专题02 导数重难点篇（7考点31题）（苏教版2019，江苏专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期中真题分类汇编

专题02 导数重难点篇（7考点31题） 题型概览 题型01单调性、极值与最值 题型02构造函数 题型03恒成立与有解问题 题型04零点与方程的根 题型05双变量问题 题型06极值点偏移问题 题型07新定义问题 单调性、极值与最值题型01 1．(23-24高二下·江苏常州武进区·期中)（多选）已知函数，其中结论正确的有（    ） A．函数在上单调递减 B．函数在上有一个极大值点 C．当时，函数恒成立 D．当时，函数有一个零点 2．(23-24高二下·江苏扬州中学·期中)若函数且，在上单调递增，则和的可能取值为（ ） A． B． C． D． 3．(23-24高二下·江苏如皋中学·调研)已知函数，若函数 有 3 个极值点，则实数的取 值范围是 ； 若 ，则实数的取值范围是 4．(23-24高二下·江苏常州联盟校·期中)已知函数． (1)若，求函数在区间上的最大值； (2)若对于任意的，，都有，则实数的取值范围． 5．(23-24高二下·江苏扬州邗江区邗江一中，瓜州中学，公道中学等五校联考·期中)已知函数． (1)若，求的极值； (2)若对任意，都成立，求实数m的取值范围； (3)若有两个极值点，，且，求证：． 6．(23-24高二下·江苏苏州·期中)已知函数． (1)求函数的导函数； (2)求函数单调区间； (3)若函数有两个不同的极值点，记过两点的直线斜率为，是否存在实数，使得，若存在，求实数的值；若不存在，试说明理由． 构造函数题型02 7．(23-24高二下·江苏常州武进区·期中)若，，，则（    ） A． B． C． D． 8．(23-24高二下·江苏扬州邗江区邗江一中，瓜州中学，公道中学等五校联考·期中)已知函数的定义域为，且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 9．(23-24高二下·江苏南菁高级中学实验班·期中)定义在上的可导函数，满足，且，若，，，则a，b，c的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 恒成立与有解问题题型03 10．(23-24高二下·江苏盐城三校·期中)设，不等式在上恒成立，则的最小值 . 11．(23-24高二下·江苏常州第一中学·期中)若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是 ． 12．(23-24高二下·江苏扬州邗江区邗江一中，瓜州中学，公道中学等五校联考·期中)已知，则在点处切线方程为 ；若，其中，且对于一切都有，则的最小值是 ． 13．(23-24高二下·江苏常州武进区·期中)设函数，若在上满足的正整数至多有两个，则实数的取值范围是 ． 14．(23-24高二下·江苏常州高级中学·期中)（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．在R上是增函数 B．，不等式恒成立，则正实数的最小值为 C．若有两个零点，则 D．若过点恰有2条与曲线相切的直线，则 15．(23-24高二下·江苏南京金陵中学·期中)已知函数． (1)若，求方程的实数解； (2)若关于的方程在区间上有且只有一个解，求实数的范围； (3)若，是否存在实数，使不等式在区间上恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由． 16．(23-24高二下·江苏如皋中学·调研)已知函数.（其中 为自然对数的底数） (1)当时，求函数在 处的切线方程; (2)当时，若函数在上的最小值为，求实数的值; (3)当时，证明：. 17．(23-24高二下·江苏南菁高级中学实验班·期中)设函数（），其中为自然对数的底数，为实数． (1)若在上单调递增，求实数k的取值范围； (2)求的零点的个数：； (3)若不等式在上恒成立，求k的取值范围． 18．(23-24高二下·江苏沭阳如东中学·期中)已知函数. (1)求的最小值； (2)求证：； (3)当时，不等式恒成立，求正数的取值范围. 零点与方程的根题型04 19．(23-24高二下·江苏常州高级中学·期中)若关于的方程有4个不同的实数解，则实数的取值范围是 ． 20．(23-24高二下·江苏常州联盟校·期中)已知函数存在两个极值点，且，．设的零点个数为，方程的实根个数为，则的取值不可能为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 21．(23-24高二下·江苏溧阳·期中)已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点. ①求的取值范围； ②若函数有两个极值点，求的取值范围. 22．(23-24高二·江苏南京秦淮区·)已知函数． (1)若函数在点处的切线与直线垂直，求a的值； (2)讨论函数的单调性； (3)若有两个零点，求a的取值范围． 双变量问题题型05 23．(23-24高二下·江苏无锡江阴三校联考·期中)已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若函数存在单调递减区间，求实数b的取值范围； (3)设是函数的两个极值点，证明：. 24．(23-24高二下·江苏常州第一中学·期中)已知函数均为实数，为的导函数. (1)当时，求函数的单调区间; (2)当时，若函数与直线在上有两个不同的交点，求实数的取值范围. (3)当时，已知，若存在，使得成立，求证:. 25．(23-24高二下·江苏南通·期中)已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：； (3)若函数有两个极值点，求的取值范围. 极值点偏移问题题型06 26．(23-24高二下·江苏盐城中学、南京二十九中联考·期中)已知函数（a为常数），若函数有两个零点，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 27．(23-24高二下·江苏常州武进区·期中)已知函数，（） (1)讨论函数的单调性； (2)当时，求函数的最小值； (3)令，若存在且时，，证明：. 新定义问题题型07 28．(23-24高二下·江苏无锡锡东高级中学·期中)对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数，请你根据上面的探究结果，解答以下问题： ①函数的对称中心坐标为 ； ②计算 . 29．