安徽省池州市青阳中学2024—2025学年高一上学期第一次考试数学试题

答案第 1页，共 11页 2024—2025学年第一学期高一第一次考试 数学参考答案 1．D 【分析】根据集合交集的定义，结合子集个数公式进行求解即可． 【详解】由题意  0,1A B  ，因此它的子集个数为 4． 故选：D． 2．B 【分析】利用定义判断函数的奇偶性可对 A、C判断：利用函数奇偶性的判断并结合函数单 调性可对 B、D判断． 【详解】对 A、C：由  f x x ，定义域为 0, ， 所以  f x x 不是奇函数，故 A错误；   2 1 1 f x x   定义域为    2 2 1 1, ( ) 1 1 f x f x x x        R ， 所以   2 1 1 f x x   是偶函数，故 C错误； 对 B、D：  f x x x  ，定义域为R ，      f x x x x x f x        ，所以  f x 为奇函数， 当 0x  时，   2f x x  ，且   2f x x  在  0,  上单调递减，故 B正确；   3f x x ，定义域为R ，且    3 3( )f x x x f x      ， 所以   3f x x 为奇函数，且在定义域上为增函数，故 D错误， 故选：B． 3．C 【分析】根据“ 1a  ”与“  f x 为奇函数”互相推出的情况判断属于何种条件． 【详解】当 1a  时，   1 1 2 1 2x f x    ，定义域为R 且关于原点对称， 所以    1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 x x x x x xf x f x                  ， 所以  f x 为奇函数； 答案第 2页，共 11页 当  f x 为奇函数时，显然定义域为R 且关于原点对称，所以    f x f x   ， 所以     1 1 2 1 1 0 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 x x x x x a a a af x f x a                                   ， 所以 1a  ， 由上可知，“ 1a  ”是“  f x 为奇函数”的充要条件， 故选：C． 4．B 【分析】由题意可得 2 1x  的范围为  2,3 ，求解 x的范围，再结合分母不为 0即可得解． 【详解】由题意得 2 2 1 3x    ，解得 3 1 2 x   ， 由 1 0x   ，解得 1x   ， 故函数  2 1 1 f x y x    的定义域是  3 , 1 1,1 2       ， 故选：B． 5．C 【分析】根据“ 0a b  ”与“ 0a a b b  ”互相推出情况判断属于何种条件. 【详解】当 0a b  时，则 ,a b中至少有一个数大于0，不妨设此数为 a， 若 0b  ，则 0a b   ，所以 0a b   ，所以  a a b b     ，所以 0a a b b  ， 若 0b  ，则 0a b  ，此时 0a a b b  显然成立， 若 0b  ，此时 0a a b b  也显然成立， 所以充分性满足； 当 0a a b b  时，则 ,a b中至少有一个数大于0，不妨设此数为 a， 若 0b  ，则    2 2 0a b a b a b     ，因为 0a b > ，所以 0a b  ， 若 0b  ，则 0a b  显然成立， 若 0b  ，则 0a b  也显然成立， 所以必要性满足， 所以“ 0a b  ”是“ 0a a b b  ”的充要条件， 故选：C. 答案第 3页，共 11页 【点睛】关键点点睛：本题在充分、必要条件问题的背景下考查不等式的性质，解答本题的 关键在于分类讨论思想的运用以及对不等式性质的理解. 6．C 【分析】根据题意，可得方程 2 0ax bx c   的两个根为 2x   和 =1x ，且 0a  ，结合二次 方程根与系数的关系得到 a、b、c的关系，再结合二次函数的性质判断即可． 【详解】根据题意， 2 0ax bx c   的解集为{ | 2 1}x x   ，则方程 2 0ax bx c   的两个根 为 2x   和 =1x ，且 0a  . 则有 2+1= ( 2) 1= <0 b a c a a          ，变形可得 = = 2 b a c a    ， 故函数   2 2 2 2 1y ax bx c ax ax a a x x         是开口向下的二次函数，且与 x轴的交 点坐标为 ( 1,0) 和 (2,0) . 对照四个选项，只有 C符合. 故选：C． 7．B 【分析】分两种情况考虑， 0m  时，不等式成立； 0m  时，需满足 2 0 Δ 4 0 m m m      ，综 上，即可得到本题答案. 【详解】①当 0m  时，不等式成立，∴ 0m  ； ②当 0m  时，则有 2 0 Δ 4 0 m m m      ，解得0 4m  ； 综上，0 4m  ． 故选：B． 8．A 【分析】根据给定条件，利用赋值法依次求出 (0), ( 1), (1), (2), (4)f f f f f 即可. 