精品解析：吉林省长春市第四十八中学2024-2025学年九年级下学期第一次月考数学试卷

九年级下学期数学核心素养提升第一次综合训练 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 2024年巴黎奥运会足球比赛备受球迷关注，现有如下四个比赛用球需要检测，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从经重的角度看，最接近标准的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的意义，正负数的意义，根据绝对值越小的数所对应的足球，是越接近标准的，且是四个选项的足球中是最接近标准，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴D选项的足球最接近标准， 故选：D． 2. 据“吉林发布”及银联商务大数据测算，年春节期间，吉林省接待国内游客万人次，数据万用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，熟悉科学记数法概念是解题的关键． 根据科学记数法的定义解答，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：将万换算为， ； A、，不满足，故A错误； B、，符合科学记数法，故B正确； C、，不满足，C故错误； D、，指数应为而非，故D错误． 故选：B． 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 正三角形 B. 等腰直角三角形 C. 正五边形 D. 正六边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故D选项合题意． 故选：D． 4. 如图，直线，相交于点，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了对顶角相等，角的运算；根据对顶角的性质得，根据即可求解． 【详解】解：∵直线，相交于点，， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 5. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的基本性质，解题的关键是根据不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变逐项判定． 【详解】解：A、若，则，故不合题意； B、若，则，故符合题意； C、若，则，故不合题意； D、若，则，故不合题意， 故选：B． 6. 已知一次函数的图像如图所示，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，由一次函数的图象经过第二、三、四象限，利用一次函数图象与系数的关系，可得出，熟练运用象限判断一次函数的的取值范围是解题的关键． 【详解】解：一次函数、为常数，且的图象经过第二、三、四象限， ． 故选：A． 7. 如图，四边形内接于，的半径为，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质得到，由圆周角定理得到，根据弧长的公式即可得到结论． 【详解】解：四边形内接于，， ， ， 的长． 故选：． 【点睛】本题考查的是弧长的计算，圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 8. 如图，在平面直角坐标系中，直线与函数的图象交于点，直线与函数的图象交于点，与轴交于点．若点的横坐标是点的横坐标的2倍，则的值为（ ） A. B. 2 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线与函数有交点，解方程组求解交点坐标，再使用待定系数法求出k． 【详解】解：与相交， ∴k＞0，设A坐标为 ，B坐标为， 代入得 ∴ ∴（舍去）或， 故答案选：D 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握待定系数法是解题关键． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 分解因式：3x2+6xy+3y2＝_____． 【答案】3（x+y）2． 【解析】 【分析】先利用提取公因式法提取数字3，再利用完全平方公式继续进行分解． 【详解】3x2+6xy+3y2=3（x2+2xy+y2）=3（x+y）2． 故答案为3（x+y）2． 【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 10. 学校现有甲、乙两支篮球队，每支球队队员身高的平均数都为1.92米，方差分别为米，米，则身高较整齐的球队为__________队（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．根据方差的意义：反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 【详解】解：由于，故身高较整齐的球队为甲队． 故答案为：甲． 11. 在开会前，工作人员进行会场布置，如图为工作人员在主席台上由两人拉着一条绳子，然后以“准绳”摆放整齐的茶杯，这样做的理由是______． 【答案】两点确定一条直线． 【解析】 【分析】根据直线的性质：两点确定一条直线可得答案． 【详解】解：由两人拉着一条绳子，然后以“准绳”摆放整齐的茶杯，这样做的理由是两点确定一条直线， 故答案为两点确定一条直线． 【点睛】此题主要考查了直线的性质，关键是掌握两点确定一条直线． 12. 某种风筝如图所示，这个风筝骨架如图所示，其中于点，，与的夹角为，则该骨架中的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形、三线合一，灵活运用判定定理是解题的关键． 先由三线合一定理得到，再解得到，据此可得解． 【详解】解：， ， 在中，， ． 故答案为：． 13. 已知二次函数的图象与坐标轴恰有两个交点，则______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 根据二次函数的图象与坐标轴恰有两个交点，存在种情况，分类讨论：①当时，可得二次函数与坐标轴有两个交点，符合题意；②当时，则，可得的值，即可求解． 【详解】解：二次函数的图象与坐标轴恰有两个交点， ①当时，二次函数与轴有两个交点，即，，符合题意； ②当时，当时，，即二次函数的图象与轴交于点， 二次函数的图象与轴必有一个交点， ， 解得． 综上所述，的值为或． 故答案为：或． 14. 如图，四边形是正方形，点，分别在，的延长线上，且，设，，．给出下面三个结论：①；②；③．④上述结论中，所有正确结论的序号是______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用证明，即可判断④；结合三角形的三边关系判断①；完全平方公式结合勾股定理判定②；勾股定理判断③． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； ∴， ∵， ∴；故①正确； ∵，即：， ∴， ∴；故②正确； ∵，且为动点， ∴无法确定和的关系，故③错误； 故答案为：①②④． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，然后在中选一个你喜欢的值，代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式运算法则是解题的关键． 先将原式小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的除法，最后根据分式有意义的条件选取合适的x的值代入求值． 【详解】解：原式， 当时，原式． 16. 今年五·一期间，全国各地的文旅市场异常火热，小明一家也外出旅行了，东方旅行社当时推荐了三个旅游城市为长春市、白山市、延吉市，为了民主起见，旅游城市由抽卡片决定．现有三张不透明的卡片，卡片正面分别写着长春市、白山市、延吉市三个城市的名字．依次记作A，B，C，卡片除正面姓名不同外，其余均相同．三张卡片正面向下洗匀后，小明从中随机抽取一张卡片，记录城市名字后正面向下放回，洗匀后妈妈再从中随机抽取一张卡片．请用画树状图或列表的方法，求小明和妈妈都抽中“长春市”城市卡片的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，分别使用树状图法或列表法将甲乙两位选手抽取卡片的结果表示出来，第一次共有3种不同的抽取情况，第二次同样也各有3种不同的抽取情况，所有等可能出现的结果有9种，找出两次卡片相同的抽取结果，即可算出概率． 【详解】解法一：根据题意，画出树状图如下： 由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有9种，这些结果出现的可能性相等，其中满足小明和妈妈都抽中“长春市”城市卡片的结果有1种， 所以， 小明和妈妈都抽中“长春市”城市卡片的概率为． 