广东省东莞市翰林实验学校2024-2025学年高一下学期3月份月考数学试题

数学学科高一年级3月月考试题卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则(    ) A. B. C. D. 2.在中，若，，，则边(   ) A. B. C. D. 3.若是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中能构成平面内所有向量的一个基底的是( ) A. B. C. D. 4.在中，若，，，则此三角形解的情况为． A. 无解 B. 有两解 C. 有一解 D. 有无数解 5.关于向量，，下列命题中正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 6.平行四边形三个顶点坐标分别为，，，则顶点的坐标为(   ) A. B. C. D. 7.中，、、分别是内角、、的对边，若且，则的形状是(  ) A. 有一个角是的等腰三角形 B. 等边三角形 C. 三边均不相等的直角三角形 D. 等腰直角三角形 8.边长为的正三角形的内切圆上有一点，已知，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知复数，，下列结论正确的有(    ) A. B. 若，则 C. D. 10.已知向量，，则下列命题正确的是(    ) A. 的最大值为 B. 若，则 C. 若是与共线的单位向量，则 D. 当取得最大值时， 11.已知的内角所对的边分别为，其中为定值．若的面积，则 A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 周长的最小值为 D. 的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知复数满足是虚数单位，则__________． 13.如图为了测量，两点间的距离，选取同一平面上，两点，测出四边形的各边的长度单位：：，如图所示，且、、、四点共圆，则的长为   ． 14.如图，已知为等边三角形，点是的重心．过点的直线与线段交于点，与线段交于点设，且设的周长为，的周长为，设，记，则的值域为    ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知复数满足，是虚数单位． 若是纯虚数，求的值； 若在复平面上对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 16.本小题分 已知向量，，，且，． 求向量、； 若，，求向量，的夹角的大小． 17.本小题分 在中，角，，所对的边分别是，，，且． Ⅰ证明：； Ⅱ若，求． 18.本小题分 如图，已知两条公路，的交汇点处有一学校，现拟在两条公路之间的区域内建一工厂，在两公路旁，异于点处设两个销售点，且满足，千米，千米，设． 试用表示，并写出的范围； 当为多大时，工厂产生的噪声对学校的影响最小即工厂与学校的距离最远注： 19.本小题分 通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，称为复向量类比平面向量的相关运算法则，对于，，、、、、，我们有如下运算法则：． 设，，求和 类比平面向量数量积满足的运算律，得出复向量的一个相关结论，判断其是否正确并说明理由 设，集合，，，，求的最小值并证明当取最小值时，对于任意的，． 