专题04 空间向量与立体几何大题综合（7考点45题）（苏教版2019，江苏专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期中真题分类汇编

专题04 空间向量与立体几何大题综合（7考点45题） 题型概览 题型01空间向量及其运算 题型02异面直线所成角 题型03求线面角 题型04线面角的应用 题型05求二面角 题型06二面角的应用 题型07空间距离 优选提升题 空间向量及其运算题型01 1．(23-24高二下·江苏盐城五校联盟·期中)已知向量，，. (1)当时，若向量与垂直，求实数的值； (2)若向量与向量，共面，求实数的值. 【答案】(1)3 (2) 【来源】江苏省盐城市五校联盟2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】（1）根据向量的模长的坐标表示和两个向量垂直的坐标表示求解即可. （2）根据共面定理列方程组求解即可. 【详解】（1）因为，所以 解得，即， 由，且得 ，解得， 即的值为. （2）因为向量与向量，共面，所以设，R， 因此， 即解得， 所以的值为. 2．(23-24高二下·江苏常州武进区·期中)已知空间三点，，，设，． (1)若与互相垂直，求实数的值； (2)若，，求． 【答案】(1)或 (2)或 【来源】江苏省常州市武进区2023-2024学年高二下学期期中质量调研数学试题 【分析】（1）根据空间向量垂直得到方程，求出答案； （2）设，根据平行和模长得到方程组，求出答案. 【详解】（1）， 故， ， 因为互相垂直，所以， 解得或； （2）， 设，则且， 解得或， 故或； 3．(23-24高二下·江苏淮安协作体联盟·期中)已知点 (1)表示出，并求 (2)证明：与四点共面 【答案】(1) (2)证明见解析 【来源】江苏省淮安市协作体联盟2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题 【分析】（1）根据向量的坐标运算即可求解， （2）根据平面向量基本定理，即可根据坐标运算求解. 【详解】（1）,所以，故， （2）设， 解的， ，则共面 又因为为公共点，所以这四个点共面 4．(23-24高二下·江苏宿迁·期中)已知，向量，且满足 (1)求点的坐标； (2)若点在直线（为坐标原点）上运动，当取最小值时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【来源】江苏省宿迁地区2023-2024学年高二下学期期中调研测试数学试题 【分析】（1）设，由向量共线列方程组，解出即可； （2）由向量的坐标运算分别求出，再由坐标计算结合二次函数求出最值即可； 【详解】（1）设，则， 因为． 所以，解得． 所以； （2）因为点在直线为坐标原点）上运动， 所以． 所以， ． 所以 ． 当时，取得最小值． ． 5．(23-24高二下·江苏淮安淮安区·期中)如图，四面体中，，分别为，上的点，且，，设，，. (1)以为基底表示； (2)若，且，，，求. 【答案】(1) (2) 【来源】江苏省淮安市淮安区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】（1）利用向量的加减数乘运算，结合题设条件即可求得； （2）先求出平面的基底两两之间的数量积，再根据（1）中的表示式，两边取平方，利用向量数量积的运算律计算即得. 【详解】（1）由图可得，; （2）由题意，， 则， 于是，由两边取平方， ， 故. 异面直线所成角题型02 6．(23-24高二下·江苏灌云高级中学·期中)如图，在四棱柱中，侧棱平面，，，，，E为棱的中点，M为棱的中点． (1)证明：； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【来源】江苏省灌云高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，只需证明即可； （2）求出异面直线与的方向向量，由向量的夹角公式即可得解. 【详解】（1）因为底面，平面， 所以， 而， 所以、、两两互相垂直， 不妨以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如上图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、，， ，， 因为，所以，则； （2），， ， 因此，异面直线与所成角的余弦值为. 7．(23-24高二下·江苏盐城东台第一中学·期中)如图，在直三棱柱中，，，为的中点． (1)若为上的一点，且，求证； (2)在（1）的条件下，若异面直线与所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【来源】江苏省盐城市东台市第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】（1）法一：取中点，由题意得平面，要证，因为，及证面即可.法二：先证平面，在建系，向量法证明. （2）先看出与所成的角为与所成的角，即，建系向量法求直线与平面所成角的正弦值即可. 【详解】（1）法一：取中点，连接，有， 因为，所以， 因为三棱柱为直三棱柱， 所以平面平面， 因为平面平面平面， 所以平面， 因为平面，所以． 因为为的四等分点，为的中点， 所以， 因为，所以直棱柱的侧面是正方形，所以， 又因为，，所以，又，，平面， 所以面，而面， 所以，即． 法二：取中点，连接，连接交于点，连接 因为，所以， 因为三棱柱为直三棱柱， 所以平面平面， 因为平面平面，平面，， 所以平面， 因为，所以直棱柱的侧面是正方形， 所以， 如图以为坐标原点，分别以为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系 设，，，，，，， 所以，即． （2）连接，因为分别是的中点，所以， 所以异面直线与所成的角为与所成的角，因此 所以， ，，，， ，， ， 设平面的法向量为， 则即 则的一组解为 所以． 所以直线与平面所成角的正弦值为． 求线面角题型03 8．(23-24高二下·江苏连云港厉庄高级中学·期中)如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于1，点，，分别是的中点． (1)计算：； (2)求证：； (3)求异面直线和所成角的余弦值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【来源】江苏省连云港市厉庄高级中学2023-2024学年高二下学期期中数学检测试题 【分析】（1）设，，，则可得，，即可求出； （2）用表示，根据数量积的运算律及定义求出，即可得证； （3）利用向量计算可得，，即可求出，进而可求出异面直线与所成角的余弦值. 【详解】（1）设，，， 则，． ，， 则； （2）因为 所以 . 所以，即. （3），， ， ，， ， 由于异面直线所成角的范围是， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 9．(23-24高二下·江苏连云港东海县·期中)如图，在棱长为2的正方体中，点是的中点. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【来源】江苏省连云港市东海县2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】（1）建立空间直角坐标系，用向量的方法证明线线垂直即可； （2）由（1）求出平面的法向量，然后利用向量的方法求直线与平面所成角的正弦值即可. 【详解】（1）以点为原点，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 因为， 所以. （2）由（1）得，    设平面的一个法向量为， 由，即，取，则， 设直线与平面所成角为， 则，           所以直线与平面所成角的正弦值为. 10．(23-24高二下·江苏南京南京外国语学校·期中)已知三棱锥中，平面，，，为上一点且满足，，分别为，的中点． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的大小； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【来源】江苏省南京市南京外国语学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】（1）以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立空间直角坐标系，计算，进而可得答案； （2）求出平面的法向量，，利用线面角的向量公式求解即可. 【详解】（1）因为平面，， 如图以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以，因为，所以． （2）设平面的法向量，， 则，即，取，得， 设直线与平面所成角为， 则， 又，所以， 所以直线与平面所成角的大小为． 11．