精品解析：2025年陕西省榆林市榆阳区中考一模数学试题

2025年第一次中考模拟考试 数学试题 注意事项： 1.本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2.领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2Ｂ铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（Ａ或Ｂ）． 3.请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4.作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5.考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的算术平方根是（ ） A. B. C. D. 2. 某个几何体的表面展开图如图所示，这个几何体是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，点分别在上，，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 4. 不等式组的解集是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在菱形中，对角线与交于点，．则菱形的面积是（　　） A. B. 16 C. D. 6. 已知一次函数中，y随x的增大而减小，且函数图象经过点，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的弦，是的半径，连接， ，若，则（　　） A. B. C. D. 8. 已知抛物线（是常数，且）与轴正半轴交于点，当时，；当时，．则的值为（　　） A. 4 B. 3 C. 8 D. 6 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 写出一个小于的正整数：___________． 10. “方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”，如：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数的系数与相应的常数项，即可表示方程．按照上述规则，则表示的方程是___________． 11. 如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，若，则的长为___． 12. 已知点是反比例函数（为常数且）图象上的不重合的两点，若点、到轴的距离相等，则的值为___________． 13. 如图，直线平分的面积，分别交边于点，直线交的延长线于点，过点作交的延长线于点，过点作交于点，若的面积为2，则的长为___________． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 化简：． 15. 计算：． 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 如图，直线，点在直线上，请利用尺规在直线上作点，点在点的左侧，连接，使得四边形是矩形．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，在中，，过点向下作，连接，在边上截取，连接，求证：． 19. 华山山名最早出现在《山海经》和《禹贡》中，即春秋战国时期就有“华山”之名，华山素有“奇险天下第一山”之称．琳琳一家人爬完华山后，琳琳洗了四张照片（照片除所拍山峰不一样外其他均相同），分别是东（E）、西（W）、南（S）、北（N）峰（如图），将这四张照片背面朝上放在桌面上，选匀． （1）琳琳从这四张照片中随机抽取一张，则抽到东峰的概率为 ； （2）琳琳从这四张照片中随机同时抽取两张，并在这两张照片的背面写上祝福语分别送给爸爸和妈妈．请用列表法或画树状图法求琳琳抽取的两张照片中有南峰的概率． 20. 某校组织师生乘车前往革命英烈纪念馆，进行红色教育活动．他们早晨从学校出发，原计划当天上午可以到达革命英烈纪念馆，但实际上他们当天上午便到达了革命英烈纪念馆，已知汽车实际行驶速度比原计划行驶速度快．求汽车原计划行驶的速度． 21. 文昌阁矗立在榆林古城步行街最南端，巍峨高耸，画栋雕梁，流光溢彩，实为古城南大门以内前瞻景观，为历史文化名城增添了亮丽的色彩．数学小组的同学想测量文昌阁的高度，如图，小组同学在点处竖立了高为的标杆，发现地面上的点、标杆顶端和文昌阁顶端在一条直线上；然后，小组同学甲站在处，调整自己眼睛的位置，当眼睛在处时，恰好看到标杆顶端和文昌阁底端在一条直线上．同学甲的眼睛到地面的距离．已知，点在一条水平线上，图中所有点在同一平面内，请你求出文昌阁的高度． 22. 探索烘焙温度和烘焙时间之间的关系 学校劳动课上开展烘焙实践课，同学们发现烘焙某种面点时，当烘焙温度大于150℃且小于220℃时，烘焙温度和烘焙时间之间存在关系，对这种关系进行探索． 素材1 设置不同的烘焙温度，则对应的烘焙时间如下： 烘焙温度 ．．． 160 170、180 190、200．．． 烘焙时间 ．．． 30 27.5、25 22.5、20．．． 素材2 同学们制作了平面直角坐标系，把如上表中的各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点并连线，发现这些点都在某条直线上． 问题解决 任务1 猜想与满足 函数关系（填“一次”、“二次”或“反比例”）； 任务2 求出与的函数关系式； 任务3 已知某次烘焙时间是，求该次烘焙温度． 根据以上素材，探索完成任务． 23. 2025年春晚名为《秧》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到秧歌的独特韵味．我国机器人产业正处于高速发展的关键时期，某公司生产了一批机器人即将投入市场，为了解这批机器人的工作时长（充满电后能工作的时长），从这批机器人中随机抽取部分机器人进行测试，得到数据进行如下统计和分析． 【数据收集】对所抽取机器人工作时长进行统计（单位：）： 【数据整理】对所统计数据整理如下： 组别 工作时长 机器人数量（台） 组内工作总时长（h） A 2 4 6 5 3 【数据分析及问题解决】请你根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）所抽取机器人工作时长的中位数是 ，众数是 ； （2）求所抽取机器人工作时长的平均数； （3）若这批机器人共有2000台，请估计这批机器人工作时长不小于的有多少台？ 24. 如图，点是线段上一点，以为直径作，过点作的切线，点为切点，过点作交于另一点，连接，延长交于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 25. 在物理实验课上，晓欢和同学们研究小球从斜坡下滑．如图，某一次实验中一小球沿斜坡下滑，经过水平桌面，然后从点处离开桌面（不考虑空气阻力）．小球从点离开桌面到落到水平地面的路径是抛物线的一部分．点在点的正下方且点在水平地面上，以点为坐标原点，水平地面垂直于的直线为轴，为轴建立平面直角坐标系．水平桌面与水平地面平行，桌面与地面之间的距离为，利用频闪照相机观测到小球运动到点处时，到轴的距离与到水平桌面的距离均为，点为图中抛物线的顶点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）在小球抛出的正前方有一高为的无盖正方体纸箱（纸箱厚度忽略不计），纸箱左侧到原点的水平距离为，小球最终能否落到纸箱内？请通过计算说明． 26. 问题探究 （1）如图①，在中，以为直径作，、分别交于点，连接，若，点是的中点，求的长； 问题解决 （2）如图②是某生态公园的部分示意图，是一条笔直的小溪流，是小溪流旁的一块绿地，点在上，．点分别是边上的动点，连接，为使游客有更好的观景体验，需沿修建玻璃桥，根据规划要使．为节约成本，要使玻璃桥的长尽可能的小．请问玻璃桥的长度存在最小值吗？若存在，请求出玻璃桥长的最小值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年第一次中考模拟考试 数学试题 注意事项： 1.本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2.领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2Ｂ铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（Ａ或Ｂ）． 3.请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4.作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5.考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的算术平方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】算术平方根为正，可得答案. 【详解】解得为4，所以答案选择A项. 【点睛】本题考查了算术平方根，掌握定义是解答本题的关键. 2. 某个几何体的表面展开图如图所示，这个几何体是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了几何体的展开图，熟记常见立体图形的平面展开图的特征是解决此类问题的关键．根据圆柱的侧面展开图得出答案，两个底面为圆，侧面展开为长方形． 【详解】解：如图所示：这个几何体是圆柱． 故选：D． 3. 如图，点分别在上，，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，先利用平角定义可得：，然后利用平行线的性质即可解答．根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 4. 不等式组的解集是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查解不等式组，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则分别求出每个不等式的解集，再将解集联立即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 故选A． 5. 如图，在菱形中，对角线与交于点，．则菱形的面积是（　　） A. B. 16 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，由菱形的性质推出，，，由勾股定理求出，得到，由菱形的面积公式即可求出菱形的面积．关键是掌握菱形的面积公式． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ， ， 菱形的面积． 故选：D． 6. 已知一次函数中，y随x的增大而减小，且函数图象经过点，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图像和性质，熟记“，图像经过一、三象限，y随x的增大而增大，，图像经过二、四象限，y随x的增大而减小”是正确解决本题的关键． 