海南省海南中学、海口一中、文昌中学、嘉积中学2024-2025学年高三下学期四校联考数学试题

数 学 时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，B=，则 A． B． C． D． 2．i是虚数单位，则复数的虚部为 A．3 B．－3 C．3i D．－4i 3．已知，是单位向量，若，则 A． B． C． D．8 4．如图是某年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述正确的是 ①第一季度GDP总量和增长率排名位次相同的省只有1个； ②与去年同期相比，第一季度五个省的GDP总量均实现了增长； ③去年同期的GDP总量前三位是D省、B省、A省； ④去年同期A省的GDP总量是第三位． A．①② B．②③④ C．②④ D．①③④ 5．若，，则 A．1 B．－1 C．2 D．－2 6．设双曲线的右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于（除原点外），两点，若，则双曲线C的离心率为 A． B． C． D． 7．已知，且，则 A． B． C． D． 8．已知函数，是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且. 若对任意，都有，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知函数在区间上的最大值为4，则下列说法正确的是 A．的最小正周期为 B． C．点是图象的一个对称中心 D．在区间上单调递减 10．若数列满足： ，已知，则 A．14 B．15 C．17 D．18 11．如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水，已知BC＝8，CD＝，A A1＝，当底面ABCD水平放置时，水面位置满足BF∶FB1＝1∶3，容器内有水部分的几何体体积是V，下列命题正确的是 A．固定容器底面一边BC于地面上，将容器倾斜，有水的 部分始终呈棱柱形 B．固定容器底面一顶点B于地面上，将容器倾斜，有水的 部分可能是三棱锥 C．体积为V，高为的圆锥不能放在半径是的球体内 D．体积为V的正方体可以在轴截面为正三角形且底面半径为 的圆锥内任意旋转 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．数列都是等差数列，且则数列的前2025项的和是______. 13．设点是抛物线的焦点，过抛物线上一点作其准线的垂线，垂足为，已知直线交轴于点，且的面积为8，则该抛物线的方程为______． 14．将标号为1～10的10个小球装入两个不同的盒子，使得每个盒子都有球，有______种不同的装法；当两个盒子的球数相等时，从两个盒子中不放回地各取一球，记下两球球号之积，重复上述操作，直至取完，则所有积之和的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本题满分13分） 已知分别为△ABC三个内角的对边，且. （1）求； （2）若b＝4，△ABC的面积为，为边上一点，满足, ① 求△ABC的周长；； ② 求BD的长． 16．（本题满分15分） 已知函数. （1）当时，曲线在点(1,1)处的切线与曲线 相切，求实数m的值； （2）函数恒成立，求实数的取值范围. 17．（本题满分15分） 如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形为菱形，,,. （1）证明：BD⊥平面PAC； （2）若PA<PC, 四棱锥P-ABCD的体积为1， 求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值. 18．（本题满分17分） 某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人，它结合了人工智能、语音识别、互动娱乐和教育等内容，且云端内容可以持续更新，旨在通过趣味性和互动性帮助孩子学习和发展。萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎，为了更好的服务广大家长，该公司对萌宠机器人的某个性能指数()与孩子的喜爱程度()进行统计调查，得到如下数据表： 5 6 7 8 9 0.55 0.50 0.60 0.65 0.70 （1）请根据上表提供的数据，通过计算变量，的相关系数，回答是否可以认为该性能指数与孩子的喜爱程度相关性很强．（当时，与相关性很强） （2）机器人的交互性很强，孩子可以通过输入语音给机器人发布执行指令．机器人执行命令的正确率为90%，出错率为10%．当机器人正确执行命令时，使用者满意的概率为80%；当机器人执行出错时，使用者满意的概率为30%．如果使用者对某次命令执行结果表示不满意，求机器人实际正确执行命令的概率是多少？ （3）该公司科技人员小李想挑战萌宠机器人，他和机器人比赛答题，他们每人答4个题，若小李答对题数不小于3，则挑战成功．已知小李答对前两道题的概率 均为，答对后两道题的概率均为．假设每次答题相互独立，且互不影响．当时，求小李挑战成功的概率的最大值． 参考公式：相关系数． 19．（本题满分17分） 已知上下顶点分别为A，B的椭圆经过点，P为直线上 的动点，且P不在椭圆E上，与椭圆E的另一交点为C，与椭圆E的另一交点为D（C，D均不与椭圆E上下顶点重合）． （1）求椭圆E的方程； （2）证明：直线过定点； （3）设（2）问中定点为Q，过点C，D分别作直线的垂线，垂足分别为M，N， 记，，的面积分别为,,，试问：是否存在常数t，使得,,总为等比数列？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． ( 高三数学 第 3 页 （共4页） ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数 学 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A A B C D B C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 BC ABD ACD 【选择题解析】 1．集合，B=， 故选： 2．，复数的虚部为 故选： 3．由题意，若， 则，则， 则 故选：A 4．①第一季度GDP总量和增长率排名位次相同的省有2个，B省和C省的GDP总量和增长率分别居第一位和第四位，故①错误；由图知②正确； 由图计算去年同期五省的GDP总量，可知前三位为D省、B省、A省，故③正确；由③知去年同期A省的GDP总量是第三位，故④正确. 故选： 5．由， 故 故选：C 6．由为直径知，， . 故选：D 7．因为，故， 则，则， 又， 又 故原式． 故选：B 8．因为，，用代替得， 所以，结合， 所以，因为，，所以， 设，所以在单调递增， 所以 或或 ， 所以或或，所以. 故选：C 9．由，可得的最小正周期，故A错误； 由，得，则， 的最大值为，由，得，故B正确； 令，得， 则图象的对称中心为， 点是图象的一个对称中心，故C正确． 由，得，此区间为正弦函数的一个增区间， 则在上单调递增，故D错误； 故选：BC 10．若为奇数，则，即，不合题意，故为偶数，则，即．若为奇数，则，即，若为奇数，则，即，不合题意，则为偶数，则，即，此时；若为偶数，则，即，若为奇数，则，即，此时；若为偶数，则，即， 此时．故选ABD． 11．A选项，固定容器底面一边BC于地面上, 根据棱柱的定义，有二个面相互平行且是全等的多边形，其余每相邻两个面的交线互相平行，所以有水的部分是棱柱，故A正确； B选项，有水部分几何体的体积为 当平面ACB1水平放置时，三棱锥B- ACB1的体积取到最大值， 此时，故B错误 C选项，设圆锥底面半径为r，， 由于，故C正确. D选项，依题意，设正方体棱长为，，解得， 正方体的外接球半径为 圆锥底面半径，圆锥的高，母线长， 设圆锥内切球半径为r， ，解得， 正方体恰好可以在圆锥内任意转动，故D正确. 故选ACD. 高三数学联考题参考答案 第4页 （共10页） 学科网（北京）股份有限公司 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．20250 13． 14．1022 110 【解析】 12．为等差数列，则为等差数列 的前2025项的和是 13．根据题意作出如图所示的图象： 其中，，为双曲线的准线， 且准线方程为，，. 设，则，. 在中，为的中点，则为的中点，即，. ∵的面积为8，∴8，即4. ∵，∴4，即8. ∴4 ∴该抛物线的方程为. 14．不妨记两个盒子为甲、乙．第一步，将小球装入甲盒子，可以装的小球数量为，故装法有种；第二步，将剩下的小球装入乙盒子，装法只有1种，故共有1022种装法． 所有积之和的最小值为：1×10＋2×9＋3×8＋4×7＋5×6＝110 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．解： （1）因为，根据正弦定理可得： , ………………1分 又， 所以 ………………2分 所以 ……3分 ， ………………4分 因为C为三角形内角，故， 所以 ………………5分 因为B是三角形内角，所以，所以. ......6分 （2）如图： ①因为，所以. ………………7分 由余弦定理：. 所以. △ABC的周长是12 ………………9分 ②△ABC为等边三角形.又，所以. ………………10分 在中，. ………………12分 所以. ………………13分 16．解： （1）的定义域为， ………………1分 由可得， ………………2分 所以在x=1处的切线方程为y－1=2(x－1）， 即2x－y－1=0 ………………3分 切线2x－y－1=0与曲线相切， 即 得， ………………6分 m=0（舍去）或m=8 ∴m=8 ………………7分 （2）法一：由可得， 当时，， 所以在上单调递增，不成立。 ………………9分 当时，令，得， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以当时，取得极大值，也是最大值， 即 ………………12分 所以有，即 ………………13分 设，则， 所以在上单调递增， 又，所以，得a >1， 故实数的取值范围是. ………………15分 法二：因为恒成立，又 恒成立， ………………9分 令， …………10分 令， 所以在单调递减 ………………12分 因为，所以当时，，，单调递增 当时，，，单调递减 所以当时，取得极大值，也是的最大值 ………………14分 实数的取值范围是 ………………15分 17．解： （1）设，连接PO, 因为四边形为菱形， 则为、的中点，且， ………………1分 因为，,， 则△是边长为的等边三角形， 则，， 因为，所以，即， ………………4分 因为，、平面，所以平面. ……5分 （2）因为平面，， 故平面⊥平面ABCD， 过点P作AC的垂线交AC于点E， 因为PA<PC，所以点E在线段AO上， 因为平面∩平面ABCD=AC，， 所以PE⊥平面ABCD， …………7分 菱形的面积， 又四棱锥的体积为1，即，可得， 因为PO=1，所以. 以为原点，、所在直线分别为轴、轴，过点且与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系， ………………9分 则、、，， ，， 设平面PCD的法向量为，则 ………………11分 设平面PAB的法向量为，则 ………………13分 设平面PAB与平面PCD的夹角为， ………………14分 所以，平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为 ………………15分 18．解： （1）由表知，，， ………………1分 0.45， ………………2分 ∵，0.025， ∴0.25， ………………3分 所以 ………………4分 ∵， ∴可以认为该性能指数与孩子的喜爱程度相关性很强． ………………5分 （2）记事件：机器人正确执行命令；事件：机器人执行命令出错； 事件：使用者对结果满意，则表示使用者不满意. ………………6分 依题意：，，， ………………7分 所以 ……9分 所以. 即如果使用者对某次命令执行结果表示不满意，求机器人实际正确执行命令的概率是0.72. ………………10分 （3）设小李挑战成功为事件C，则 ， ………………12分 由，得． ………………13分 令，因为，，所以， 所以 ………………14分 设，则 ……15分 当时，取得最大值． ………………16分 所以，当或时，小李挑战成功的概率取得最大值． ……17分 19．解： （1）将点代入椭圆方程，解得m的值为3， ………………2分 则椭圆E的方程为. ………………3分 （2）由题意，直线的斜率一定存在，设直线的方程为：，设，， 则直线为： ① 直线为： ② 由①②得： ∵P在直线上，∴， ………………4分 ∵，∴，∴， ∴， ∴ ③ ………………6分 联立： 得方程：， ， ………………7分 由韦达定理：，， 将韦达定理代入③得：， ∴（舍），, ∴直线过定点. ………………9分 （3），，显然C，D在直线的两侧，不妨设. 则S△CMQ, S△MNQ, S△DNQ …11分 设存在常数t，使得，，为等比数列，即, 即：, 即：, …………13分 因为，在直线上，所以， 将，, ， ， ………………15分 代入，化简得：, ∵, ∴,∴， ∴存在时，，，总构成等比数列. ………………17分 $$