(23-24高二下·江苏盐城中学、南京二十九中联考·期中)用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数， 是的导函数，则曲线在点处的曲率 (1)求曲线在的曲率； (2)已知函数，求曲率的平方的最大值； (3)函数，若在两个不同的点处曲率为0，求实数m的取值范围. 30．(23-24高二下·江苏南京南京师范大学附属中学·期中)已知函数和的定义域分别是A和B，若函数和同时满足下列两个条件： ①对任意的，都有或对任意的，都有； ②存在，使得． 则称和互为“依偎函数”，记作，其中，叫做“依偎点”． (1)是否存在有无数个“依偎点”？若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由； (2)若函数，，是否存在k，使得如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由； (3)求证：，其中． 31．(23-24高二下·江苏扬州中学·期中)意大利画家达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么?这就是著名的“悬链线问题”，通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，定义双曲正弦函数，类比三角函数的性质可得双曲正弦函数和双曲余弦函数有如下性质①平方关系：，②倍元关系：． (1)求曲线在处的切线斜率； (2)（i）证明：当时，； （ii）证明：． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 导数重难点篇（7考点31题） 题型概览 题型01单调性、极值与最值 题型02构造函数 题型03恒成立与有解问题 题型04零点与方程的根 题型05双变量问题 题型06极值点偏移问题 题型07新定义问题 单调性、极值与最值题型01 1．(23-24高二下·江苏常州武进区·期中)（多选）已知函数，其中结论正确的有（    ） A．函数在上单调递减 B．函数在上有一个极大值点 C．当时，函数恒成立 D．当时，函数有一个零点 【答案】ACD 【来源】江苏省常州市武进区2023-2024学年高二下学期期中质量调研数学试题 【分析】对于AD，当时，结合导数可判断函数的单调性，由，并结合函数的零点存在定理即可判断；对于BC，当时，结合导数可判断函数的单调性，并求函数的最小值与作比较即可. 【详解】由题意可知，函数， 对于A，当时，，故. 令，则. 当时，；当时，. 故在上单调递增，在上单调递减. 所以当时，有，故. 所以在上单调递减，故A正确； 对于B，当时，， 则， 令，则对有，所以在上单调递增， 而，，所以存在，使得. 结合单调递增知，对有，对有. 故在上单调递减，在上单调递增. 从而在上仅有唯一的极值点，且为极小值点，故B错误； 对于C，当时，由的单调性知. 因为，所以，故对有，故C正确； 对于D，由上可知在上单调递减，而，， 故在上有一个零点，所以在内有一个零点. 故在上的零点是唯一的，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题考查导数的运算，解题关键是通过导数求各段函数的单调性、最值及零点. 2．(23-24高二下·江苏扬州中学·期中)若函数且，在上单调递增，则和的可能取值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江苏省扬州中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】二次求导得到在上单调递增，要想在上单调递增，只需，再通过构造新函数求单调性结合不等式放缩逐项检验. 【详解】函数且， ，令，则恒成立， 故在上单调递增， 要想在上单调递增，只需，即只需， 对A，， 令，，则在上恒成立， 故在上单调递增，故，即，则 ，A错误； 对B，，B错误； 对C，， 令，，则在上恒成立， 故在上单调递减，故， 即，故，C正确 对D，， 令，，则恒成立， 故在上单调递减，故，即，D错误； 故选：C． 【点睛】方法点睛： 比较大小或证明不等式常用的不等式放缩如下：，，，，等，根据不等式特征，选择合适的函数进行求解. 3．(23-24高二下·江苏如皋中学·调研)已知函数，若函数 有 3 个极值点，则实数的取 值范围是 ； 若 ，则实数的取值范围是 【答案】 【来源】江苏省如皋中学2023-2024学年高二下学期教学质量调研（二）数学试题 【分析】第一空：由题意转化为有三个不等的实数根，再参数分离为，转化为与有三个交点，利用导数分析函数的图象，即可求解；第二空：首先由，转化为，再通过构造函数，利用导数求的取值范围，再根据的单调性求参数的取值范围. 【详解】第一空：函数有三个极值点 则有三个不等实根 即方程有三个不等实根， 令，则， 由得，由得或 在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 又，，且时，时， 所以； 第二空：由（1）知，， 所以，令，则， 令，则 令，则， 即，，故 在上单调递增，所以. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题的第二问的关键是根据的单调性，转化为求的取值范围. 4．(23-24高二下·江苏常州联盟校·期中)已知函数． (1)若，求函数在区间上的最大值； (2)若对于任意的，，都有，则实数的取值范围． 【答案】(1) (2). 【来源】江苏省常州联盟校2023-2024学年高二下学期4月期中调研数学试题 【分析】（1）求导，分，，，讨论导数的正负判断单调性，求出最值； （2）题意转化为不妨设，，即函数在上单调递减，则在上恒成立，即在上恒成立，构造函数，利用导数求出最大值得解. 【详解】（1）因为，，      ①当时，因为，所以， 所以函数在上单调递增，则； ②当，即时，，， 所以函数在上单调递增，则； ③当，即时， ，，，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则；                                ④当，即时，，，函数在上单调递减，则．                                      综上，. （2）对于任意的，，有， 不妨设时，，               令，根据题意对任意的， 当时，，所以函数在上单调递减， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 令，则， 所以当时，，单调递增，当时，单调递减. 所以，所以. 【点睛】关键点睛：本题第二问解题的关键是问题转化为函数在上单调递减，在上恒成立. 5．(23-24高二下·江苏扬州邗江区邗江一中，瓜州中学，公道中学等五校联考·期中)已知函数． (1)若，求的极值； (2)若对任意，都成立，求实数m的取值范围； (3)若有两个极值点，，且，求证：． 