清单03 整式乘法（12个考点清单+10个题型解读）七年级数学下学期新教材沪科版

清单03 整式乘法 清单01 同底数幂的乘法 1.同底数幂的乘法性质：(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）. 2.同底数幂的乘法的逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数.即（都是正整数）. 清单02 幂的乘方 1.幂的乘方法则： (其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 要点诠释：公式的推广： (，均为正整数) 2.幂的乘方法则逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 清单03 积的乘方 1.积的乘方法则： (其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 要点诠释：公式的推广： (为正整数). 2.积的乘方法则逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时， 计算更简便.如： 清单04 同底数幂的除法 (其中都是正整数).即同底数幂相除，底数不变，指数相减. 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）逆用公式：即（都是正整数）. 清单05 零指数、负指数 零指数幂：（a≠0） 负指数幂：（a≠0，p是正整数） 清单06 科学记数法 类似地，我们可以利用10 的负整数指数幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a×10-n的形式，其中n是正整数，. 清单07 单项式与单项式相乘 单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式. 　 单项式乘法法则在运用时要注意以下几点： 　 ①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值.这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆； 　　 ②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则； 　 ③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式； 　　 ④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用； 　　 ⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式. 清单08 单项式与多项式相乘 单项式乘以多项式，是通过乘法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即（a+b+c)m=am+bm+cm　　 单项式与多项式相乘时要注意以下几点： 　 ①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同； 　 ②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号； 　 ③在混合运算时，要注意运算顺序. 清单09 多项式与多项式相乘 多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 即（a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 　 多项式与多项式相乘时要注意以下几点： 　　 ①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项式项数的积； 　　 ②多项式相乘的结果应注意合并同类项； 　　 ③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘 ，其二次项系数为1，一次项系数等于两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积.即(x+a)(x+b)=x²+（a+b)x+ab 对于一次项系数不为1的两个一次二项式(mx+a)和(nx+b)相乘可以得到. 清单10 平方差公式 平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.即(a+b)(a-b)=a²-b² 　 公式的几种变化： ①位置变化：（b+a)（-b+a）=(a+b)(a-b)=a²-b²； （-a-b）(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b+a)(-b-a)=(-b)²-a²=b²-a² ②系数变化：（2a+3b）(2a-3b)=(2a)²-(3b)²=4a²-9b² ③指数变化：（a²+b²）(a²-b²)=（a²）²-（b²）²= ④增项变化：（a-b-c）(a-b+c)=(a-b)²-c² ⑤连用公式变化：（a+b）(a-b)(a²+b²)=（a²-b²）(a²+b²)=（a²）²-（b²）²= ⑥公式逆运算：a²-b² =(a+b)(a-b) 清单11 完全平方公式 完全平方公式:两数和(差)的平方,等于它们的平方和,加(减)它们积的2倍. 即完全平方和 (a+b)²=a²+2ab+b² ；完全平方差 (a-b)²=a²-2ab+b² （1）公式的特征：前平方，后平方，中间是乘积的2倍 （2）公式的变化：①a²+b²=(a+b)²-2ab；②a²+b²=(a-b)²+2ab； ③(a+b)²=(a-b)²+4ab； ④ (a-b)²=(a+b)²-4ab；⑤(a+b)²-(a-b)²=4ab。 清单12 平方差和完全平方差区别 　平方差公式:(a+b)(a-b)=a²-b² 完全平方差公式： (a-b)²=a²-2ab+b² 平方差公式和完全平方差公式易混淆，切记完全平方差中间有乘积的2倍 【考点题型一】判断整式乘法是否正确（） 例题：（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下面是某同学在一次测验中的计算摘录，其中正确的有（   ） （1）        （2） （3）    （4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点变式】 1．