【详解】在 ( ) ( ) 2 ( )f x f y xy f x y    中，令 0x y  ，则 (0) 0f  ， 令 1, 1x y   ，则 (1) ( 1) 2 (0) 0f f f     ，即 (1) ( 1) 2f f    ， 在 3 1( ) ( )f x x f x  中，令 1x   ，则 ( 1) ( 1)f f    ，则 0, (1) 2( 1)f f    ， 答案第 4页，共 11页 令 1x y  ，则 (2) 2 (1) 2 6f f    ，令 2x y  ，则 (4) 2 (2) 8 20f f    . 故选：A 9．AB 【分析】可由性质定理判断 A、B对，可代入特例判断选项 C、D错. 【详解】解：若 ac2>bc2，两边同乘以 2 1 c 则 a>b，A对， 由不等式同向可加性，若 a>b，c>d，则 a+c>b+d，B对， 当令 a=2，b=1，c=﹣1，d=﹣2，则 ac=bd，C错， 令 a=﹣1，b=﹣2，则 1 1 a b  ，D错. 故选：AB. 10．BCD 【分析】首先求出幂函数的解析式，然后再根据幂函数的性质逐个判断选项即可. 【详解】解：设   ,f x x  为常数，则 1( 2) 2   ，即 122 2   ，解得 2   ， 则   2 2 1f x x x   ， ( )f x\ 的定义域为   0 ,x x f x 的值域是  0,  ，A错；B对；  f x 的定义域关于原点对称，    2 2 1 1 ( ) f x f x x x      ， ( )f x\ 为偶函数；C对；   1 2 2 2 1 2 1 2 1 4 2 2 x xf x x x x               ，     2 22 21 2 1 21 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 f x f x x xx x x x      ，    1 21 2 2 2 f x f xx xf         2 2 1 2 2 2 2 1 21 2 4 2 x x x xx x           22 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 8 2 x x x x x x x x x x        答案第 5页，共 11页 2 1 0x x  ，  2 2 21 2 1 2 1 2 1 22 4 0x x x x x x x x       ， 2 2 1 2 1 22 0x x x x   ，    22 2 2 21 2 1 2 1 28 0x x x x x x      ， 当 2 1 0x x  时，    1 21 2 2 2 f x f xx xf       ．D对； 故选：BCD 11．ABD 【分析】根据给定条件，利用“可分集合”的定义逐项分析判断即得. 【详解】对于 A，去掉3后， 1,2,4 不满足定义， 1,2,3,4 不是“可分集合”，A正确； 对于 B，集合 1,3,5,7,9,11,13 所有元素之和为49， 当去掉元素1时，剩下的元素之和为 48，集合 3,5,7,9 与 11,13 的元素和相等，符合题意； 当去掉元素3时，剩下的元素之和为 46，集合 1,9,13 与 5,7,11 的元素和相等，符合题意； 当去掉元素5时，剩下的元素之和为 44，集合 1,3,7,11 与 9,13 的元素和相等，符合题意； 当去掉元素7时，剩下的元素之和为 42，集合 1,9,11 与 3,5,13 的元素和相等，符合题意； 当去掉元素9时，剩下的元素之和为 40，集合 1,3,5,11 与 7,13 的元素和相等，符合题意； 当去掉元素11时，剩下的元素之和为38，集合 3,7,9 与 1,5,13 的元素和相等，符合题意； 当去掉元素13时，剩下的元素之和为36，集合 1,3,5,9 与 7,11 的元素和相等，符合题意， 因此集合 1,3,5,7,9,11,13 是“可分集合”，B正确； 对于 C，不妨设 1 2 3 4a a a a   ，去掉 1a ，则 2 3 4a a a  ，去掉 2a ，则 1 3 4a a a  ， 于是 1 2a a ，与 1 2a a 矛盾，因此  1 2 3 4, , ,A a a a a 一定不是“可分集合”，C错误； 对于 D，不妨设 1 2 3 4 50 a a a a a     ， 若去掉元素 1a ，将集合 2 3 4 5, , ,a a a a 分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有 2 5 3 4a a a a   ①，或者 5 2 3 4a a a a   ②， 答案第 6页，共 11页 若去掉元素 2a ，将集合 1 3 4 5, , ,a a a a 分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有 1 5 3 4a a a a   ③，或者 5 1 3 4a a a a   ④， 由①③或②④得 1 2a a ，矛盾；由①④或②③得 1 2 0a a  ，矛盾， 因此集合  1 2 3 4 5, , , ,A a a a a a 不是“可分集合”，D正确． 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：考查新定义下的集合问题，对此类题型首先要多读几遍题，将新定义 理解清楚，然后根据定义验证，证明即可，注意对问题思考的全面性. 12． 2| 1 3 x x       【分析】根据已知不等式的解集，利用利用韦达定理求得 ,a b的值,进而求解. 【详解】∵关于 x的不等式 2 1 0ax bx   的解集是 1 2x x  ， ∴ 2 1 0  ax bx 的两根为 1，2. ∴ 1 1 2 2 1 2 3 a b a           ,解得 1 2 3 2 a b        ，∴ 2 1 0bx ax   为 2 3 1 1 0 2 2 x x   ，即 23 2 0x x   ，即   3 2 1 0x x   ，解得 2 1 3 x   , 故答案为： 2| 1 3 x x       . 13．  4,  【分析】判断函数的单调性，根据二次函数的性质可得关于m的不等式，求解即可． 【详解】由题意得，  f x 在  1, 上单调递增， 所以 1 4 m   ，解得 4m   ． 即实数m的取值范围是  4,  . 故答案为： 4,  . 14． 3, 【分析】构造函数 2( ) 4 2f x x x a   ， ( ) 2 1g y y  ，由已知可知 min min( ) ( )f x g y ，代入即 可求解. 答案第 7页，共 11页 【详解】令函数 2( ) 4 2f x x x a   ，开口向上，对称轴为 2x  ，在 2x  时函数单调递减； 令函数 ( ) 2 1g y y  ，函数在 R上单调递增； 由对 1 2 5x y    , ，使得 2 4 2 2 1x x a y    成立，即 ( ) ( )f x g y 则需 min min( ) ( )f x g y ，即 (1) (2)f g 即1 4 2 2 2 1a     ，解得： 3a  所以实数 a的取值范围是  3, 故答案为： 3, 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数    , ,y f x x a b  ，    , ,y g x x c d  （1）若  1 ,x a b  ，  2 ,x c d  ，总有    1 2f x g x 成立，故    2max minf x g x ； （2）若  1 ,x a b  ，  2 ,x c d  ，有    1 2f x g x 成立，故    2max maxf x g x ； （3）若  1 ,x a b  ，  2 ,x c d  ，有    1 2f x g x 成立，故    2min maxf x g x ； 15．（1） 1；（2）65 【分析】根据指数幂的运算法则，进行化简计算即可； 【详解】（1） 20.5 32 21 82 0.75 6 4 27               1 22 3 2 39 3 1 2 4 4 36 3                          3 9 1 9 2 16 36 4     1 . （2）因为 1 1 2 2 3a a    ， 所以 21 1 1 2 2 2 7a a a a           ， 所以  22 2 1 2 47     a a a a ， 所以    1 2 23 3 1 1 1 33 7 46 3 65 2 2 7 2 a a a aa a a a a a                    ． 答案第 8页，共 11页 16．(1) 2 3x x  (2) 4 3 a a     【分析】（1）将 1a  代入，化简 p，根据 ,p q都为真命题即可求得 x的取值范围. （2）若 q是 p的充分而不必要条件，转化为集合间关系，然后列出不等式即可求得结果. 【详解】（1）若 1a  ，则 2 22 3 0x ax a   可化为 2 2 3 0x x   ，得 1 3x   ． 若 q为真命题，则 2 4x  ．∴p，q都为真命题时，x的取值范围是 2 3x x  ． （2）由  2 22 3 0 0x ax a a    ，得 3a x a   ． ∵q是 p的充分而不必要条件， ∴ 2 4x x  是 3x a x a   的真子集， 则 2 0 3 4 a a a       ，得 4 3 a  ． ∴实数 a的取值范围是 4 3 a a     ． 17．(1) 1a  ，  f x 在R 上单调递增 (2)  , 2  【分析】（1）根据奇函数的概念求 a的值，利用单调性的定义判断函数  f x 的单调性； （2）利用函数  f x 的单调性及二次函数的性质求解． 【详解】（1）函数  f x 是奇函数，且定义域为R ，所以  0 0f  ， 所以 0 00 e e 1a a     ，解得 1a  ， 所以   e ex xf x   ， 此时   e e ( )x xf x f x     ，  f x 是奇函数，符合题意. 