(23-24高二下·江苏靖江高级中学·期中)如图，在直四棱柱中，底面是边长为2的正方形，侧棱，点分别在侧棱上，且，点为线段上的任意一点.    (1)求二面角的余弦值： (2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】(1) (2) 【来源】江苏省靖江高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】（1）以为原点，、、分别为、、轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，利用向量夹角公式计算可得答案； （2）设，得到点坐标，求出平面的法向量，利用向量的夹角公式表示出直线与平面所成角的正弦值，结合二次函数的知识，即可求出结果. 【详解】（1）因为在直四棱柱中，底面是边长为2的正方形， 所以以为原点，、、分别为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则，令，则， 设平面的法向量为，则，令，则 所以， 因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值. （2）由(1)知，，，， 因为点为线段上的任意一点，设，所以， 则，， 设平面的法向量为，则，令，则， 设直线与平面所成角为， 所以， 则， 令，则，所以， 则，， 所以，则， 所以，则当， 即时，直线与平面所成角的正弦值最大值，最大值为. 12．(23-24高二下·江苏溧阳·期中)如图，已知四棱锥的底面为正方形，平面，分别为线段，中点. (1)证明：共面； (2)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【来源】江苏省溧阳市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】（1）由题意利用平面向量的运算可得，由共面向量定理即可证明； （2）方法一：利用线面垂直的性质得，由(1)，可得，进而利用平面向量的夹角公式即可求解； 方法二：以为坐标原点，以为正交基底，建立空间直角坐标系，利用空间向量线面角的公式求解即可. 【详解】（1）由题意得：， 则由共面向量定理知，共面. （2）方法一：由平面，知为平面的法向量， 又平面，所以. 由（1）知：， ， 设直线与平面所成角为， 所以，直线与平面所成角大小为. 方法二：由题平面及为正方形， 以为坐标原点，以为正交基底，建立空间直角坐标系; 则，则， 由平面知为平面的法向量 设直线与平面所成角为， 则 所以，直线与平面所成角大小为. 13．(23-24高二下·江苏邳州文华高级中学·期中)已知平行四边形中，是线段的中点.沿直线将翻折成，使得平面平面.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【来源】 江苏省邳州市文华高级中学2023--2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】（1）利用翻折的特性，结合勾股定理逆定理证得，再利用面面垂直的性质、线面垂直的判定推理即得. （2）由（1）建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，再利用线面角的向量求法求解即得. 【详解】（1）在中，， 翻折后，，则， 于是，而平面⊥平面，平面平面=，平面， 所以平面. （2）由（1）知平面，且，显然直线两两垂直， 如图，以D为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，    则，，，， 由E是线段的中点，得，， 在平面中，，， 设平面的法向量为，则，令，得， 设直线与平面所成的角为，则， 以直线与平面所成角的正弦值为. 14．(23-24高二下·江苏海门中学·期中)如图，在四棱柱中，底面和侧面均是边长为2的正方形．    (1)证明：． (2)若，求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【来源】江苏省海门中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】（1）利用菱形的性质证得，再利用线面垂直的判定与性质定理证得，从而得证； （2）依题意建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，从而利用空间向量法求线面角即可得解. 【详解】（1）连接，因为底面和侧面均为正方形， 所以，则四边形为菱形，则， 由底面和侧面均为正方形，得． 因为平面，所以平面， 又，所以． 因为平面，所以平面， 又平面，所以.    （2）因为平面ABCD和平面均为正方形，所以， 又，，所以， 又因为，则，所以为正三角形， 取中点E，连接AE，则， 以A为原点，AB，AD，AE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 由题意得，，， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，则法向量， 设与平面所成角为， 则， 所以与平面所成角的正弦值． 15．(23-24高二下·江苏常州第一中学·期中)如图，直三棱柱内接于圆柱，为圆柱底面的直径，，为中点，为中点. (1)求直线与平面所成角的正弦值 (2)若求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【来源】江苏省常州市第一中学2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题 【分析】（1）根据题意可建立空间直角坐标系，再利用直线与平面向量法即可求解； （2）根据（1）中建立的空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，再利用面面角向量求法即可求解. 【详解】（1）由题意知平面，因为平面，所以，， 又因为为圆柱底面的直径，所以，所以， 所以可以点为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 如图所示， 所以，，，，，， 因为为中点，为中点，所以，， 所以，，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，所以， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （2）由（1）知平面的一个法向量为，且，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得，则， 设平面与平面所成角为， 所以， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 16．(23-24高二下·江苏徐州铜山区·期中)已知在图（1）的平面四边形中，，，，沿着对角线将折起，如图（2）中点到达处，使平面平面． (1)求线段的长度； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) (2) 【来源】江苏省徐州市铜山区2023-2024学年高二下学期4月期中学情调研数学试题 【分析】（1）取中点，连接、，结合等腰三角形的性质与面面垂直的性质定理可得三角形为直角三角形，结合勾股定理计算即可得解； （2）建立适当空间直角坐标系后，借助空间向量夹角公式计算即可得. 【详解】（1）取中点，连接、， 由，，故，， 又，故，，， 由平面平面，且平面， 平面平面，故平面， 又平面，故， 则； （2）由，，， 故可以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 有，，，，， 则，，， 设平面的法向量为， 则， 令，得，，则， 设直线与平面所成角为， 则, 即直线与平面所成角的正弦值为. 17．(23-24高二下·江苏连云港赣榆区·期中)如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，为的中点． (1)求证：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【来源】江苏省连云港市赣榆区2023-2024学年高二下学期期中学业水平质量监测数学试题 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用两平面法向量数量积为，证明面面垂直； （2）利用法向量方法求解线面角. 【详解】（1）以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，设， 则，，，， ，，. 设平面PCD的一个法向量为，则， 即，不妨令，则，， 所以， 设平面PAC的一个法向量为，则， 即，不妨令，则，， 所以， 因为， 所以，所以平面平面． （2）由（1）知，，所以，， 因为，所以，即，解得， 故，所以，由（1）知， 设直线BM与平面PCD所成的角为， 则， 故直线BM与平面PCD所成角的正弦值为. 线面角的应用题型04 18．(23-24高二下·江苏盐城五校联盟·期中)如图，在四棱锥中，平面平面，，且，，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，. 【来源】江苏省盐城市五校联盟2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】（1）根据给定条件，利用面面垂直的性质证得平面，以为坐标原点，求出平面的法向量，利用空间位置关系的向量证明推理即得. （2）求出平面的法向量，利用面面角的向量求法计算即得. （3）假定存在符合条件的点，令，，求出，再借助线面角的向量求法求解即得. 【详解】（1）在四棱锥中，平面平面，平面平面， 又，平面，则平面， 取的中点，连接，由，，得， 则，而，于是， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ，，， 设平面的一个法向量为，则，令，得， 显然，则，又平面， 所以平面. （2）设平面的一个法向量为，而，， 则，令，得， 则， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值. （3）假设线段上存在一点满足条件，令，， 则，即， 由（1）知平面的一个法向量， 于是， 整理得：，即，而，解得， 所以在线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，且. 【点睛】关键点点睛：用向量法求直线与平面所成的角，求出平面的法向量是关键，并注意公式求出的是线面角的正弦． 19．(23-24高二下·江苏盐城中学、南京二十九中联考·期中)如图，点C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面平面ABC，△PAC是边长为2的正三角形. (1)求证：平面PAC； (2)若点E，F分别是PC，PB的中点，且异面直线AF与BC所成角的正切值为，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线PQ与平面AEF所成角的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【来源】江苏省盐城中学、南京二十九中联考2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题 【分析】（1）由C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，得到，再根据平面平面ABC，利用面面垂直的性质定理证明； （2）易得，即，设平面平面，从而，以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴，y轴，过C且垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，求得平面AEF的一个法向量为，由求解. 【详解】（1）证明：因为C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点， 所以， 又平面平面ABC，且平面平面，平面ABC， 所以平面PAC； （2）由E，F分别是PC，PB的中点，连结AE，EF，所以， 由（1）知平面PAC. 又平面PAC，所以，所以， 所以在中，∠AFE就是异面直线AF与BC所成的角. 因为异面直线AF与BC所成角的正切值为， 所以，即， 又平面AEF，平面AEF，所以平面AEF， 又平面ABC，平面平面，所以， 所以在平面ABC中，过点A作BC的平行线即为直线l. 以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴，y轴，过C且垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系， 因为，所以，从而， 由已知E，F分别是PC，PB的中点，所以， 则，，， 所以，， 所以，， 因为，所以可设，平面AEF的一个法向量为， 则， 取，得， 又，则. 设直线PQ与平面AEF所成角为，则. 所以直线PQ与平面AEF所成角的取值范围为. 20．(23-24高二下·江苏南京浦口区汉开书院·期中)四棱锥中，平面，，，，，是的中点，在线段上，且满足． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． (3)在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值是，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解答 (2) (3)存在， 【来源】江苏省南京市浦口区汉开书院2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】（1）取的中点，证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可求解； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解平面与平面的夹角，即可求解； （3）设，利用空间向量法求解与平面的夹角，从而求解. 【详解】（1）如图1，取的中点，连接. 因为且，又因为分别是的中点， 所以且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 平面，平面，所以平面. （2）因为平面，平面，所以， 因为，所以，令， 又因为，，所以. 如图2，以为原点，所在方向分别为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则， 所以 设点坐标为，则， 由得，则， 所以，， 设平面的一个法向量为， 由，令，则， 所以面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 由，令，得， 所以平面的一个法向量为， 所以， 故平面与平面夹角的余弦值为． （3）存在，，理由如下： 设， 所以设，所以， 所以， 因为与平面所成角的正弦值为，所以， 整理得，解得或（舍）， 所以存在满足条件的点，，则. 21．(23-24高二下·江苏常州武进区·期中)如图,在四棱锥中,底面是边长为6的正方形,是正三角形,平面,为的中点,,,分别是,,上的点,且满足． (1)求证：平面; (2)求平面与平面所成锐二面角的大小; (3)在线段上是否存在点,使得直线与平面所成角为?若存在,求线段的长度；若不存在,请说明理由. 【答案】(1)证明见详解 (2) (3)不存在,理由见详解 【来源】江苏省常州市武进区2023-2024学年高二下学期期中质量调研数学试题 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理即可证; （2）建立空间直角坐标系,利用向量法直接计算可知; （3）假设存在,利用向量法直接计算可知. 【详解】（1）是正三角形, 为的中点,, 又平面,平面, , 又平面,平面,平面,且, 平面. （2） 取的中点,连接, 由（1）得平面,且底面是的正方形,所以以为原点,分别以所在直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,得到如下点的坐标, 又,,分别是,,上的点,且满足, ， ,, 由（1）得平面,所以平面的法向量为, 设平面的法向量为, 则,即,解得,, 设平面与平面所成锐二面角为, , 所以平面与平面所成锐二面角的大小. （3）设线段上是否存在点,使得直线与平面所成角为,且, ,, , 整理可得:,方程无解, 不存在这样的点. 22．(23-24高二下·江苏宿迁青华中学·期中)如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点.    (1)求平面与平面所成锐二面角的余弦值； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上，是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在； 【来源】江苏省宿迁青华中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】（1）利用空间向量的坐标运算，求二面夹角的余弦值； （2）利用空间向量的坐标运算，求点到平面的距离； （3）利用空间向量的坐标运算，表示出线面角的正弦值，即可求解, 【详解】（1）取中点为，连接， 因为，且，，，所以 又因为平面，平面， 所以, 所以，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，    则 为的中点， 平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， ， 所以，令则，所以， 设平面与平面所成锐二面角为， 则. （2）， 所以点到平面的距离为. （3）存在，，理由如下 设上存在一点，设，， ， 又因为直线与平面所成角的正弦值为， 由（1）知平面的一个法向量为， 所以：，解得， 又因为，所以：，故存在，且. 23．(23-24高二·江苏南京秦淮区·)如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，为等边三角形，平面平面，．点在线段上．    (1)若，在上找一点，使得四点共面，并说明理由； (2)求点到平面的距离； (3)若直线与平面所成的角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)为靠近点的四等分点，理由见解析 (2) (3) 【来源】江苏省南京市秦淮区2023-2024学年高二下学情第一阶段学业质量监测数学试卷 【分析】（1）当为靠近点的四等分点时，结合已知条件可得∥，而∥，则∥，从而可得结论； （2）取中点，连接，，由面面垂直可得平面，再由结合菱形的性质可得，则得平面，然后求出，再利用等体积法可求得点到平面的距离； （3）以为原点，分别以，，为轴，轴，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）当为靠近点的四等分点时，四点共面， 理由如下： 因为，所以， 所以∥， 因为四边形是菱形，所以∥， 所以∥，所以四点共面； （2）取中点，连接，． 因为为等边三角形，， 所以，，． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面，所以， 因为，∥，所以． 因为，平面，平面，， 所以平面，又平面，所以． 所以， 所以， 设点到平面的距离为， 因为，所以， 所以，解得； （3）由（2）知，，，两两垂直， 所以以为原点，分别以，，为轴，轴，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，， 所以，，． 设，则，． 得，则． 又平面，则取平面的法向量． 设与平面所成的角为，则 ， 化简整理得，解得． 则，． 设平面的法向量，则, 令，则取平面的法向量， 又平面的法向量． 故平面与平面夹角的余弦值为．   【点睛】 24．(23-24高二下·江苏宿迁泗洪县·期中)如图所示：多面体中，四边形为菱形，四边形为直角梯形，且，平面，．    (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见详解. (2) 【来源】江苏省宿迁市泗洪县2023-2024学年高二下学期期中数学试题 【分析】（1）先利用线面垂直，得到，再根据底面是菱形，得到，再根据线面垂直的判定定理判定线面垂直. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求二面角的余弦. 【详解】（1）因为平面，平面，所以； 又底面为菱形，所以； 又，平面，所以平面. （2）如图：    设，取的中点，连接，则，所以平面. 故可以以为原点，建立如图空间直角坐标系. 因为为直线与平面所成的角，所以. 又, 所以，，，，， 则，. 设平面的法向量为， 则，取. 又为平面的法向量，设平面与平面所成的角为， 则. 求二面角题型05 25．(23-24高二下·江苏如皋中学·调研)如图，四棱锥的底面是菱形，平面，，点 分别是 的中点，. (1)求证：平面 (2)求证：平面 (3)求平面 与平面 所成二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【来源】江苏省如皋中学2023-2024学年高二下学期教学质量调研（二）数学试题 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的性质判定推理即得. （2）法一，连接，利用三角形重心定理结合线面平行的判定推理即得；法二，取的中点，利用线面平行的判定、面面平行的判定性质推理即得. （3）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面 与平面法向量，再利用面面角的向量求法求解即得. 【详解】（1）连接，在菱形中，由，得， 由点为的中点，得，而，则， 又平面，平面，于是，又，平面， 所以平面. （2）法一、连接，连接， 在三角形中，为中线，则为重心，即有， 而，于是，平面，平面， 所以平面   法二、取的中点，连接，在三角形中，为的中点，则， 平面，平面，因此平面， 在三角形中，由，，得， 平面，平面，因此平面， 又平面，平面，， 于是平面平面，而平面， 所以平面. （3）由（1）知，直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， ， ，设平面的法向量为， 则，令，得， ，设平面法向量， 则，令，得，设平面与平面所成的角为， 则，因此， 所以平面与平面所成的角的正弦值为. 26．(23-24高二下·江苏南京金陵中学·期中)如图，直四棱柱的底面为平行四边形，，，，，是的中点．平面满足：直线平面，直线平面．    (1)求证：平面平面； (2)求平面和平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【来源】江苏省南京市金陵中学2023-2024学年高二下学期期中考试试卷 【分析】（1）由已知证出两两相互垂直，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，根据，即可得证； （2）根据（1）再求出平面的一个法向量，利用向量的夹角公式即可求解． 【详解】（1）证明：由，，，可得， ， 在直四棱柱中， 平面， 平面， 平面， 所以，， 所以两两相互垂直， 所以以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，， ，， 设为平面的一个法向量， 则， 令，则，，所以， 又平面，所以为平面的一个法向量， 又，即，所以平面平面． （2）由（1）可知为平面的一个法向量， 设平面与平面所成的锐二面角为， ， 所以平面和平面所成锐二面角的余弦值． 27．(23-24高二下·江苏南通·期中)如图，在直四棱柱中，底面是梯形，，且是的中点. (1)求点到平面的距离； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)； (2). 【来源】江苏省南通市2023-2024学年高二下学期5月期中质量监测数学试题 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再由点到平面距离的向量求法求解. （2）求出平面的法向量，结合（1），利用面面角的向量求法求解即得. 【详解】（1）在直四棱柱中，，则直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 而，且是的中点， 则， ， 设平面的法向量，则，令，得， 所以点到平面的距离. （2）设平面的法向量，则，令，得， 设二面角的大小为，则， 所以二面角的正弦值 28．(23-24高二下·江苏淮安淮安区·期中)如图所示，在三棱锥中，平面，，，，，. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)求平面与平面的夹角正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【来源】江苏省淮安市淮安区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】（1）由条件先证明，，再由线线垂直推导线面垂直即得； （2）利用（1）已证的平面，将点到平面的距离转化为点到平面的距离的倍易得； （3）结合题设条件建系，写出相关点和相关向量的坐标，求出两个平面的法向量坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】（1） 如图，取的中点，连接，因，，则，， 易得，因，， 则，解得，即， 则点在以为直径的圆上，故， 又平面，平面，则， 因平面，故平面. （2）由（1）已得平面，， 则点到平面的距离是点到平面的距离的倍，即. （3） 如图，分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系. 则， 由上平面，故为平面的一条法向量， 又，设平面的一条法向量为， 则，故可取. 设平面与平面的夹角为，则， 故. 平面与平面的夹角正弦值是. 【点睛】关键点点睛：解题的关键在于，在证得线面垂直基础上，结合图形特点，将所求点面距离进行转化，从而简化运算过程；对于空间角的计算，一般考虑建系，运用平面的法向量和空间向量的夹角公式计算即得 29．(23-24高二下·江苏常州高级中学·期中)如图1所示，为等腰直角三角形，分别为中点，将沿直线翻折，使得，如图2所示． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值 【答案】(1)证明见解析 (2) 【来源】江苏省常州高级中学2023-2024学年高二下学期期中质量检查数学试题 【分析】（1）依题意可得，即可证明平面，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）由题可知，因为分别为中点，所以， 所以， 又因为平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面； （2）由（1）可知，因为， 所以，所以两两垂直，以为轴，以为轴，以为轴，    建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 易得平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 所以，即，取， 所以. 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 二面角的应用题型06 30．(23-24高二下·江苏宿迁·期中)如图，在四棱锥中，已知底面，，，，，若异面直线与所成角等于． (1)求棱的长； (2)在棱上是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的正切值为？若存在，指出点的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2 (2)存在，点为棱上靠近的三等分点 【来源】江苏省宿迁地区2023-2024学年高二下学期期中调研测试数学试题 【分析】（1）先得到线面垂直，线线垂直，建立空间直角坐标系，设，得到各点坐标，由异面直线的夹角得到方程，求出，求出棱长； （2）假设棱上存在一点，设，，表达出，求出两个平面的法向量，由平面与平面所成锐二面角的余弦值得到方程，求出，得到答案. 【详解】（1）因为底面，平面， 所以，， 又，所以两两垂直， 如图，以为原点，、、所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 设， 则， 则， 异面直线、所成角为， ， 解得，棱长的大小为2； （2）假设棱上存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的正切值为， 设，，且，则， ， 设平面的一个法向量为， ，， 则， 取，得， 平面的法向量， 平面与平面所成锐二面角的正切值为， 由得，又，解得， 平面与平面所成锐二面角的余弦值为， ， 解得或（舍， 在棱上存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的正切值为， 且点为棱上靠近的三等分点． 31．(23-24高二下·江苏连云港东海县·期中)如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在上，且. (1)证明：平面； (2)当二面角的余弦值为时，求点到直线的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【来源】江苏省连云港市东海县2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】（1）连结，交于点，连结，利用相似比得，然后可得，根据线面平行判定定理即可得证； （2）以为原点，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，利用二面角的向量公式求出，再由点到直线的距离的向量公式可得. 【详解】（1）连结，交于点，连结， 因为， 所以，又， 所以，所以，                                           因为面，面， 所以平面. （2）以为原点，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 设，，则，，，， 则，，                                     设平面的法向量为， 则，即， 令，可取，                          平面的法向量可取， 所以，得，                                            因为， 与同向的单位向量， 所以点到直线的距离为. 32．(23-24高二下·江苏盐城三校·期中)如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面平面，，点是棱的中点，点在棱上.    (1)当点在什么位置时，使得平面； (2)若面与面所成角的正弦值为，求的长. 【答案】(1)当时，平面 (2)3 【来源】江苏省盐城市三校2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题 【分析】（1）取中点，当时，证明出四边形为平行四边形，则得，再由线面平行的判断得到平面； （2）在平面中，作于，由面面垂直性质定理得到平面，建立空间直角坐标系，设点，进而表示所需向量坐标求解面与面的法向量，进而得到夹角的余弦值，建立方程求解出即可得到的长. 【详解】（1）    当时，平面 取中点，连接， 因为，分别为和中点， 由梯形的中位线定理得，且， 当时，即时，因为正方形， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，因为平面， 面， 所以平面 （2）    在平面中，作于， 因为平面平面，平面平面， 又，平面， 所以平面， 在正方形中，过作的平行线交于点，则.， 分别以为轴，建立空间直角坐标系， 因为四边形是等腰梯形，，所以， 又，所以， 可得, ， 所以, ， 设平面的法向量为， 由,则有，取， 设，则， 设平面的法向量为， 由则有，取， 因为面与面所成角的正弦值为， 所以， 解得或（舍去）， 所以. 33．(23-24高二下·江苏海州高级中学·期中)如图， 平面， ， ， ， ， . (1)求证: 平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值 (3)若二面角的余弦值为 ，求线段的长. 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【来源】江苏省海州高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】（1）由线面垂直的判定定理和性质定理证明即可； （2）以为原点建立空间直角坐标系，首先求解出平面的法向量，根据直线与平面所成角的正向量公式可求得结果； （3）设得到，可求解出平面的法向量，从而得到；根据二面角余弦值与法向量夹角余弦值的关系可建立方程，解方程求得结果. 【详解】（1）因为 平面， 平面，所以， 又，，， 所以平面； （2）以为原点可建立如下图所示的空间直角坐标系： 由题意得：，，，， ，， 设平面的法向量 ，令，则， 设直线与平面所成角为， 即直线与平面所成角的正弦值为. （3）设，则 设平面的法向量 ，令，则， 由（1）知，平面的法向量 又二面角的余弦值为 , ，化简可得：， 解得：或（舍去） 线段的长为： 34．(23-24高二下·江苏灌云高级中学·期中)在四棱柱中，已知平面，，，，，是线段上的点． (1)点到平面的距离； (2)若为的中点，求异面直线与所成角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，请确定点位置；若不存在，试说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点在靠近的三等分点处 【来源】江苏省灌云高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】（1）建立如图所示空间直角坐标系，求出平面的法向量后利用点面距公式可求点到平面的距离； （2）求出直线与的方向向量后可求它们夹角的余弦值； （3）设，求出面和平面法向量后利用夹角公式可求参数的值，从而可得所求的位置关系. 【详解】（1）过作直线平面， 则可以点为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系， 则有，，，，，， 则，， 设面的一个法向量为，则， 令，则，，所以， 所以点到面的距离. （2）因为为的中点，所以，所以，， 所以 所以异面直线与AE所成角的余弦值为． （3）设，其中， 则，， 设面的一个法向量为， 则有，令，则，， 所以，平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，， 所以平面的一个法向量为， 所以， 若存在点，使得二面角的余弦值为， 则，所以，解得（舍去）或， 故存在满足题意，即存在点在靠近的三等分点处． 另解： 连接，则，易得，所以， 又平面，， 所以，，所以两两互相垂直， 以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设，，则， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，得，，所以， 同理可得平面的一个法向量， 所以，即， 解得（舍）或，所以存在点在处或在靠近的三等分点处． 35．(23-24高二下·江苏南通海安实验中学·期中)如图，在四面体中，平面，，，点在线段上． (1)当是线段中点时，求与平面所成角的正弦值； (2)若二面角的余弦值为，求的值． 【答案】(1) (2) 【来源】江苏省南通市海安市实验中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求解； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【详解】（1）因为平面，平面， 所以，，又， 以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 因为为的中点，则、、、， 设平面的法向量为，，， 则，取，则，可得，又， 所以与平面所成角的正弦值为． （2）设点，其中，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得， 又，，平面，， 所以平面， 易知平面的一个法向量为， 由已知可得，解得， 此时点为的中点，故． 36．(23-24高二下·江苏淮安协作体联盟·期中)已知三棱锥中和所在平面互相垂直，求 (1)与所成角的余弦值； (2)与平面所成角的正弦值； (3)直线上是否存在点使得二面角为，若存在求出BP的长，不存在说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【来源】江苏省淮安市协作体联盟2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题 【分析】（1）利用向量法求异面直线所成的角的余弦值； （2）代入向量法求线面角的正弦值； （3）假设存在点，分别求平面和平面的法向量，利用法向量表示二面角的余弦值. 【详解】（1）在平面ABC内过B作垂直于BC的直线BE，因为平面ABC与平面BDC垂直， 且平面平面，所以平面， 因为平面，所以， 又，所以BE，BD，BC两两垂直，建立如图空间直角坐标系 则 ， ， 所以异面直线与所成角的余弦值为; （2）平面BCD的法向量， 所以， 则与平面所成角的正弦值为； （3）假设存在，设， 设平面CDP的法向量， ，取，则，， 则， 所以或 则点P存在 所以或. 37．(23-24高二下·江苏邳州文华高级中学·期中)如图，在四面体中，平面，点在线段上.    (1)当点是线段中点时，求点到平面的距离； (2)若二面角的余弦值为，求的值. 【答案】(1)； (2). 【来源】 江苏省邳州市文华高级中学2023--2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得到平面的距离； （2）设点，其中，利用空间向量法可得出关于的方程，解出的值，即可得解. 【详解】（1）由平面，，得两两垂直， 以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图：    由为的中点，则、、、， 设平面的法向量为，，， 则，取，得，而， 所以点到平面的距离为. （2）设点，，，， 设平面的法向量为，则，取，得， 显然平面的一个法向量为， 则，解得， 此时点为的中点，所以. 空间距离题型07 38．(23-24高二下·江苏宿迁泗洪县·期中)如图所示，在空间四边形中，与成角，与成角，与成角，且，为的中点，为的中点，试求，间的距离． 【答案】 【来源】江苏省宿迁市泗洪县2023-2024学年高二下学期期中数学试题 【分析】以，，为基底，表示出，再结合向量的数量积求模即可. 【详解】以，，为基底，则，. 又， 所以， 所以，即，间的距离为. 39．(23-24高二下·江苏盐城东台第一中学·期中)如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，且平面，．求： (1)平面与平面所成的二面角的正弦值； (2)点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【来源】江苏省盐城市东台市第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】（1）直接建立空间直角坐标系，先求法向量，再求两法向量夹角的余弦值，再求正弦值即可； （2）直接用空间向量法求点到面的距离. 【详解】（1）以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系． ，，，，，， 设平面的法向量，则，令，则， 所以． 取平面的法向量为，， 所以， 即平面与平面所成的二面角的正弦值． （2），平面的法向量为， 点到平面的距离. 40．(23-24高二下·江苏常州高级中学·期中)如图，四棱锥的底面为矩形，平面平面是边长为2的等边三角形，，点为的中点，点为线段上一点（与点不重合）． (1)证明：； (2)当为何值时，直线与平面所成的角最大？ (3)在（2）的条件下，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析. (2) (3) 【来源】江苏省常州高级中学2023-2024学年高二下学期期中质量检查数学试题 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积证垂直. （2）借助空间向量的数量积表示出线面角的正弦，利用基本（均值）不等式求何时正弦取得最大值即可. （3）利用空间向量求点到面的距离. 【详解】（1）因为是边长为2的等边三角形，为的中点，所以 又平面平面，平面平面，平面, 所以平面. 又四边形为矩形，取中点，连接，则、、两两垂直. 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则：，，，，设（）. 那么，，. 因为，所以. （2）设平面的法向量为，则 ， 令，可得. 设直线与平面所成的角为， 则（当且仅当时取“”）. 所以：当时，直线与平面所成的角最大. （3）在（2）的情况下，，平面的法向量， 所以点到平面的距离为：. 41．(23-24高二下·江苏溧阳·期中)图①展现的是一种被称为“正四角反棱柱”的多面体，其上下底面平行且均为正方形，它的俯视图是一个正八边形（图②）.已知此多面体上下底面的边长为2，高为. (1)判断直线与直线是否垂直，并说明理由； (2)求二面角的大小； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)不垂直，理由见解析 (2) (3) 【来源】江苏省溧阳市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】连接，交于点，连接，交于点，以为坐标原点，以为正交基底，建立空间直角坐标系；(1)利用向量数量积判断直线与直线是否垂直； (2)求出平面的一个法向量及平面的一个法向量，再由两平面法向量所成角的余弦值可得二面角的大小； (3)求出的坐标，再由点到平面的距离公式求解. 【详解】（1）连接，交于点，由为正方形知， 连接，交于点，由“俯视图为正八边形”知平面， 以为坐标原点，以为正交基底，建立空间直角坐标系. 则. ， . 所以不垂直于，所以直线与直线不垂直. （2）， 设平面的一个法向量为， 则， 取，得. 平面的一个法向量为. 设二面角平面角为， 则. 由图知，所以二面角的大小为. （3），由（2）平面的一个法向量为， 所以，点到平面的距离. 42．(23-24高二下·江苏常州联盟校·期中)如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面平面，是边长为2等边三角形，点分别为的中点，点为线段上一点（包括端点）． (1)若为线段的中点，求平面和平面夹角的正弦值； (2)当直线与平面所成的角最大时，求出的值． 【答案】(1) (2) 【来源】江苏省常州联盟校2023-2024学年高二下学期4月期中调研数学试题 【分析】（1）根据条件得到面，建立如图所示的空间直角坐标系，求出面与面的法向量，利用面面角的向量法，即可求出结果； （2）设设，求出平面的法向量和，利用线面角的向量法得到，利用基本不等式，即可求出结果. 【详解】（1）因为是正三角形，点为的中点，， 又平面平面 ，平面面，面， 所以面， 设F是中点，以E为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以 设面的一个法向量为，由，得到， 令，得到，所以， 又易知面的一个法向量为，则 所以平面和平面夹角的正弦值为. （2）设，又 则， 设平面的一个法向量为，由，得到， 令，得到，则， 设直线与平面所成的角， 所以， 又，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时，取最大， 又，在区间上单调递增， 所以直线与平面所成角最大时，，又， 所以直线与平面所成角最大时，. 43．(23-24高二下·江苏扬州邗江区邗江一中，瓜州中学，公道中学等五校联考·期中)已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，E、F、M、O分别是、、、的中点，平面． (1)求证：； (2)求点B到平面的距离； (3)在线段上是否存在点N，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求线段的长度，若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3)存在点满足题意， 【来源】江苏省扬州市邗江区邗江一中，瓜州中学，公道中学等五校联考2023-2024学年高二下学期期中数学试题 【分析】（1）先证明平面，再证明，即可得证； （2）求点到平面的距离即求点到平面的距离，利用三棱锥等体积法求解； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【详解】（1）因为平面，平面， 所以，又底面是正方形，则， 且与是平面内两条相交直线， 所以平面，平面，所以， 又分别是的中点，所以， 所以. （2）因为分别是的中点， 所以， 所以平面即是平面， 由（1）知平面，则平面，平面， ，则， 设点到平面的距离为，由， 得，即， 解得， 所以点到平面的距离为. （3）如图以为原点，为轴，可建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， 设线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，且， ，， ， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，得， ， ，整理得， 解得或（舍）， ，即存在点使得直线与平面所成角的正弦值为，此时. 44．(23-24高二下·江苏射阳中学·)如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直， . 分别是 的中点，点 在直线 上，且 . (1)证明： ； (2)当取何值时，直线与平面所成角最大?并求该角取最大值时的正切值. (3)是否存在点，使得平面与平面 所成的二面角的正弦值为，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)，2 (3)存在， 【来源】江苏省射阳中学2023-2024学年高二下学期阶段测试2（5月）数学试题 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用数量积的坐标表示，证明线线垂直； （2）代入线面角的向量公式，根据线面角正弦值的最大值，确定点的位置，从而确定线面角最大值的正切值； （3）分别求平面与平面的法向量，根据法向量夹角的余弦值，确定点的位置. 【详解】（1）证明: 如图，以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系 则 ， ，即 ， ， 所以无论 取何值， （2） 是平面的一个法向量. 当 时， 取得最大值， 此时 . （3）假设存在，则，因为， 设 是平面的一个法向量. 则 ，解得 ，令 ，得， ， , 化简得，解得， 存在点使得平面与平面所成的二面角正弦值为，此时点的位置在 45．(23-24高二下·江苏徐州铜山区·期中)如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点满足，点是棱上的一个点(包括端点)． (1)求证：； (2)若二面角的余弦值为，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【来源】江苏省徐州市铜山区2023-2024学年高二下学期4月期中学情调研数学试题 【分析】（1）由题意可建立适当空间直角坐标系，得到、后借助空间向量共线定理即可得证； （2）求出平面与平面的法向量后，借助空间向量夹角公式计算即可得点具体位置，再借助点到平面距离公式求解即可得. 【详解】（1）因为底面，且底面为正方形，且、底面， 所以，，两两互相垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 则，，有，故； （2），因为点满足，点是棱上的一个点（包括端点）， 所以，设，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，令，得，，则， 由题可得轴平面，则平面的一个法向量为， 因为二面角角的余弦值为， 所以， 解得或（舍去），所以， 因为，所以点到平面的距离为． 因为，故到平面的距离为. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 空间向量与立体几何大题综合（7考点45题） 题型概览 题型01空间向量及其运算 题型02异面直线所成角 题型03求线面角 题型04线面角的应用 题型05求二面角 题型06二面角的应用 题型07空间距离 优选提升题 空间向量及其运算题型01 1．(23-24高二下·江苏盐城五校联盟·期中)已知向量，，. (1)当时，若向量与垂直，求实数的值； (2)若向量与向量，共面，求实数的值. 2．(23-24高二下·江苏常州武进区·期中)已知空间三点，，，设，． (1)若与互相垂直，求实数的值； (2)若，，求． 3．(23-24高二下·江苏淮安协作体联盟·期中)已知点 (1)表示出，并求 (2)证明：与四点共面 4．(23-24高二下·江苏宿迁·期中)已知，向量，且满足 (1)求点的坐标； (2)若点在直线（为坐标原点）上运动，当取最小值时，求点的坐标． 5．(23-24高二下·江苏淮安淮安区·期中)如图，四面体中，，分别为，上的点，且，，设，，. (1)以为基底表示； (2)若，且，，，求. 异面直线所成角题型02 6．(23-24高二下·江苏灌云高级中学·期中)如图，在四棱柱中，侧棱平面，，，，，E为棱的中点，M为棱的中点． (1)证明：； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 7．(23-24高二下·江苏盐城东台第一中学·期中)如图，在直三棱柱中，，，为的中点． (1)若为上的一点，且，求证； (2)在（1）的条件下，若异面直线与所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值． 求线面角题型03 8．(23-24高二下·江苏连云港厉庄高级中学·期中)如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于1，点，，分别是的中点． (1)计算：； (2)求证：； (3)求异面直线和所成角的余弦值． 9．(23-24高二下·江苏连云港东海县·期中)如图，在棱长为2的正方体中，点是的中点. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 10．(23-24高二下·江苏南京南京外国语学校·期中)已知三棱锥中，平面，，，为上一点且满足，，分别为，的中点． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的大小； 11．(23-24高二下·江苏靖江高级中学·期中)如图，在直四棱柱中，底面是边长为2的正方形，侧棱，点分别在侧棱上，且，点为线段上的任意一点.    (1)求二面角的余弦值： (2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 12．(23-24高二下·江苏溧阳·期中)如图，已知四棱锥的底面为正方形，平面，分别为线段，中点. (1)证明：共面； (2)求直线与平面所成角的大小. 13．(23-24高二下·江苏邳州文华高级中学·期中)已知平行四边形中，是线段的中点.沿直线将翻折成，使得平面平面.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 14．(23-24高二下·江苏海门中学·期中)如图，在四棱柱中，底面和侧面均是边长为2的正方形．    (1)证明：． (2)若，求与平面所成角的正弦值. 15．(23-24高二下·江苏常州第一中学·期中)如图，直三棱柱内接于圆柱，为圆柱底面的直径，，为中点，为中点. (1)求直线与平面所成角的正弦值 (2)若求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 16．(23-24高二下·江苏徐州铜山区·期中)已知在图（1）的平面四边形中，，，，沿着对角线将折起，如图（2）中点到达处，使平面平面． (1)求线段的长度； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 17．(23-24高二下·江苏连云港赣榆区·期中)如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，为的中点． (1)求证：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 线面角的应用题型04 18．(23-24高二下·江苏盐城五校联盟·期中)如图，在四棱锥中，平面平面，，且，，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 19．(23-24高二下·江苏盐城中学、南京二十九中联考·期中)如图，点C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面平面ABC，△PAC是边长为2的正三角形. (1)求证：平面PAC； (2)若点E，F分别是PC，PB的中点，且异面直线AF与BC所成角的正切值为，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线PQ与平面AEF所成角的取值范围. 20．(23-24高二下·江苏南京浦口区汉开书院·期中)四棱锥中，平面，，，，，是的中点，在线段上，且满足． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． (3)在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值是，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 21．(23-24高二下·江苏常州武进区·期中)如图,在四棱锥中,底面是边长为6的正方形,是正三角形,平面,为的中点,,,分别是,,上的点,且满足． (1)求证：平面; (2)求平面与平面所成锐二面角的大小; (3)在线段上是否存在点,使得直线与平面所成角为?若存在,求线段的长度；若不存在,请说明理由. 22．(23-24高二下·江苏宿迁青华中学·期中)如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点.    (1)求平面与平面所成锐二面角的余弦值； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上，是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由. 23．(23-24高二·江苏南京秦淮区·)如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，为等边三角形，平面平面，．点在线段上．    (1)若，在上找一点，使得四点共面，并说明理由； (2)求点到平面的距离； (3)若直线与平面所成的角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 24．(23-24高二下·江苏宿迁泗洪县·期中)如图所示：多面体中，四边形为菱形，四边形为直角梯形，且，平面，．    (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成角的余弦值． 求二面角题型05 25．(23-24高二下·江苏如皋中学·调研)如图，四棱锥的底面是菱形，平面，，点 分别是 的中点，. (1)求证：平面 (2)求证：平面 (3)求平面 与平面 所成二面角的正弦值. 26．(23-24高二下·江苏南京金陵中学·期中)如图，直四棱柱的底面为平行四边形，，，，，是的中点．平面满足：直线平面，直线平面．    (1)求证：平面平面； (2)求平面和平面所成锐二面角的余弦值． 27．(23-24高二下·江苏南通·期中)如图，在直四棱柱中，底面是梯形，，且是的中点. (1)求点到平面的距离； (2)求二面角的正弦值. 28．(23-24高二下·江苏淮安淮安区·期中)如图所示，在三棱锥中，平面，，，，，. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)求平面与平面的夹角正弦值. 29．(23-24高二下·江苏常州高级中学·期中)如图1所示，为等腰直角三角形，分别为中点，将沿直线翻折，使得，如图2所示． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值 二面角的应用题型06 30．(23-24高二下·江苏宿迁·期中)如图，在四棱锥中，已知底面，，，，，若异面直线与所成角等于． (1)求棱的长； (2)在棱上是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的正切值为？若存在，指出点的位置，若不存在，请说明理由． 31．(23-24高二下·江苏连云港东海县·期中)如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在上，且. (1)证明：平面； (2)当二面角的余弦值为时，求点到直线的距离. 32．(23-24高二下·江苏盐城三校·期中)如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面平面，，点是棱的中点，点在棱上.    (1)当点在什么位置时，使得平面； (2)若面与面所成角的正弦值为，求的长. 33．(23-24高二下·江苏海州高级中学·期中)如图， 平面， ， ， ， ， . (1)求证: 平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值 (3)若二面角的余弦值为 ，求线段的长. 34．(23-24高二下·江苏灌云高级中学·期中)在四棱柱中，已知平面，，，，，是线段上的点． (1)点到平面的距离； (2)若为的中点，求异面直线与所成角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，请确定点位置；若不存在，试说明理由． 35．(23-24高二下·江苏南通海安实验中学·期中)如图，在四面体中，平面，，，点在线段上． (1)当是线段中点时，求与平面所成角的正弦值； (2)若二面角的余弦值为，求的值． 36．(23-24高二下·江苏淮安协作体联盟·期中)已知三棱锥中和所在平面互相垂直，求 (1)与所成角的余弦值； (2)与平面所成角的正弦值； (3)直线上是否存在点使得二面角为，若存在求出BP的长，不存在说明理由. 37．(23-24高二下·江苏邳州文华高级中学·期中)如图，在四面体中，平面，点在线段上.    (1)当点是线段中点时，求点到平面的距离； (2)若二面角的余弦值为，求的值. 空间距离题型07 38．(23-24高二下·江苏宿迁泗洪县·期中)如图所示，在空间四边形中，与成角，与成角，与成角，且，为的中点，为的中点，试求，间的距离． 39．(23-24高二下·江苏盐城东台第一中学·期中)如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，且平面，．求： (1)平面与平面所成的二面角的正弦值； (2)点到平面的距离． 40．(23-24高二下·江苏常州高级中学·期中)如图，四棱锥的底面为矩形，平面平面是边长为2的等边三角形，，点为的中点，点为线段上一点（与点不重合）． (1)证明：； (2)当为何值时，直线与平面所成的角最大？ (3)在（2）的条件下，求点到平面的距离． 41．(23-24高二下·江苏溧阳·期中)图①展现的是一种被称为“正四角反棱柱”的多面体，其上下底面平行且均为正方形，它的俯视图是一个正八边形（图②）.已知此多面体上下底面的边长为2，高为. (1)判断直线与直线是否垂直，并说明理由； (2)求二面角的大小； (3)求点到平面的距离. 42．(23-24高二下·江苏常州联盟校·期中)如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面平面，是边长为2等边三角形，点分别为的中点，点为线段上一点（包括端点）． (1)若为线段的中点，求平面和平面夹角的正弦值； (2)当直线与平面所成的角最大时，求出的值． 43．(23-24高二下·江苏扬州邗江区邗江一中，瓜州中学，公道中学等五校联考·期中)已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，E、F、M、O分别是、、、的中点，平面． (1)求证：； (2)求点B到平面的距离； (3)在线段上是否存在点N，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求线段的长度，若不存在，说明理由． 44．(23-24高二下·江苏射阳中学·)如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直， . 分别是 的中点，点 在直线 上，且 . (1)证明： ； (2)当取何值时，直线与平面所成角最大?并求该角取最大值时的正切值. (3)是否存在点，使得平面与平面 所成的二面角的正弦值为，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由. 45．(23-24高二下·江苏徐州铜山区·期中)如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点满足，点是棱上的一个点(包括端点)． (1)求证：； (2)若二面角的余弦值为，求点到平面的距离． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$