解法二：根据题意，列表如下： 妈妈 小明 A B C A B C 由表格可以看出，所有可能出现的结果共有9种，这些结果出现的可能性相等，其中满足小明和妈妈都抽中“长春市”城市卡片的结果有1种， 所以， 小明和妈妈都抽中“长春市”城市卡片的概率为． 17. 为了增加人气，某商场决定对两款热卖的商品进行降价，其中甲商品降价10%，乙商品降价8元．已知销售单价调整前甲商品比乙商品多10元，调整后甲商品比乙商品少2元，求调整前甲、乙两种商品的销售单价． 【答案】190元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，先设调整前的销售单价为x元，则乙种商品调整前的销售单价为元，根据题意列式得，再解方程，即可作答． 【详解】解：设甲种商品调整前的销售单价为x元，则乙种商品调整前的销售单价为元． 根据题意列方程得：， 解得 当时，（元）． 答：甲种商品调整前的销售单价为200元，乙种商品调整前的销售单价为190元． 18. 如图，在中，点E，F分别在，上，，． （1）求证：四边形是矩形； （2），，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质求出，证明四边形是平行四边形，然后根据对角线相等的平行四边形是矩形得出结论； （2）证明是等腰直角三角形，可得，然后再解直角三角形求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质以及解直角三角形，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键． 19. 如图①、图②、图③均是的正方形网格每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹． （1）在图①中的线段上找一点M，连接，使． （2）在图②中的线段、上分别找一点P、Q（点P、Q不在格点上），连接、，使． （3）在图③中，点D在边上，且，在线段上找一点N，连接，使． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据 是等腰直角三角形可取边的中点解决问题． （2）根据的对称性可在对称轴上取一点连接延长即可． （3）根据和都是角分线可利用三角形三个角的角分线交于一点解题． 本题考查等腰直角三角形的性质，对称性及三角形三个角的角分线交于一点，灵活使用以上知识点是解决问题的关键． 【小问1详解】 解：∵ 是等腰直角三角形， ∴ 取 边的中点M即可使得 如图 ． 【小问2详解】 由(1)可知 所在直线为 的对称轴， ∴ 在 上任取点D连接和．并延长与、分别 交于 、 两点如图． 由图形的对称性可得 ， ∴． 【小问3详解】 将与 的交点记为N点如图． ∵ 且M是 的中点 ， ∴ 平分 ， 又∵ 即 平分 ， ∴ 点N为 的内心 ， ∴ 平分 即 ． 20. 某校九年级共有学生150人，为了解该校九年级学生体育测试成绩的变化情况，从中随机抽取30名学生的本学期体育测试成绩，并调取该30名学生上学期的体育测试成绩进行对比，小元对两次数据(成绩)进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．小元在统计本学期体育测试成绩各分数段人数时，不小心污染了统计表： 成绩(分) x≤25 25.5 26 26.5 27 27.5 28 28.5 29 29.5 30 人数(人) 2 1 0 2 1 1 1 4 14 b．体育测试成绩的频数分布折线图如下(数据分组：x≤25，25＜x≤26，26＜x≤27，27＜x≤28，28＜x≤29，29＜x≤30)： c．两个学期测试成绩的平均数、中位数、众数如下： 学期 平均数 中位数 众数 上学期 26.75 26.75 26 本学期 28.50 m 30 根据以上信息，回答下列问题： (1)请补全折线统计图，并标明数据； (2)请完善c中的统计表，m的值是　 　； (3)若成绩为26.5分及以上为优秀，根据以上信息估计，本学期九年级约有　 　名学生成绩达到优秀； (4)小元统计了本班上学期体育测试成绩各分数段人数，如下： 成绩(分) x≤25 25＜x≤26 26＜x≤27 27＜x≤28 28＜x≤29 29＜x≤30 人数(人) 6 8 3 3 4 6 通过观察、分析，得出这样的结论“在上学期的体育测试成绩中，众数一定出现在25＜x≤26这一组”．请你判断小元的说法是　 　(填写序号：A．正确 B．错误)，你的理由是　 　． 【答案】(1)补全折线统计图如图所示； (2)30； (3)120； (4)B；虽然25＜x≤26这一组人数最多，但也可能出现在x≤25或29＜x≤30这两组中　． 【解析】 【分析】(1)计算出成绩为26分的学生人数，补全折线统计图即可； (2)根据中位数的定义即可得到结论； (3)求出成绩为26.5分及以上的人数占调取的30名学生的百分数×九年级的总人数即可得到结论； (4)根据众数的定义即可得到结论． 【详解】(1)成绩为26分的学生人数为：30﹣18﹣2﹣1﹣3﹣2＝4， 略 (2)∵中位数为第15个和第16个数据的平均数， ∴m＝30； 故答案为30； (3)150×＝120名， 即本学期九年级约有120名学生成绩达到优秀， 故答案为120； (4)B，理由：虽然25＜x≤26这一组人数最多，但也可能出现在x≤25或29＜x≤30这两组中， 故答案为B；虽然25＜x≤26这一组人数最多，但也可能出现在x≤25或29＜x≤30这两组中． 【点睛】本题考查了频数(率)分布折线图，平均数，中位数，众数，正确的理解题意是解题的关键． 21. 小亮和小刚进行赛跑训练，他们选择了一个土坡，按同一路线同时出发，从坡脚跑到坡顶再原路返回坡脚．他们俩上坡的平均速度不同，下坡的平均速度则是各自上坡平均速度的1.5倍．设两人出发xmin后距出发点的距离为y m．图中折线表示小亮在整个训练中y与x的函数关系，其中A点在x轴上，M点坐标为(2，0)． （1）A点所表示的实际意义是 ；＝ ； （2）求出AB所在直线的函数关系式； （3）如果小刚上坡平均速度是小亮上坡平均速度 的一半，那么两人出发后多长时间第一次相遇？ 【答案】；y＝－360x＋1200；x＝2.5 【解析】 【分析】（1）根据已知M点的坐标进而得出上坡速度，再利用已知下坡的平均速度则是各自上坡平均速度的1.5倍，得出下坡速度以及下坡所用时间，进而得出A点实际意义和OM，AM的长度，即可得出答案； （2）根据A，B两点坐标进而利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （3）根据小刚上坡平均速度是小亮上坡平均速度的一半首先求出小刚的上坡的平均速度，进而利用第一次相遇两人中小刚在上坡，小亮在下坡，即可得出小亮返回时两人速度之和为：120+360=480（m/min），进而求出所用时间即可． 【详解】(1)根据M点的坐标为(2,0),则小亮上坡速度为：=240(m/min),则下坡速度为：240×1.5=360(m/min)， 故下坡所用时间为：(分钟)， 故A点横坐标为：2+=,纵坐标为0,得出实际意义：小亮出发分钟回到了出发点； . 故答案为小亮出发分钟回到了出发点;. (2)由(1)可得A点坐标为(,0)， 设y=kx+b,将B(2,480)与A(,0)代入，得： 解得. 所以y=−360x+1200. (3)小刚上坡的平均速度为240×0.5=120(m/min)， 小亮的下坡平均速度为240×1.5=360(m/min)， 由图象得小亮到坡顶时间为2分钟,此时小刚还有480−2×120=240m没有跑完,两人第一次相遇时间为2+240÷(120+360)=2.5(min). 考点：函数的应用 点评：题目难度不大，学生多做此类题目，可以做到举一反三，同时，函数的应用也是中考必考题 22. 【问题呈现】综合实践课上，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，是等腰直角三角形，，点在以为圆心，长为半径的圆上运动．连接，将线段绕点逆时针旋转，得到，连接．当点在上运动一周时，探究点的运动路径． 【问题解决】经过分析，兴趣小组同学想利用全等三角形的知识解决该问题：如图①，通过证明，可以确定点的运动路径为点为圆心，长为半径的圆，下面是部分证明过程，请补全缺失的部分． 证明：、当点不在直线上时，如图①，由旋转，得，， 证明过程缺失 、当点在直线上时，， 综上，点的运动路径为点为圆心，长为半径的圆 【问题延伸】如图②，是等腰直角三角形，，点在以为圆心，长为半径的圆上运动，连接，以为斜边作等腰直角三角形，使点始终在的上方，连接．当点在上运动一周，且时，点的运动路径长为______． 【能力提升】如图③，连接图①中的，分别取的中点，连结，其它条件不变，当点在直线上方，，且时，直线写出线段的长． 【答案】 [问题解决]补全缺失的部分如下： ∴， 即， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴； [问题延伸]； [能力提升] 【解析】 【分析】[问题解决]根据等角的余角相等得出，进而根据证明，根据全等三角形的性质，即可得证； [问题延伸]证明得出，则得出的运动轨迹是圆，进而根据圆的周长公式，即可求解； [能力提升] 连接，证明，根据相似三角形的性质，全等三角形的性质得出，过点作于点，进而勾股定理解直角三角形，即可求解． 