设 1 2,x x R ，且 1 2x x ， 所以      1 1 2 21 2 e e e ex x x xf x f x        1 2 1 2 1 1e e e e x x x x    答案第 9页，共 11页   2 1 1 2 1 2 e ee e e e x x x x x x       1 2 1 2 1 2 1 e ee e e e x x x x x x          ， 因为 1 2x x ，所以 1 2e e 0x x  ，又 1 2e 0,e 0x x  ， 所以    1 2 0f x f x  ，即    1 2f x f x ， 所以  f x 在R 上单调递增． （2）因为    2 2 0f x x f x k    在  1, 2 上恒成立， 所以    2 2f x x f x k    ， 因为  f x 为奇函数，所以    2 2f x x f k x   ， 因为  f x 在R 上单调递增，所以 2 2x x k x   在  1, 2 上恒成立， 所以 2 3k x x  在  1, 2 上恒成立， 令     2 2 3 93 , 1, 2 2 4 h x x x x x           ，则    min 1 2h x h    ， 所以 2k   ， 所以 k的取值范围为  , 2  ． 18．(1) ( , 1) (1, )   (2) 2 3, 3        (3) 1m  【分析】（1）利用解不含参的一元二次不等式解法求解，即可； （2）对参数m进行分类讨论，并结合一元二次函数性质即可求解； （3）转化为 1 1, 2 2 x      时，  2 21 1m x x x x      恒成立，分离参数，利用基本不等式 求最值求解m的取值范围． 【详解】（1）当 0m  时， 2 1y x  ， 由 0y  得 2 1 0x   ，解集为 ( , 1) (1, )   ． （2）当 1m   时，由 0y  ，得到 2 0x   ，所以 2x  ，不合题意， 当 1m   时，不等式 0y  的解集为， 答案第 10页，共 11页 得   2 1 0 Δ 4 1 1 0 m m m m         ，解得 2 3 3 m   ， 所以实数m的取值范围为 2 3, 3        ， （3）由不等式 y x  ，得  2 21 1m x x x x      ， 2 21 31 ( ) 0 2 4 x x x      恒成立，  2 2 2 2 11 1 1 1 xx xm x x x x             ， 设1 x t  ， 1 1, 2 2 x      ，则 1 3, , 1 2 2 t x t      ，  2 2 2 1 1 11 (1 ) 1 1 1 1 x t t x x t t t t t t                ， 1 12 2t t t t      ，当且仅当 1t  ，即 0x  时取等号， 当 0x  时， 2 2 max 1 1 1 x x x x         ， 1m  ． 19．（1） 2 3 , 3       ；（2） 2 3 , 3       . 【分析】（1）转化为   0f x  对一切实数 x恒成立，分类讨论求解即可； （2）将条件中的集合间的包含关系转化为不等式恒成立的问题解决，然后分离参数后再转 化为求函数的最值的问题，最后根据基本不等式求解可得所求． 【详解】（1）①当 1 0m  时，即 1m   时，   2f x x  ，不合题意； ②当 1 0m  时，即 1m   时，满足   2 1 0 4 1 1 0 m m m m         ， 即 1 2 3 2 3 3 3 m m m        或 ，解得 2 3 3 m  ， 即实数m的取值范围是 2 3 , 3       . （2）不等式   0f x  的解集为D，若  1,1 D  ， 答案第 11页，共 11页 即对任意的  1,1x  ，不等式   21 1 0m x mx m     恒成立， 即  2 21 1m x x x     恒成立， 因为 2 1 0x x   恒成立，所以 2 2 2 1 21 1 1 x xm x x x x            恒成立， 设 2t x  ，则  1,3t ， 2x t  ， 所以    22 2 2 1 31 3 32 2 1 3 x t t x x t tt t t t              ， 因为 3 32 2 3t t t t     ，当且仅当 3t t  时，即 3t  时取等号， 所以 2 2 1 2 3 3 1 32 3 3 x x x        ，当且仅当 2 3x   时取等号， 所以当 2 3x   时， 2 2 1 1 x x x     的最大值为 2 3 3 2 31 3 3     ， 所以m的取值范围是 2 3 , 3       . 【点睛】方法点睛：解含参数的一元二次不等式的步骤 （1）二次项系数若含有参数应讨论是等于 0，小于 0，还是大于 0，然后将不等式转化为二 次项系数为正的形式． （2）判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与 0的关系． （3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确 定解集的形式． 数学试题 第 1页（共 4页） 数学试题 第 2页（共 4页） 绝密★启用前 2024—2025学年第一学期高一第一次考试 数 学 一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求. 1．已知集合    1 , 1,0,1, 2A x N x B     ，则 A B 的子集的个数为（ ） A．1 B． 2 C．3 D． 4 2．