广东省东莞市东莞实验中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

密★启用前 东莞实验中学2024-2025学年第二学期第一次段考 高二数学 2025.3.24 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 1．（  ） A． B． C． D． 2．从4名男同学、3名女同学中选3名同学组成一支志愿者小队，要求男、女都有，则不同的组队方案共有（  ） A．60种 B．50种 C．40种 D．30种 3．日常饮用水通常都是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知吨水净化到纯净度为时，所需费用单位：元为，那么净化到纯净度为时，所需净化费用的瞬时变化率是（  ）元/吨. A． B． C． D． 4．已知函数，则在定义域上（  ） A．有极小值 B．有极大值 C．有最大值 D．无最小值 5．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 6．在某次无人机灯光表演秀中，有8架无人机排布成如下图形式，已知每架无人机均可以发出红、黄、蓝3种颜色的光，编号1至5号的无人机颜色必须相同，编号7、8号的无人机颜色必须相同，编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（  ）种灯光组合. A．18 B．15 C．12 D．9 7．下列图象中有一个是函数的导函数的图象，则（  ） A． B．或 C． D． 8．已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为（  ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 9．现有不同的球15个，其中红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（    ） A．从中任选1个球，有15种不同的选法 B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法 C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法 D．若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法 10．已知函数，其导函数的图象如图所示，则关于的论述错误的是（     ） A．在上为减函数 B．在处取极小值 C．在上为减函数 D．在处取极大值 11．已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A．在上是增函数 B．在上是增函数 C．，不等式恒成立，则正实数的最小值为 D．若方程有两个解，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 请把答案填在答题卡的相应位置上． 12．若，则 ． 13．曲线在点处的切线方程为 ． 14．用半径为的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器．当该容器的容积最大时，扇形的圆心角 ． 四、解答题： 本大题共5小题，第15题13分，第16、17题各15分，第18、19题各17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效． 15.（本小题满分13分） 已知函数. （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最大值． 16.（本小题满分15分） 如图，在三棱台中，平面ABC，，，，，M为的中点． （1）证明：平面AMC； （2）求平面和平面AMC夹角的余弦值． 17.（本小题满分15分） 已知数列是等差数列，首项，公差为d且，，成等比数列. （1）求的通项公式； （2）若，数列满足，求数列的前n项和. 18.（本小题满分17分） 已知椭圆的左、右焦点分别为，上、下顶点分别为，且四边形是面积为8的正方形. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点分别作直线交椭圆于两点，设两直线的斜率分别为，且，证明：直线过定点. 19.（本小题满分17分） 已知，，，. （1）讨论的单调性； （2）若，曲线的任意一条切线，都存在曲线的某条切线与它垂直，求实数b的取值范围. ( 第 7 页 共 14 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 东莞实验中学2024-2025学年第二学期第一次段考 高二数学 参考答案 一、单项选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D B A A C D A 二、多项选择题 题号 9 10 11 答案 ABD ABD BC 三、填空题 12． 13． 14． 四、解答题 15．解：（1）易知函数的定义域为 ……………………………………………1分 ，………………………………………………………………3分 令，得或，…………………………………………………………4分 令，得，…………………………………………………………………5分 故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，…………6分 ∴函数的单调递增区间为；递减区间为. …………………………7分 （2）由（1）得，当时，函数单调递增， …………………………………9分 当时，函数单调递减， ……………………………………………………11分 所以. …………………………………………………………………13分 16． 解：（1）如图，连接， 由题意知平面，所以，……………………………………………1分 又，，所以，……………………………………………2分 因为M是的中点，所以．……………………………………………………3分 因为平面ABC，所以，……………………………………………………4分 又，，所以平面，…………………………………5分 所以．……………………………………………………………………………6分 因为，所以平面AMC．……………………………………………7分 （2）以A为坐标原点，以直线AB，AC，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图， ，，，，，…………………………8分 所以，．……………………………9分 设平面的法向量为， 则，取，………………………11分 由（1）知平面AMC的一个法向量为，……………………………13分 因为， 所以平面和平面AMC夹角的余弦值为． ………………………………………15分 17．解：（1）因为，，成等比数列，又， 所以，即，………………………………………………1分 解得或，……………………………………………………………………………2分 当时数列的通项公式；………………………………………………4分 当时数列的通项公式；……………………………………………………6分 所以或.……………………………………………………………………7分 （2）因为，所以，………………………………………………………8分 所以，………………………………………………………9分 所以，……………………………10分 则，………………………………11分 所以 ， ……………………………13分 所以. ………………………………………………………………15分 18．解：（1）因为四边形是面积为8的正方形，，………………1分 所以，……………………………………………………………………5分 则椭圆的标准方程为. …………………………………………………………6分 （2）设直线斜率存在，设其方程为，……………………………7分 由，…………………………………8分 由题意得，………………………………………………………9分 设， 所以，…………………………………………………………10分 因为， 所以 ……………………………………………11分 ，……………………………………12分 整理得，…………………………………………………………………………13分 所以直线方程为， 所以直线恒过定点，………………………………………………………………14分 若直线斜率不存在，设其方程为，，………………………15分 由题意得，……………………………………………………16分 此时直线，显然过点， 综上，直线过定点.……………………………………………………………17分 19．解：（1）由题意得，函数定义域为. ……………………………………………1分 . ……………………………………………………………………………2分 若，则，在上单调递减. ………………………………………………4分 若，令得，………………………………………………5分 当时，，当时，，………………………………………6分 ∴在上单调递增，在上单调递减. ………………………………7分 综上得，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）当时，，………………………………………………………8分 ∵，∴，………………………………………………9分 ∴曲线上任意一点处的切线斜率为，…………………10分 曲线上的任意一点处的切线斜率为.……………11分 由题意得，对任意的，总存在，使得等式成立， 将等式变形为，…………………………………………………………12分 则函数的值域是函数值域的子集. ………………………………13分 由得，，故函数的值域为，………………………………14分 ∴. ∵，…………………………………15分 ∴，解得或，……………………………………………………16分 ∴实数b的取值范围是. ……………………………………………17分 学科网（北京）股份有限公司 $$