【详解】解：[问题解决]略 [问题延伸] ∵，是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴ ∴ 在中， ∴ ∵点在以为圆心，长为半径的圆上运动， ∴ ∴ ∴点在以为圆心,为半径的圆上运动， ∴当点在上运动一周，点的运动路径长为； 故答案为：； [能力提升]如图所示，连接， ∵将线段绕点逆时针旋转，得到， ∴是等腰直角三角形， ∵是的中点，是的中点， ∴，， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 如图所示，过点作于点， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵点在以为圆心，长为半径的圆上运动 ∴ ∴ 在中，， ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 23. 如图①，是等边三角形，．点P从点A出发，沿折线运动．当点P不与点A重合时，连结，以为边向其右侧作等腰三角形，使，延长交边于点D，当点D与点C重合，点P停止运动，连结． （1）当点P在边上运动时，的长为______． （2）如图②，当点P在边上时，求证：． （3）点P在整个运动过程中，当是轴对称图形时，求的长． （4）点P在整个运动过程中，当时，直接写出的长． 【答案】（1） （2） 证明：点P在边上时， ∵， ∴，即； （3）或3 （4）或 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形，，可得，，当点P在边上运动时，，由是等边三角形，可得，，根据，计算求解即可； （2）点P在边上时，由，可得，进而结论得证； （3）由，可得，由是轴对称图形，可得是等边三角形，，则，分当点P在上时，，为的中点，；当点P在上时，，与重合，；两种情况求解即可； （4）由，可得，当点P在上，时，如图①，作于，则，，，由勾股定理得，，计算求解即可；当点P在上，时，如图②，将绕点顺时针旋转到，作的延长线于，连接，证明，则，设，则，，，，由勾股定理得，，即，计算求解即可． 【小问1详解】 解：∵等腰三角形，， ∴，， 当点P在边上运动时，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴， 又∵是轴对称图形， ∴是等边三角形，， ∴， 当点P在上时，，为的中点， ∴； 当点P在上时，，与重合， ∴； 综上所述，的长为或3； 【小问4详解】 解：∵， ∴， 当点P在上，时，如图①，作于， ∴，， ∴， 由勾股定理得，； 当点P在上，时，如图②，将绕点顺时针旋转到，作的延长线于，连接， ∴，，，， ∴，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 由勾股定理得，，即， 解得，； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，正弦，余弦，轴对称的性质，勾股定理，旋转的性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，正弦，余弦，轴对称的性质，勾股定理，旋转的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线l，直线l与x轴交于点A．点P、Q是该抛物线上的两个点、点P的横坐标为m． （1）求该抛物线的顶点坐标． （2）当点Q在x轴上，且点P是该抛物线的顶点时，求的长． （3）当点Q在直线l的右侧，点P到直线l的距离是点Q的纵坐标时，若点P、点Q之间的部分的图象（包括点P、点Q）的最高点与最低点的纵坐标之差为3，求m的值． （4）过点P作于点B，过点Q作轴于点C，连结、，当P、Q、A三点共线，且的周长是的周长的4倍时，直接写出m的值． 【答案】（1） （2） （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（1）将抛物线的解析式化成顶点式即可得出结论； （2）令，可得出点Q的坐标，再根据两点间的坐标公式可得出最终结论； （3）根据题意可分情况讨论，当时，当时，分别求解即可； （4）根据题意画出图形，由此可得，且相似比为4，由此可用m表达点Q的坐标，列出关于m的方程，解之即可 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，解一元二次方程，相似三角形的判定和性质，解题的关键是数形结合与分类讨论思想的运用． 