精品解析：甘肃省天水市麦积区麦积区2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

2024-2025学年度第二学期阶段性教育教学质量监测 九年级数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项） 1. 世界最大的高海拔宇宙线观测站“拉索”位于我国甘孜稻城，其海拔高度记为“米”，表示高出海平面4410米；全球最大的超深水半潜式钻井平台“蓝鲸2号”是我国自主设计制造的，其最大钻深记为“米”．“米”表示的意义为（　　） A. 高于海平面15250米 B. 低于海平面15250米 C. 比“拉索”高15250米 D. 比“拉索”低15250米 2. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 3. 2023年9月21日，“天宫课堂”第四课在中国空间站成功开讲，本次太空授课活动激发了广大青少年不断追寻“科学梦”，实现“航天梦”的热情．下列相关卡通图标分别是“星球”“宇航员”“星系”和“黑洞”，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 4. 年“天水麻辣烫”火爆出圈，据不完全统计，全网“天水麻辣烫”相关信息点击浏览量超亿次将数据“亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 若，那么余角的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形为的内接四边形，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 是单纯由碳原子结合形成的稳定分子，它的发现最初始于天文学领域的研究，由英国、美国科学家探明和勾画其碳分子结构，于年正式制得，它的发现使人类了解到一个全新的碳世界．如图是的分子结构图，它具有个顶点和个面，其中个为正五边形，个为正六边形，其中正五边形的每一个内角的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》中记载了这样一个数学问题：“今有上禾三乘，益实六斗，当下一十乘：下禾五乘，益实一斗，当上禾二秉．问上、下禾实一秉各几何？”其大意是：今有上等稻子三捆，若打出来的谷子再加六斗，则相当于十捆下等稻子打出来的谷子：有下等稻子五捆，若打出的谷子再加一斗，则相当于两捆上等稻子打出来的谷子．问上等、下等稻子每捆能打多少斗谷子？设上等稻子每捆能打斗谷子，下等稻子每捆能打斗谷子，根据题意可列方程组为（　　） A. B. C. D. 9. 某班级开展“共建书香校园”读书活动．统计了1至7月份该班同学每月阅读课外书的本数，并绘制出如图所示的折线统计图．则下列说法正确的是（ ） A. 从2月到6月，阅读课外书的本数逐月下降 B. 从1月到7月，每月阅读课外书本数的最大值比最小值多45 C. 每月阅读课外书本数的众数是45 D. 每月阅读课外书本数的中位数是58 10. 如图1，在矩形中，动点从点出发，沿折线的方向匀速运动，运动到点停止．设点的运动路程为的面积为与的函数图象如图2所示，则矩形的对角线的长为（ ） A. 35 B. 43 C. 5 D. 8 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 分解因式：x3y﹣9xy=____． 12. 若一次函数（b是常数）的图象经过第一、二、三象限，则b的值可以是___________（写出一个即可）． 13. 如图，在四边形中，，，，在不添加任何辅助线的前提下，若使四边形是正方形，只需添加的一个条件是______． 14. 某些灯具的设计原理与抛物线有关．如图，从点照射到抛物线上的光线，等反射后都沿着与平行的方向射出．若，，则___________． 15. 我们规定“※”是一种新定义运算符号，即※B，例如：1※2，计算※[4※]= ______． 16. 抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，分别与相切于点C，D，延长交于点P．若，的半径为，则图中的长为________．（结果保留） 三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 化简：． 20. 中国古代数学家李之铉在其著作《几何易简集》中记载了这样一道题： 原文 释义 甲乙为定直线，以甲为圆心，以任意之半径截于丙；又以丙为圆心，以同度之半径作弧而得交点丁；以丁为圆心，丁丙为半径画弧，连丙丁而引长之则得交点戊；戊甲相连． 如图，已知射线，以点为圆心，以任意长为半径画弧，交射线于点；以点为圆心，以长为半径画弧，与前面所画的弧交于点D；以点为圆心，以长为半径画弧，交的延长线于点；连接． （1）请你只用直尺和圆规，根据上述步骤完成作图；（保留作图痕迹） （2）求证：． 21. 为了响应国家开展“中小学生课后服务”的政策，某学校在课后服务活动中开设了A．