根据“，图像经过一、三象限，y随x的增大而增大，，图像经过二、四象限，y随x的增大而减小”及函数图象经过点判断k、b的正负即可得出结论． 【详解】解：一次函数中，y随x的增大而减小，且函数图象经过点， ，，， A．正确，此选项不符合题意； B．正确，此选项不符合题意； C．，不正确，此选项符合题意； D． 正确，此选项不符合题意； 故答案为：C． 7. 如图，是的弦，是的半径，连接， ，若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等边对等角．先根据圆周角定理求得的度数，再根据平行线的性质求得的度数，最后利用等边对等角结合三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 8. 已知抛物线（是常数，且）与轴正半轴交于点，当时，；当时，．则的值为（　　） A. 4 B. 3 C. 8 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，依据题意，由抛物线与轴正半轴交于点，抛物线的对称轴为直线，且当时，，可得当时，，当时，，从而当时，，即，求出即可判断得解．解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 【详解】解：抛物线与轴正半轴交于点， 当时，． ． 抛物线的对称轴为直线，且当时，， 当时，． 当时，， 当时，． ． ． 故选：A． 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 写出一个小于的正整数：___________． 【答案】1（答案不唯一，填2，3，4也正确） 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键．根据运算法则进行估算即可． 【详解】解：由题意可得：， 故小于的正整数有， 故答案为：1（答案不唯一，填2，3，4也正确）． 10. “方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”，如：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数的系数与相应的常数项，即可表示方程．按照上述规则，则表示的方程是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据图意列二元一次方程，认真审题，读懂图中的意思，仿照图写出答案．解题的关键是读懂图的意思． 【详解】解：根据题知：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数，的系数与相应的常数项， 最左边一个竖线表示一个，中间一个竖线表示一个，最右边一条横线表示一十，一个竖线表示一， 所以该图表示的方程是：． 故答案为：． 11. 如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，若，则的长为___． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，根据角平分线的性质，得到，再根据线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：∵平分，，， ∴， ∵， ∴； 故答案为：6． 12. 已知点是反比例函数（为常数且）图象上的不重合的两点，若点、到轴的距离相等，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上的点的坐标特征，可得，所以，又因为点、到轴的距离相等，点、不重合，所以，，即可求得，进而可求得的值，即可求出的值，反比例函数中，，这是解决反比例函数相关问题的重要依据． 【详解】解：点，在反比例函数的图象上， 根据反比例函数图象上的点的坐标特征，可得， ， 点、到轴的距离相等，点、不重合， ， ， 把代入，可得， ，， ． 故答案为：． 13. 如图，直线平分的面积，分别交边于点，直线交的延长线于点，过点作交的延长线于点，过点作交于点，若的面积为2，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先运用平行四边形的性质，证明，得出结合，则，即，，则，再证明，结合相似三角形的对应边的比等于面积比的开方，即可作答． 【详解】解：连接交于点，延长交的延长线于点，如图所示： ∵直线平分的面积， ∴，，，， ∴， ∴， ∴ ∵过点作交的延长线于点，过点作交于点， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ 则 ∵ ， ， 则， ∵， ∴， ∴， 则 ． 故答案为：． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，利用单项式乘以多项式和单项式乘以单项式的法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的计算，零指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．根据分式的运算法则化简得到，代数求值即可． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 17. 如图，直线，点在直线上，请利用尺规在直线上作点，点在点的左侧，连接，使得四边形是矩形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 解：如图，过点作直线的垂线，交直线于点，再以点为圆心，的长为半径画弧，在点的右侧交直线于点，连接， 则四边形 即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图—复杂作图、矩形的判定，结合矩形的判定，过点作直线的垂线，交直线于点，再以点为圆心，的长为半径画弧，在点的右侧交直线于点，连接即可．