【答案】(1)的极小值为 (2)的取值范围为, (3)证明见解析 【来源】江苏省扬州市邗江区邗江一中，瓜州中学，公道中学等五校联考2023-2024学年高二下学期期中数学试题 【分析】（1）求导，确定函数的单调性，结合函数极值的概念求解极值即可； （2）将原不等式进行参变分离转换为对任意，恒成立，从而求解函数的最大值，对函数求导确定单调性求最值即可得实数m的取值范围； （3）根据函数有两个极值点，，数形结合确定实数m的取值范围，再根据m与，的关系，结合比值代换令，得函数，对其进行求导单调性判断，结合函数单调性的性质从而证明结论. 【详解】（1）当时，代入得； ，令，解得，则： 当时，；当时，． 即在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以在时取极小值． 故的极小值为，无极大值． （2）因为对任意，都成立，则都成立，即： 都成立，得恒成立． 故原式等价于恒大于等于函数的最大值， 令，，则， 令，解得． 当时，；当时，． 所以在区间时单调递增，在区间时单调递减， 所以在时取得极大值也是最大值，所以， 故的取值范围为． （3）证明：因为， 则，， 因为有两个极值点，，所以有两个零点，，即方程有两个根， 令，则与有两个交点， 又，令，解得； 令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减，则， 当时，，则；当时，，则； 当趋于无穷大时，的增长速率远小于的增长速率，所以趋于0， 作出的图像，如图所示： 所以，则， 又，则， 故， 因为，令，则， 令，则， 所以， 令，则， 令，，则， 所以在上单调递增，则，即 ， 所以在上单调递增，则， 当时，，，所以， 所以在上单调递增，又，则，所以， 所以，故，所以， 又，所以． 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 6．(23-24高二下·江苏苏州·期中)已知函数． (1)求函数的导函数； (2)求函数单调区间； (3)若函数有两个不同的极值点，记过两点的直线斜率为，是否存在实数，使得，若存在，求实数的值；若不存在，试说明理由． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)不存在，理由见解析 【来源】江苏省苏州市2023-2024学年高二下学期4月期中调研数学试题 【分析】（1）根据基本初等函数的导数以及导数的四则运算求解即可； （2）对求导，分，求解单调区间； （3）根据斜率公式，，利用构造函数法证得不存在实数的值符合题意. 【详解】（1） （2）记， 则 ①当时，因为， 所以， 所以在上单调递增； ②当时，由，判别式知，在上单调递增； ③当时，由，判别式定义域， 可知当和时，， 当时，， 则在和上单调递增； 在上单调递减， 综上可知，当时，单调增区间为，无单调减区间; 当时，单调增区间为和， 单调减区间为. （3）令，由（2）知， ， 斜率， 由（2）知， 所以，若存在实数使得， 则有，即，又， 所以有，即 由（2）知在上单调递增， 又由知，，与式矛盾. 故不存在实数使得成立. 【点睛】关键点点睛：根据函数极值点个数求参数相关问题时，一般需要先对函数求导，根据导函数对应的方程，确定极值点与参数之间关系，再由消元法将问题转化为参数与其中一个极值点之间的关系式，根据极值点的范围，构造新的函数，利用导数的方法判定新函数的单调性，进而即可求解. 构造函数题型02 7．(23-24高二下·江苏常州武进区·期中)若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江苏省常州市武进区2023-2024学年高二下学期期中质量调研数学试题 【分析】将两边分别同时取对数，构造函数，利用导数求出函数的单调区间，再根据函数的单调性即可得解. 【详解】由，，， 得， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，所以. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：将两边分别同时取对数，构造函数是解决本题的关键. 8．(23-24高二下·江苏扬州邗江区邗江一中，瓜州中学，公道中学等五校联考·期中)已知函数的定义域为，且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】江苏省扬州市邗江区邗江一中，瓜州中学，公道中学等五校联考2023-2024学年高二下学期期中数学试题 【分析】由题设不等式整理后构造函数满足，得出在上单调递增，整理待求不等式，利用函数的单调性即可求得. 【详解】由可得，即， 设，，则由可得，在上单调递增. 又， 由可得，，即，解得. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用构建函数的单调性求抽象不等式的解集的问题，属于难题. 解题的关键在于观察已知不等式和题设不等式的组成，提炼出构造函数的基本形式，结合函数定义域和函数值等条件，利用单调性求解抽象不等式. 9．(23-24高二下·江苏南菁高级中学实验班·期中)定义在上的可导函数，满足，且，若，，，则a，b，c的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【来源】江苏省南菁高级中学实验班2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】变形得到，构造，求导得到，结合求出，求导得到函数单调性，变形得到其中，，，令，，求导得到函数单调性，比较出，从而得到答案. 【详解】等式两边同乘以得， 令，则， 即，设， 即，故， 又，故，解得， 故， ， 令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 其中，，， 令，，则， 令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故， 故，即. 故选：B 【点睛】方法点睛：利用函数与导函数的相关不等式构造函数，然后利用所构造的函数的单调性解不等式，是高考常考题目，以下是构造函数的常见思路： 比如：若，则构造， 若，则构造， 若，则构造， 若，则构造. 恒成立与有解问题题型03 10．(23-24高二下·江苏盐城三校·期中)设，不等式在上恒成立，则的最小值 . 【答案】 【来源】江苏省盐城市三校2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题 【分析】构造函数，原不等式恒成立可转化为恒成立，利用导数求出函数最大值可得，可得，构造函数，求最小值即可. 