书法，B．剪纸，C．足球，D．乒乓球，共四门课程供学生选修，每门课程被选到的机会均等． （1）小军选修的课程是篮球的概率　　　． （2）若小军和小彬两位同学各计划选修一门课程，请用列表或画树状图的方法求两人恰好同时选修球类课程的概率． 22. 苦水高高跷是甘肃省兰州市永登县传统民俗文化之一，起源于元末明初，至今已有700余年的历史，也是国家非物质文化遗产之一．如图1，表演者穿着传统戏剧服饰，画上秦腔剧目中的人物脸谱，手持道具，凌空飞舞，被业内人士称为行走的“空中戏剧”．2024年春节，永登县连城镇牛站村社火团队表演了醉关公．某校综合实践研究小组开展了“测量高跷关公腿多长”的实践活动，过程如下： 方案设计：如图2，某人垂直踩在地面上，在地面上选取A，B两处分别测得和的度数（A，D，B在同一条直线上）． 数据收集：通过实地测量：地面上A，B两点的距离为，，． 解决问题：求高跷关公腿高度． 根据上述方案及数据，完成求解过程．（结果精确到0.1米．参考数据，，，，，． 四、解答题（本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 23. 为增强中小学生对国防知识的了解，激发青少年的崇军爱国之志，某中学组织八年级和九年级学生参加国防知识竞赛，从中各随机选出20名同学的成绩进行分析，将学生竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，分别是，，，，下面给出了部分信息，其中： 八年级学生的竞赛成绩为：66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，86，88，88，88，91，92，94，95，96，96． 九年级等级C的学生成绩为：86，88，83，81，87，82，89． 两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示： 年级 平均数 中位数 众数 八年级 九年级 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：　　　，　　　； （2）若八、九年级共有1200名学生参加国防知识竞赛，请估计两个年级参赛学生中成绩良好（大于或等于分）以上的学生共有　　　人． （3）根据以上数据，你认为在此次国防知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线（其中相交于，两点，过点B作轴，交y轴于点P． （1）分别求出直线与双曲线的函数解析式； （2）求的面积． 25. 如图，已知为的外接圆，为的直径，作射线，使得，过点A作于点． （1）求证：为的切线； （2）若，求的半径． 26. 【模型建立】（1）如图1，在四边形ABCD中，，，求证：； 【模型应用】（2）如图2， 在正方形中，E为上一点，在上取点F，使，过点F作，与相交于点G，求出线段，，的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】（3）如图3，在矩形中，，E为上一点，在上取点F，使，过点F作，与相交于点G．若，求的长． 27. 如图1，抛物线与x轴交于点，顶点为C，连接，D是线段上一动点（不与点A，B重合），过点D作x轴的垂线交于点E，交抛物线于点F． （1）求抛物线的表达式； （2）当时，求点D的坐标； （3）如图2，G是线段AB上一动点（不与点A，B重合）且始终保持，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期阶段性教育教学质量监测 九年级数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项） 1. 世界最大的高海拔宇宙线观测站“拉索”位于我国甘孜稻城，其海拔高度记为“米”，表示高出海平面4410米；全球最大的超深水半潜式钻井平台“蓝鲸2号”是我国自主设计制造的，其最大钻深记为“米”．“米”表示的意义为（　　） A. 高于海平面15250米 B. 低于海平面15250米 C. 比“拉索”高15250米 D. 比“拉索”低15250米 【答案】B 【解析】 【分析】根据正负数表示具有相反意义的两种量：“”表示高出海平面，则“”即为低于海平面，即可得出答案． 【详解】解：“米”，表示高出海平面4410米， 则“米”，表示低于海平面15250米； 故选：B． 【点睛】本题考查了正负数所表示的意义，以海平面的高度为基准，高于则为正，低于则为负，由此可得出结果． 2. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查倒数的概念，掌握乘积是1的两个数互为倒数是解题关键．根据倒数的概念即可求解． 【详解】解：的倒数是． 故选：C． 3. 2023年9月21日，“天宫课堂”第四课在中国空间站成功开讲，本次太空授课活动激发了广大青少年不断追寻“科学梦”，实现“航天梦”的热情．