第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页，共 12页 数学学科高一年级 3 月月考试题卷 【答案】 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 2 15. 解：因为1 ሻ ݖ 2 ൌ ʹ， 所以 ݖ 2ൌ ʹ1 ݖ 2ൌ ʹ 1ൌ 1 1ൌ ݖ 1 2ʹൌ 1ൌ 2ʹ ， 1ሻ若 是纯虚数，则有 1 2ʹ ݖ 1 ൌ 2ʹ ，则 ʹ ݖ 1 2； 2ሻ复数 在复平面内对应的点为1 2 ʹ1 ൌ 2ʹሻ， 因为 在复平面上对应的点在第二象限， 则有 1 2ʹ ଶ 1 ൌ 2ʹ ，解得 ʹ 1 2， 即实数 ʹ 的取值范围为 ʹ 12． 16. 解：1ሻ因为 ݖ 12ሻ， ݖ ሻ， ݖ 2ሻ，且 ， ， 所以  2 ݖ ， ݖ 2 ൌ 2 ݖ ， 所以  ݖ ，  ݖ 1， 所以 ݖ ሻ， ݖ 2 1ሻ； 2ሻ解：设向量 ʹ ， 的夹角的大小为 ． 由题意可得， ʹ ݖ 2 ݖ 2ሻ ሻ ݖ 1 2ሻ， ݖ ൌ ݖ 1ሻ， 所以 cos ݖ ʹ ʹ ݖ 121 1 ݖ 2 2 ， 因为 ，所以 ݖ ． 17. Ⅰሻ证明：在 中， 푘ଶ ൌ 푘ଶ ݖ ଶ ， 由正弦定理得：푘ଶଶ ൌ 푘ଶ ଶ ݖ ଶ ଶ， 푘ଶଶൌ푘ଶଶଶଶ ݖ sinൌሻ ଶଶ ݖ 1， sin ൌ ሻ ݖ ଶ． 整理可得：ଶଶ ݖ ଶ， 第 2页，共 12页 Ⅱሻ解：2 ൌ 2 2 ݖ ，由余弦定理可得 푘ଶ ݖ 2ൌ22 2 ݖ ． 则 ଶ ݖ ， 푘ଶ ଶ ݖ ， 由Ⅰሻ可得푘ଶଶ ൌ 푘ଶ ଶ ݖ ଶ ଶ ݖ 1，即 푘ଶ ଶ ݖ 1 ， ݖ ． 18. 解：1ሻ如图，퓸ଶ ݖ ， 在 퓸ଶ 中，由正弦定理得： 퓸ଶଶ ݖ 퓸 sinൌሻ， 퓸ଶ ݖ ൌ 2， 퓸 ݖ ଶ ൌ ሻ， ଶ ଶ 1ሻ； 2ሻ在 퓸퓸 中，퓸 ݖ ଶ1 ሻ， 퓸2 ݖ 퓸2 ൌ퓸퓸2 2퓸 퓸퓸푘ଶ퓸퓸 ݖ 1ଶ2 ൌ ሻ ൌ 12 1 sin ൌ ሻcos ൌ ሻ ݖ 퓸ଶ1 cos2 ൌ 1ሻ 퓸 sin2 ൌ 1ሻ ൌ 12 ݖ 2 퓸ଶ sin2 ൌ 1ሻ ൌ cos2 ൌ 1ሻ ݖ 2 1ଶ2 ൌ 1퓸ሻ ଶ ଶ 1ሻ ݖ 2ൌ 1ଶ2， ଶ ଶ 1ሻ． 当且仅当 2 ݖ ，即 ݖ 时，퓸2取得最大值 ，即 퓸 取得最大值 ． 当 ݖ 时，工厂产生的噪声对学校的影响最小． 19. 解：1ሻ ݖ 1 1 ሻ ൌ 2 ሻ 2ሻ ݖ 1 2 ݖ 1 ， ൌ ݖ 2ൌ 2 ൌ ሻ， ൌ ݖ ൌ ሻ ൌ ሻ ݖ 2 ൌ ሻ 2 ሻ ൌ 2 ൌ ሻ 2 ሻ ݖ 1； 2ሻ【解法 1】 设 ݖ 1 ൌ 12 ൌ 2ሻ， ݖ  ൌ  ൌ ሻ， ݖ  ൌ  ൌ ሻ，其中， ， ݖ 1，2，，，，， ൌ ݖ  ൌ  ൌ  ൌ ሻ ൌ  ൌ  ൌ ሻሻ， ൌ ሻ ݖ 1 ൌ 1ሻଶ ൌ   ൌ ሻ ൌ 2 ൌ 2ሻଶ ൌ   ൌ ሻ ݖ 1 ൌ ሻ ൌ 1 ൌ ሻ 1 ൌ ሻ ൌ  ൌ ሻ1 ൌ 2 ൌ ሻ ൌ 2 ൌ ሻ 2 ൌ ሻ ൌ  ൌ ሻ2 ݖ 1 ൌ 1 ൌ 1 ൌ 1 ൌ 2 ൌ 2 ൌ 2 ൌ 2 ൌ 1 1 ൌ 1 ൌ 1 2 2 ൌ 2 ൌ 2ሻ， 第 页，共 12页 ݖ 1 ൌ 1ሻ ሻ ൌ 2 ൌ 2ሻ ሻ ݖ 1 ൌ 1 1 ൌ 1 ൌ 2 ൌ 2 2 ൌ 2 ݖ 1 ൌ 1 ൌ 2 ൌ 2 ൌ 1 ൌ 1 2 ൌ 2ሻ， 同理 ݖ 1 ൌ 1 ൌ 2 ൌ 2 ൌ 1 ൌ 1 2 ൌ 2ሻ， 所以 ൌ ݖ 1 ൌ 1 ൌ 1 ൌ 1 ൌ 2 ൌ 2 ൌ 2 ൌ 2 ൌ 1 1 ൌ 1 ൌ 1 2 2 ൌ 2 ൌ 2ሻ， 所以 ൌ ሻ ݖ ൌ ， 【解法 2】 设 ݖ 12ሻ， ݖ ሻ， ݖ ሻ， 1、2、、、、 ， ൌ ݖ ൌ ൌ ሻ， ݖ 1 ൌ 2， ݖ 1 ൌ 2， ൌ ሻ ݖ 1 ൌ ሻ ൌ 2 ൌ ሻ， 因为 ൌ ݖ ൌ ， ൌ ݖ ൌ ， 所以 ൌ ሻ ݖ 1 ൌ ሻ ൌ 2 ൌ ሻ ݖ 1 ൌ 1 ൌ 2 ൌ 2 ݖ 1 ൌ 2 ൌ 1 ൌ 2 ݖ ൌ ，结论正确． ሻ设 ݖ ʹൌ ʹൌ 2 ൌ ሻ，ʹ， 则 ݖ 2 ʹൌ 2 ሻ ʹ ሻ， ݖ ଶ2 ʹൌ 2 ሻ ଶ2 ʹ 2 ሻ ൌ ʹ ሻ ʹൌ ሻ， ݖ 2 ʹሻ2 ൌ 2 ሻ2 ൌ ʹሻ2 ൌ 2 ݖ 2ʹ2 ൌ 22 ʹ ൌ 퓸 ݖ 2ʹ 1ሻ2 ൌ 2 1ሻ2 ൌ 2 当且仅当 ʹ ݖ ݖ 1 时，等号成立， 故 的最小值为 2，此时 ݖ 1ൌ ൌ ሻ 则 ݖ 1ൌ 1 ሻ， 设 ݖ ଶ ൌ ଶ ൌ 2 ൌ ሻ，ଶ， ， 则 ݖ 1 ଶ ൌ 1 ሻ1 ଶ ൌ 1 ሻሻ， 则 ሻ ሻ ݖ 1 ൌ ሻଶ1 ଶ 1 ሻ ൌ 1 ሻଶ1 ଶ 1 ሻ ݖ ，结论成立． 第 页，共 12页 【解析】 1. 【分析】 本题考查共轭复数，属于基础题． 由复数的坐标表示及共轭复数概念可得答案． 【解答】 解：由题， −ݖ 1 ൌ 2，故 −ݖ 1 2， 故选： 2. 【分析】 本题考查正弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题． 求出 的度数，直接利用正弦定理，转化求解即可． 【解答】 解：因为 ݖ 1， ݖ ，所以 ݖ ， 则 ଶ ݖ ଶ，即 2 2 2 2 ݖ 1 2 ，解得 ݖ 2， 故选：． 3. 【分析】 本题考查向量共线的条件，考查基底的概念，属于基础题． 判断向量是否共线，不共线向量才可以构成一个基底，推出结果即可． 【解答】 解：对于 ，因为 ݖ ， 所以 共线，故 A 错误； 对于 ，因为 2 ൌ 12 ሻ ݖ 2ൌ ， 所以 2 ൌ ൌ 12 共线，故 B 错误； 对于 ，因为 ݖ 22 ሻ， 所以 2 共线，故 C 错误； 对于 ，因为，为非零向量且不共线，所以ൌ ， 为非零向量且不共线，故 D 正确． 故选 D． 4. 【分析】 第 页，共 12页 本题主要考查正弦定理、三角形中大边对大角，根据三角函数的值求角，属于基础题． 由正弦定理可得 2 sin2 ݖ sin，解得 ଶ 的值，求得 有 2 个值，可得结论． 【解答】 解： 中， ݖ 2， ݖ ， ݖ 2， 则由正弦定理可得 2 sin2 ݖ sin，解得 ଶ ݖ ଶ2． 由 sin ଶ sin ଶ sin 12 ଶ sin ଶ 2 2 ଶ sin ଶ 2 ଶ 1′ 即 ଶ sin ଶ 2 ଶ 1′ 再由 可得 ， ሻ 可能为锐角，也可能为钝角． 故此三角形解的情况是：有两解． 故选：． 5. 【分析】 本题考查了向量的概念，相等向量、共线向量的定义，属于基础题． 根据相等向量的定义即可判断 ，根据向量共线的定义即可判断 ，利用 ݖ 时，可判断 ，利用向量的 定义可判断 ． 