下列函数中，既是奇函数，又在  0,  上单调递减的是（ ） A．  f x x B．  f x x x  C．   2 1 1 f x x   D．   3f x x 3．已知函数   1 2 1 2x af x    ，则“ 1a  ”是“  f x 为奇函数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知函数  y f x 的定义域为  2,3 ，则函数  2 1 1 f x y x    的定义域为（ ） A． 3 ,1 2     B．  3 , 1 1,1 2       C．  3,7 D．   3, 1 1,7   5．已知实数 a，b，则“ 0a b  ”是“ 0a a b b  ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．不等式 2 + >0ax bx c 的解集为 | 2< <1x x ,则函数 2y ax bx c   的图像大致为（ ） A． B． C． D． 7．已知不等式 2 1 0mx mx   ，对任意实数 x都成立，则m的取值范围（ ） A． ( , 4) [0, )    B．[0, 4) C． ( ,0] (4, )  D．[ 4,0) 8．已知函数 ( )f x 的定义域为R ，且 3 1( ) ( )( ( ,0) (0, ))f x x f x x     ， ( ) ( ) 2 ( )f x f y xy f x y    ，则 (4)f 的值是（ ） A． 20 B． 16 C． 12 D． 10 二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分. 9．对于任意实数 a，b，c，d，则下列命题正确的是（ ） A．若 ac2>bc2，则 a>b B．若 a>b，c>d，则 a+c>b+d C．若 a>b，c>d，则 ac>bd D．若 a>b，则 1 1 a b  10．已知幂函数  f x 的图象经过点 12, 2       ，则（ ） A．  f x 的定义域为全体实数 B．  f x 的值域是  0,  C．  f x 为偶函数 D．若 2 1 0x x  ，则    1 21 2 2 2 f x f xx xf      11．已知集合  1 2, , , nA a a a  是由  3n n  个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素  1,2, ,ia i n L 之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有 元素之和相等，就称集合 A为“可分集合”．（ ） A． 1,2,3,4 不是“可分集合” B． 1,3,5,7,9,11,13 是“可分集合” C．四个元素的集合  1 2 3 4, , ,A a a a a 可能是“可分集合” D．五个元素的集合  1 2 3 4 5, , , ,A a a a a a 不是“可分集合” 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分. 12．若关于 x的不等式 2 1 0ax bx   的解集是 1 2x x  ，则不等式 2 1 0bx ax   的解集是 ； 数学试题 第 3页（共 4页） 数学试题 第 4页（共 4页） 13．若函数   22 1f x x mx   对于任意      1 21 2 1 2 , 1, , 0 f x f x x x x x      恒成立，则实数m的取值范围 是 ． 14．若对 1 2 5x y    , ，使得 2 4 2 2 1x x a y    成立，则实数 a的取值范围是 . 四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） （1）计算： 20.5 32 21 82 0.75 6 4 27               ； （2）已知 1 1 2 2 3a a    ，求 3 3 1 3 2 a a a a       的值． 16．（15分） 设 :p 实数 x满足  2 22 3 0 0x ax a a    ， :q 实数 x满足 2 4x  ． (1)若 1a  ，且 p，q都为真命题，求 x的取值范围； (2)若 q是 p的充分而不必要条件，求实数 a的取值范围． 17．（15分） 已知函数    e ex xf x a a   R 是奇函数，其中 e为自然对数的底数． (1)求实数 a的值，判断函数  f x 的单调性（无需证明）； (2)当不等式    2 2 0f x x f x k    在  1,2x  恒成立时，求实数 k的取值范围． 18．（17分） 已知函数    21 1y m x mx m m     R ． (1)当 0m  时，求不等式 0y  的解集； (2)若不等式 0y  的解集为，求m的取值范围； (3)对任意的 1 1, 2 2 x      ，不等式 y x  恒成立，求m的取值范围． 19．（17分） 已知函数      21 1f x m x mx m m R      . （1）若不等式   0f x  的解集为，求m的取值范围； （2）若不等式   0f x  的解集为D，若 1,1 D  ，求m的取值范围.