下列相关卡通图标分别是“星球”“宇航员”“星系”和“黑洞”，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义：一个图形绕着某一点旋转后与原图形完全重合，那么这个图形是中心对称图形，进行判断． 【详解】解：A.不是中心对称图形，故该选项不符合题意， B.不是中心对称图形，故该选项不符合题意， C.不是中心对称图形，故该选项不符合题意， D.是中心对称图形，故该选项符合题意， 故选：D． 4. 年“天水麻辣烫”火爆出圈，据不完全统计，全网“天水麻辣烫”相关信息点击浏览量超亿次将数据“亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，熟练掌握科学记数法的定义是解答本题的关键． 根据科学记数法的定义解答即可． 【详解】解：亿， 故选：B． 5. 若，那么余角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求一个角的余角，根据和为90度的两个角互为余角，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴余角的度数是； 故选：C． 6. 如图，四边形为的内接四边形，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 根据圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理求出． 【详解】解：∵为的内接四边形， ∴， ∴， 故选C． 7. 是单纯由碳原子结合形成的稳定分子，它的发现最初始于天文学领域的研究，由英国、美国科学家探明和勾画其碳分子结构，于年正式制得，它的发现使人类了解到一个全新的碳世界．如图是的分子结构图，它具有个顶点和个面，其中个为正五边形，个为正六边形，其中正五边形的每一个内角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角和公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 先根据正多边形的内角和公式计算出正五边形的内角和，再根据正五边形的个内角都相等，除以即可求解． 【详解】解：正五边形的内角和为：， 又正五边形的个内角都相等， 正五边形的每一个内角的度数是：， 故选：C． 8. 《九章算术》中记载了这样一个数学问题：“今有上禾三乘，益实六斗，当下一十乘：下禾五乘，益实一斗，当上禾二秉．问上、下禾实一秉各几何？”其大意是：今有上等稻子三捆，若打出来的谷子再加六斗，则相当于十捆下等稻子打出来的谷子：有下等稻子五捆，若打出的谷子再加一斗，则相当于两捆上等稻子打出来的谷子．问上等、下等稻子每捆能打多少斗谷子？设上等稻子每捆能打斗谷子，下等稻子每捆能打斗谷子，根据题意可列方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组．根据上等稻子三捆，若打出来的谷子再加六斗，则相当于十捆下等稻子打出来的谷子：有下等稻子五捆，若打出的谷子再加一斗，则相当于两捆上等稻子打出来的谷子．列出方程组即可． 【详解】解：设上等稻子每捆能打斗谷子，下等稻子每捆能打斗谷子，根据题意得： ． 故选：D 9. 某班级开展“共建书香校园”读书活动．统计了1至7月份该班同学每月阅读课外书的本数，并绘制出如图所示的折线统计图．则下列说法正确的是（ ） A. 从2月到6月，阅读课外书的本数逐月下降 B. 从1月到7月，每月阅读课外书本数的最大值比最小值多45 C. 每月阅读课外书本数的众数是45 D. 每月阅读课外书本数的中位数是58 【答案】D 【解析】 【分析】根据折线统计图的变化趋势即可判断A，根据折线统计图中的数据以及众数的定义，中位数的定义即可判断B，C，D选项． 【详解】A.从2月到6月，阅读课外书的本数有增有降，故该选项不正确，不符合题意； B.从1月到7月，每月阅读课外书本数的最大值为78比最小值28多50，故该选项不正确，不符合题意； C. 每月阅读课外书本数的众数是58，故该选项不正确，不符合题意； D.这组数据为： 28，33，45，58，58，72，78，则每月阅读课外书本数的中位数是58，故该选项正确，符合题意； 故选D 【点睛】本题考查了折线统计图，求极差，求中位数，从统计图获取信息是解题的关键． 10. 如图1，在矩形中，动点从点出发，沿折线的方向匀速运动，运动到点停止．设点的运动路程为的面积为与的函数图象如图2所示，则矩形的对角线的长为（ ） A. 35 B. 43 C. 5 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，在解题时要能根据函数的图象求出有关的线段的长度，根据函数的图象、结合图形求出、的值，根据勾股定理求出的长． 【详解】解：动点从点出发，沿、、运动至点停止，而当点运动到点，之间时，的面积不变， ， 函数图象上横轴表示点运动的路程，当点P运动到点D时，， ， ，， 根据勾股定理得， 故选：． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 分解因式：x3y﹣9xy=____． 【答案】xy(x+3)(x﹣3)． 【解析】 【分析】先提取公因式x，再利用平方差公式进行分解． 【详解】x3y﹣9xy =xy(x2﹣9) =xy(x+3)(x﹣3) 故答案为：xy(x+3)(x﹣3)． 【点睛】此题主要考查了分解因式，根据题目选择适合的方法是解题关键． 12. 若一次函数（b是常数）的图象经过第一、二、三象限，则b的值可以是___________（写出一个即可）． 【答案】1（答案不唯一，满足即可） 【解析】 【分析】根据一次函数经过第一、二、三象限，可得，进而即可求解． 【详解】解：∵一次函数（b是常数）的图象经过第一、二、三象限， ∴ 故答案为：1答案不唯一，满足即可） 【点睛】本题考查了已知一次函数经过的象限求参数的值，掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 13. 如图，在四边形中，，，，在不添加任何辅助线的前提下，若使四边形是正方形，只需添加的一个条件是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握正方形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 先证四边形是矩形，再由正方形的判定即可解答． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴需添加的一个条件是． 故答案为：（答案不唯一）． 14. 某些灯具的设计原理与抛物线有关．如图，从点照射到抛物线上的光线，等反射后都沿着与平行的方向射出．若，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】可求，由，即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ， 故答案：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握性质是解题的关键． 15. 我们规定“※”是一种新定义运算符号，即※B，例如：1※2，计算※[4※]= ______． 【答案】8 【解析】 【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值； 【详解】解：根据题中的新定义得：4※=（4-3）×（-2）+（-2）=-4； ※=（-3-3）×（-2）+（-4）=8. 故答案为：8. 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 16. 抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，分别与相切于点C，D，延长交于点P．若，的半径为，则图中的长为________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】连接OC、OD，利用切线的性质得到，根据四边形的内角和求得，再利用弧长公式求得答案． 【详解】连接OC、OD， ∵分别与相切于点C，D， ∴， ∵，， ∴， ∴的长=（cm）， 故答案为：． 【点睛】此题考查圆的切线的性质定理，四边形的内角和，弧长的计算公式，熟记圆的切线的性质定理及弧长的计算公式是解题的关键． 三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，先把二次根式化为最简二次根式和运算乘法，然后合并解题． 【详解】解： ． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式组，先分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 19. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合计算，先把小括号内的式子通分，然后把除法变成乘法，最后约分化简即可得到答案． 【详解】解： 20. 中国古代数学家李之铉在其著作《几何易简集》中记载了这样一道题： 原文 释义 甲乙为定直线，以甲为圆心，以任意之半径截于丙；又以丙为圆心，以同度之半径作弧而得交点丁；以丁为圆心，丁丙为半径画弧，连丙丁而引长之则得交点戊；戊甲相连． 如图，已知射线，以点为圆心，以任意长为半径画弧，交射线于点；以点为圆心，以长为半径画弧，与前面所画的弧交于点D；以点为圆心，以长为半径画弧，交的延长线于点；连接． （1）请你只用直尺和圆规，根据上述步骤完成作图；（保留作图痕迹） （2）求证：． 【答案】（1） 完成作图如图． （2） 证明：如图，连接， 由作图得，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据题意正确作出图形是解题的关键． （1）按题干直接画图即可． （2）连接，由作图得，，可得 再求得可得出，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 为了响应国家开展“中小学生课后服务”的政策，某学校在课后服务活动中开设了A．书法，B．剪纸，C．足球，D．乒乓球，共四门课程供学生选修，每门课程被选到的机会均等． （1）小军选修的课程是篮球的概率　　　． （2）若小军和小彬两位同学各计划选修一门课程，请用列表或画树状图的方法求两人恰好同时选修球类课程的概率． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率． （1）根据没有篮球课程，可得小军选修的课程是的概率为0，即可； （2））画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出两人恰好同时选修球类课程的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：∵没有篮球课程， ∴小军选修的课程是的概率为0； 故答案为：0 【小问2详解】 解：画树状图如图：    共有16个等可能的结果数，其中两人恰好同时选修球类的有4种， 则两人恰好同时选修球类的概率是． 22. 苦水高高跷是甘肃省兰州市永登县传统民俗文化之一，起源于元末明初，至今已有700余年的历史，也是国家非物质文化遗产之一．如图1，表演者穿着传统戏剧服饰，画上秦腔剧目中的人物脸谱，手持道具，凌空飞舞，被业内人士称为行走的“空中戏剧”．2024年春节，永登县连城镇牛站村社火团队表演了醉关公．某校综合实践研究小组开展了“测量高跷关公腿多长”的实践活动，过程如下： 方案设计：如图2，某人垂直踩在地面上，在地面上选取A，B两处分别测得和的度数（A，D，B在同一条直线上）． 数据收集：通过实地测量：地面上A，B两点的距离为，，． 解决问题：求高跷关公腿高度． 根据上述方案及数据，完成求解过程．（结果精确到0.1米．参考数据，，，，，． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，由题意得，，设，，在中，利用锐角三角函数可得，在中，利用锐角三角函数求得，从而可得，再求解即可． 【详解】解：由题意得，， 设，， 在中，，即， ∴， 在中，，即， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 答：高跷关公腿高度为． 四、解答题（本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 23. 为增强中小学生对国防知识的了解，激发青少年的崇军爱国之志，某中学组织八年级和九年级学生参加国防知识竞赛，从中各随机选出20名同学的成绩进行分析，将学生竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，分别是，，，，下面给出了部分信息，其中： 八年级学生的竞赛成绩为：66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，86，88，88，88，91，92，94，95，96，96． 九年级等级C的学生成绩为：86，88，83，81，87，82，89． 两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示： 年级 平均数 中位数 众数 八年级 九年级 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：　　　，　　　； （2）若八、九年级共有1200名学生参加国防知识竞赛，请估计两个年级参赛学生中成绩良好（大于或等于分）以上的学生共有　　　人． （3）根据以上数据，你认为在此次国防知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）． 【答案】（1）87.5；88 （2）900 （3） 两个年级成绩平均数相同，九年级成绩的中位数和众数都比八年级高， 故九年级的成绩更好（答案不唯一）． 【解析】 【分析】本题考查中位数、众数、平均数以及样本估计总体，理解中位数、众数的定义，掌握中位数、众数的计算方法是正确解答的关键． （1）分别根据中位数和众数的定义可得a和b的值； （2）用样本估计总体即可； （3）依据表格中平均数、中位数、众数做出判断即可． 【小问1详解】 解：八年级20名同学的成绩出现次数最多的是88，故众数； 九年级20名同学的成绩从小到大排列， A组有人，B组有人， 等级C的学生成绩按从小到大顺序排列为：81，82，83，86，87，88，89， 因此20个数按大小排列后排在第10名和第11名的两个数分别为87，88， 故中位数； 故答案为：87.5；88；40； 【小问2详解】 解：根据题意得： （人）， ∴估计两个年级参赛学生中成绩良好（大于或等于80分）的学生共有900人， 故答案为：900． 【小问3详解】 略 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线（其中相交于，两点，过点B作轴，交y轴于点P． （1）分别求出直线与双曲线的函数解析式； （2）求的面积． 【答案】（1）双曲线的函数解析式为，直线的函数解析式为 （2） 【解析】 【分析】（1）把代入求得，再把代入求得，进而利用待定系数法求直线的解析式即可； （2）根据题意求得，即，，再利用三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵双曲线的图象经过点， 把代入得，， ∴双曲线的函数解析式为， ∵双曲线的图象经过点， 把代入得，， 解得， ∴， ∵直线经过点，， 把、代入得，， 解得， ∴直线的函数解析式为； 【小问2详解】 解：过点A作的延长线交于点D， ∵轴，，， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查坐标与图形、一次函数与反比例函数的交点问题、用待定系数法求一次解析式和反比例函数解析式，熟练掌握相关知识是解题的关键． 25. 如图，已知为的外接圆，为的直径，作射线，使得，过点A作于点． （1）求证：为的切线； （2）若，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接； ∵为的直径， ，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为的切线； （2）的半径为 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定和性质．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了三角函数的知识． （1）要证为的切线，连接，只证即可． （2）根据三角函数的知识可求出，从而根据勾股定理求出的长，根据三角函数的知识即可得出的半径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴的半径为． 26. 【模型建立】（1）如图1，在四边形ABCD中，，，求证：； 【模型应用】（2）如图2， 在正方形中，E为上一点，在上取点F，使，过点F作，与相交于点G，求出线段，，的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】（3）如图3，在矩形中，，E为上一点，在上取点F，使，过点F作，与相交于点G．若，求的长． 【答案】 （1）证明：如解图，连接. ∵， ∴， ∴. （2），理由如下： 如解图，连接，由(1)同理可得， ∴. 将 绕点顺时针旋转得到，可得， ∴. ∵是正方形， ∴， ∴，即， ∴. ∵， ∴. （3） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）连接，证明，即可解题； （2）连接，则，然后推导，得到，即可解题； （3）连接，推导，即可得到，然后根据，解题即可． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）如解图，连接， 由（1）同理可得， ∴. 过点作，交的延长线于点， ∴. ∵， ∴， ∴， 即 由（2）得， ． 27. 如图1，抛物线与x轴交于点，顶点为C，连接，D是线段上一动点（不与点A，B重合），过点D作x轴的垂线交于点E，交抛物线于点F． （1）求抛物线的表达式； （2）当时，求点D的坐标； （3）如图2，G是线段AB上一动点（不与点A，B重合）且始终保持，，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3）6 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）先求直线的解析式，设，则，然后求出，即可得到点E和F的坐标，利用点F在抛物线上得到方程解题即可； （3）利用勾股定理的逆定理判断是等腰直角三角形，然后过点B作，使，连接，，则有，则可得到当，G，C三点共线时，取得最小值，然后解题即可． 【小问1详解】 解： 抛物线过点， 解得． ． 【小问2详解】 解：设，则， 由，得， 设直线的表达式为， 将点代入， 得， 解得． 直线的表达式为． 点在直线上， ， ． 将代入， 解得（不合适的值已舍去）， ． 【小问3详解】 解：如图，连接， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，． 过点作，使，连接， ． ， ． 要使的值最小，则的值最小， 当三点共线时，取得最小值． 又， 是等腰直角三角形， ， 的最小值为6． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质、勾股定理的逆定理，全等三角形的判定与性质．掌握待定系数法求函数解析式是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $