得到，即可求出所求式子的结果；（6）利用得出的结论可得，从而可得到结果． 【详解】解：〖探究发现〗：（1）； （2）； （3） 故答案为：（1）．（2）．（3）． 〖猜想归纳〗（4）． 故答案为：． 〖问题解决〗（5）原式． （6） ． ． 解得或（舍）． 的值是． 题型四 平方差公式中几何图形的应用 1．（24-25七年级下·全国·期中）【探究】如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分按如图方式剪开，拼成图的长方形． 请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图： ，图： ，比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 ； 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （1）已知，，则的值为 ； （2）计算：； 【拓展】计算：的结果． 【答案】[探究]，，；[应用]（）；（）；[拓展]． 【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是解题的关键． [探究]根据不同方法求面积即可； [应用]（）根据即可求解； （）根据即可求解； [拓展]根据即可求解． 【详解】[探究]解：题图中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的题图是长为，宽为的长方形，因此面积为，所以有， 故答案为：，，； [应用]解：（）∵，， ∴， 故答案为：； （）原式 ； [拓展]解：原式 ． 2．（24-25八年级上·山东东营·期中）如图1，从边长为的正方形纸片中剪掉一个边长为的正方形纸片，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ． (2)利用你从（1）中得出的等式，计算： ①已知，，求的值． ②计算： 【答案】(1) (2)①3；② 【知识点】平方差公式与几何图形、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的特征是解题的关键． （1）由图1，图2分别确定阴影部分面积，得． （2）①根据平方差公式求解； ②运用平方差公式写成两数和乘以两数差形式，求解即可． 【详解】（1）解：∵图1阴影部分的面积为：， 图2阴影部分的面积为：， ∴上述操作能验证的等式是． 故答案为：； （2）解：①∵，， ∴； ② ． 3．（24-25七年级上·江西赣州·期中）数学中的许多规律不仅可以通过数的运算发现，也可以通过图形的面积发现 (1)如图①，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形．小明和小红分别用了两种不同的方法计算图中阴影部分的面积．小明的方法：若阴影部分看成大正方形与小正方形的面积差，则阴影部分的面积用代数式表示为____________________；小红的方法：若沿图①中的虚线将阴影部分剪开拼成新的长方形（图②），则阴影部分的面积用代数式表示为______________________________； (2)【发现规律】 猜想：这三个代数式之间的数量关系是______________________________； (3)【运用规律】 运用上述规律计算：． 【答案】(1)； (2) (3)1275 【知识点】平方差公式与几何图形、列代数式 【分析】（1）大正方形面积为，小正方形的面积为，作差即可； 把长方形的长和宽分别用含有a、b的代数式表示出来，再按照长方形面积公式计算即可； （2）根据第（1）小题发现的规律写出等量关系即可； （3）每两个数为一组按照根据第（2）小题写出的规律进行变形，问题即可解决． 【详解】（1）解：小明的方法：大正方形面积为，小正方形的面积为， ∴阴影部分的面积为； 小红的方法：长方形的长为，宽为， ∴阴影部分的面积为． （2）解：这三个代数式之间的数量关系为： ； （3）解： ． 【点睛】本题是一道综合性题目，通过代数计算填表和面积法两种方式发现规律：平方差公式．然后再运用规律进行计算，提高了学生应用数学的能力，解题的关键是发现规律． 4．（24-25八年级上·广西南宁·期中）【知识生成】 通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分的面积可表示为：，图2中阴影部分的面积可表示为：，因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式：． 【结论探究】 图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个大正方形． （1）如图4，用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于，，的等式是______． （2）若，，求的值． 【类比迁移】 （3）如图5，点是线段上的一点，以为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）29；（3）17 【知识点】完全平方式在几何图形中的应用、平方差公式与几何图形、列代数式 【分析】（1）根据题意，阴影部分的面积大正方形的面积4个小长方形的面积，列出代数式即可；阴影部分的面积正方形的面积长方形的面积小长方形的面积，代入字母求出代数式即可； （2）根据（1）代入数据计算即可； （3）根据题意，延长交于点H，设正方形的边长为x，正方形的边长为，两个正方形的面积和是47，得出方程，根据 ，列出代数式，求出阴影部分面积即可． 