4.2  正比例（2个知识点+4类热点题型精讲+习题巩固）同步分层作业-2024-2025学年数学六年级下册（北师大版）

4.2  正比例 学习重难点 学习目标 1、通过具体情境认识正比例的意义，并能正确判断成正比例的量。(重点) 2、能根据正比例的意义，判断两个相关联的量是不是成正比例。(难点) 1、经历探索具体实例的过程，认识正比例以及正比例表示的意义。 2、能根据正比例的意义判断两个相关联的量是否是成正比例。 知识点一正比例的意义 1、正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用字母k表示它们的比值(一定)，正比例关系可以表示为=k(一定)。 知识点二判断两种量是否组成正比例 1、应用正比例的意义判断两种量是否成正比例：有些相关联的量，虽然也是一种量随着另一种量的变化而变化，但它们相对应的数的比值不一定，就不成正比例。 题型一正比例的意义和辨识 1．判断下面的两个量成不成比例，如果成分别成什么比例，写在括号里。 打疫苗时，每小时打疫苗的人数一定，打疫苗的总人数与所用时间( )。 【答案】成正比例 【分析】两种相关联的量，如果它们的比值或商一定，则这两种量成正比例关系。据此解答。 【解答】打疫苗的总人数÷所用的时间＝每小时打疫苗的人数（一定），因此打疫苗的总人数与所用时间成正比例。 【点评】两种相关联的量，若其比值一定，两种量成正比例关系。 2．一辆车匀速行驶，路程是s千米，时间是t小时，路程和时间的比值是( )，路程和时间成( )比例。 【答案】 正 【分析】根据速度＝路程÷时间，可知路程和时间的比值是速度，比值一定时，路程和时间成正比例，据此解答即可。 【解答】由分析可知；一辆车匀速行驶，路程是s千米，时间是t小时，路程和时间的比值是，路程和时间成正比例。 【点评】根据路程、时间、速度的关系和正比例的判定方法，解答此题即可。 3．房屋每平方米物业管理费一定，房屋面积和所缴的物业管理费成( )比例。 【答案】正 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定。如果比值一定，就成正比例，如果乘积一定，就成反比例。 【解答】题中，（一定），据此可知房屋面积和所缴的物业管理费成正比例关系。 【点评】此题考查的是如何辨识正反比例，以及正反比例的实际应用问题。 题型二根据等式判断是否组成正比例及求未知数 4．若28x＝91y，则x∶y＝( )，题中两个量成( )关系。 【答案】91∶28 正比例 【分析】根据比例的性质两个外项的积等于两个内项的积即可得出x∶y；判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【解答】28x＝91y，即x∶y ＝91∶28，是比值一定，所以x和y成正比例； 【点评】本题考查的是比例的性质及如何辨识成正、反比例的量，主要看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。 5．如果a×＝b×2（a、b均不为0），那么a∶b＝( )∶( )，a与b成( )比例关系。 【答案】16 5 正 【分析】根据比例的基本性质：在比例中，两个内项之积等于外项之积，把等积式改为比例式，再依据比的基本性质化成最简比，可知a与b的比值一定，即可判断成正比例。 【解答】如果a×＝b×2（a、b均不为0），那么a∶b＝2∶＝（2×8）∶（×8）＝16∶5；a与b成正比例关系。 【点评】此题重点考查比例的基本性质和正比例的辨识。 6．如果（a，b均不为0），那么a∶b＝( )。如果x∶1.5＝y（x，y均不为0），那么x∶y＝( )，x和y成( )比例。 【答案】3∶4 3∶2 正 【分析】第一、二空依据比例的基本性质（在一个比例中，两个外项的积等于两个内项的积）即可解答；第三空依据正比例的意义即可解答。 【解答】（a，b均不为0），那么a∶b＝∶＝3∶4； x∶1.5＝y（x，y均不为0），那么x∶y＝1∶1.5＝3∶2； 因为x与y的比值一定，所以x与y成正比例。 【点评】此题重点考查对比例基本性质和正比例意义的灵活运用。 题型三根据图表判断是否组成正比例 7．84消毒液是一种无色或淡黄色的液体，是一种高效消毒剂。疫情期间被广泛用于宾馆、旅游、医院、家庭、学校等的卫生消毒，消毒方法：擦拭，喷洒，拖洗消毒。常用的有1∶500和1∶200两种84消毒液配制方法。 1∶500的84消毒液配制如下： 加清水 500克 2500克 5000克 84消毒液 1毫升 5毫升 10毫升 假如现在是1∶200的84消毒液配制，请完成下表： 加清水 500克 2500克 5000克 84消毒液 毫升 毫升 毫升 【答案】2.5 12.5 25 【分析】根据题目可知，84消毒液∶清水＝1∶200＝，由此即可知道84消毒液和清水成的比值一定，则84消毒液和清水成正比例，84消毒液＝×清水，即当清水是500克、2500克、5000克分别代入公式求出相应的84消毒液的毫升，由此即可解答。 【解答】由分析可知，84消毒液和清水成正比例 当加清水500克，需要84消毒液：500×＝2.5（毫升）； 当加清水2500克，需要84消毒液：2500×＝12.5（毫升） 当加清水5000克，需要84消毒液：5000×＝25（毫升） 【点评】本题主要考查正比例的辨识以及正比例的应用，熟练掌握正比例的意义并灵活运用。 8．下面分别是正方形的周长与边长的变化情况，把表填完整。 边长/cm 1 2 3 ( ) 周长/cm 4 ( ) ( ) ( ) 分析与解答：正方形边长变化，周长也随着变化，但这两个量的比值（商）是一定的：边长÷周长＝( )或周长÷边长＝( )。 【答案】4 8 12 16 4 【分析】根据成正比例的两个量的关系，判断其比例关系。 【解答】2×4＝8（cm） 3×4＝12（cm） 4×4＝16（cm） 4÷1＝4 8÷2＝4 12÷3＝4 16÷4＝4 如图： 边长/cm 1 2 3 4 周长/cm 4 8 12 16 因为根据成正比例关系的两个量的意义，周长∶边长＝4（一定），正方形的周长与边长成正比例。 据此可得：分析与解答：正方形边长变化，周长也随着变化，但这两个量的比值（商）是一定的：边长÷周长＝或周长÷边长＝4。 【点评】此题主要考查正方形的特征、周长的计算方法、以及正比例的意义。 9．购买一种自动铅笔的数量和总价如下表。 数量/支 1 2 3 4 5 6 … 总价/元 1.5 3.0 4.5 6.0 7.5 9.0 … 表中( )和( )是两种相关联的量。它们是成( )比例关系的两种量，因为( )。 【答案】数量 总价 正 单价一定，就是总价和数量的比值一定。 【分析】观察表格中两种量可得总价随着数量的变化而变化，即数量和总价是两种相关联的量；再根据总价、数量、单价之间的关系判定即可。 【解答】观察表中数据得：数量和总价是两种相关联的量； 1.5∶1＝1.5 3.0∶2＝1.5 4.5∶3＝1.5 6.0∶4＝1.5 … 可得相对应的总价与数量的比值是1.5（一定），表示单价。自动铅笔的单价一定，就是总价和数量的比值一定，所以总价和数量成正比例关系。 故答案为：数量；总价；正；单价一定，就是总价和数量的比值一定。 【点评】本题主要考查正比例关系的判定，解题时要牢记判断两种相关联的量成不成比例，成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例。 题型四正比例的简单应用 10．手机积分是通过消费话费金额来获得的，通信公司为了回馈广大用户，开展了手机积分兑换话费的活动，1800积分可换30元话费，2400积分可换40元话费，以此类推。王阿姨共有3300积分，可兑换多少话费呢？（用比例解答） 【答案】55元 【分析】根据题意可得出，积分∶可兑换的话费＝每元话费需要的积分（一定），比值一定，那么积分与可兑换的话费成正比例关系，据此列出正比例方程，并求解。 【解答】解：设可兑换元话费。 ＝ 1800＝30×3300 1800＝99000 ＝99000÷1800 ＝55 答：可兑换55元话费。 11．用100千克小麦可以磨出80千克面粉，照这样计算，磨500千克面粉需要多少千克小麦？（列比例解答） 【答案】625千克 【分析】根据题意可知，每千克小麦磨出面粉的重量是一定的，则小麦的重量和磨出的面粉的重量成正比例，设磨500千克面粉需要x千克小麦，列比例：100∶80＝x∶500，解比例，即可解答。 【解答】解：设磨500千克面粉需要x千克小麦。 100∶80＝x∶500 80x＝100×500 80x＝50000 x＝50000÷80 x＝625 答：磨500千克面粉需要625千克小麦。 12．有一个甘蔗榨汁机，可以用500克的甘蔗榨出150克的甘蔗汁，现在有10千克的甘蔗，可以榨出多少克甘蔗汁？（用比例解答） 【答案】3000克 【分析】10千克＝10000克；每克甘蔗榨出的甘蔗汁的克数一定，即甘蔗汁的质量∶甘蔗的质量的比值一定，则甘蔗汁的质量与甘蔗的质量成正比例关系，设可以榨出x克甘蔗汁，列比例：150∶500＝x∶10000，解比例，即可解答。 【解答】10千克＝10000克 解：设可以榨出x克甘蔗汁。 150∶500＝x∶10000 500x＝150×10000 500x＝1500000 x＝1500000÷500 x＝3000 答：可知榨出3000克甘蔗汁。 【点评】关键是判断题目中的两种相关联的量成什么比例关系，据此列出相应的比例方程。 一、选择题 1．下列说法正确的是（    ）。 A．一条射线长60米。 B．一年中有6个大月，6个小月。 C．∶和7∶5能组成比例。 D．一个人的身高和体重成正比例。 2．一个圆柱若高增加2分米，则表面积增加25.12平方分米，体积增加。原来圆柱的表面积为（    ）平方分米。 A．188.4 B．157 C．150.72 D．125.6 3．不蕴含正比例知识的成语有（    ）。 A．立竿见影 B．南腔北调 C．水涨船高 D．日积月累 4．乘船人数与所付船费如表，所付船费和乘船人数（    ）。 人数 0 1 2 3 4 5 船费/元 0 3 6 9 12 15 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．无法判断 5．如图，如果x和y成正比例，那么“？”处应填写（    ）。 x 4 ？ y 8 32 A．6 B．8 C．12 D．16 二、填空题 6．春光服装厂童装车间要做612套学生服。头5天做了170套，照这样速度，其余的还需要（ ）天做完。 7．如果a和b是两个相关联的量，且9a＝7b，那么a∶b＝（ ）（填比值），a和b成（ ）比例。 8．按要求填写下面的表格。 下表中m和n两个量成正比例。 m 0.8 2 （ ） （ ） n 2 （ ） 4 1.5 1.4 9．一个房间的铺地面积和用砖数量如下表，根据表格填空。 铺地面积/m2 1 2 3 4 用砖数量/块 15 30 45 60 （1）表中（ ）和（ ）是相关联的量，（ ）随着（ ）的变化而变化。 （2）第四组中用砖数量与铺地面积这两种量相对应的两个数的比是（ ），比值是（ ）。 （3）上面所求比值所表示的意义是每平方米的（ ），（ ）是一定的，所以用砖数量和铺地面积成（ ）比例。 10．实践活动：大树有多高？ 操场上，同学们在阳光下测量木棒、竹竿的高度以及它们影子的长度，测量数据如下表： 木棒或竹竿 实际高度 影长 实际高度与影长的比值 木棒1 1 0.25 （ ） 木棒2 1.2 0.3 （ ） 竹竿1 1.6 0.4 （ ） 竹竿2 2 0.5 （ ） （1）请填写完整上面的表格。 （2）仔细观察表格中木棒、竹竿的实际高度与影长的比值，发现实际高度与影长之间成 比例。 （3）根据你的发现想一想，如果这时同学们测出大树的影长是4.6米，那么大树的实际高度应是 米。 三、解答题 11．一辆汽车从A地到B地，上午4小时行驶了240千米，照这样的速度，下午再行驶5小时就到达B地。A、B两地之间的距离是多少千米？（用比例知识解答） 12．手冲咖啡通常按照咖啡粉与水2∶25的比例配制而成，现有咖啡粉28克，需加多少克的水？（用比例解答） 13．公路队修一条长900千米的公路，8天修了360千米，照这样的速度，还要多少天才能修完？（用比例解） 14．4月23日是“世界读书日”，博文小学开展了“阅读改变未来”的读书活动。下面是笑笑读一本《名人传》所用的天数和页数的情况。 天数 1 2 3 4 5 … 页数 15 30 45 60 75 … （1）表中读书的页数和对应的天数的最简整数比是（    ），比值是（    ）。 （2）所求的比值表示的意义是（    ）。 （3）表中相关联的两种量成正比例吗？为什么？ 参考答案 1．【分析】A．射线是指由线段的一端无限延长所形成的直的线。特点：只有一个端点，不可度量。 B．一年中大月有：1月、3月、5月、7月、8月、10月、12月，共有7个大月；小月有：4月、6月、9月、11月，共有4个小月。 C．根据比例的意义可知，比值相等的能组成比例。 D．判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。如果既不是比值一定，也不是乘积一定，则这两种相关联的量不成比例。 【解答】A．射线的长度不可度量，原题说法错误。 B．一年中有7个大月，4个小月，原题说法错误。 C．∶＝÷＝×7＝，7∶5＝7÷5＝；比值相等，所以∶和7∶5能组成比例，原题说法正确。 D．一个人的身高与体重无论是乘积，还是商，都不是定值，所以一个人的身高和体重不成比例，原题说法错误。 故答案为：C 2．【分析】根据题意可知，这个圆柱的高增加2分米，表面积增加25.12平方分米，表面积增加的是高为2分米的圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积公式：侧面积＝底面周长×高；底面周长＝侧面积÷高；再根据圆的周长公式：周长＝π×直径；直径＝周长÷π；据此可以求出圆柱的底面直径，又知高增加2分米，体积增加，因为圆柱的底面积不变，所以圆柱的体积与高成正比例，也就是圆柱高的是2分米，据此可以求出圆柱的高，然后根据圆柱的表面积侧面积底面积×2，把数据代入公式解答。 【解答】圆柱的底面直径： （分米） 圆柱的高： （分米） 圆柱的表面积：3.14×4×10＋3.14×（4÷2）2×2 ＝12.56×10＋3.14×22×2 ＝125.6＋3.14×4×2 ＝125.6＋12.56×2 ＝125.6＋25.12 ＝150.72（平方分米） 一个圆柱若高增加2分米，则表面积增加25.12平方分米，体积增加。原来圆柱的表面积为150.72平方分米。 故答案为：C 3．【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。据此判断。 【解答】A．立竿见影是影子的长度和物体的高度的比值一定，影长和物体的高度成正比例。 B．南腔北调形容口音不纯，夹杂着各地的方言，没有涉及正比例知识。 C．水涨船高，水越涨，船越高，说明船的增高速度＝实际的高度÷时间，速度不变，实际的高度和时间成正比例。 D．日积月累，积累的速度＝积累的总量÷时间，速度不变，总量和时间成正比例。 所以不蕴含正比例知识的成语有南腔北调。 故答案为：B 4．【分析】判断两种相关联的量成不成比例，成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，就成反比例；如果是其它的量一定或乘积、比值不一定，就不成比例，据此分析解答。 【解答】由表格中数据可知，船费÷人数＝每人的船费，这个数值是一定的，即比值一定，故所付船费与乘船人数成正比例关系。 故答案为：A 5．【分析】两种相关联的量，如果它们的比值或商一定，则这两种量成正比例关系。x和y成正比例，则x和y的比值一定。设“？”处的数是x，可以列出比例，解出这个比例即可。 【解答】解：设“？”处的数是x。 8x＝4×32 8x＝128 x＝128÷8 x＝16 则“？”处应填写16。 故答案为：D 【点评】根据正比例的意义列出比例是解题的关键。 6．【分析】由题意，每天加工衣服的速度是一定的，加工的衣服套数与天数的比值是一定的，即加工的衣服套数与天数成正比例，据此列比例求解。 【解答】由分析可得； 解：设其余的还需要x天做完， （612－170）∶x＝170∶5 170x＝5×（612－170） 170x＝5×442 170x＝2210 170x÷170＝2210÷170 x＝13 综上所述：春光服装厂童装车间要做612套学生服。头5天做了170套，照这样速度，其余的还需要13天做完。 【点评】解答本题的关键是弄清楚每天加工的速度是一定的，据此判断出加工的衣服套数与天数成正比例。 7．【分析】比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积，据此可知a和b的比值是多少；判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【解答】因为9a＝7b 所以a∶b ＝7∶9 ＝ a和b的比值一定，所以它们成正比例。 【点评】本题主要考查了比例的基本性质、正比例的意义和辨识。注意比值的结果是一个商，可以是整数、小数或分数。 8．【分析】两种相关联的量成反比例关系，那么它们的乘积一定；已知m和n成正比例关系，据此列出正比例方程，并求解。 【解答】0.8∶2＝m∶4 解：2m＝0.8×4 2m＝3.2 m＝3.2÷2 m＝1.6 0.8∶2＝m∶1.4 解：2m＝0.8×1.4 2m＝1.12 m＝1.12÷2 m＝0.56 0.8∶2＝2∶n 解：0.8n＝2×2 0.8n＝4 n＝4÷0.8 n＝5 m 0.8 2 1.6 0.56 n 2 5 4 1.5 1.4 【点评】根据正比例的意义列出相应的正比例方程是解题的关键。 9．【分析】（1）根据表格中的数量关系直接填空即可； （2）找出第四组中用砖数量与铺地面积的值，写出比化简并求比值即可； （3）比值是用砖数量与铺地面积的比值，表示用砖数量÷铺地面积，表示1平方米需要多少多少块砖；根据两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系；据此解答。 【解答】（1）表中铺地面积和用砖数量是相关联的量，用砖数量随着铺地面积的变化而变化。 （2）第四组中用砖数量∶铺地面积＝60∶4＝15∶1 60∶4＝60÷4＝15 第四组中用砖数量与铺地面积这两种量相对应的两个数的比是15∶1，比值是15。 （3）所求比值＝用砖数量÷铺地面积即所求比值所表示的意义是每平方米的用砖数量；用砖数量和铺地面积的比值是一定的，所以用砖数量和铺地面积成正比例。 10．【分析】（1）写出实际高度与影长的比，再求出比值即可。 （2）仔细观察表格中竹竿、木棒的实际高度与影长的比值，发现比值是一定的，所以实际高度与影长之间成正比例； （3）根据实际高度与影长成正比例，列式4.6×4计算解答即可。 【解答】（1） 填表如下： 木棒或竹竿 实际高度 影长 实际高度与影长的比值 木棒1 1 0.25 4 木棒2 1.2 0.3 4 竹竿1 1.6 0.4 4 竹竿2 2 0.5 4 （2）仔细观察表格中木棒、竹竿的实际高度与影长的比值，发现比值一定，所以实际高度与影长之间成正比例。 （3）（米） 【点评】此题重点考查学生对正比例意义的理解与运用。 11．【分析】根据题意可知，路程÷时间＝速度（一定），则路程和时间的比值一定，它们成正比例关系，据此设A、B两地之间的距离是x千米，列比例为x∶（4＋5）＝240∶4，然后解出比例即可。 【解答】解：设A、B两地之间的距离是x千米。 x∶（4＋5）＝240∶4 x∶9＝240∶4 4x＝240×9 4x＝2160 x＝2160÷4 x＝540 答：A、B两地之间的距离是540千米。 12．【分析】从题中我们可以知道，手冲咖啡的咖啡粉与水的比值是不变的，也就是咖啡粉与水的量成正比例关系，根据这个比例关系，可以列出比例方程，再根据比例的基本性质以及等式的性质解比例方程。 【解答】解：设需加x克的水。 28∶x＝2∶25 2x＝25×28 2x＝700 x＝700÷2 x＝350 答：需加350克的水。 13．【分析】根据题意知道工作效率一定，工作量和工作时间成正比例，由此列出比例解决问题。 【解答】解：设还要x天才能修完。 （900－360）∶x＝360∶8 540∶x＝360∶8 360x＝540×8 360x＝4320 x＝4320÷360 x＝12 答：还要12天才能修完。 14．【分析】（1）两数相除又叫两个数的比，据此写出读书的页数和对应的天数的比，化简即可，求比值直接用比的前项÷后项； （2）根据读书的页数÷对应的天数＝每天读的页数，进行分析； （3）两种相关联的量，一种量变化另一种量随着变化，无论怎么变，如果x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系，据此分析。 【解答】（1）15∶1＝15÷1＝15 30∶2＝（30÷2）∶（2÷2）＝15∶1＝15÷1＝15 45∶3＝（45÷3）∶（3÷3）＝15∶1＝15÷1＝15 表中读书的页数和对应的天数的最简整数比是15∶1，比值是15。 （2）所求的比值表示的意义是每天读的页数。 （3）表中相关联的两种量成正比例，因为读书的页数÷对应的天数＝每天读的页数（一定）。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$