4.4  有趣的测量（1个知识点+2类热点题型精讲+习题巩固）同步分层作业-2024-2025学年数学五年级下册（北师大版）

4.4  有趣的测量 学习重难点 学习目标 1、掌握不规则物体体积的测量方法。(重点) 2、经历测量石块体积的实验过程，探索不规则物体体积的测量方法，渗透转化思想。(难点) 1、经历测量石块体积的实验过程，探索不规则物体体积的测量方法。 2、掌握不规则物体体积的测量方法，会测量不规则物体的体积。 3、在实践与探究过程中，尝试用多种方法解决实际问题。 知识点一有趣的测量 1、在测量不规则物体的体积时，一般都是把不规则物体的体积转化成可测量的物体的体积。常用的方法有两种： （1）统计升高法：将不规则的物体浸入规则的盛有水的容器，水面会升高，升高的水的体积(没有水溢出)就是不规则物体的体积。 （2）排水法：将不规则的物体浸入盛满水的容器中，溢出的水的体积就是不规则物体的体积。 题型一根据水面升高求不规则图形的面积 1．一个长方体容器，底面长2分米、宽1.5分米，放入一个土豆后水面升高了0.2分米，这个土豆的体积是多少？ 【答案】0.6立方分米 【分析】由题意可知，这个土豆的体积等于上升部分水的体积，上升部分水的体积＝容器的长×容器的宽×上升部分水的高度，据此解答。 【解答】2×1.5×0.2 ＝3×0.2 ＝0.6（立方分米） 答：这个土豆的体积是0.6立方分米。 2．把一个不规则的铁块完全浸没在一个长5分米，宽4分米，高3分米的长方体容器中，放入铁块前水面的高度是2.3分米，放入铁块后水面上升到2.7分米，这个铁块的体积是多少立方分米？ 【答案】8立方分米 【分析】根据题意，这个铁块的体积等于上升的水的体积，而上升的水的形状是长5分米，宽4分米，高（2.7－2.3）分米的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可解答。 【解答】5×4×（2.7－2.3） ＝5×4×0.4 ＝8（立方分米） 答：这个铁块的体积是8立方分米。 3．仔细观察下图，石块的体积是多少立方厘米？（容器底面是正方形） 【答案】200立方厘米 【分析】看图可知，浸入石块水面上升了（8－6）厘米，水面上升的体积就是石块的体积，根据长方体体积公式，容器底面积×水面上升的高度＝石块的体积，据此列式解答。 【解答】 （立方厘米） 答：石块的体积是200立方厘米。 题型二用排水法求不规则图形的面积 4．东东在巽寮湾赶海时捡了一些漂亮的贝壳和石头，体积共为27立方分米，家里有一个长方体玻璃缸（无盖），量得它的长8分米，宽是5分米，高是6分米。（玻璃厚度忽略不计） （1）做这个长方体玻璃鱼缸至少需要平方分米玻璃？ （2）已知鱼缸内水深5.4分米，如果这些贝壳和石头一起放入鱼缸，鱼缸里的水会溢出吗？如果溢出，溢出多少升？ 【答案】（1）196平方分米 （2）会溢出；3升 【分析】（1）求做这个长方体玻璃鱼缸需要玻璃的面积，就是求这个长方体鱼缸5个面的面积和；根据长方体表面积公式：表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 （2）根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，求出这个长方体鱼缸的体积，再求长方体鱼缸内水的体积，再用水的体积＋贝壳和石头的体积求出水、贝壳、石头的体积和，再和长方体鱼缸的体积比较，如果鱼缸的体积大于水、贝壳和石头的体积，则水不会溢出，如果鱼缸的体积小于水、贝壳和石头的体积，则水会溢出，用水＋贝壳和石头的体积－鱼缸的体积，即可求出溢出的水的体积，据此解答，注意单位名数的换算。 【解答】（1）8×5＋（8×6＋5×6）×2 ＝40＋（48＋30）×2 ＝40＋78×2 ＝40＋156 ＝196（平方分米） 答：做这个长方体鱼缸至少需要196平方分米的玻璃。 （2）8×5×6＝240（立方分米） 8×5×5.4 ＝40×5.4 ＝216（立方分米） 216＋27＝243（立方分米） 240＜243，水会溢出。 243－240＝3（立方分米） 3立方分米＝3升 答：鱼缸的水会溢出，溢出3升。 5．一个正方体的容器，从里面量棱长为3分米，水深2.8分米，将一块石头完全浸没在水中，这时溢出水1.8升。这块石头的体积是多少立方分米？ 【答案】3.6立方分米 【分析】正方体体积＝棱长×棱长×棱长，长方体体积＝长×宽×高，由此求出正方体容器的体积以及水的体积。将正方体的体积减去水的体积，再将差加上溢出水的体积，即可求出石头的体积。 【解答】1.8升＝1.8立方分米 3×3×3－3×3×2.8＋1.8 ＝27－25.2＋1.8 ＝3.6（立方分米） 答：这块石头的体积是3.6立方分米。 6．一个长方体的玻璃缸（如下图），缸内有一些水，水面距离上沿0.6分米。准备在缸内放入一块体积是60立方分米的假山石（假山石能全部浸入水中），会溢出多少立方分米的水？ 【答案】12立方分米 【分析】 根据长方体的体积＝长×宽×高，求出水面至上沿的体积，再用假山石的体积减去水面至上沿的体积即可解答。 【解答】60－10×8×0.6 ＝60－80×0.6 ＝60－48 ＝12（立方分米） 答：会溢出12立方分米的水。 一、选择题 1．家庭饲养观赏鱼不但可以陶冶情操，还能为家居环境带来生机和活力。黄老师家有一个从里面量长是5dm、宽是3dm的长方体鱼缸。如果把鱼缸里面的某条金鱼捉出来，水面下降1cm，这条金鱼的体积是（    ）dm3。 A．1.5 B．15 C．150 D．1500 2．一个长方体水缸从内测量得它的长为6分米，宽为4分米，高为5分米，原来的水深是3分米。将一个西红柿完全浸没在水中后现在的水深是3.4分米，这个西红柿的体积是（    ）立方分米。 A．4.8 B．9.6 C．12 3．将两块大小不同的鹅卵石分别放入两个大小不同、同样装满水的杯子里，石头全部沉入水中，（    ）满出来的水一定会多一些。 A．较大的杯子里 B．较小的杯子里 C．放入体积较大鹅卵石的杯子里 D．没有确定哪块鹅卵石放入哪个杯子，所以无法确定哪个杯子 4．把一块石头完全浸没在一个长10cm、宽8cm、高6cm的长方体容器的水里，水深5cm，取出石头后，水深4.5cm。这块石头的体积是（    ）。 A．40 B．480 C．360 5．如图是乐乐比较鸡蛋和鹅卵石的体积时做的实验（单位：厘米），求鸡蛋比鹅卵石小多少立方厘米，所列算式正确的是（    ）。 A．12×8×10－12×8×8.5 B．12×8×8.5－12×8×8 C．12×8×（10－8.5）－12×8×（8.5－8） D．12×8×（10－8）－12×8×（8.5－8） 二、填空题 6．一个棱长的正方体容器装满水，放入一块石头，溢出了的水。再把石头捞出来，这时水面高度为（ ）。 7．一个长方体水箱，从里面量长是25cm，宽是14cm，水箱中浸没着一个钢球（水未溢出），水深15cm，取出钢球后，水深12cm，这个钢球的体积是（ ）cm3。 8．古希腊数学家阿基米德发现当他坐进澡盆里时，看到水往外流，于是将一顶皇冠放进装满水的盆里，由此测出了皇冠的体积。如图，是根据阿基米德的方法，把一顶皇冠放进一个长12厘米，宽12厘米，高15厘米的装满水的长方体容器中，这顶皇冠的体积是（ ）立方厘米。 9．下图是一个装有水的长方体容器，将一个正方体铁块完全浸入水中后，水面上升了1.6cm，水未溢出，这个正方体铁块的体积是（ ）cm3。 10．一个无盖的长方体玻璃容器，长40厘米，宽15厘米，高40厘米，里面盛有一些红色溶液。淘气想知道溶液的深度，他将一根底面边长5厘米，长1米的木条垂直插到容器底部，取出后量得木条被染红的部分长36厘米。原来容器内红色溶液深（ ）厘米。 三、解答题 11．一个长方体容器，底面长2分米、宽1.5分米，放入一个土豆后水面升高了0.2分米，这个土豆的体积是多少？ 12．一个无水鱼缸（如图）中放有一块高28厘米，体积为4200立方厘米的假山石，如果自来水管以每分7立方分米的流量向鱼缸内注水，至少要多少分钟才能将假山石完全淹没？ 13．东东在巽寮湾赶海时捡了一些漂亮的贝壳和石头，体积共为27立方分米，家里有一个长方体玻璃缸（无盖），量得它的长8分米，宽是5分米，高是6分米。（玻璃厚度忽略不计） （1）做这个长方体玻璃鱼缸至少需要平方分米玻璃？ （2）已知鱼缸内水深5.4分米，如果这些贝壳和石头一起放入鱼缸，鱼缸里的水会溢出吗？如果溢出，溢出多少升？ 14．如图，仓库里有A、B两种规格的铁皮各若干张，从中选出5张铁皮焊成一个无盖水箱。 （1）你能想出几种不同的选法？并算出每种选法做成的水箱容积各是多少升？ （2）如果选定容积最大且节省材料的方法做成水箱，请你算出需要多少平方分米铁皮？ （3）用（2）中做成的水箱盛水105升，浸没一个铁块后，水面离箱口0.5分米，铁块的体积是多少立方分米？ 参考答案 1．【分析】水面下降的体积就是某条金鱼的体积，根据下降的水的体积＝长×宽×水下降的高度，代入数据即可解答。 【解答】1cm＝0.1dm 5×3×0.1 ＝15×0.1 ＝1.5（dm3） 所以这条金鱼的体积是1.5。 故答案为：A 2．【分析】根据题意，西红柿的体积等于上升的水的体积。上升的水可以看作长6分米，宽4分米，高（3.4－3）分米的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可解答。 【解答】6×4×（3.4－3） ＝24×0.4 ＝9.6（立方分米） 则这个西红柿的体积是9.6立方分米。 故答案为：B 3．【分析】根据题意，放入鹅卵石后，石头全部沉入水中，水溢出，容器里的水少了，由此可知，水少的体积等于溢出的水的体积，同时也是该鹅卵石的体积，据此比较即可。 【解答】由分析可得： 两个大小不同、同样装满水的杯子，放入鹅卵石后，都会满出来水，满出水的体积就是鹅卵石的体积，鹅卵石越大，即体积越大，满出的水就会多。所以放入体积较大鹅卵石的杯子，满出来的水会多一些。 故答案为：C 【点评】本题考查了如果通过转化，把一个不规则图形的体积转化成规则物体的体积，解题的关键是原来容器的水都是满的，从而得出满出水的体积即不规则物体的体积。 4．【分析】根据题意可知，水面下降部分的体积，就是石头的体积，高为下降的高度，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答。 【解答】10×8×（5－4.5） ＝10×8×0.5 ＝80×0.5 ＝40（cm3） 把一块石头完全浸没在一个长10cm、宽8cm、高6cm的长方体容器的水里，水深5cm，取出石头后，水深4.5cm。这块石头的体积是80cm3。 故答案为：A 5．【分析】鸡蛋和鹅卵石的体积就是排开水的体积，放入鸡蛋水面从8厘米的高度上升到8.5厘米，也就是上升了0.5厘米，则鸡蛋的体积是一个长为12厘米，宽为8厘米，高为0.5厘米的长方体的体积； 放入鹅卵石水面从8.5厘米的高度上升到10厘米，也就是上升了1.5厘米，则鹅卵石的体积是一个长为12厘米，宽为8厘米，高为1.5厘米的长方体的体积； 鸡蛋比鹅卵石小的立方厘米＝鹅卵石的体积－鸡蛋的体积。根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可。 【解答】12×8×（10－8.5）－12×8×（8.5－8） ＝12×8×1.5－12×8×0.5 ＝96×（1.5－0.5） ＝96×1 ＝96（立方厘米） 则鸡蛋比鹅卵石小96立方厘米。 故答案为：C 6．【分析】根据正方体体积公式，可以求出该容器的体积，剩下水的体积＝原来容器装满水的体积－溢出的水的体积，再根据正方体体积公式，用剩下水的体积除以正方体容器的底面积，代入数据可以求出此时的水面高度。 【解答】正方体容器体积： 10×10×10 ＝100×10 ＝1000（cm3） 250mL＝250cm3 剩下水的体积为： 1000－250＝750（cm3） 正方体容器底面积为： 10×10＝100（cm2） 这时水面高度为： 750÷100＝7.5（cm） 【点评】本题要有转化的思想，放入石头，溢出的水的体积，就是拿出石头后容器内少掉的水的体积，同时要熟练掌握正方体体积公式，注意计算中单位的换算。 7．【分析】根据题意可知，水面下降部分的体积就是这个钢球的体积，由于水面下降的部分是一个长方体的形状，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答。 【解答】25×14×（15－12） ＝350×3 ＝1050（cm3） 【点评】本题考查求不规则物体的体积，把不规则物体的体积转化为规则体积，再进行解答。 8．【分析】根据不规则物体的体积计算方法（排水法），皇冠的体积就是取出皇冠后容器中下降部分水的体积。根据长方体的体积计算方法V＝abh，据此解答。 【解答】12×12×（15－12） ＝144×3 ＝432（立方厘米） 【点评】此题主要考查不规则物体的体积计算方法，根据长方体的体积计算方法解答。 9．【分析】根据题意可知，水面上升部分的体积，就是这个正方体铁块的体积，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×水面上升的高度，代入数据，即可解答。 【解答】6×5×1.6 ＝30×1.6 ＝48（cm3） 这个正方体铁块的体积是48cm3。 10．【分析】根据长方体的体积＝底面积×高＝长×宽×高，先求出木条被染红的部分体积。再求出长40厘米，宽15厘米，高36厘米的长方体的体积（溶液的体积＋木条被染红的部分体积），减去木条被染红的部分体积，即可求出溶液的体积。根据长方体的高（深）＝体积÷底面积，用溶液的体积除以长方体玻璃容器的底面积，即可求出原来容器内红色溶液深多少厘米。 【解答】40×15×36－5×5×36 ＝（40×15－5×5）×36 ＝（600－25）×36 ＝575×36 ＝20700（立方厘米） 20700÷（40×15） ＝20700÷600 ＝34.5（厘米） 原来容器内红色溶液深34.5厘米。 11．【分析】由题意可知，这个土豆的体积等于上升部分水的体积，上升部分水的体积＝容器的长×容器的宽×上升部分水的高度，据此解答。 【解答】2×1.5×0.2 ＝3×0.2 ＝0.6（立方分米） 答：这个土豆的体积是0.6立方分米。 12．【分析】假山石高28厘米，只有水面高度达到28厘米，才能将假山石完全淹没。根据长方体的体积＝长×宽×高，求出长45厘米，宽20厘米，高28厘米的长方体的体积（水与假山石的体积之和），再减去假山石的体积，就得注水的体积。根据1立方分米＝1000立方厘米，将水的体积换算成立方分米。最后根据每分注水7立方分米，用水的体积除以7即可求出注水时间。 【解答】45×20×28－4200 ＝25200－4200 ＝21000（立方厘米） 21000立方厘米＝21立方分米 21÷7＝3（分钟） 答：至少要7分钟才能将假山石完全淹没。 13．【分析】（1）求做这个长方体玻璃鱼缸需要玻璃的面积，就是求这个长方体鱼缸5个面的面积和；根据长方体表面积公式：表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 （2）根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，求出这个长方体鱼缸的体积，再求长方体鱼缸内水的体积，再用水的体积＋贝壳和石头的体积求出水、贝壳、石头的体积和，再和长方体鱼缸的体积比较，如果鱼缸的体积大于水、贝壳和石头的体积，则水不会溢出，如果鱼缸的体积小于水、贝壳和石头的体积，则水会溢出，用水＋贝壳和石头的体积－鱼缸的体积，即可求出溢出的水的体积，据此解答，注意单位名数的换算。 【解答】（1）8×5＋（8×6＋5×6）×2 ＝40＋（48＋30）×2 ＝40＋78×2 ＝40＋156 ＝196（平方分米） 答：做这个长方体鱼缸至少需要196平方分米的玻璃。 （2）8×5×6＝240（立方分米） 8×5×5.4 ＝40×5.4 ＝216（立方分米） 216＋27＝243（立方分米） 240＜243，水会溢出。 243－240＝3（立方分米） 3立方分米＝3升 答：鱼缸的水会溢出，溢出3升。 14．【分析】（1）根据长方体的特征，长方体的6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对面的面积相对。由此可知，有三种不同的选法，①选5张A；②选1张A和4张B；③选2张A和3张B。根据长方体的容积公式：V＝abh，把数据分别代入公式解答。 （2）根据（1）所得容积，选出容积最大且表面积小的选法，第②和③容积一样大，但A的面积小于B，所以③的表面积小，计算需要铁皮的面积即可。 （3）根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式求出铁块和水的体积和，然后减去水的体积就是铁块的体积。 【解答】（1）第一种：选5张A，即是一个棱长为6分米的正方体： 6×6×6＝216（立方分米） 216立方分米＝216升 第二种：1张A和4张B，即是一个长6分米，宽6分米，高7分米的长方体： 7×6×6＝252（立方分米） 252立方米＝252升 第三种：2张A和3张B，即是一个长7分米，宽6分米，高6分米的长方体： 6×6×7＝252（立方分米） 252立方分米＝252升 （2）6×6×2＋6×7×3 ＝72＋126 ＝198（平方分米） 答：需要198平方分米铁皮。 （3）6×7×（6－0.5） ＝42×5.5 ＝231（立方分米） 105升＝105立方分米 231－105＝126（立方分米） 答：铁块的体积是126立方分米。 【点评】此题主要考查长方体的表面积公式、容积（体积）公式的灵活运用，关键是熟记公式。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$