【解答】 解：对于 ，向量的长度相等，方向不一定相同，故由 ݖ ，不一定有 ݖ ，故 A 错误； 对于 ，若 ݖ ，则 ，故 B 正确； 对于 ，若 ݖ ，满足，，但，可以为任意向量，不一定有，故 C 错误； 对于 ，向量不能比较大小，故 D 错误． 故选：． 6. 【分析】 本题考查平面向量的相等，平面向量的坐标运算，属于基础题． 由四边形 为平行四边形可得 ݖ ，利用平面向量的坐标运算，计算即可． 【解答】 解：由题意，设 ሻ 四边形 为平行四边形， ݖ ， 则2ሻ ݖ  ሻ， 第 页，共 12页 即 ݖ  2 ݖ ，解得  ݖ  ݖ 2 故 D2ሻ． 故选 A． 7. 【分析】 本题考查向量数量积与加法运算，向量垂直的判定，考查向量几何运用，以及三角形的面积公式，考查了 逻辑分析能力与计算能力，属于较难题． 由 ൌ ሻ ݖ 推导可得 的平分线垂直于边 ，进而可得 ݖ ，再由给定面积导出 ݖ 得解． 【解答】 解：如图所示，在边 、 上分别取点 、，使 ݖ ， ݖ ， 以 、 为邻边作平行四边形 ଶ，则ଶ ݖ ൌ ，显然 ݖ ݖ 1， 因此平行四边形 ଶ 为菱形，ଶ 平分，而 ൌ ሻ ݖ ， 则有ଶ ݖ ，即 ଶ ， 于是得 是等腰三角形，即 ݖ ， 令直线 ଶ 交 于点 ，则 是 边的中点， ݖ 1 2 ， 而 ݖ 2ൌ22 ݖ 1 2， 因此有 ݖ 12 ݖ 1 2，从而得 ݖ ， 所以 是等腰直角三角形． 8. 【分析】 本题考查平面向量的基本定理，属于较难题． 设 是 的中点，퓸 与 交于点 ，퓸 ݖ ，利用平面向量的线性运算求出 ݖ 2 ൌ  ，再 利用三点共线得到 2ൌ  ݖ ，再利用相似即可得出． 第 页，共 12页 【解答】 解：퓸 ݖ  ൌ  ݖ 2 12 ሻ ൌ  ， 设 是 的中点，퓸 与 交于点 ，퓸 ݖ ， 퓸 ݖ 2 ൌ  ， ݖ 2 ൌ  ， ݖ 2 ൌ  ， 由 ，， 三点共线可得2 ൌ  ݖ 1， 即 2ൌ  ݖ ݖ 퓸 ，过点 퓸 作 퓸퓸 交 于퓸， 因为 是 的中点，所以 ， 故 퓸퓸 ， 퓸퓸 ， 故 2ൌ  ݖ ݖ 퓸 ݖ 퓸 ， ݖ 1， 2ൌ  ݖ ݖ 퓸 ݖ 퓸 ， 又因为 퓸 为点 到直线 퓸퓸 的距离，퓸 取得最大值与最小值时，均与内切圆相切， 因为正三角形 的边长为 2，所以正三角形 的内切圆半径为 ， 故 A 퓸 ൌ ， 即 1 퓸 1 ൌ ， 2ൌ  ݖ 퓸 ଶ ൌ ， 故选 D． 9. 【分析】 本题考查了复数的模，考查了复数及其共轭复数的关系，以及复数的计算′属于中档题． 利用共轭复数的定义判断选项 A，由复数的乘法运算以及实数 的含义判断选项 B，由复数模的运算性质判 断选项 C，由复数的乘法运算及模的平方判断选项 D． 第 퓸页，共 12页 【解答】解：设1 ݖ ൌ ，2 ݖ ൌ ൅，，，，൅ ， 对于 ，1 ൌ 2 ݖ ൌ ሻ ൌ ൅ሻ，1 ൌ 2 ݖ ൌ ሻ ൌ ൅ሻ，故选项 A 正确； 对于 ，因为12 ݖ ൌ ሻ ൌ ൅ሻ ݖ ൅ሻ ൌ ൅ ൌ ሻ ݖ ， 则 ൅ ݖ ൅ൌ ݖ ，所以 ݖ ݖ 或 ݖ ൅ ݖ 都满足题意， 所以1，2中只要有一个为 即可，故选项 B 错误； 对于 ，由复数模的运算性质可知， 12 ݖ ൌ ሻ ൌ ൅ሻ ݖ ൅ሻ2 ൌ ൅ൌ ሻ2， ݖ ሻ2 ൌ ൅ሻ2 ൌ ൅ሻ2 ൌ ሻ2 12 ݖ 2 ൌ 2 2 ൌ ൅2 ݖ ሻ2 ൌ ൅ሻ2 ൌ ൅ሻ2 ൌ ሻ2， 故选项 C 正确； 对于 ，当1 ݖ ൌ ，则1 2 ݖ ൌ ሻ ൌ ሻ ݖ 2 2 ൌ 2， 12 ݖ ൌ 2 ݖ 2 ൌ 2ሻ2 ݖ 2 ൌ 2，所以1 2 1 2故选项 D 错误． 故选 AC． 10. 【分析】 本题考查向量的模定义，辅助角公式，向量数量积的定义与性质，属于中档题． 对 选项，利用向量的模定义，辅助角公式构建的三角函数模型，再利用函数思想即可求解；对 选项， 两边平方化简得 ݖ ，从而建立的方程，最后求出 ；对 选项，根据单位向量的定义，数乘的概 念即可求解；对 选项，先利用数量积定义，辅助角公式化简 ሻ，即可求解． 【解答】 解： 对 选项， ݖ 푘ଶ 2ଶ 1ሻ ݖ 푘ଶ 2ሻ2 ൌ ଶ 1ሻ2 ݖ 푘ଶ ൌ 2ଶሻ ݖ 2 sin ൌ ሻ，其中 ݖ 2， ， 当 sin ൌ ሻ ݖ 1 时， 取得最大值 ൌ 2 ݖ ൌ 1，故 A 选项正确； 对 选项，若 ൌ ݖ ，等式两边平方整理得 ݖ ， 2푘ଶ ൌ ଶ ݖ ， ݖ 2，故 B 选项错误； 对 选项，与共线的单位向量 ݖ ݖ 1 21ሻ ݖ 2 ሻ或 2 ሻ，故 C 选项错误； 第 页，共 12页 对 选项， ሻ ݖ ݖ 2푘ଶ ൌ ଶ ݖ sin ൌ ሻ，其中 ݖ 2， ， 当 ൌ ݖ 2 ൌ 2ଶ，ଶ ሻ时，sin ൌ ሻ ݖ 1，ሻ取得最大值 ， 此时 ݖ 2 ൌ 2ଶ，ଶ ，其中 ݖ 2， ݖ tan 2 ൌ 2ଶሻ ݖ tan 2 ሻ ݖ 1 tan ݖ 1 2，故 D 选项正确． 故选：． 11. 【分析】 本题考查三角形面积公式，二倍角公式，属于较难题． 先确定定点 的轨迹，结合选项依次判定即可． 【解答】 解： 的面积 ݖ 12 2，当 ݖ 为定值时， 边上的高为定值 ， 所以定点 的轨迹为平行于底边 的直线，且当 越向两个端点角 越小， 当点 位于 的垂直平分线上时，角 最大，此时 tan 2 ݖ 1 2， tan ݖ 2tan2 1tan22 ݖ ，即 tan 的最大值为 ，A 正确； ݖ 12 2 ݖ 12 sin， ݖ 2 sin， 当 sin ݖ 时， 取最小值 2 ， 2 ൌ 22 2 2 ， 当且仅当 ݖ ݖ 2 时，此时 sin ݖ ，等号均成立， 2 ൌ 2取最小值，最小值为 2 2 ， 不正确； 同理当 ݖ ݖ 2 时， ൌ 取得最小值，所以 周长的最小值为 ൌ 1ሻ，C 正确； 以 为坐标原点建立平面直角坐标系，则 ሻ，ሻ，设 ሻ，则  ， 所以 ݖ 2ൌ2  2ൌ2 ݖ  2ൌ2 22ൌ22， 令 2ൌ2 22ൌ22 ݖ ， 则 1ሻ2 2 ൌ 22 2 ݖ ， 当  ݖ 2时， ݖ 1， 第 1页，共 12页 当 1 时，因为  ，所以，解得 2 ൌ 2 且 1， 综上 1 2 1ൌ 2 ，即 的取值范围是 1 2 ൌ1 2 ，D 正确． 12. 【分析】 本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数模的求法． 把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案． 【解答】 解：由1 ൌ ሻ ݖ 1 ， 得 ݖ 11ൌ ݖ 1ሻ1ሻ 1ൌሻ1ሻ ݖ 퓸2 ݖ ， 则 ݖ ሻ2 ൌ ሻ2 ݖ ． 故答案为 ． 13. 【分析】 本题考查余弦定理，考查三角函数知识，正确运用余弦定理是关键，属于中档题． 利用余弦定理，结合 ൌ ݖ ，即可求出 的长． 【解答】 解： 、、、 四点共圆，圆内接四边形的对角和为． ൌ ݖ ， 由余弦定理可得 2 ݖ 2 ൌ 2 2 푘ଶ ݖ 푘ଶ， 2 ݖ 2 ൌ 퓸2 2 퓸 푘ଶ ݖ 퓸 퓸푘ଶ， ൌ ݖ ，即 푘ଶ ݖ 푘ଶ， 2 ݖ 퓸2 퓸 ， 可解得 ݖ ． 故答案为：． 14. 【分析】 本题考查向量在平面几何中的应用，求函数的值域，属于中档题． 根据题意，化简得到 1 ൌ 1 ݖ ，设 的边长为 1，用和表示 ，，，再利用 ݖ ，得到 1 2 ݖ ൌ 2 ，进而得到 ሻ ݖ 1 ሻ 2 1，通过和的范围，求出 的范围，进而可求出 ሻ的范围． 第 11页，共 12页 【解答】 解： 连接 并延长，交 于 ଶ， 因为 为 的重心，所以，ଶ 为 中点， 所以，ଶ ݖ 12 ൌ 12 ， 所以 ݖ 2ଶ ݖ 2 1 2 ൌ ሻ ݖ 1 1 ൌ 1 ݖ 1 ൌ 1 ，得 1 ൌ 1 ݖ ，整理得， ൌ ݖ ， 设 的边长为 1，则 ݖ ， ݖ ， 在 中，由余弦定理得， ݖ 2 ൌ 2 ， 所以 1 2 ݖ ൌൌ 2ൌ2 ݖ ൌ ሻ2 ， 因为 ݖ ， 所以 ሻ ݖ ൌ 2 ݖ 2 ݖ 1 ሻ 2 1， 因为 ଶ 1， ଶ 1，所以，1 1， 1 1， 又 1 ݖ 1 2，则有 1 1 2， 因为 ݖ 1，所以 ݖ 2 1 ݖ 1 1 2 ݖ 1 1 2ሻ 2ൌ ， 因为 1 1 2，2 1 2 ሻ 2 ൌ ， 所以的最小值为，最大值为 1 2， 所以 ݖ ଶ 1 2 ， 1 ሻ 2 1单调递增，则 퓸1 1 ሻ 2 1 1 12， 所以，ሻ ଶ 2 ，即 ሻ的值域为ଶ 2 ． 故答案为： 2 ． 第 12页，共 12页 15. 本题主要考查复数的有关概念、代数形式的运算及其几何意义，属基础题． 1ሻ先化简复数 ，由纯虚数的定义可得方程组，解出 ʹ 即可； 2ሻ由复数的几何意义可得 1 2ʹ ଶ 1 ൌ 2ʹ ，解出 ʹ 的范围即可． 16.本题考查利用向量数量积的坐标运算求向量的夹角，考查向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系，考 查向量平行共线ሻ关系的坐标表示，属于中档题． 1ሻ由题意结合向量平行及垂直的坐标表示可求 ， ，进而可求； 2ሻ设向量 ʹ ， 的夹角的大小为 ′先求出 ʹ ， ，然后结合向量夹角的坐标公式可求． 17. 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和的正弦函数公式，考查了转化思想，属于中档题． Ⅰሻ利用正弦定理和两角和的正弦函数公式整理，即可证明． Ⅱሻ由余弦定理求出 푘ଶ，利用Ⅰሻ的条件，求解 即可． 18. 本题是应用题，考查简单的数学建模思想方法，考查三角形的解法，是中档题． 1ሻ在 퓸ଶ 中，直接由正弦定理列式即可求得 퓸 ݖ ଶ ൌ ሻ， ଶ ଶ 1ሻ； 2ሻ在 퓸퓸 中，퓸 ݖ ଶ1 ሻ，由余弦定理求得 퓸2，再由倍角公式降幂，结合辅助角公式化积， 则最值可求． 19. 本题考查平面向量的新定义，考查向量的有关计算和性质，属于较难题． 1ሻ根据所给定义计算可得 2ሻ根据所给定义及复数代数形式的运算法则计算可得 ሻ设 ݖ ʹൌ ʹൌ 2 ൌ ሻ，ʹ， ，根据新定义的运算计算可求得 的最小值和此时的，根据 定义设出 ݖ ଶ ൌ ଶ ൌ 2 ൌ ሻ，ଶ， ，根据新的运算规律计算即可证明．