（24-25九年级上·云南红河·期中）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河南新乡·期中）下面是一位同学做的四道题：①；②；③；④．其中做对的一道题的序号是（  ） A．① B．② C．③ D．④ 3．（23-24九年级下·湖北武汉·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）下列计算正确的是（　） A． B． C． D． 【考点题型二】判断是否可用平方差或完全平方公式运算（） 例题：（23-24七年级下·贵州六盘水·期中）下列多项式的乘法中，能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【考点变式】 1．（24-25八年级上·山西朔州·期中）下列整式乘法能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）下列关于甲、乙、丙的计算判断正确的是（   ） 甲：；乙：；丙： A．甲对，乙对 B．乙错，丙对 C．乙对，丙错 D．甲对，丙错 3．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型三】用科学计数法表示绝对值小于1的数（） 例题：（23-24七年级下·贵州六盘水·期中）某种球形病毒的直径为0.00000047米，将数据0.00000047用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【考点变式】 1．（24-25七年级下·全国·期中）世界上最小的种子只有在专业的放大镜或显微镜下才能看清楚，一粒种子重约克，直径约为米，其中它的质量可以用科学记数法表示为（    ） A．克 B．克 C．克 D．克 2．（24-25八年级上·湖南怀化·期中）某天，洪江市安江镇的平均浓度为克/立方米，用科学记数法表示为 ． 3．（24-25八年级上·重庆·期中）纳米机器人在医学和材料科学等领域有广泛应用，尺寸为几十至几百纳米．例如，一个52纳米大小的纳米机器人，其长度为0.000000052米．数据0.000000052用科学记数法表示为 ． 【考点题型四】完全平方式中的字母参数问题（） 例题：（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）要使成为完全平方式，那么b的值是 【考点变式】 1．（24-25八年级上·河南新乡·期中）是一个完全平方式，则m为 ． 2．（23-24七年级下·广东佛山·期中）如果是一个完全平方式，那么 ． 3．（24-25八年级上·重庆万州·期中）已知M是含字母x的单项式，要使多项式是某个多项式的平方，则M为 ． 【考点题型五】已知多项式乘积不含某项求字母的值（） 例题：（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）若则的值为 【考点变式】 1．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）若的乘积中不含项和项，则 ． 2．（24-25七年级上·上海·期中）已知代数式的积中不含x的一次项，则 ． 3．（23-24七年级下·湖南益阳·期中）关于的多项式乘多项式，若结果中不含有的一次项，则的值为 ． 【考点题型六】幂的混合运算及逆运算（） 例题：（24-25七年级上·上海杨浦·期中）计算：． 【考点变式】 1．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）计算： 2．（23-24七年级下·陕西宝鸡·期中）计算： (1)； (2)． 3．（23-24七年级下·广东深圳·期中）计算： (1)； (2)． 【考点题型七】零指数幂、负整数指数幂综合计算（） 例题：（24-25八年级下·河南·期中） 计算：． 【考点变式】 1．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)． 2．（24-25七年级下·全国·期中）计算： (1)； (2)． 【考点题型八】整式乘除混合运算（） 例题：（22-23七年级下·甘肃兰州·期中）计算： (1) (2) (3)运用乘法公式计算： (4) 【考点变式】 1．（24-25八年级上·山东滨州·期中）计算： (1)； (2)． (3)， (4)． 2．（24-25八年级上·河南南阳·期中）（1）计算： （2）化简： （3）化简： 3．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期中）计算 (1) (2)． (3) (4) 【考点题型九】整式乘法混合运算——化简求值（） 例题：（24-25八年级上·河南驻马店·期中）先化简，再求值：，其中 【考点变式】 1．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）先化简，再求值：，其中，． 2．（24-25八年级上·四川眉山·期中）先化简，再求值：，其中，，． 3．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）化简求值：，其中 【考点题型十】整式运算与几何图形的问题（） 例题：（24-25八年级上·河南南阳·期中）3月26日，南召县召开2024年“三城联创”工作大会．会议要求，争取“一年打基础、三年出形象、五年功能完善”，进入全市第一方阵．如下图，某公园有一块长米，宽为米的长方形地块，中间是边长为米的正方形空地，规划部门计划在中间正方形空白处修建一座雕像，将阴影部分进行绿化，求绿化部分的面积． 【考点变式】 1．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）如图，从一个长方形铁皮中剪去一个小正方形，长方形的长为米，宽为米，小正方形的边长为b米． (1)求剩余铁皮（阴影部分）的面积． (2)当时，求剩余铁皮的面积． 2．（24-25八年级上·吉林·期中）如图，在长为，宽为的长方形铁片上，四个角挖去全等的直角边长分别为和的小直角三角形铁片． (1)计算剩余部分（即阴影部分）的面积； (2)求出当，时的阴影面积． 3．（24-25八年级上·北京·期中）长方形窗户（如图1），是由上下两个长方形（长方形和长方形）的小窗户组成，在这两个小窗户上各安装了一个可以朝水平方向拉伸的遮阳帘，这两个遮阳帘的高度分别是a和（即，），其中．当遮阳帘没有拉伸时（如图1），若窗框的面积不计，则窗户的透光面积就是整个长方形窗户（即长方形）的面积．如图2，上面窗户的遮阳帘水平向右拉伸至．当下面窗户 的遮阳帘水平向左拉伸时，恰好与在同一直线上（即点G、H、P在同一直线上）． (1)求长方形窗户的总面积；（用含a、b的代数式表示） (2)如果上面窗户的遮阳帘拉伸至，下面窗户的遮阳帘拉伸至处时，窗户的透光面积恰好为长方形窗户面积的一半，求． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 整式乘法 清单01 同底数幂的乘法 1.同底数幂的乘法性质：(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）. 2.同底数幂的乘法的逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数.即（都是正整数）. 清单02 幂的乘方 1.幂的乘方法则： (其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 要点诠释：公式的推广： (，均为正整数) 2.幂的乘方法则逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 清单03 积的乘方 1.积的乘方法则： (其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 要点诠释：公式的推广： (为正整数). 2.积的乘方法则逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时， 计算更简便.如： 清单04 同底数幂的除法 (其中都是正整数).即同底数幂相除，底数不变，指数相减. 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）逆用公式：即（都是正整数）. 清单05 零指数、负指数 零指数幂：（a≠0） 负指数幂：（a≠0，p是正整数） 清单06 科学记数法 类似地，我们可以利用10 的负整数指数幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a×10-n的形式，其中n是正整数，. 清单07 单项式与单项式相乘 单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式. 　 单项式乘法法则在运用时要注意以下几点： 　 ①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值.这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆； 　　 ②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则； 　 ③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式； 　　 ④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用； 　　 ⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式. 清单08 单项式与多项式相乘 单项式乘以多项式，是通过乘法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即（a+b+c)m=am+bm+cm　　 单项式与多项式相乘时要注意以下几点： 　 ①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同； 　 ②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号； 　 ③在混合运算时，要注意运算顺序. 清单09 多项式与多项式相乘 多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 即（a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 　 多项式与多项式相乘时要注意以下几点： 　　 ①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项式项数的积； 　　 ②多项式相乘的结果应注意合并同类项； 　　 ③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘 ，其二次项系数为1，一次项系数等于两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积.即(x+a)(x+b)=x²+（a+b)x+ab 对于一次项系数不为1的两个一次二项式(mx+a)和(nx+b)相乘可以得到. 清单10 平方差公式 平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.即(a+b)(a-b)=a²-b² 　 公式的几种变化： ①位置变化：（b+a)（-b+a）=(a+b)(a-b)=a²-b²； （-a-b）(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b+a)(-b-a)=(-b)²-a²=b²-a² ②系数变化：（2a+3b）(2a-3b)=(2a)²-(3b)²=4a²-9b² ③指数变化：（a²+b²）(a²-b²)=（a²）²-（b²）²= ④增项变化：（a-b-c）(a-b+c)=(a-b)²-c² ⑤连用公式变化：（a+b）(a-b)(a²+b²)=（a²-b²）(a²+b²)=（a²）²-（b²）²= ⑥公式逆运算：a²-b² =(a+b)(a-b) 清单11 完全平方公式 完全平方公式:两数和(差)的平方,等于它们的平方和,加(减)它们积的2倍. 即完全平方和 (a+b)²=a²+2ab+b² ；完全平方差 (a-b)²=a²-2ab+b² （1）公式的特征：前平方，后平方，中间是乘积的2倍 （2）公式的变化：①a²+b²=(a+b)²-2ab；②a²+b²=(a-b)²+2ab； ③(a+b)²=(a-b)²+4ab； ④ (a-b)²=(a+b)²-4ab；⑤(a+b)²-(a-b)²=4ab。 清单12 平方差和完全平方差区别 　平方差公式:(a+b)(a-b)=a²-b² 完全平方差公式： (a-b)²=a²-2ab+b² 平方差公式和完全平方差公式易混淆，切记完全平方差中间有乘积的2倍 【考点题型一】判断整式乘法是否正确（） 例题：（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下面是某同学在一次测验中的计算摘录，其中正确的有（   ） （1）        （2） （3）    （4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】整式乘法混合运算、同底数幂的除法运算 【分析】本题主要考查整式的乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据整式的乘除运算法则进行判断即可． 【详解】解：，正确； ，正确； ，错误； ，错误； 故选B． 【考点变式】 1．（24-25九年级上·云南红河·期中）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】积的乘方运算、同底数幂的除法运算、合并同类项、同底数幂相乘 【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，幂的运算法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、不能合并，原计算错误； B、，原计算错误； C、，原计算错误； D、，原计算正确； 故选D． 2．（24-25八年级上·河南新乡·期中）下面是一位同学做的四道题：①；②；③；④．其中做对的一道题的序号是（  ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【知识点】积的乘方运算、同底数幂的除法运算、合并同类项、同底数幂相乘 【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘除法则逐一进行判断即可． 【详解】解：不是同类项，不能合并，故①错误； ，故②错误； ，故③错误； ，故④正确； 故选D． 3．（23-24九年级下·湖北武汉·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】幂的乘方运算、积的乘方运算、合并同类项、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了合并同类项的法则、幂的乘方的法则、积的乘方的法则、同底数幂的除法法则，熟记对应法则是解题的关键．根据合并同类项的法则、幂的乘方的法则、积的乘方的法则、同底数幂的除法法则对每一项判断即可得到正确选项． 【详解】解：．，选项正确，符合题意； ．，选项错误，不符合题意； ．，选项错误，不符合题意； ．，选项错误，不符合题意； 故选：A． 4．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）下列计算正确的是（　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】积的乘方运算、同底数幂的除法运算、合并同类项、同底数幂相乘 【分析】本题考查了合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘除法，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 直接利用合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘除法法则计算得出答案． 【详解】A，，故此选项错误． B，，故此选项错误． C，，故此选项正确． D，，故此选项错误． 故选：C． 【考点题型二】判断是否可用平方差或完全平方公式运算（） 例题：（23-24七年级下·贵州六盘水·期中）下列多项式的乘法中，能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．根据平方差公式的特征：是指两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差，逐项分析即可，． 【详解】解：A、，不能按平方差公式计算，故不符合题意； B、，可按平方差公式计算，故符合题意； C、，不能按平方差公式计算，故不符合题意； D、，不能按平方差公式计算，故不符合题意； 故选：B． 【考点变式】 1．（24-25八年级上·山西朔州·期中）下列整式乘法能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的特点：两数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，是解题的关键；根据平方差公式的特点逐项验证即可． 【详解】解：A、第一个因式是两数的和，第二个因式不是这两个数的差，故不能用平方差公式计算； B、第一个因式是两数的和，第二个因式是这两个数的差，故能用平方差公式计算； C、第一个因式是两数的差，第二个因式不是的和，而是这两个数的差，故不能用平方差公式计算； D、第一个因式是两数的差，第二个因式是的差，不是这两个数的和，故不能用平方差公式计算； 故选：B． 2．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）下列关于甲、乙、丙的计算判断正确的是（   ） 甲：；乙：；丙： A．甲对，乙对 B．乙错，丙对 C．乙对，丙错 D．甲对，丙错 【答案】B 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查乘法公式．根据完全平方公式和平方差公式逐项判断即可． 【详解】解：甲：，正确； 乙：，原计算错误； 丙：，正确； 观察四个选项，选项B符合题意； 故选：B． 3．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】计算多项式乘多项式、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了整式乘法，熟练掌握完全平方公式，平方差公式以及多项式乘以多项式的法则是解题的关键．