【详解】在上恒成立，即为在上恒成立， 令，， 若，则，可得在递增， 当趋近正无穷时，趋近正无穷，不等式在上不恒成立， 若，令，可得，令，可得 可得在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值， 则，即则. 令，，， 令，可得，令，可得 可得在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，， 则的最小值是. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：解决本题主要利用导数研究恒成立问题，构造函数，原不等式恒成立可转化为恒成立，利用导数求出函数最大值可得，可得，构造函数，求最小值即可. 11．(23-24高二下·江苏常州第一中学·期中)若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【来源】江苏省常州市第一中学2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题 【分析】题设中的不等式等价于，令，结合导数可得该函数的单调性，结合可得的解，从而可求实数的取值范围. 【详解】由有意义可知，. 由，得. 令，即有. 因为，所以，令， 问题转化为存在，使得. 因为，令，即，解得； 令，即，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 又，所以当时，. 因为存在，使得成立，所以只需且，解得. 故选：. 12．(23-24高二下·江苏扬州邗江区邗江一中，瓜州中学，公道中学等五校联考·期中)已知，则在点处切线方程为 ；若，其中，且对于一切都有，则的最小值是 ． 【答案】 【来源】江苏省扬州市邗江区邗江一中，瓜州中学，公道中学等五校联考2023-2024学年高二下学期期中数学试题 【分析】利用导数的几何意义易得切线方程；对于恒成立问题，通过等价转化为在上恒成立，借助于函数图象与分析相结合，得出要想使最大，则应使为函数的切线，即使的零点不超过的零点，计算即得的最小值. 【详解】函数的定义域为，则，则切线斜率为， 故在点处的切线方程为； 因对于一切都有，即对一切都有恒成立， 对于直线，其在轴上的截距为，要使最小，须使最大即可. 设是函数的切线，由于，因此应使在的上方， 则在轴上的截距大，因此要想使最大，则应使为函数的切线. 作出函数的图象如图.(由，当时，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减，当时，，当时，) 其中，是函数的零点. 由图知，当直线的横截距大于后，直线与函数恒相交，不会相切， 故须使，故得，即的最小值是. 故答案为： 13．(23-24高二下·江苏常州武进区·期中)设函数，若在上满足的正整数至多有两个，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【来源】江苏省常州市武进区2023-2024学年高二下学期期中质量调研数学试题 【分析】在上满足的正整数至多有两个，即，设，求导，可得函数单调性及函数值，进而可得参数范围. 【详解】由在上满足的正整数至多有两个， 即在上满足的正整数至多有两个， 设，， 则， 设，， 则，， 设，， 则恒成立， 则在上单调递增， 即，即， 所以在上单调递增， 又， 所以当时，，即，单调递减； 当时，，即，单调递增； 所以当时，取最小值， 又在上满足的正整数至多有两个， 则， 即， 故答案为：. 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 14．(23-24高二下·江苏常州高级中学·期中)（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．在R上是增函数 B．，不等式恒成立，则正实数的最小值为 C．若有两个零点，则 D．若过点恰有2条与曲线相切的直线，则 【答案】ABD 【来源】江苏省常州高级中学2023-2024学年高二下学期期中质量检查数学试题 【分析】利用符合函数的单调性的判断方法可以判断A的真假；利用函数的单调性，转化为，再分离变量转化为恒成立问题，可求正实数的取值范围，判断B的真假；由“极值点偏移”可判断C的真假；分离参数，利用方程有两解，构造函数，转化为求值域问题，可判断D的真假. 【详解】对A：因为，所以， 由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 设，则且在上单调递增. 由“同增异减”可知上单调递增.故A正确； 对B：因为为正实数，，所以，，结合函数的单调性，可知： （）. 所以. 设（），则，由可得：. 所以在上单调递增，在上单调递减，所以. 所以正实数的最小值为，故B正确； 对C：如图：    因为有两个零点，，结合函数的单调性，不妨设，. 则. 设，（），那么且 在上恒成立，所以在单调递增， 所以在上恒成立，所以（）. 由，且在上单调递减， 所以.故C错误； 对D：设切点为，切线斜率为，所以函数在处的切线方程为：， 因为切线过点，所以 设，所以，由， 所以在上递增，在上递减， 且，当时，且时，. 因为有两解，则.故D正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：本题C选项涉及极值点偏移问题.一般极值点偏移问题的解题思路如下： （1）先求导，得到函数的极值点； （2）方程有两个根，，则有； （3）构造函数，则且求导后判断函数的单调性，得恒为正或恒为负； （4）得到与的大小关系，且使与在的一个单调区间内； （5）利用的单调性，判断与的大小关系，可得与的大小关系. 15．(23-24高二下·江苏南京金陵中学·期中)已知函数． (1)若，求方程的实数解； (2)若关于的方程在区间上有且只有一个解，求实数的范围； (3)若，是否存在实数，使不等式在区间上恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)． (2) (3)存在，的最小值为． 【来源】江苏省南京市金陵中学2023-2024学年高二下学期期中考试试卷 【分析】（1）把代入，令，结合函数单调性即可求解； （2）由在区间上有且只有一个解可得只有一个解，结合等式特点构造函数，对其求导，结合导数分析函数的单调性，结合零点存在定理即可求解； （3）结合已知不等式，考虑合理的构造函数，对函数求导，结合导数与单调性关系对的范围进行分类讨论，结合导数与单调性关系及函数的性质即可求解． 【详解】（1）函数，定义域为， 当时，，即为， 令，所以， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以，， 故方程的根为． （2）由得，， 令，所以， 当时，由，知，所以在是增函数，且图象不间断， 又，所以时，， 即函数在上没有零点，不合题意． 当时，由，解得， 当时，，故在上是减函数， 当时，，故在上是增函数， 所以时，， 又因为，且函数的图象在上不间断， 所以函数在上有一个零点，符合题意． 综上所述，实数的取值范围为． （3）不等式，即， 设， 令，则， 当时，，在单调递增，又， 故恒成立，所以当时，． 当时，令， 当，时，恒成立， 所以不等式在上不成立； 当时，由，得， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 故在处取得极小值． （ⅰ）当时，，，而， 故不等式在上不恒成立； （ⅱ）时，令， ， 当，时，，， ， 所以在单调递增，又， 所以当时，恒成立， 故存在，使得在上恒成立， 综上所述，的最小值为． 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧. 16．(23-24高二下·江苏如皋中学·调研)已知函数.（其中 为自然对数的底数） (1)当时，求函数在 处的切线方程; (2)当时，若函数在上的最小值为，求实数的值; (3)当时，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【来源】江苏省如皋中学2023-2024学年高二下学期教学质量调研（二）数学试题 【分析】（1）分别求出，即可得解； （2）求导得，对分类讨论可得最小值的表达式，从而列方程即可得解； （3）思路一：首先证明存在使得，且：，此时，只需结合条件等式以及的范围证明即可，思路二：首先放缩、换元得到，只需证明时，有成立即可. 【详解】（1），， 当时，，， 函数在处的切线方程为， 即：. （2）且，， 当时，，则在单调递增，不存在最小值； 当时，在上，，则单调递减； 在上，，则单调递增； ，即， （舍去）或， . （3），， 设，， 法一：， 对于，  ，在单调递增. ，， 存在使得，且：.① 在上单调递减；在上单调递增. ，由①可得： ，得证； 法二： ， 令，即证：，设， ， 在上，，单调递减；在上，，单调递增； ，原式得证. 【点睛】关键点点睛：第三问的关键是证明的最小值大于0，或通过放缩、换元得出：只需证明时，有成立即可，由此即可顺利得解. 17．(23-24高二下·江苏南菁高级中学实验班·期中)设函数（），其中为自然对数的底数，为实数． (1)若在上单调递增，求实数k的取值范围； (2)求的零点的个数：； (3)若不等式在上恒成立，求k的取值范围． 【答案】(1) (2)个零点 (3) 【来源】江苏省南菁高级中学实验班2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】（1）由题意可得对恒成立，构造函数，利用导数求出函数的最小值即可； （2）求导，再分和讨论，结合零点的存在性定理即可得出结论； （3）不等式在上恒成立，即不等式在上恒成立，令，再分和两种情况讨论，求出函数的最值即可得解. 【详解】（1）， 因为在上单调递增， 所以对恒成立， 令，则， 则当 时，，当 时，， 故在上递减，在上递增， 则， 依题意，需使，即，故得：， 所以实数的取值范围为； （2）由，得， 因为，若，则无零点， 当时，，故在上递增， 注意到，， 由零点存在定理，在上有唯一的零点； 所以有个零点； （3）不等式在上恒成立， 即不等式在上恒成立， 令， 又，所以在上恒成立， 当时，， 令，则， 所以函数在上单调递增，所以， 即， 所以函数在上单调递增， 所以， 故时，符合题意； 当时，函数在上单调递增， 则，， 令，则， 所以函数在上单调递增， 所以，所以， 令，则， 所以函数在上单调递增， 所以，所以， 所以， 所以，使得， 当时，， 所以函数在上单调递减， 所以，与题意矛盾， 综上所述，. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 18．(23-24高二下·江苏沭阳如东中学·期中)已知函数. (1)求的最小值； (2)求证：； (3)当时，不等式恒成立，求正数的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【来源】江苏省沭阳如东中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】（1）根据导数与函数单调性的关系，由函数解析式求导，结合导数与零的大小关系，可得函数单调性，可得答案； （2）法一：整理不等式，构造函数，利用其导数研究其单调性，可得答案；法二：利用换元法化简不等式并构造函数，利用其导数研究其单调性，可得答案； （3）整理不等式，构造函数，利用其导数研究其单调性，结合分类讨论思想，在第二种分类中利用反证法，可得答案. 【详解】（1）由，求导可得，令，解得，则 1 - 0 + 减 极小值 增 所以的最小值为. （2）要证，只要证， 法一：设，则， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因此，即， 所以. 法二：令，由（1）可知，则， 所以只要证， 设，在上恒成立， 所以在上单调递增，则， 所以，即原不等式得证. （3）不等式可化为， 设，， 由，则当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 原不等式等价于， ①当时，因为，则， 所以转化为，即， 由（1）可知的最小值为，所以，符合题意， 所以. ②当时，由（1）可知，在单调递增，， 所以在有唯一实数解，设为，且，则，， 设，则， 若成立，则， 因为在上是可导函数，所以，而， 则，与矛盾，不合题意，舍去. 综上：正数的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：构建函数，一般构建函数的方法由：移项构造、作差构造、换元构造、对数构造等. 零点与方程的根题型04 19．(23-24高二下·江苏常州高级中学·期中)若关于的方程有4个不同的实数解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【来源】江苏省常州高级中学2023-2024学年高二下学期期中质量检查数学试题 【分析】将原方程变形为，令，得出，利用导数证明的单调性从而得出的范围以及图象，再由导数得出的图象，结合图象分析得出实数的取值范围. 【详解】由题知，，当，即时，等式不成立，故，即， 方程两边同时除以得， 令， ，当或时，；当时，， 则函数在和上单调递增，在上单调递减， 当时，， 当，当时，且当时，则， 设，， 当时，；当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，；当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增，如图所示，   ，， 由题设有有解，故或， 故或. 