本题考查了平方差公式、完全平方公式，代数式，解决本题的关键是熟练运用正方形的面积公式、三角形的面积公式、梯形的面积公式． 【详解】解：（1）阴影部分的面积： 阴影部分的面积： 故答案为： （2）若，， （3）如图：延长交于点H 设正方形的边长为x，正方形的边长为， 得， ， ， 即， ， 即 答：图中阴影部分的面积是17． 题型五 完全平方公式中几何图形的应用 1．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）如图，是由四个长为m，宽为n的小长方形拼成的正方形． (1)图中的阴影正方形的边长可表示为 （用含m，n的代数式表示）； (2)根据图形中的数量关系，请你结合图形直接写出，，之间的一个等量关系 ． (3)若 ， ，求阴影正方形的面积． 【答案】(1) (2) (3)37 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、列代数式 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提． （1）根据拼图可得答案； （2）根据图形中各个部分面积之间的和差关系得出答案； （3）根据，整体代入计算即可． 【详解】（1）解：由拼图可知， 图中的阴影正方形的边长可表示为， 故答案为：； （2）解：大正方形的边长为，因此面积为， 小正方形的边长为，因此面积为， 4个小长方形的面积和为， 所以有， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， 当，， ∴． 答：阴影正方形的面积为37． 2．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）完全平方公式：经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若 ， ， 求的值． 解；因为， ， 所以， ， 所以， 所以， 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，求． (2)如图，C是线段上的一点，分别以为边作正方形，设， 两正方形的面积之和， 求三角形的面积． (3) 【答案】(1) (2)3 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （1）根据完全平方公式即可求解； （2）设，，可得，，求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：； （2）解：设，， ∵， ∴， ∴ 又， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（24-25八年级上·河南新乡·期中）如图1，一个长为，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2） (1)观察图2，请直接写出，ab 之间的等量关系； (2)根据（1）中的结论，若，求的值； (3)拓展应用：若的值． 【答案】(1) (2)25 (3) 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查完全平方公式及应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的变形和应用． （1）用大正方形两种方法表示面积即可得答案； （2）用完全平方公式可得答案； （3）设，，根据完全平方公式可得答案． 【详解】（1）解：由图可知：， 即； （2），， ， 即的值是25； （3）设，，则，， ，即， ， ， ， 即的值是． 4．（24-25八年级上·重庆·期中）把完全平方公式适当的变形，如：等，这些变形可解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为，，所以， 即，，所以． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题． (1)①若，，且，则________； ②我们知道，若，则________． (2)如图，C是线段上的一点，，以，为边向两边作正方形和正方形，两个正方形的面积分别为，，，设，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)①；②15 (2)10 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、通过对完全平方公式变形求值、算术平方根的实际应用 【分析】本题考查了完全平方公式与图形面积、算术平方根，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）①根据求解即可得； ②根据求解即可得； （2）先求出和，再根据求解即可得． 【详解】（1）解：①∵，， ∴ ， ∵， ∴， 故答案为：． ②∵，， ∴ ， 故答案为：15． （2）解：由题意得：，，， ∵， ∴， 则图中阴影部分的面积为 ． 题型六 利用完全平方公式求最值 1．（24-25九年级上·湖南湘潭·期中）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式的最小值． 解： ∵ ∴ ∴的最小值是4 (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值； 【答案】(1)3 (2)5 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是式子变形的过程中不要改变式子的值，把式子变成完全平方与一个常数的和的形式． （1）仿照题中方法进行变形，根据非负数的性质进行解答； （2）仿照题中方法进行变形，根据非负数的性质进行解答． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴的最小值是3． （2）解：， ∵， ∴， ∴的最大值是5． 2．（24-25八年级上·四川乐山·期中）请阅读下列材料： 我们可以通过以下方法，求代数式的最小值． ， ∵，∴当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)，则________，________； (2)求证：无论x取何值，代数式的值都是负数； (3)若代数式的最小值为3，求k的值． 【答案】(1)3，1 (2)见解析 (3)2或 【知识点】利用平方根解方程、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）利用完全平方公式进行配方即可得； （2）先利用完全平方公式进行配方可得，再根据偶次方的非负性即可得证； （3）先利用完全平方公式进行配方可得，再根据最小值可得，利用平方根解方程即可得． 【详解】（1）解： ， 所以， 故答案为：3，1． （2）证明： ， ∵， ∴， ∴， 即无论取何值，代数式的值都是负数． （3）解： ， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为， 又∵代数式的最小值为3， ∴， 解得或． 3．（22-23七年级下·江苏扬州·期中）阅读理解并解答： 为了求代数式的值，我们必须先知道x的值，若，则这个代数式的值为5；若，则这个代数式的值为10，……可见，这个代数式的值因x的取值不同而变化，尽管如此，我们还是有办法来考虑这个代数式的值的范围． （1）把一个多项式进行部分因式分解可以来解决代数式值的最大（或最小）值问题，例如：，因为是非负数，所以，这个代数式的最小值为______，这时相应的x的值是_______． 尝试探究并解答： （2）求代数式的最大（或最小）值，并写出相应x的值． （3）求代数式的最大（或最小）值，并写出相应x的值． （4）已知代数式，当x的值在（包含和4）之间变化时，直接写出代数式的值的变化范围． 【答案】（1）1，；（2）的最小值，；（3）的最大值13，；（4）（包含和2） 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、运用完全平方公式进行运算 【分析】（1）根据非负数的性质即可解决问题； （2）根据题干提供的方法，即可解决问题； （3）根据题干提供的方法，即可解决问题； （4）首先判断的最小值，求出或4时的值，即可判断的取值范围． 【详解】解：（1）∵， 又∵， ∴， ∴最小值为1，此时， 即； （2）∵， 又∵， ∴， ∴有最小值，此时，即； （3）∵， 又∵， ∴， ∴有最大值13，此时； （4）∵， ∴有最小值，此时， 令，则， 令，则， ∴当x的值在（包含和4）之间变化时，． 【点睛】本题考查非负数的性质、完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，利用非负数可以确定最值问题． 4．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子： ①， ； ； 代数式有最小值； ②， ； ； 代数式有最大值4； 阅读上述材料并完成下列问题： (1)代数式的最小值为______；代数式的最大值为______； (2)求代数式的最小值； (3)如图，在四边形中，对角线、相交于点，且，若，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)2；13 (2) (3)18 【知识点】运用完全平方公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值、有理数的乘方运算、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，偶次方的非负性，灵活运用完全平方公式进行变形是解题的关键． （1）利用材料中的方法进行求解即可； （2）利用完全平方公式对代数式变形，然后根据偶次方的非负性求出式子的最小值即可； （3），由面积公式，将其转化为，设，则，代入化简计算，转化为上述求解方法计算即可． 【详解】（1）解：， ； ； 代数式有最小值2； ， ； ； 代数式有最大值13； 故答案为：2；13． （2）解： ， ∵，， ∴， ∴代数式的最小值为； （3）解：根据题意得 ， ∵， ∴， ， ， ∵，设，则， ， ∵， ， ∴四边形面积的最大值为18． 题型七 整式的运算中的新定义型问题 1．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）已知，是实数，定义关于“Δ”的一种运算如下：Δ． (1)Δ= ，Δ=　　； (2)利用以上信息计算： ①若Δ，，则 ， ； ②若，求的值； (3)请判断等式是否成立？并说明理由． 【答案】(1)， (2)①26，；②25 (3)成立，见解析 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、运用完全平方公式进行运算、新定义下的实数运算 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）利用所给公式结合完全平方公式计算，然后化简即可； （2）①利用（1）所给规律分别进行计算即可； ②利用，代入即可得解； 【详解】（1）由新定义运算可知： Δ． Δ=， 故答案为：， （2）①∵Δ 即， 又， ， 又， ， 故答案为： ②， 又， ∴上式 （3）成立，见解析； ∵， ， 2．（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）定义，如．已知（m为常数），． (1)若A的代数式中不含x的一次项，求m的值； (2)若A中的m满足，计算的结果． 【答案】(1) (2) 【知识点】运用平方差公式进行运算、整式的混合运算、同底数幂相乘、整式加减中的无关型问题 【分析】（1）根据题中给出的定义计算出，根据代数式中不含x的一次项，计算结果即可； （2）先根据同底数幂的乘法求出m的值，再根据题中给出的定义算出A、B的式子进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意， 的代数式中不含x的一次项， ， ； （2）， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了新定义，整式的混合运算，平方差公式的运用，整式运算中无关型问题，同底数幂乘法的计算，准确计算是解答本题的关键． 3．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期中）阅读理解： 材料一：把形如的二次三项式配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用． 例如：我们可以将代数式进行变形，其过程如下： 该式有最小值1 材料二：我们定义：如果两个多项式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅常式”，这个常数称为关于的“雅常值”．如多项式，；，则是的“雅常式”，关于的“雅常值”为9． 根据材料，完成下面问题： (1)已知多项式，，判断C是否为D的“雅常式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“雅常值”； (2)已知多项式，（，为常数），M是N的“雅常式”，且当为实数时，N的最小值为，求M关于N的“雅常值”． 【答案】(1)是的“雅常式”，“雅常值”为 (2)关于的“雅常值”是 【知识点】整式的加减运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了配方法的应用、整式的加减运算、新定义和因式分解，理解是的“雅常式”的定义是解决本题的关键． （1）先计算，再根据“雅常式”的定义即可判断是的“雅常式”并求出“雅常值”即可求解； （2）先求出，由是的“雅常式”，得出，得出，由为实数时，的最小值为，得出，求出，进而求出； 【详解】（1）解： ， C是D的“雅常式”， C关于D的“雅常值”为； （2）M是N的“雅常式”， ， ， ． ，且当x为实数时，N 的最小值为， ， ， ． 所以M关于N的“雅常值”是3； 4．（23-24七年级下·四川成都·期中）对于任意有理数a、 b、c、d，定义一种新运算： ． (1)______； (2)对于有理数x、y，若 ，． ①求 的值： ②将长方形和长方形按照如图方式进行放置，其中点B、C、G 在同一条直线上，点E在边上，连接、．若 ，图中阴影部分的面积为45，求n的值． 【答案】(1) (2)①56；②2 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、新定义下的实数运算 【分析】本题主要考查了新定义，完全平方公式在几何图形中的应用： （1）直接根据计算即可； （2）①先根据化简，再利用完全平方公式变形求解即可；②根据图形用含x，y的式子表示出阴影部分的面积，再根据①中的结果代入即可求出n． 【详解】（1）解：原式． 故答案为：； （2）解：①原式 ， ∵，， ∴，， ∴ ； ②由图知：， ∴， 化简得， ∴， 由①得，，， ∴， ∴ 5．（23-24八年级上·北京海淀·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如，把二次三项式进行配方． 解： 我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为．再如，（x，y是整数），所以M也是“完美数”． (1)解决问题： 请你再写一个小于16的“完美数”______；并判断40是否为“完美数”______； (2)若二次三项式（x是整数）是“完美数”，可配方成（m，n为常数），则的值为______； (3)探究问题： 已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，则符合条件的k值为______； 拓展结论：已知实数x，y满足，求的最小值． 【答案】(1)10，是 (2)2 (3)13，4 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】（1）由题意知，，，然后作答即可； （2）由题意知，，由（x是整数）是“完美数”，可配方成（m，n为常数），可得，，然后代值求解即可； （3），由S为“完美数”，可得，解得，；由，可得，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，，， 故答案为：10，是； （2）解：由题意知，， ∵（x是整数）是“完美数”，可配方成（m，n为常数）， ∴，， ∴， 故答案为：2； （3）解：， ∵S为“完美数”， ∴，解得，， 故答案为：13； ∵， ∴， ∴当时，最小，最小值为4． 【点睛】本题考查了完全平方公式，代数式求值等知识．解题的关键在于理解题意并熟练掌握完全平方公式． $$