熟练掌握矩形的判定是解答本题的关键． 【详解】略. 18. 如图，在中，，过点向下作，连接，在边上截取，连接，求证：． 【答案】 证明：，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的性质、等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理、角的和差求出，利用证明，根据全等三角形的对应边相等即可得证，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 【详解】略 19. 华山山名最早出现在《山海经》和《禹贡》中，即春秋战国时期就有“华山”之名，华山素有“奇险天下第一山”之称．琳琳一家人爬完华山后，琳琳洗了四张照片（照片除所拍山峰不一样外其他均相同），分别是东（E）、西（W）、南（S）、北（N）峰（如图），将这四张照片背面朝上放在桌面上，选匀． （1）琳琳从这四张照片中随机抽取一张，则抽到东峰的概率为 ； （2）琳琳从这四张照片中随机同时抽取两张，并在这两张照片的背面写上祝福语分别送给爸爸和妈妈．请用列表法或画树状图法求琳琳抽取的两张照片中有南峰的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到东峰的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及琳琳抽取的两张照片中有南峰的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到东峰的结果有1种， 琳琳从这四张照片中随机抽取一张，抽到东峰的概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：列表如下： 共有12种等可能的结果，其中琳琳抽取的两张照片中有南峰的结果有：，，，，，，共6种， 琳琳抽取的两张照片中有南峰的概率为． 20. 某校组织师生乘车前往革命英烈纪念馆，进行红色教育活动．他们早晨从学校出发，原计划当天上午可以到达革命英烈纪念馆，但实际上他们当天上午便到达了革命英烈纪念馆，已知汽车实际行驶速度比原计划行驶速度快．求汽车原计划行驶的速度． 【答案】汽车原计划行驶的速度为 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程解实际应用题，准确找到等量关系是解题的关键．设汽车原计划行驶的速度为，则实际行驶的速度为，根据题意列出方程进行计算即可． 【详解】解：设汽车原计划行驶的速度为，则实际行驶的速度为， 根据题意可得：， 解得， 汽车原计划行驶的速度为． 21. 文昌阁矗立在榆林古城步行街最南端，巍峨高耸，画栋雕梁，流光溢彩，实为古城南大门以内前瞻景观，为历史文化名城增添了亮丽的色彩．数学小组的同学想测量文昌阁的高度，如图，小组同学在点处竖立了高为的标杆，发现地面上的点、标杆顶端和文昌阁顶端在一条直线上；然后，小组同学甲站在处，调整自己眼睛的位置，当眼睛在处时，恰好看到标杆顶端和文昌阁底端在一条直线上．同学甲的眼睛到地面的距离．已知，点在一条水平线上，图中所有点在同一平面内，请你求出文昌阁的高度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由得，即得，得到，可得，同理可得，得到，解之即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：， ∴ ∴， ， 即， ， ∴， 同理可得， ， 即， ， 文昌阁的高度为． 22. 探索烘焙温度和烘焙时间之间的关系 学校劳动课上开展烘焙实践课，同学们发现烘焙某种面点时，当烘焙温度大于150℃且小于220℃时，烘焙温度和烘焙时间之间存在关系，对这种关系进行探索． 素材1 设置不同的烘焙温度，则对应的烘焙时间如下： 烘焙温度 ．．． 160 170、180 190、200．．． 烘焙时间 ．．． 30 27.5、25 22.5、20．．． 素材2 同学们制作了平面直角坐标系，把如上表中的各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点并连线，发现这些点都在某条直线上． 问题解决 任务1 猜想与满足 函数关系（填“一次”、“二次”或“反比例”）； 任务2 求出与的函数关系式； 任务3 已知某次烘焙时间是，求该次烘焙温度． 根据以上素材，探索完成任务． 【答案】任务1：一次；任务2：；任务3：烘焙温度为 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，用待定系数法求函数解析式，一次函数的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 任务1：根据一次函数的定义即可得到答案； 任务2：设与的函数关系式为，把代入，求出，得到与的函数关系式为； 任务3：令，则，求解即可． 【详解】解：任务1∶根据题意得与满足一次函数关系， 故答案为：一次； 任务2，设与的函数关系式为， 把点代入得， ， 解得： 与的函数关系式为； 任务3，令，则， 解得：， 烘焙时间是，烘焙温度为． 23. 2025年春晚名为《秧》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到秧歌的独特韵味．我国机器人产业正处于高速发展的关键时期，某公司生产了一批机器人即将投入市场，为了解这批机器人的工作时长（充满电后能工作的时长），从这批机器人中随机抽取部分机器人进行测试，得到数据进行如下统计和分析． 【数据收集】对所抽取机器人工作时长进行统计（单位：）： 【数据整理】对所统计数据整理如下： 组别 工作时长 机器人数量（台） 组内工作总时长（h） A 2 4 6 5 3 【数据分析及问题解决】请你根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）所抽取机器人工作时长的中位数是 ，众数是 ； （2）求所抽取机器人工作时长的平均数； （3）若这批机器人共有2000台，请估计这批机器人工作时长不小于的有多少台？ 【答案】（1）， （2）平均数是 （3）800台 【解析】 【分析】（1）先排序，后根据中位数定义计算即可；确定出现次数最多的数据即可确定正数，解答即可； （2）根据加权平均数的公式解答即可； （3）根据样本估计总体的思想解答即可． 【小问1详解】 解：数据排序如下： ， 中位数是第10个数据，第11个数据的平均数即，出现次数最多的数据是， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：， 所抽取机器人工作时长的平均数是． 【小问3详解】 解：（台）， 估计这批机器人工作时长不小于的有800台． 【点睛】本题考查了加权平均数，中位数，众数，样本估计总体，熟练掌握加权平均数，中位数，众数的概念是解题的关键． 24. 如图，点是线段上一点，以为直径作，过点作的切线，点为切点，过点作交于另一点，连接，延长交于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：， ，， ， ， ， ， ， 由圆周角定理得：， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查的是切线的性质，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． （1）根据平行线的性质、等腰三角形的性质得到，根据圆周角定理得到，证明结论； （2）过点作于，根据垂径定理求出，根据余弦的定义求出、，再根据勾股定理计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作于， 则， ，， ，即， ， 是的切线， ， ， ， ， ． 25. 在物理实验课上，晓欢和同学们研究小球从斜坡下滑．如图，某一次实验中一小球沿斜坡下滑，经过水平桌面，然后从点处离开桌面（不考虑空气阻力）．小球从点离开桌面到落到水平地面的路径是抛物线的一部分．点在点的正下方且点在水平地面上，以点为坐标原点，水平地面垂直于的直线为轴，为轴建立平面直角坐标系．水平桌面与水平地面平行，桌面与地面之间的距离为，利用频闪照相机观测到小球运动到点处时，到轴的距离与到水平桌面的距离均为，点为图中抛物线的顶点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）在小球抛出的正前方有一高为的无盖正方体纸箱（纸箱厚度忽略不计），纸箱左侧到原点的水平距离为，小球最终能否落到纸箱内？请通过计算说明． 【答案】（1）抛物线的函数表达式为 （2）小球最终能落到纸箱内，理由 把代入得， ， 解得（负值舍去）， ， ， ， 小球最终能落到纸箱内． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确地求得函数的解析式是解题的关键． （1）根据题意得到点为图中抛物线的顶点，设抛物线的函数表达式为，把代入，即可得到结论； （2）把代入得，解方程得到，由，得到，比较得到，于是得到结论． 【小问1详解】 解：点为图中抛物线的顶点， 设抛物线的函数表达式为， 把代入得， ， 抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 略. 26. 问题探究 （1）如图①，在中，以为直径作，、分别交于点，连接，若，点是的中点，求的长； 问题解决 （2）如图②是某生态公园的部分示意图，是一条笔直的小溪流，是小溪流旁的一块绿地，点在上，．点分别是边上的动点，连接，为使游客有更好的观景体验，需沿修建玻璃桥，根据规划要使．为节约成本，要使玻璃桥的长尽可能的小．请问玻璃桥的长度存在最小值吗？若存在，请求出玻璃桥长的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）玻璃桥的长度存在最小值，玻璃桥长的最小值是 【解析】 【分析】本题属于圆的综合题，主要考查了三角形的外接圆问题，圆周角定理，勾股定理与垂径定理，解直角三角形，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． （1）连接，根据圆周角定理得到，，由点是的中点，得到，得到，根据等腰三角形得到，根据勾股定理得到； （2）根据三角形的外角的性质得到，，三角形的内角和定理，过作于，得到，根据直角三角形的性质得到，，推出点，，，四点共圆，如图②，设圆心为点，半径为 ，连接，，连接，过点作于点，根据圆周角定理得到是直径，根据圆周角定理勾股，求得，则，得到，要使得最小，即最小，而是直径，，当时，取得最小值，此时最小，得到是等腰直角三角形，于是得到玻璃桥长的最小值为． 【详解】解：（1）如图，连接， 为直径， ，， 点是的中点， ， ， ，， ， ， ， ， ； （2），， ，， ， ， 过作于，如下图， ， ∴，， ，， ∴， ， ， ， ， 点，，，四点共圆， 如图②，设圆心为点，半径为，连接，，连接，过点作于点， ， 是直径， ， ， 又，则， ，则， ， 要使得最小，即最小，而是直径，， 当时，取得最小值，此时最小， 此时是等腰直角三角形， ， ， ， ， 故玻璃桥长的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $