广东省清远八校联盟2024-2025学年高二下学期教学质量监测（一）数学试题（B卷）

广东省八校联盟2024~2025学年度第二学期教学质量监测(-)·高二数学 参考答案、提示及评分细则 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D A B C C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。全部选对的 得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 AD BD ABC 1.B设等差数列(a.}的公差为d,:aa=1,aa十a=5,∴.1+d+1+2d=5,则d=1,.am=a十8d=1+8= 9,故选B. 2.D由2an十a+1=0,得a+1=一2m,可得数列{an}为公比为一2的等比数列，则aw=(一2)2，又a2=1,则 a=-之a=-2.a,=4as=-8,则a1aa,aa=-2×1X(-2)X4X(-8)=-32.故选D 3.C因为f=E,所以-(A>0)表示：r在[1,1十△]上的平均变化率.故选C △x =2a-a 4A由题意，得a:一1一a=之a=一a@ 1 =一1，…，故数列{am}是周期为3的数列，则ag2 =da:=a:=号，故选A 5.B函数f(x)=C1+∫(1)x2+1,则广(.x)=e1+2xf(1),令x=1,得(1)=1+2(1)，解得(1)= -1,所以f(x)=e1-2x,所以了(2)=e-4.故选B. 6.C因为当x∈（一o∞，x)时，f(x)>0:当x∈(x,x)时，f(x)<0.所以f(x)在(-o∞，）上单调递增，在 (x·x)上单调递减，故f(x)的极大值点为，故选C, .CSa=13a,+a2=13X2a=13a,<0.5m=12a1+a2_12(a,+a）=6(u6+a)>0,4s+a,> 2 2 2 0,a<0,a6>0,且as|>a,1,∴.等差数列{an}为递减数列，前6项为正数，从第7项起为负数，故a> la2>…>as|>a,ar|<as|<…,∴.数列{au}中绝对值最小的项是a元故选C. &Da=n2=2,6=吉n5=g.6=是=，设)=(>0→f=l三，当1Kr<e时， n<1fx)=1-h>0,当x>e时，ln>1,fax)=1-h<0,故fx)=n'在xe(1,e)上单调递 增，当E(e,十o∞)上单调递减故x)m=e)=是=c,故ac,bc,a-是-2血2_n=j4,b= 2 4 4 号n5=f5),又：5>4>e∴f5)<f4)<fe),即6a<c,故选D 9.AD根据正弦函数，余弦函数的性质可知A,D可以作为数列0,1,0，一1,0,1,0，一1，…的一个通项公式， c0s受0osD运不符合，0s受表示0，-1.0,1.0，-10os表示-1,0，l,0,…,故选AD 2 2 10BD对于A,由f(x)=(2x-x2)e,得/(x)=(2-x2)e,当x∈(-√2，W2)时，(.x)>0,∴.(-√2，N2)是 f(x)的单调递增区间，故A错误：对于B由A知，f(x)在（一，一√2），(w2,十∞)上是减函数，在（一√2， √2)上是增函数，.f(一√2)是f(x)的极小值，f(W2)是f(x)的极大值，故B正确：对于C,D,,当x<一√② 时，f(x)<0恒成立，且f(x)在（一√2，w2)上单调递增，在(W2,+∞）上单调递减，.当x=√2时，f(x)取得 最大值，又当x→十时，f(x)→一∞，∴.f(x)无最小值，故C错误，D正确. 11.AC设圆0的半径为r,内接正n边形为AA2…A(n≥3)，因为∠AOA2=2红，所以边长AA= 【高二第二学期教学质量监测（一）·数学卷参考答案第1页（共3页）】 5340B $$2 r \sin \frac { \pi } { n } ，$$ ，周长 $$l _ { n } = 2 r \cdot n \cdot \sin \frac { \pi } { n } ， a _ { n } = \frac { l _ { n } } { 2 r } = n \cdot \sin \frac { \pi } { n } .$$ .对于 $$A ， a _ { n } = 6 \sin \frac { \pi } { 6 } = 3 ， A$$ 正确；对于 $$B . \frac { a _ { n } } { a _ { 2 n } } =$$ $$\frac { n \cdot \sin \frac { \pi } { n } } { 2 n \cdot \sin \frac { \pi } { 2 n } } = \frac { \sin \frac { \pi } { n } } { 2 \sin \frac { \pi } { 2 n } } = \cos \frac { \pi } { 2 n } \frac { \pi } { 2 n } ， B$$ s严，B正确；对于C，当n越大，圆内接正n边形周长越接近圆的周长，即 $$l _ { n }$$ ，越大， 所以 $$a _ { n } = \frac { l _ { n } } { 2 r }$$ 越大，故 $$\left\{ a _ { n } \right\}$$ 是递增数列，C正确； 对于D，令 $$h \left( x \right) = \sin x - x \left( 0 < x \le \frac { \pi } { 3 } \right) ，$$ 因为 h'(x)=cosx-1<0， ，所以 h(x)=sinx-x 在 $$\left( 0 ， \frac { \pi } { 3 } \right)$$ )内递 减， 是 h(x)<h(0)=0， 即 sinx<x， ，这时有 $$\frac { \sin x } { x } < 1 ，$$ ，从而 $$则 f \left( x \right) = \frac { \pi \sin x } { x } < \pi$$ $$f \left( \frac { \pi } { n } \right) < \pi ，$$ ，进一步有 $$a _ { n } = f \left( \frac { \pi } { n } \right) < \pi ，$$ 因此，对一切 $$n \in { N ^ { * } }$$ 并且 n≥3， ，都有 $$a _ { n } ^ { 2 } < \pi ^ { 2 } < 1 2 ，$$ ，所以D错误.故选AB C. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 $$1 2 . - 2 \because f \left( x \right) = 2 \cos \left( - 2 x + \frac { \pi } { 6 } \right) = 2 \cos \left( 2 x - \frac { \pi } { 6 } \right) ， \therefore f ' \left( x \right) = - 4 \sin \left( 2 x - \frac { \pi } { 6 } \right) ，$$ $$\therefore f ' \left( \frac { \pi } { 6 } \right) = - 4 \sin \left( 2 \times \frac { \pi } { 6 } - \frac { \pi } { 6 } \right) = - 2 .$$ 13.46 已知 $$a _ { 1 } = 1 ， a _ { n + 1 } - a _ { n } = n ，$$ 所以 $$a _ { n } = a _ { n - 1 } + n - 1 ，$$ ，所以 $$a _ { 1 0 } = a _ { 2 } + 9 = a _ { 1 } + 1 + 2 + \cdots + 9 = 4 6 .$$ $$1 4 . \frac { 1 } { 2 }$$ 由 f(x)≤xg(x) 得 $$： \frac { 1 } { e ^ { 2 x } } + 2 x ^ { 2 } \le x \left( 2 m - \ln x \right) ， 则$$ 则 $$2 m \ge \frac { 1 } { x e ^ { 2 } } + 2 x + \ln x = e ^ { - 2 x - \ln x - \left( - 2 x - \ln x \right) } \right)$$ 令 t=-2x-lnx， ，易得 $$t \in R ， y = e ^ { d } - t ，$$ 则 $$y ' = e ^ { x } - 1 ，$$ 令 $$y ^ { 2 } = e ^ { x } - 1 = 0 ，$$ 得 t=0， 当 t<0 时， ，y'<0， 当 t>0 时， ，y'>0， ，则 $$y = e ^ { d } - t$$ 在 (-∞，0) 上单调递减，在 (0，+∞) 上单调递增，得当t 0时， $$y = e ^ { x } - t$$ 取得最小值为1，故 2m≥1， ，即 $$m \ge \frac { 1 } { 2 } ，$$ ，故 m 的最小值是 $$1 \frac { 1 } { 2 }$$ 四、解答题：本题共 5 小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、计算过程、证明过程。 15.解：(1)由 $$a _ { 1 } ， S _ { 2 } ， S _ { 4 }$$ 成等比数列得 $$S _ { 2 } ^ { 2 } = a _ { 1 } S _ { 4 } ，$$ .....................................................................2分 化简得 $$\left( 2 a _ { 1 } + d \right) ^ { 2 } = a _ { 1 } \left( 4 a _ { 1 } + 6 d \right) ，$$ ....................................................... 3分 又 d=2， ，解得 $$a _ { 1 } = 1 ，$$ ......................................................................................................4分 所以 $$a _ { 2 } = 3 ， a _ { 3 } = 5 .$$ .........................................................................................................6分 (2)由 (1) 可知数列 $$\left\{ a _ { n } \right\}$$ 的通项公式 $$a _ { n } = 1 + 2 \left( n - 1 \right) = 2 n - 1 \left( n \in { N ^ { * } } \right)$$ ........................................7分 所以 $$b _ { n } = 2 n - 1 + 2 ^ { n } ，$$ ...................... ................................... .... .............................................8分 设 $$\left\{ 2 ^ { n } \right\}$$ 》的前 n 项和为 $$T _ { n } ，$$ 则 $$T _ { n } = \frac { 2 \times { \left( 1 - 2 ^ { n } \right) } { 1 - 2 } = 2 ^ { n + 1 } - 2 }$$ ...................................................... 10分 又 $$S _ { n } = \frac { n \left( 1 + 2 n - 1 \right) } { 2 } = n ^ { 2 } ，$$ ........................................................................... 12分 所以 $$\left\{ b _ { n } \right\}$$ 的前 9 项和为 $$S _ { 9 } + T _ { 9 } = 8 1 + 1 0 2 4 - 2 = 1 1 0 3 .$$ .....................................................13分 16.解： $$\left( 1 \right) \because f \left( x \right) = x ^ { 3 } - 3 x ^ { 2 } - 9 x + 2 ， \therefore f ' \left( x \right) = 3 x ^ { 2 } - 6 x - 9 .$$ ..................................................3分 (2)由(1)可得 f(1)=-9， f'( (1)--12，切点坐标为(1，-9)，因此，曲线 y=f(x) 在点(1，f(1))处的切线方程为 y+9=-12(x-1)， 即 y=-12x+3. ....................................... .. ..............................................................7分 (3)解不等式 f'(x)>0， 得 $$3 x ^ { 2 } - 6 x - 9 > 0 ，$$ ，即 $$x ^ { 2 } - 2 x - 3 > 0 ，$$ ，解得 x>3 或x<-1； 解不等式 f'(x)<0， ，得 $$3 x ^ { 2 } - 6 x - 9 < 0 ，$$ ，即 $$x ^ { 2 } - 2 x - 3 < 0 ，$$ 解得 -1<x<3. ............................13分 即函数 f(x) 的单调递增区间为 (-∞，-1) 和 (3，+∞)， .单调递减区间为(一1，3)........................15分 17.解：(1)由函数 $$f \left( x \right) = e ^ { 2 x } - 2 x ，$$ ，可得 $$f ' \left( x \right) = 2 e ^ { 2 x } - 2$$ .............................................................1分 令f ''(x)>0， 即 $$e ^ { 2 x } - 1 > 0 ，$$ ，解得 x>0； .............................................................................2分 令 f'(x)<0， ，即 $$e ^ { 2 x } - 1 < 0 ，$$ ，解得 x<0， ..............................................................................3分 故 f(x) 在 (0，+∞) 上单调递增，在 (-∞，0) 上单调递减，..................................................5分 所以当 x=0 时， f(x) 取极小值 f(0)=1， 无极大值.….........................................................7分 (2)由 f(x)>2(e-1)x+m 得 $$e ^ { 2 x } - 2 x > 2 \left( e - 1 \right) x + m$$ ，故 $$e ^ { 2 x } - 2 e x > m ，$$ .................................8分 构造函数 $$g \left( x \right) = e ^ { 2 x } - 2 e x ，$$ ，则 $$g ' \left( x \right) = 2 e ^ { 2 x } - 2 e ，$$ .................................................................9. 令 $$g ' \left( x \right) = 2 e ^ { 2 x } - 2 e > 0 ，$$ 则 $$x > \frac { 1 } { 2 } ，$$ 【高二第二学期教学质量监测(一)·数学卷参考答案第2页(共3页)】 5340B 放当>2时，g)>0,g(x)单调递增， 当x<号时，g()<0,g(x)单调递减， …13分 故当x一号时，g(x)取极小值也是最小值g(2)=e一e=0, 所以m<g(x)m,即m<0, 故m的取值范围为（一6∞，0）.……15分 18.解：(1)由题意得：a十a4=9(a1十a),可得(a1十ag)=9(a1十a:),=9, 由aw>0.可得g=3,由a1a=36,可得a1d1g=36,可得a1=2,…3分 可得w=2X3w1(n长N）.…4分 (2由a.=2X3,可得S.=02=2g0=3-1,…5分 1一9 3一1 由十1=3%，可得3一1十1=3%，可得b,=1,… …6分 可得{a.b.}的通项公式：a.bn=2n×3"-1, 可得：Tm=2×3°+2×2×3+2×3×3+…+2×(n-1)×3-+2×n×3"1① …7分 3Tn=2X3+2×2X32+2X3X38+…+2X(-1)×3"1+2×n×3②…8分 ①-②得：-2T.=2+2(3+3+…+3)-2Xm×3=2+2×33-D-2×mX3 3-1 =2十3"-3-2nX3”=(1-2n)X3"-1,…10分 可得T-②0一X空十分1分 2 2×3-1 1 (3)由a.+Da+1+D可得6，-(2X3千02X3+D2(2X3有2X8干，…15分 可得：=号号-号+号++2x百2X3 1 =22xx+2 4…17分 19,a)解：由题意，了(x)=nx+中士-a=lhx十+1-a,r>0, …1分 设gx)=n+中1-a,g()=-=1 x ,…2分 所以g'(x)>0x>1,g'(x)<0→0x1, 故广(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十c∞)上单调递增，…4分 从而f(x)m=(1)=2一a,所以f(x)的值域为[2一a,十co),…5分 因为f(x)是单调函数，所以2一a≥0，解得a≤2， 故实数a的取值范围是（一∞，2].…7分 (2)证明：由(1)可得当a=2时，f(x)=(x十1)nx-2x+2在(0，十o∞)上单调递增，…8分 所以当>1时，f(x)>f1).即(x+1)lnx-2x+2>0,所以1nx>2-2 x+1 …10分 取=1+安ccN)可得：n(1+2)> (1+）-2 1++1 2有 所以n(1+卡)>中故中<n. …14分 依次取k=1,2,…,n得： 以上各式相加得： n 7功（十1）.…17分 【高二第二学期教学质量监测（一）·数学卷参考答案第3页（共3页】 5340B广东省八校联盟2024~2025学年度第二学期教学质量监测（一） 高二数学 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置。 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。 4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答題卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦千净后，再逃涂其他答案标号。 5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知数列{an}是等差数列，a2=1,ag十a1=5,则ao= A.8 B.9 C.10 D.11 2.已知数列{am}满足a2=1且2an十aw+1=0,则a1aga3a4as的值为 A.32 B.16 c壶 D.-32 3.已知函数(x)=丘，则式子中A-1(△>0)表示 △ A.f(x)在x=1十△x处的导数 B.f(x)在x=1处的导数 C.f(x)在[1,1+△x]上的平均变化率 D.f(x)在[1一△x,1门上的平均变化率 4在数列{a,中，若a4=-1.a,=-am≥2).则aa A司 B.1 C.2 D.-1 5.已知函数f(.x)=e-1+f(1)x2+1,则f(2)= A.e+2 B.e-4 C.e-7 D.e-8 6.已知函数f(x)的导函数「'(x)的图象如图所示，则f(x)的极 大值点为 y-f(r) A.x和x B.r2 C.x3 D.xi 7.已知等差数列{am}的前n项和为Sm,且S3<0,S2>0,则此数 列中绝对值最小的项为 A.第5项 B.第6项 C.第7项 D.第8项 【高二第二学期教学质量监测（一）数学卷第1页（共4页）】 5340B 8.已知函数a=ln2,b=号ln5,c=是，则a,b,c的大小关系正确的是 A.a<c<b B.c<a<b C.a<b<c D.b<a< 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.数列0,1,0，一1,0,1,0，一1，…的一个通项公式是 A.sin (n-1)z 2 B.cos C.cos (n1) 2 D.cos (n+2)x 2 10.下列关于函数f(.x)=(2x-一x2)e的判断正确的是 A.f(x)的单调递减区间是（一√2，√2） B.f(一√2)是极小值，f(2)是极大值 C.f(x)没有最小值，也没有最大值 D.f(x)有最大值，没有最小值 11.我国魏晋时期杰出的数学家刘徽在《九章算术》中提出“割圆术”，利用圆内接正多边形逐步 逼近圆来近似计算圆周率.设圆内接正n(n≥3)边形的周长为l,圆的半径为r,数列{am}的 通项公式为a,=会则 A.a6=3 Ba,=cos2员·ae C.{an}是递增数列 D.存在m∈N°，当n>m时，a>12 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.函数f(x)=2cos(-2x+）其导函数为f(x),则了（晋） 13.设数列{an}的前n项和为Sw,且满足a1=1,a+1一am=n,则a0= 14.已知函数f(x)=+2r2,g(x)=2m-lnx,若关于x的不等式f(x)≤xg(x)有解，则m 的最小值是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知等差数列{am}的前n项和为Sm,公差为2，且41，S2,S:成等比数列. (1)求a1ag,a8； (2)设bn一am十2"，求数列{bu}的前9项和. 【高二第二学期教学质量监测（一）数学卷第2页（共4页）】 5340B 16.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=x3-3x2一9x十2. (1)求(x): (2)求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (3)求f(x)的单调区间. 17.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=e2一2x. (1)求f(x)的极值： (2)若对于任意x∈R,不等式f(x)>2(e一1)x十m恒成立，求实数m的取值范围. 【高二第二学期教学质量监测（一）数学卷第3页（共4页）】 5340B 18.(本小题满分17分)》 已知等比数列{am}的前n项和为S。,aw>0且a1a3=36,ag十a:一9(a1十a2). (1)求数列{am}的通项公式： (2)若Sn十1=3，求数列{bn}及数列{abn}的前n项和Tm; a （3)设c.一a,+1)a1+D求c,)的前n项和P 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=(x+1)nx一a.x十2. (1)若函数f(x)是单调函数，求实数a的取值范围； (2)证明：号+号+号+十2<受n(n+1)对任意的nEN都成立. 【高二第二学期教学质量监测（一）数学卷第4页（共4页）】 5340B