根据整式乘法的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，此选项错误，故此选项不符合题意； B、，此选项错误，故此选项不符合题意； C、，此选项错误，故此选项不符合题意； D、，此选项正确，故此选项符合题意； 故选：D． 【考点题型三】用科学计数法表示绝对值小于1的数（） 例题：（23-24七年级下·贵州六盘水·期中）某种球形病毒的直径为0.00000047米，将数据0.00000047用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定是解题的关键．根据绝对值小于1的数可以用科学记数法表示，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可求解． 【详解】解：数据0.00000047用科学记数法表示为． 故选：D． 【考点变式】 1．（24-25七年级下·全国·期中）世界上最小的种子只有在专业的放大镜或显微镜下才能看清楚，一粒种子重约克，直径约为米，其中它的质量可以用科学记数法表示为（    ） A．克 B．克 C．克 D．克 【答案】A 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解：克克； 故选A． 2．（24-25八年级上·湖南怀化·期中）某天，洪江市安江镇的平均浓度为克/立方米，用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法：（，为正整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可解答，根据科学记数法确定和的值是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·重庆·期中）纳米机器人在医学和材料科学等领域有广泛应用，尺寸为几十至几百纳米．例如，一个52纳米大小的纳米机器人，其长度为0.000000052米．数据0.000000052用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，由此即可得出答案． 这里． 【详解】 故答案为： 【考点题型四】完全平方式中的字母参数问题（） 例题：（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）要使成为完全平方式，那么b的值是 【答案】 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查了完全平方公式，熟记完全平方公式的形式是解题的关键．根据完全平方公式的形式即可解答． 【详解】解：是完全平方式， ， 解得：． 故答案为：． 【考点变式】 1．（24-25八年级上·河南新乡·期中）是一个完全平方式，则m为 ． 【答案】 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】此题主要考查完全平方公式的形式，解题的关键是熟知完全平方公式的特点；根据完全平方公式的形式即可解答． 【详解】解：， ∴； 故答案为：． 2．（23-24七年级下·广东佛山·期中）如果是一个完全平方式，那么 ． 【答案】7或 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题主要考查了完全平方公式， 根据完全平方公式的形式可得，求答案即可. 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， 解得：或. 故答案为：7或． 3．（24-25八年级上·重庆万州·期中）已知M是含字母x的单项式，要使多项式是某个多项式的平方，则M为 ． 【答案】或 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可求出M． 【详解】解：①∵， ∴， ②若中M是多项式的平方， 则； 故答案为：或． 【考点题型五】已知多项式乘积不含某项求字母的值（） 例题：（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）若则的值为 【答案】 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式是解题的关键． 根据，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴， ． 故答案为：． 【考点变式】 1．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）若的乘积中不含项和项，则 ． 【答案】16 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题考查多项式乘多项式，将原式展开并合并同类项，根据题意求得m，n的值后代入中计算即可． 【详解】解： ， ∵乘积中不含项和项， ∴，， ∴，， 则， 故答案为：16． 2．（24-25七年级上·上海·期中）已知代数式的积中不含x的一次项，则 ． 【答案】 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题考查整式的乘法，先根据多项式乘多项式的运算法则展开化简，再使含x的一次项系数为0求解即可． 【详解】解： ， ∵该代数式的积中不含x的一次项， ∴，解得， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·湖南益阳·期中）关于的多项式乘多项式，若结果中不含有的一次项，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题考查多项式乘以多项式，按照多项式乘以多项式的运算法则进行计算，再根据结果中不含有x的一次项得出，求出结果即可． 【详解】解： ， ∵关于x的多项式乘多项式的结果中不含有x的一次项， ， 解得，， 故答案为：． 【考点题型六】幂的混合运算及逆运算（） 例题：（24-25七年级上·上海杨浦·期中）计算：． 【答案】 【知识点】幂的混合运算、幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】本题主要考查了幂的混合运算，解题的关键是熟练掌握幂的乘方，积的乘方，同底数幂乘法运算法则．根据幂的乘方，积的乘方，同底数幂乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 【考点变式】 1．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）计算： 【答案】 【知识点】积的乘方运算、同底数幂相乘、幂的混合运算 【分析】本题主要考查幂的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先计算积的乘方，同底数幂的乘法，最后合并即可． 【详解】解：原式 ． 2．（23-24七年级下·陕西宝鸡·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】幂的混合运算、零指数幂、负整数指数幂 【分析】（1）根据零指数幂、绝对值、负整数指数幂、有理数的乘方的运算法则计算即可； （2）根据积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法和除法的运算法则计算即可． 【详解】（1）原式 （2）原式 【点睛】本题主要考查有理数的乘方、合并同类项和整式的乘除，牢记零指数幂、绝对值、负整数指数幂、有理数的乘方、积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法和除法的运算法则是解题的关键． 3．（23-24七年级下·广东深圳·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【知识点】实数的混合运算、幂的混合运算、零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了实数的混合运算和整式的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）先算乘方，再算除法，后算加减，即可解答； 【详解】（1）解： ； （2） ． 【考点题型七】零指数幂、负整数指数幂综合计算（） 例题：（24-25八年级下·河南·期中） 计算：． 【答案】 【知识点】实数的混合运算、求一个数的立方根、零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及负整数指数幂，零指数幂，立方根．掌握实数的混合运算法则是解题关键． 先计算负整数指数幂，零指数幂，立方根，再进行减法计算即可． 【详解】解：原式 ； 【考点变式】 1．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解此题的关键． （1）先计算算术平方根、零指数幂、乘方，再计算加减即可得解； （2）先计算算术平方根、立方根、负整数指数幂、绝对值，再计算加减即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（24-25七年级下·全国·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】积的乘方运算、同底数幂的除法运算、零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查整式的混合运算、零指数幂、负整数指数幂，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法． （1）根据零指数幂、负整数指数幂可以解答本题； （2）根据积的乘方、同底数幂的乘除法可以解答本题． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【考点题型八】整式乘除混合运算（） 例题：（22-23七年级下·甘肃兰州·期中）计算： (1) (2) (3)运用乘法公式计算： (4) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【知识点】整式的混合运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式相关运算的法则． （1）利用完全平方公式化简，再按运算顺序求解即可； （2）运用平方差及完全平方公式求解即可； （3）运用乘法平方差公式简化运算； （4）先算单项式乘以单项式，再算单项式除以单项式即可． 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：原式， ； （3）解：原式， ， ； （4）解：原式， ． 【考点变式】 1．（24-25八年级上·山东滨州·期中）计算： (1)； (2)． (3)， (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】幂的乘方运算、积的乘方运算、整式的混合运算 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，注意明确运算法则和顺序． （1）先计算同底数幂的乘法，积的乘方和幂的乘方，再合并即可求解； （2）根据单项式乘多项式的法则计算，再合并即可求解； （3）根据多项式乘多项式的法则及平方差和完全平方公式计算，再合并即可求解； （4）根据多项式除单项式的法则计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2．（24-25八年级上·河南南阳·期中）（1）计算： （2）化简： （3）化简： 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】实数的混合运算、整式的混合运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查实数，幂的运算，乘法公式等知识，解题的关键是掌握实数的混合运算，，，，进行计算，即可． （1）根据实数的混合运算，先开三次方，开平方，然后去绝对值，进行计算，即可； （2） 根据，进行化简，即可； （3）根据，，进行化简，即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2） ； （3） ． 3．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期中）计算 (1) (2)． (3) (4) 【答案】(1) (2)1 (3) (4)7 【知识点】负整数指数幂、零指数幂、整式的混合运算 【分析】（1）根据多项式除以单项式解答即可． （2）根据，利用平方差公式计算即可． （3）根据完全平方公式，平方差公式，整式的乘法，合并同类项计算即可． （4）根据，计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【点睛】本题考查了整式的乘除，整式的加减，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握公式和运算法则是解题的关键． 【考点题型九】整式乘法混合运算——化简求值（） 例题：（24-25八年级上·河南驻马店·期中）先化简，再求值：，其中 【答案】，12 【知识点】整式的混合运算、已知字母的值 ，求代数式的值、利用算术平方根的非负性解题、绝对值非负性 【分析】本题考查了整式的混合运算，非负性，先运算平方差公式以及多项式除以单项式，再合并同类项，结合，得出，再把代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， 且， ， ， ∴原式． 【考点变式】 1．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【知识点】整式的混合运算 【分析】本题考查整式的混合运算，化简求值，先进行完全平方公式和多项式乘多项式的运算，再合并同类项计算括号内，再进行多项式除以单项式的运算，然后代值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当，时，原式． 2．（24-25八年级上·四川眉山·期中）先化简，再求值：，其中，，． 【答案】， 【知识点】整式的混合运算 【分析】本题主要考查整式的混合运算，先根据平方差公式和完全平方公式计算括号内的，再根据单项式除以单项式得出最简结果，最后代入x，y的值计算即可． 【详解】解： ； 当，时， 原式 ． 3．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）化简求值：，其中 【答案】，2020 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算、整式的混合运算 【分析】本题主要考查整式的混合运算化简求值，非负性等知识；先根据整式的混合运算法则进行化简，再根据非负性求出x，y的值，最后代入计算即可． 【详解】∵， ∴， 解得：， ， ∵， ∴原式． 【考点题型十】整式运算与几何图形的问题（） 例题：（24-25八年级上·河南南阳·期中）3月26日，南召县召开2024年“三城联创”工作大会．会议要求，争取“一年打基础、三年出形象、五年功能完善”，进入全市第一方阵．如下图，某公园有一块长米，宽为米的长方形地块，中间是边长为米的正方形空地，规划部门计划在中间正方形空白处修建一座雕像，将阴影部分进行绿化，求绿化部分的面积． 【答案】绿化的面积是平方米． 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了整式乘法混合运算，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式运算法则进行计算．用长方形的面积减去中间正方形的面积，得出绿化部分的面积即可． 【详解】解： 平方米 即绿化的面积是平方米． 【考点变式】 1．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）如图，从一个长方形铁皮中剪去一个小正方形，长方形的长为米，宽为米，小正方形的边长为b米． (1)求剩余铁皮（阴影部分）的面积． (2)当时，求剩余铁皮的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查整式运算的应用： （1）用长方形的面积减去正方形的面积，进行求解即可； （2）将代入（1）中的结果中，进行计算即可． 【详解】（1）解：； 答：剩余铁皮（阴影部分）的面积为； （2）当时，； 答：剩余铁皮（阴影部分）的面积为． 2．（24-25八年级上·吉林·期中）如图，在长为，宽为的长方形铁片上，四个角挖去全等的直角边长分别为和的小直角三角形铁片． (1)计算剩余部分（即阴影部分）的面积； (2)求出当，时的阴影面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了多项式乘多项式，单项式乘多项式，掌握多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加是解题的关键． （1）根据大长方形的面积减去小长方形的面积列式化简即可； （2）将，代入代数式求值即可． 【详解】（1）解：由题意，得 ； （2）解：当，时， 原式． 3．（24-25八年级上·北京·期中）长方形窗户（如图1），是由上下两个长方形（长方形和长方形）的小窗户组成，在这两个小窗户上各安装了一个可以朝水平方向拉伸的遮阳帘，这两个遮阳帘的高度分别是a和（即，），其中．当遮阳帘没有拉伸时（如图1），若窗框的面积不计，则窗户的透光面积就是整个长方形窗户（即长方形）的面积．如图2，上面窗户的遮阳帘水平向右拉伸至．当下面窗户 的遮阳帘水平向左拉伸时，恰好与在同一直线上（即点G、H、P在同一直线上）． (1)求长方形窗户的总面积；（用含a、b的代数式表示） (2)如果上面窗户的遮阳帘拉伸至，下面窗户的遮阳帘拉伸至处时，窗户的透光面积恰好为长方形窗户面积的一半，求． 【答案】(1) (2) 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、整式加减的应用 【分析】（1）先将长方形的长和宽表示出来，再根据长方形面积公式，即可求解； （3）求出透光部分的面积，再根据窗户的透光面积恰好为长方形窗户面积的一半，得出等式，即可求出的值． 本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是正确理解题意，根据图形列出式子进行计算，熟练掌握整式混合运算的运算顺序和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：由题知：，，，， ，， ， ∴长方形窗户的总面积为． （2）解：根据题意可得， ， ， ， ， ∴ ． ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$