2025年中考数学几何解题方法复习--第2节 垂径定理

第2节 垂径定理 一、知识梳理 (一)垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧. 如图2-1所示，垂径定理的条件与结论理解如下： ∵AB 是直径,AB⊥CD于点 E, (二)垂径定理推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧. 【例】如图2-2所示,AB是⊙O 的弦,点 C,D 是直线AB上的两点,且AC=BD,求证:OC=OD. 证明:如图2-3所示,过点O 作OE⊥AB 于点E. ∵OE⊥AB, ∴AE=BE. 又∵AC=BD, ∴CE=DE. ∴OE是CD的中垂线. ∴OC=OD. 二、分层练习 1.下列判断中正确的是( ). A.长度相等的弧是等弧 B.平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧 C.弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧 D.平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦 2.某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图2-4所示，已知AB=16m，半径OA为10m,则中间柱 CD的高度为( )m. A. 6 B. 4 C. 8 D. 5 3. 如图2-5所示,点A,B是⊙O上的两点,AB=10,点 P 是⊙O上的动点(点P与点A,B不重合). 连接AP,PB,过点O分别作OE⊥AP 于点 E,OF⊥PB 于点 F,连接EF,则EF长为( ). A. 4 B. 5 C. 5.5 D. 6 4.点P为⊙O内一点，且OP=4.若⊙O 的半径为6，则过点 P的弦长不可能为( ). A. 12 C. 8 D. 10.5 5.刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积.如图2-6所示，设⊙O的半径为2，若用⊙O的内接正六边形的面积来估计⊙O的面积，则⊙O的面积约为 (结果保留根号). 6.如图2-7所示，已知⊙O的半径为2，四边形ABCD为⊙O 的内接四边形，且 则∠DAB 的度数为( ). A.105° B.60° C.75° D.70° 7. 如图2-8所示,∠PAC=30°,在射线AC 上顺次截取 以DB 为直径作⊙O 交射线AP 于点 E,F. (1)求圆心O到AP 的距离; (2)求弦EF的长. 8. 如图2-9所示,AB是⊙O的直径,弦CD交AB 于点 P, 30°,则CD 的长为( ). D. 8 9.如图2-10所示，在半径为 的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为点 P,且AB=CD=4,则OP的长为( ). A. 1 C. 2 10. 如图2-11所示,在平面直角坐标系中,⊙P的圆心是(2,a)(a>2),半径为2，函数y=x的图象被⊙P 截得的弦AB 的长为 ,则a的值是( ). 11.如图2-12所示，△ABC外接圆的半径为5，其圆心O恰好在中线CD上.若AB=CD,则△ABC的面积为( ). A. 36 B. 32 C. 24 D.18 12.圆柱形油槽内装有一些油，截面如图2-13 所示，油面宽AB为6dm，再注入一些油后，油面AB 上升 1dm，油面宽变为 8dm，则圆柱形油槽直径 MN 为( ). A. 6dm B. 8dm C. 10dm D. 12dm 13.如图2-14所示，在平面直角坐标系中，以原点O 为圆心的圆过点A(13，0)，直线y= kx-3k+4与⊙O 相交于点B,C,则弦BC 的长的最小值为 . 1.解：A.等弧是能重合的两条弧，长度相等的弧不一定是等弧，故错误； B.被平分的弦不一定是直径，故错误； C.弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧，正确； D.平分一条弧的直径必平分这条弧所对的弦，故错误. 故选C. 2. 解:∵ CD是中间柱, 3. 解:∵OE⊥AP于点 E,OF⊥PB于点 F, ∴AE=PE,PF=BF. ∵半径OA为10m, 故选B. CD=OC-OD=10-6=4(m). 故选 B. 4.解:如图7所示,过点 P作OP⊥AB,则AB是过点 P 最短的弦. ∵OP⊥AB, ∴AP=BP. ∵OP=4,⊙O的半径为6, ∴在 Rt△AOP中, 由于 所以过点P的弦长不可能为8. 故选C. 5. 解:如图8所示,连接OA,OB,过点O作OM⊥AB 于点 M.由题意可得， ∵OA=OB=2, ∴△OAB为等边三角形,AB=2. ∴AM=BM=1. ∴在Rt△AOM中, ∴⊙O的面积约为 6. 解:如图9所示,作OE⊥AB 于点 E,OF⊥AD 于点 F. ∵OE⊥AB,OF⊥AD, ∵在 Rt△AOE中, ∴∠OAE=30°. ∵在 Rt△AOF中, ∴∠OAF=45°. ∴ ∠DAB=∠OAE+∠OAF=30°+45°=75°. 故选C. 7. 解:(1)如图10所示,过点O 作 OH⊥EF 于点 H. ∵OB为⊙O的直径,且DB=10cm, ∴OD=5cm. ∴OA=OD+AD=3+5=8cm. ∵在 Rt△OAH中,∠OAH=30°, 即圆心O到AP 的距离为4cm. (2)如图10所示,连接OF. ∵OH⊥EF, ∴EH=HF. ∵在Rt△OHF中, ∴EF=2HF=6(cm). 8. 解:如图11所示,作OH⊥CD于点H,连接OC. ∵OH⊥CD, ∴HC=HD. ∵AP=2,BP=6, ∴AB=8. ∴OA=4. ∴OP=OA-AP=2. ∵在 Rt△OPH中,∠OPH=∠APC=30°, ∵在 Rt△OHC中,OC=4,OH=1, 故选 C. 9. 解:如图12所示,作OE⊥AB 于点E,OF⊥CD 于点 F,连接OD,OB. ∵OE⊥AB,OF⊥CD, ∵在 Rt△OBE中,( 同理可得,OF=1. ∵AB⊥CD,OE=OF=1, ∴四边形OEPF为正方形. 故选 B. 10. 解:如图13所示,过点P作PE⊥AB于点E,PC⊥x轴于点 C,交AB于点 D,连接PA. ∵PE⊥AB,AB=2 ,(⊙P 的半径为2, ∴根据勾股定理得， ∵点A在直线y=x上, ∴ ∠AOC=45°. ∵∠DCO=90°, ∴∠ODC=45°. ∴△OCD 是等腰直角三角形,OC=DC=2. ∴ ∠PDE=∠ODC=45°. ∴∠DPE=∠PDE=45°. ∴DE=PE=1. ∵⊙P的圆心是(2,a), 故选 B. 11. 解:如图14所示,连接OA,OB,则OA=OB=OC=5. ∵圆心O 恰好在中线CD上,AB=2AD, ∴ CD⊥AB. 设AD=x,则CD=AB=2x,OD=CD-CO=2x-5. ∵在 Rt△OAD中, 即 解得 (舍去), ∴CD=AB=2x=8. 故选 B. 12.解:如图15所示,过点O作AB的垂线,垂足为点E,交CD 于点 F,连接OA,OC. ∵AB=6dm,CD=8dm, ∴由垂径定理得， 设OE= xdm,则OF=(x-1) dm. ∵在 Rt△OAE中, 在Rt△OCF中, 且OA=OC, 解得x=4. ∴直径MN=2OA=10(dm). 故选 C. 13. 解:∵直线y= kx-3k+4=k(x-3)+4, ∴直线必过点 D(3,4). ∴最短的弦BC是过点D且与该圆直径垂直的弦，如图16所示. ∵点D的坐标是(3,4), ∴OD=5. ∵以原点O 为圆心的圆过点A(13,0), ∴⊙O的半径为13. ∴OB=13. ∴ BC的长的最小值为24. 学科网（北京）股份有限公司 $$