当，仅有一个解， 结合的图像可得方程至多有两个解，不合题意，舍. 则当，即时， 对应方程有两个解，，此时分别对应两个值，如图所示，    故方程有四解，即， 当时，对应方程有两个解，， 结合的图像可得方程至多有3个解，不合题意. 同理，当，即时，对应方程至多两个解，， 此时分别对应一个，如图所示，    故方程有两个解，不符合题意，舍去. 综上所述：. 故答案为： 【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于由导数得出的单调性从而得出的范围以及图象，再由导数得出的图象，数形结合得出实数的取值范围. 20．(23-24高二下·江苏常州联盟校·期中)已知函数存在两个极值点，且，．设的零点个数为，方程的实根个数为，则的取值不可能为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【来源】江苏省常州联盟校2023-2024学年高二下学期4月期中调研数学试题 【分析】由题意方程的实根个数，即为或的实根个数，根据和两种情况，讨论三次函数的图象，从而确定的值，即可判断选项. 【详解】由题意知，为二次函数，且为的零点， 且，得或， 当时，令，解得或，令，解得：， 可知，在和内单调递增，在区间内单调递减， 则为极大值点，为极小值点， 若，则， 因为，即，两者相矛盾，故， 则有2个根，有1个根，可知， 若，可知，， 若，可知，， 若，可知，， 当时，令，解得，令，解得：或， 可知，在内单调递增，在区间和内单调递减， 则为极大值点，为极小值点， 若，则， 因为，即，两者相矛盾，故， 若，即，可知，，， 若，即，可知，，， 若，即，可知，，，    综上可知，的取值集合为，则不可能为7. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键1是确定的取值为或的取值个数，关键2是讨论的取值，同时确定或的正负，关键3是讨论的图象，从而确定的值. 21．(23-24高二下·江苏溧阳·期中)已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点. ①求的取值范围； ②若函数有两个极值点，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2)①；② 【来源】江苏省溧阳市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】（1）通过对的讨论，研究导数的零点与定义域的关系，以及零点的大小关系，确定原函数的单调性； （2）①研究函数的单调性，极值与最值情况，构造关于的不等式求解； ②讨论函数的导数零点的个数解决问题. 【详解】（1）， （ⅰ）当时，在上单调递减. （ⅱ）当时，时，,时，. 综上，时，在上单调递减， 时，在上单调递减，在上单调递增. （2）①由（1）当时，在上单调递减，不符合题意 当时，在上单调递减，在单调递增. 则. 令， 由知，在上单调递增. 又， 当时，，不满足有两个零点. 当时，， 又，则在有一个零点. 又，令， 可得，所以， 则，则在有一个零点. 综上，在上有两个零点，的取值范围是 ②， . 令， 则. 由①知，则在上单调递减，在上单调递增. 所以，. 由题有两个极值点，则在上有两个零点， 又，当时，. 则，又. 所以，的取值范围是 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种转化方法： 一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用， 二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理. 22．(23-24高二·江苏南京秦淮区·)已知函数． (1)若函数在点处的切线与直线垂直，求a的值； (2)讨论函数的单调性； (3)若有两个零点，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，在上为减函数， 当时，在上是减函数，在上是增函数． (3) 【来源】江苏省南京市秦淮区2023-2024学年高二下学情第一阶段学业质量监测数学试卷 【分析】（1）对求导，由已知可得，解方程即可求解的值； （2）对分类讨论，由导数与单调性的关系求解即可； （3）对分类讨论，结合（2）中结论，结合零点存在性定理即可求解的取值范围． 【详解】（1）由，求导得， 直线的斜率为， 又函数在点处的切线与直线垂直， 所以，即，解得． （2）因为，， 所以当时，，所以在上单调递减； 当时，， 令，解得，当，解得，当，解得， 所以时，单调递减，时，单调递增． 综上，可知：当时，在上为减函数， 当时，在上是减函数，在上是增函数． （3）①若，由（2）可知：最多有一个零点， ②当时，由（1）可知：当时，取得最小值，， 由于均为上单调递增函数，所以函数在单调递增， 当时，，故当时，，故只有一个零点， 当时，由，即，故没有零点， 当时，，， 由，故在有一个零点， 假设存在正整数，满足，则， 由，所以，因此在上有一个零点． 综上，的取值范围为． 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略， 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 双变量问题题型05 23．(23-24高二下·江苏无锡江阴三校联考·期中)已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若函数存在单调递减区间，求实数b的取值范围； (3)设是函数的两个极值点，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【来源】江苏省无锡市江阴市三校联考2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题 【分析】（1）求导，再分，，，四种情况讨论即可得出答案； （2）函数存在单调递减区间，则在上有解，构造函数，再根据的符号分类讨论即可得解； （3）求导，由有两个极值点，得是的两个根，利用韦达定理求出，化简得，则要证，即证，即证，即证，即证，令，构造函数，利用导数求出函数的最值即可得证. 【详解】（1），定义域为， 当时，， 当时，，当时， 在上单调递增，上单调递减； 当时，， 若，即时，，所以在上单调递增； 若，即时， 令，得， 当或时，， 当时，， ∴在上单调递增，在上单调递减， 当时，时，，当时，， ∴在上单调递增，上单调递减， 综上所述，当时，在上递增，上递减； 当时，在上单调递增； 当时，在上递增， 在上递减； 当时，在上递增，上递减； （2）， ∵函数存在单调递减区间，∴在上有解， ∵，设，则， 当时，显然在上有解； 当时，，， 由韦达定理知，， 所以必有一个正根，满足条件， 当时，有，解得， 综上，实数的取值范围为； （3）由题意可知，， ∵有两个极值点， ∴是的两个根，则， ∴ ， ∴要证，即证， 即证，即证，即证， 令，则证明， 令，则， ∴在上单调递增， 则，即， 所以原不等式成立. 【点睛】结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行： （1）函数在区间上单调递增在区间上恒成立； （2）函数在区间上单调递减在区间上恒成立； （3）函数在区间上不单调在区间上存在异号零点； （4）函数在区间上存在单调递增区间，使得成立； （5）函数在区间上存在单调递减区间，使得成立. 24．(23-24高二下·江苏常州第一中学·期中)已知函数均为实数，为的导函数. (1)当时，求函数的单调区间; (2)当时，若函数与直线在上有两个不同的交点，求实数的取值范围. (3)当时，已知，若存在，使得成立，求证:. 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为 (2) (3)证明见解析 【来源】江苏省常州市第一中学2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题 【分析】（1）由题意得，利用导数即可求得的单调区间； （2）令，首先利用作差法判断的最小值为，再结合2个零点的条件列不等式组即可得答案； （3）不妨令，由的条件可得，结合换元法与导数的知识即可求得. 【详解】（1）由题意得，所以， 由解得，由解得， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）令， 则，， 即在上单调递增，在上单调递减， 又，， 所以，所以的最小值为， 所以有两个不同零点的条件为， 所以，即实数b的取值范围为； （3）不妨令， 因为， 所以， 由得， 所以， 则， 令，构造函数， 则，所以在上恒单调递增， 所以，即， 又， 所以. 【点睛】方法点睛：（1）求函数的单调区间时，常常通过求导，转化为解方程或不等式，若含参数，则解题时常用到分类讨论思想，分类时要根据参数的特点选择合适的标准进行分类； （2）导数中的双变量问题通常参与换元法，将问题转化为单变量，再结合导数知识求解即可. 25．(23-24高二下·江苏南通·期中)已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：； (3)若函数有两个极值点，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2)证明见解析； (3). 【来源】江苏省南通市2023-2024学年高二下学期5月期中质量监测数学试题 【分析】（1）求出函数的导数，再按分类讨论导函数值大于0、小于0的解集. （2）由（1）的信息，求出的最小值，再证明，构造函数并利用导数证明不等式. （3）求出函数的导数，由极值点的意义求得，再计算并整理，构造函数，借助导数探讨单调性即得. 【详解】（1）函数的定义域为， 求导得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，由，得，由，得， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数的递减区间是，无递增区间； 当时，函数的递减区间是，递增区间是. （2）由（1）知，当时，函数在取得最小值， 要证，只需证明， 令，求导得，当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增，， 所以当时，，即成立. （3）函数的定义域为，求导得， 由函数有两个极值点，得方程在上有两个不等实根， 设，对称轴为，， 则，且，， 即； ， 令，由，得，即，解得， 令，求导得， 因此函数在上单调递减，，即， 所以的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：导数问题往往涉及到分类讨论，分类讨论标准的确定是关键，一般依据导数是否有零点、零点存在时零点是否在给定的范围内及零点在给定范围内时两个零点的大小关系来分层讨论. 极值点偏移问题题型06 26．(23-24高二下·江苏盐城中学、南京二十九中联考·期中)已知函数（a为常数），若函数有两个零点，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【来源】江苏省盐城中学、南京二十九中联考2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题 【分析】函数有两个零点，直线与函数在上的图象有两个交点，由导数研究函数单调性，结合函数图象有，由，消去a可判断选项A；设，可得，，构造函数，利用单调性证明，可得判断选项B；，取，则，可判断选项C；构造函数，证时，可得，证得选项D. 【详解】函数，定义域为， 由可得，可知直线与函数在上的图象有两个交点. ，当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减，则， 且当时，，如下图所示：      当时，直线与函数在上的图象有两个交点. 对于A选项，由已知可得，消去a可得，A对； 对于B选项，设，因为， 则， 所以，， 若证，需证，即证，即证， 构造函数，其中，则， 所以函数在上单调递增，故，即有，B对； 对于C选项，设，取，则，所以，，故，C错； 对于D选项，若证，则需证，即证， 构造函数，其中，则， 所以，函数在上单调递减，则，即，D对. 故选：ABD． 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 27．(23-24高二下·江苏常州武进区·期中)已知函数，（） (1)讨论函数的单调性； (2)当时，求函数的最小值； (3)令，若存在且时，，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【来源】江苏省常州市武进区2023-2024学年高二下学期期中质量调研数学试题 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再分、两种情况讨论，分别求出函数的单调区间； （2）分类讨论再利用函数的单调性，求出函数的最小值，即可得解； （3）根据题意可得，通过构造函数，求函数单调性及参变分离可得，令，通过导数得的单调性，即可证明，从而可证明. 【详解】（1）定义域为，， 因为当时，恒成立，所以在上单调递增 当时，由得，由得， 即在上单调递增，在上单调递减， 综上可得当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，在单调递增，在单调递增，， 当，即时，在单调递减，在单调递增， 所以， 当，即时，在单调递减， 所以， 当，即时，在单调递增， 所以 所以 （3），， ， 令，则， 在上单调递增，不妨设， ， ， 要证，即，只需证， 令，只需证，只需证， 设，则， 所以在上单调递增，所以， 所以，即成立， 所以，即. 【点睛】思路点睛：利用导数求含参函数的单调性时，一般先求函数的定义域，求出导数后，令导数为零，解方程，讨论方程的根的个数以及根与定义域的位置关系，确定导数的符号，从而求出函数的单调性. 新定义问题题型07 28．(23-24高二下·江苏无锡锡东高级中学·期中)对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数，请你根据上面的探究结果，解答以下问题： ①函数的对称中心坐标为 ； ②计算 . 【答案】 2023 【来源】江苏省无锡市锡东高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】①先对函数求二阶导，得到，根据题意求出拐点，即可得出结果；②先由①得到，推出，用倒序相加法，即可求出结果. 【详解】①因为， 所以，所以， 由得，此时， 由题意可得，即为函数的对称中心； ②由①知，函数关于中心对称， 所以，即， 因此； 记， 则 ， 所以. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是理解三次函数对称中心与拐点的关系，从而得解. 29．(23-24高二下·江苏盐城中学、南京二十九中联考·期中)用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数， 是的导函数，则曲线在点处的曲率 (1)求曲线在的曲率； (2)已知函数，求曲率的平方的最大值； (3)函数，若在两个不同的点处曲率为0，求实数m的取值范围. 【答案】(1)； (2)1； (3). 【来源】江苏省盐城中学、南京二十九中联考2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题 【分析】（1）根据曲率公式求解即可； （2）根据曲率公式求解函数曲率平方最大值； （3）根据函数在两个不同点曲率为0，通过同构将原问题转换为有两个实数解，再判断单调性即可. 【详解】（1）因为，则，， 所以. （2）因为（），则，， 所以， 则， 令，则，， 设，则， 显然当时，，单调递减， 所以，所以最大值为1. （3）∵，， ∴， ∴，， 因为在两个不同的点处曲率为0， 所以有两个大于0的不同实数解， 即有两个不同的零点. 令， ∵， ∴在上单调递增，且值域为R， 所以有两个大于0的实数解， 等价于，有两个不同的实数解. 令，，则， 令得， 时，，即单调递增； 时，，即单调递减； 所以， 又因为当时，； 当时，； 的图象如下所示： 又因为有两个实数解， 所以. 所以m的取值范围为. 【点睛】思路点睛：本题可从以下方面入手： （1）根据曲率公式求解即可； （2）将函数在不同点的曲率问题，通过同构将原问题转换为有两个实数解，通过导数判断单调性，从而确定图象的变化趋势即可. 30．(23-24高二下·江苏南京南京师范大学附属中学·期中)已知函数和的定义域分别是A和B，若函数和同时满足下列两个条件： ①对任意的，都有或对任意的，都有； ②存在，使得． 则称和互为“依偎函数”，记作，其中，叫做“依偎点”． (1)是否存在有无数个“依偎点”？若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由； (2)若函数，，是否存在k，使得如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由； (3)求证：，其中． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【来源】江苏省南京市南京师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】（1）直接举例即可； （2）将问题转化为恒成立，且等号能成立，参变分离构造函数求最值即可； （3）利用不等式进行放缩，然后利用等比数列求和公式计算即可. 【详解】（1）如图：， 对任意的，都有，且存在无数个，使得 存在有无数个“依偎点”；    （2）函数恒过点，假设存在k，使得， 则恒成立，且等号能成立， 所以，设，则， 令，得，单调递增， 令，得，单调递减， 所以， 当时，在上且“依偎点”为两函数的切点横坐标， 所以存在使得； （3）首先证明， 设， 则，即在上单调递减， 所以，即，所以， 所以， 所以 . 【点睛】方法点睛：对于含有或者的不等式需要进行放缩的，通过是利用，及其变形式进行放缩，本题就利用变形式来进行放缩后求和的. 31．(23-24高二下·江苏扬州中学·期中)意大利画家达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么?这就是著名的“悬链线问题”，通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，定义双曲正弦函数，类比三角函数的性质可得双曲正弦函数和双曲余弦函数有如下性质①平方关系：，②倍元关系：． (1)求曲线在处的切线斜率； (2)（i）证明：当时，； （ii）证明：． 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【来源】江苏省扬州中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】（1）求出函数导数，利用导数的几何意义即可得出切线斜率； （1）（i）构造函数，利用导数得出函数单调性，再由单调性即可证明； （ii）先证明时，令， 再放缩证明，再由（i）及性质得即可累加证明. 【详解】（1），则， 所以，可得在处的切线斜率为. （2）（i），令， 则，所以在上单调递增， 所以， 所以当时，成立； （ii）下面证明：当时，成立， 令，则， 令，则， 因此在上单调递增；所以， 所以， 所以在上单调递增，所以， 所以当时，成立， 令且，可得， 即， 由题意，令且， 可得， 因为，所以， 由①当时，，所以令且，可得， 所以， 由前面解答过程得，对任意成立， 令且，可得， 所以， 又且，所以， 所以， 所以可得： ， 即可得. 【点睛】关键点点睛：本题难度太大，难点太多，关键先行证明当时，成立，很难想到，后续多次放缩，凑目标凑证明方向，基本超出学生能力范围. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$