【小问1详解】 ， 抛物线的顶点为； 【小问2详解】 令，则 解得或， 或； ∵点P的坐标为， 当时， 当时，； ； 【小问3详解】 由(1)可知，， 抛物线的对称轴为直线； ①当时，最高点为Q，最低点是 ， (舍)； 当最高点为P时，最低点是， ， 解得(舍)或； ②当时P为最高点，Q为最低点时， ， 解得 (舍)或，Q为最高点，P为最低点时， ，方程无解； 综上，m的值为或 【小问4详解】 由(1)可知，， (如图1)或 (如图2)， 于点B，于点C， ， ， ， 的周长是的周长的4倍， ， 即，， 如图1，，， ， ，即， ， ， 点Q在抛物线上， ， 解得：或（舍去）， 如图2，，， ， ，即， ， ， 点Q在抛物线上， ， 解得：（舍去）或， 综上，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级下学期数学核心素养提升第一次综合训练 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 2024年巴黎奥运会足球比赛备受球迷关注，现有如下四个比赛用球需要检测，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从经重的角度看，最接近标准的是（ ） A. B. C. D. 2. 据“吉林发布”及银联商务大数据测算，年春节期间，吉林省接待国内游客万人次，数据万用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 正三角形 B. 等腰直角三角形 C. 正五边形 D. 正六边形 4. 如图，直线，相交于点，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知一次函数的图像如图所示，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，四边形内接于，的半径为，，则的长是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，直线与函数的图象交于点，直线与函数的图象交于点，与轴交于点．若点的横坐标是点的横坐标的2倍，则的值为（ ） A. B. 2 C. 1 D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 分解因式：3x2+6xy+3y2＝_____． 10. 学校现有甲、乙两支篮球队，每支球队队员身高的平均数都为1.92米，方差分别为米，米，则身高较整齐的球队为__________队（填“甲”或“乙”）． 11. 在开会前，工作人员进行会场布置，如图为工作人员在主席台上由两人拉着一条绳子，然后以“准绳”摆放整齐的茶杯，这样做的理由是______． 12. 某种风筝如图所示，这个风筝骨架如图所示，其中于点，，与的夹角为，则该骨架中的长度为______． 13. 已知二次函数的图象与坐标轴恰有两个交点，则______． 14. 如图，四边形是正方形，点，分别在，的延长线上，且，设，，．给出下面三个结论：①；②；③．④上述结论中，所有正确结论的序号是______． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，然后在中选一个你喜欢的值，代入求值． 16. 今年五·一期间，全国各地的文旅市场异常火热，小明一家也外出旅行了，东方旅行社当时推荐了三个旅游城市为长春市、白山市、延吉市，为了民主起见，旅游城市由抽卡片决定．现有三张不透明的卡片，卡片正面分别写着长春市、白山市、延吉市三个城市的名字．依次记作A，B，C，卡片除正面姓名不同外，其余均相同．三张卡片正面向下洗匀后，小明从中随机抽取一张卡片，记录城市名字后正面向下放回，洗匀后妈妈再从中随机抽取一张卡片．请用画树状图或列表的方法，求小明和妈妈都抽中“长春市”城市卡片的概率． 17. 为了增加人气，某商场决定对两款热卖的商品进行降价，其中甲商品降价10%，乙商品降价8元．已知销售单价调整前甲商品比乙商品多10元，调整后甲商品比乙商品少2元，求调整前甲、乙两种商品的销售单价． 18. 如图，在中，点E，F分别在，上，，． （1）求证：四边形是矩形； （2），，，求的长． 19. 如图①、图②、图③均是的正方形网格每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹． （1）在图①中的线段上找一点M，连接，使． （2）在图②中的线段、上分别找一点P、Q（点P、Q不在格点上），连接、，使． （3）在图③中，点D在边上，且，在线段上找一点N，连接，使． 20. 某校九年级共有学生150人，为了解该校九年级学生体育测试成绩的变化情况，从中随机抽取30名学生的本学期体育测试成绩，并调取该30名学生上学期的体育测试成绩进行对比，小元对两次数据(成绩)进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．小元在统计本学期体育测试成绩各分数段人数时，不小心污染了统计表： 成绩(分) x≤25 25.5 26 26.5 27 27.5 28 28.5 29 29.5 30 人数(人) 2 1 0 2 1 1 1 4 14 b．体育测试成绩的频数分布折线图如下(数据分组：x≤25，25＜x≤26，26＜x≤27，27＜x≤28，28＜x≤29，29＜x≤30)： c．两个学期测试成绩的平均数、中位数、众数如下： 学期 平均数 中位数 众数 上学期 26.75 26.75 26 本学期 28.50 m 30 根据以上信息，回答下列问题： (1)请补全折线统计图，并标明数据； (2)请完善c中的统计表，m的值是　 　； (3)若成绩为26.5分及以上为优秀，根据以上信息估计，本学期九年级约有　 　名学生成绩达到优秀； (4)小元统计了本班上学期体育测试成绩各分数段人数，如下： 成绩(分) x≤25 25＜x≤26 26＜x≤27 27＜x≤28 28＜x≤29 29＜x≤30 人数(人) 6 8 3 3 4 6 通过观察、分析，得出这样的结论“在上学期的体育测试成绩中，众数一定出现在25＜x≤26这一组”．请你判断小元的说法是　 　(填写序号：A．正确 B．错误)，你的理由是　 　． 21. 小亮和小刚进行赛跑训练，他们选择了一个土坡，按同一路线同时出发，从坡脚跑到坡顶再原路返回坡脚．他们俩上坡的平均速度不同，下坡的平均速度则是各自上坡平均速度的1.5倍．设两人出发xmin后距出发点的距离为y m．图中折线表示小亮在整个训练中y与x的函数关系，其中A点在x轴上，M点坐标为(2，0)． （1）A点所表示的实际意义是 ；＝ ； （2）求出AB所在直线的函数关系式； （3）如果小刚上坡平均速度是小亮上坡平均速度 的一半，那么两人出发后多长时间第一次相遇？ 22. 【问题呈现】综合实践课上，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，是等腰直角三角形，，点在以为圆心，长为半径的圆上运动．连接，将线段绕点逆时针旋转，得到，连接．当点在上运动一周时，探究点的运动路径． 【问题解决】经过分析，兴趣小组同学想利用全等三角形的知识解决该问题：如图①，通过证明，可以确定点的运动路径为点为圆心，长为半径的圆，下面是部分证明过程，请补全缺失的部分． 证明：、当点不在直线上时，如图①，由旋转，得，， 证明过程缺失 、当点在直线上时，， 综上，点的运动路径为点为圆心，长为半径的圆 【问题延伸】如图②，是等腰直角三角形，，点在以为圆心，长为半径的圆上运动，连接，以为斜边作等腰直角三角形，使点始终在的上方，连接．当点在上运动一周，且时，点的运动路径长为______． 【能力提升】如图③，连接图①中的，分别取的中点，连结，其它条件不变，当点在直线上方，，且时，直线写出线段的长． 23. 如图①，是等边三角形，．点P从点A出发，沿折线运动．当点P不与点A重合时，连结，以为边向其右侧作等腰三角形，使，延长交边于点D，当点D与点C重合，点P停止运动，连结． （1）当点P在边上运动时，的长为______． （2）如图②，当点P在边上时，求证：． （3）点P在整个运动过程中，当是轴对称图形时，求的长． （4）点P在整个运动过程中，当时，直接写出的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线l，直线l与x轴交于点A．点P、Q是该抛物线上的两个点、点P的横坐标为m． （1）求该抛物线的顶点坐标． （2）当点Q在x轴上，且点P是该抛物线的顶点时，求的长． （3）当点Q在直线l的右侧，点P到直线l的距离是点Q的纵坐标时，若点P、点Q之间的部分的图象（包括点P、点Q）的最高点与最低点的纵坐标之差为3，求m的值． （4）过点P作于点B，过点Q作轴于点C，连结、，当P、Q、A三点共线，且的周长是的周长的4倍时，直接写出m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $