5.5 用二次函数解决问题（四大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年九年级数学下册同步精品课堂（苏科版）

5.5　用二次函数解决问题（四大题型提分练） 题型一 利用二次函数求解销售问题 1．某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时，平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元时，平均每天能多售出4件．求当每件的定价为多少元时，该服装店平均每天的销售利润最大？小颖的想法是根据“销售利润=（售价-成本）×销售量”列出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，把二次函数解析式转化为顶点式进行解答．这种解法体现的数学思想是（    ） A．整体思想 B．函数思想 C．方程思想 D．公理化思想 【答案】B 【解析】解：根据二次函数的性质求最值体现了函数思想， 故选：B． 2．某种商品每天的销售利润y（元）与单价x（元）之间的函数关系式为．则这种商品每天的最大利润为（　 ） A．0.1元 B．3元 C．25元 D．75元 【答案】C 【解析】解：对于该商品每天的销售利润y与单价x之间的函数关系式， 可知其函数图像开口向下，其顶点坐标为， 即当单价元时，该商品每天的最大利润为元． 故选：C． 3．某超市一种干果现在的售价是每袋元，每星期可卖出袋，经市场调研发现，如果在一定范围内调整价格，每涨价元，每星期就少卖出袋．已知这种干果的进价为每袋元，设每袋涨价（元），每星期的销售量为（袋），每星期销售这种干果的利润为（元）．则与，与满足的函数关系分别是（    ） A．一次函数，二次函数 B．一次函数，反比例函数 C．反比例函数，二次函数 D．反比例函数，一次函数 【答案】A 【解析】解：设每袋涨价（元），每星期的销售量为（袋），每星期销售这种干果的利润为（元）根据题意得， 是一次函数， 是二次函数， 故选：A． 4．2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品．某商家以每套34元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件．若该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价每提高2元，则每天少卖4套．设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，则该商品每天销售套件所获利润w与x之间的函数关系式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：根据题意得：， 故选：C． 5．某农户要改造部分农田种植蔬菜，经调查，平均每亩改造费用是900元，添加辅助设备费用（元）与改造面积（亩）的平方成正比，比例系数为18，每亩种植蔬菜还需种子、人工费用600元，若每亩蔬菜年销售额为7000元，设改造农田x亩，改造当年收益为y元，则y与x之间的数量关系可列式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设改造农田x亩，则总成本为，总销售额为， ∴可列方程为． 故选：B． 6．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（    ）元． A．50 B．90 C．80 D．70 【答案】D 【解析】解：设降价元，每月获得最大利润为，则 ， ， 抛物线开口向下，即当时，有最大值， 该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为元， 故选：D． 7．某公司计划生产一种新型电子产品，经过公司测算，在生产数量不超过8万件的情况下，生产成本和销售价格均是生产数量的一次函数，其部分数据如下表： 生产数量（万件） 生产成本（元/件） 销售价格（元/件） 1 9 16 2 8 14 3 7 12 为获最大利润，生产数量应为（    ） A．3万件 B．4万件 C．5万件 D．6万件 【答案】B 【解析】解：设生产数量为万件，生产成本为元件，销售价格为元件． 生产成本和销售价格均是生产数量的一次函数， 设，． ，符合， ，解得：． ． ，符合， ．解得：．． 设生产利润为，则． ， 当时，利润最大, 即为获最大利润，生产数量应为4万件． 故选：B． 8．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，有下列结论： ①设每件涨价x元，则实际卖出件； ②在降价的情况下，降价5元，即定价55元时，利润最大，最大利润是6250元； ③综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，定价元时利润最大； 其中，正确结论的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【解析】解：∵每星期可以卖出300件， 又∵每涨价1元，每星期要少卖出10件，设每件涨价x元， ∴实际卖出件. 故①正确； 设降价y元，那么卖出件， 根据题意可得：所获得的利润. 当时，利润最大，售价为：，利润最大为：. 故②错误； 设涨价x元， 由题意可得：所获利润 当时，利润最大，售价为：，利润最大为：. 综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，定价为65元时利润最大. 故③错误. 故答案选：B. 9．“十一”黄金周，某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元），满足关系：m =140－x．写出商场卖这种商品每天的销售利润 y与每件的售价x之间的函数关系式是 ． 【解析】解：根据题意，销售一件商品的利润为：元，销售量为m件， ∴， 故答案为：． 10．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（，且x为整数）出售，可卖出件，若使利润最大，则每件商品的售价应为 元． 【答案】25 【解析】解：设利润为w元， 则w=（x-20）（30-x）=-（x-25）2+25， ∵20≤x≤30， ∴当x=25时，二次函数有最大值25， 故答案是：25． 11．某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为 元时，才能使每天所获销售利润最大． 【解析】解：设销售单价定为元，每天所获利润为元， 则 ， 所以将销售定价定为11元时，才能使每天所获销售利润最大， 故答案为：11． 12．某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为 元（利润=总销售额-总成本）．    【解析】解：当时，设，把（10，20），（20，10）代入可得： ， 解得， ∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为， 设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元， ， ∵1<0， ∴当时，w有最大值为121， 故答案为：121． 13．电商平台销售某款儿童组装玩具，进价为每件100元，在销售过程中发现，每周的销售量y（件）与每件玩具售价x（元）之间满足一次函数关系（其中，且x为整数）．当每件玩具售价为120元时，每周的销量为80件；当每件玩具售价为140元时，每周的销量为40件． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当每件玩具售价为多少元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大？最大周利润是多少元？ 【解析】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 由已知得， 解得， 因此y与x之间的函数关系式为（其中，且x为整数）； （2）解：设每周销售这款玩具所获的利润为W， 由题意得， ， W关于x的二次函数图象开口向上， ，且x为整数， 当时，W取最大值，最大值为1800， 即当每件玩具售价为130元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大，最大周利润是1800元． 14．普洱茶是中国十大名茶之一，也是中华古老文明中的一颗瑰宝．某公司经销某种品牌普洱茶，每千克成本为50元．经市场调查发现：每周销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如下表所示， 销售单价x（元/千克） 56 65 75 销售量y（千克） 128 110 90 解答下列问题： （1）求y与x的函数关系式； （2）求这一周销售这种品牌普洱茶获得的利润W元的最大值； （3）物价部门规定茶叶销售单价不得高于90元/千克，公司想获得不低于2000元周利润，请计算销售单价范围． 【解析】解：（1）设y与x的函数关系式为，把和分别代入得： 解得：． ∴y与x的关系式为； （2）由题意知：， ∴W与x的关系式为：， ∴， ∴当时，在内，W的值最大为2450元 （3）若公司想获得不低于2000元周利润，则， 解得，所以当时，， 又∵物价部门规定茶叶销售单价不得高于90元/千克， ∴销售单价范围为：． 题型二 利用二次函数解决抛物线性的实际问题 1．如图，福州西湖公园上有一座造型为抛物线形状的拱桥，因其宛如玉带，从而被人称为玉带桥，经测量，玉带桥的拱顶离水面的平均高度为，若玉带桥所在的这条抛物线表示的二次函数为，则该抛物线所在的平面直角坐标系是如下的（   ） A．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴 B．以抛物线与水面的左交点为原点，以水面为轴 C．以水面为轴，以抛物线的对称轴为轴 D．以图中夕阳所在位置为原点，以抛物线的对称轴为轴 【答案】C 【解析】解：由抛物线的图象与性质可知，二次函数为的对称轴为轴，顶点坐标为， 该抛物线所在的平面直角坐标系是以水面为轴，以抛物线的对称轴为轴， 故选：C． 2．如图，隧道的截面由抛物线和长方形OABC构成，长方形的长OA是12m，宽OC是4m．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y=﹣x2+bx+c表示．在抛物线型拱璧上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m．那么两排灯的水平距离最小是(　　)    A．2m B．4m C．m D．m 【答案】D 【解析】根据题意，得 OA=12，OC=4． 所以抛物线的顶点横坐标为6， 即﹣==6，∴b=2． ∵C（0，4），∴c=4， 所以抛物线解析式为： y=﹣x2+2x+4 =﹣（x﹣6）2+10 当y=8时， 8=﹣（x﹣6）2+10， 解得：x1=6+2，x2=6﹣2． 则x1﹣x2=4． 所以两排灯的水平距离最小是4． 故选：D． 3．如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小滨想知道这道门的高度，他先测出门的宽度，然后用一根长为的小竹竿竖直的接触地面和门的内壁，并测得，则门高为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵， ∴， ∴点，， 设抛物线的解析式为：， ∵， ∴， ∵， ∴点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 当时，， ∴门高为， 故选：B． 4．如图1，某地大桥主桥墩结构为抛物线形，桥墩的高度和宽度分别为40m和30m，若建立如图2所示的平面直角坐标系，则该抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：由二次函数的图象可得，抛物线与x轴的交点坐标为和， ∴对称轴为， ∵桥墩的高度为， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 把代入上式得，， ∴， ∴该抛物线的表达式为， 即， 故选：C． 5．某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，以水平地面为x轴，垂直于水平地面且位于池塘中心的线为y轴建立平面直角坐标系，池塘的宽，池底最深处距离水平地面5 ，原来的水面宽24 ，若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离变为（    ） A．1.2 B．1 C．0.8 D．0.6 【答案】C 【解析】解：由图象可得，抛物线顶点坐标为，且过， ∴设出池底所在抛物线的解析式为， 把代入解析式可得， 解得， ∴， 当时，， 此时最深处到水面的距离为， 故选：C． 6．廊桥是我国古老的文化遗产．如图是某座抛物线形廊桥的示意图，已知水面AB宽48m，拱桥最高处点C到水面的距离为12m，为保护该桥的安全，现要在该抛物线上的点E，F处安装两盏警示灯，若要保证两盏灯的水平距离是24m，则警示灯E距水面的高度为（     ） A．12m B．11m C．10m D．9m 【答案】D 【解析】解：如图，以的中点为原点，所在直线为横轴，建立直角坐标系， 由题意，得：， 设抛物线的解析式为：，把代入，得：， ∴； ∵， ∴点的横坐标为， ∴当时，， 即：警示灯E距水面的高度为9m； 故选：D． 7．三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（　　） A．4米 B．5米 C．2米 D．7米 【答案】B 【解析】解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得MN=4，EF=14，BC=10，DO=， 设大孔所在抛物线解析式为y=ax2+， ∵BC=10， ∴点B（﹣5，0）， ∴0=a×（﹣5）2+， ∴a=-， ∴大孔所在抛物线解析式为y=-x2+，设点A（b，0），则设顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=m（x﹣b）2， ∵EF=14， ∴点E的横坐标为-7， ∴点E坐标为（-7，-），     ∴-=m(x﹣b)2， ∴x1=+b，x2=-+b， ∴MN=4， ∴|+b-（-+b）|=4 ∴m=-， ∴顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=-（x﹣b）2， ∵大孔水面宽度为20米， ∴当x=-10时，y=-， ∴-=-（x﹣b）2， ∴x1=+b，x2=-+b， ∴单个小孔的水面宽度=|（+b）-（-+b）|=5（米）， 故选：B． 8．根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是，当飞行时间t为 s时，小球达到最高点． 【解析】根据题意，有， 当时，有最大值． 故答案为：2． 9．如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的水平距离OA的长是 m． 【解析】将y=0代入； 整理得： （x-10）（x+2）=0 解得：x=10或x=-2（舍去） ∴铅球推出的水平距离OA的长是10m． 故答案为：10． 10．从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度（单位：）与它距离喷头的水平距离（单位：）之间满足函数关系式，喷出水珠的最大高度是 ． 【解析】解：∵， ∴当x=1时，， 故答案是：3． 11．某地每年六月有举办龙舟比赛的习俗，比赛路线需要经过一个抛物线型的拱桥，该抛物线的函数表达式为，如图，是水平面，某商家在点，处悬挂了广告条幅，已知，点到的距离为米，则点到点的距离为 米． 【解析】解：由题意得 ， 解得：，， ． 故答案为：． 12．如图，一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为，宽为，隧道最高点P的坐标为，如果一辆货车高，宽，那么这辆货车 （填“能”或“不能”）从该隧道内通过． 【解析】解；设抛物线的解析式为， ∵点在抛物线上， ∴． ∴， ∴抛物线的表达式为； 当时，得：， 解得：，， ∵， ∴货车能从该隧道内通过， 故答案为：能． 13．如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高 m时，水柱落点距O点． 【解析】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化， 当喷头高2.5m时，可设y=ax2+bx+2.5， 将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1=0①， 喷头高4m时，可设y=ax2+bx+4， 将（3，0）代入解析式得9a+3b+4=0②， 联立可求出，， 设喷头高为h时，水柱落点距O点4m， ∴此时的解析式为， 将（4，0）代入可得， 解得h=8． 故答案为：8． 14．如图，一位篮球运动员投篮时，球从点出手后沿抛物线行进，篮球出手后距离地面的高度与篮球距离出手点的水平距离之间的函数关系式是．下列说法正确的是 （填序号）． ①篮球行进过程中距离地面的最大高度为；②篮球出手点距离地面的高度为．    【解析】解：由的顶点为， 得篮球行进过程中距离地面的最大高度为，即①正确； 由当时，，即②不正确； 故答案为：①． 15．年5月8日，商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步．时分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为米时，两条水柱在物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退米，两条水柱的形状及喷水口、到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点距地面 米．    【解析】解：由题意可知： 、、， 设抛物线解析式为：， 将代入解析式， 解得：， ， 消防车同时后退米，即抛物线向左（右）平移米， 平移后的抛物线解析式为：， 令，解得：， 故答案为：． 16．如图，一辆宽为2米的货车要通过跨度为8米，拱高为4米的单行抛物线隧道（从正中通过），抛物线满足表达式．为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有米的距离，求货车的限高应是多少米？ 【解析】解：∵一辆宽为2米的货车要通过跨度为8米，拱高为4米的单行抛物线隧道（从正中通过）， ∴当时，， ∵为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有米的距离， （米）． 答：货车的限高应是3.15米． 17．小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度． (1)求抛物线的表达式． (2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离． 【解析】（1）解：根据题意可知抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得， 抛物线的解析式为， （2）由，令， 得， 解得， 爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m， 当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为(m)，或(m)． 18．如图，在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似看作抛物线，抛物线解折式的二次项系数为，已知甲、乙两名学生拿绳的手间距为米，距地面均为米，以甲所在的地面的点为原点，建立如图所示的直角坐标系．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)身高为米的小红也想参加这个活动，请问她在跳绳时，头顶与甩绳之间的最大竖直距离为多少米？（假定当绳甩到最高处时，学生双脚处于落地状态）． 【解析】（1）解：设抛物线的函数表达式为， 由题意可知和都在该抛物线上， ∴，解得， ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：∵ ， ∴当时，， ∴甩绳与地面最大距离为米， ∵（米）， ∴她在跳绳时，头顶与甩绳之间的最大竖直距离为米． 19．如图，要修建一条截面为抛物线型的隧道，线段表示水平的路面，根据设计要求：，该抛物线的顶点到的距离为． (1)请建立合适的平面直角坐标系，并求满足设计要求的抛物线的函数表达式； (2)现需在这一隧道内壁上同一高度处安装照明灯（即在该抛物线上的点，处分别安装照明灯）．若要求，处的照明灯水平距离为，求照明灯的高度． 【解析】（1）解：以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系． 由题意，得点，顶点， 设抛物线的函数表达式为， 把代入，得， 解得， 满足设计要求的抛物线的函数表达式为． （2）解：点，在同一高度， 点，关于对称轴直线对称， ∵，处的照明灯水平距离为， ∴可知点距离对称轴个单位长度， 点的横坐标为， 在中，当时， 点的纵坐标为， 即照明灯的高度为． 20．一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索与缆索均呈抛物线型，桥塔与桥塔均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线为x轴，以桥塔所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．      已知：缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称，桥塔与桥塔之间的距离，，缆索的最低点P到的距离（桥塔的粗细忽略不计） (1)求缆索所在抛物线的函数表达式； (2)点E在缆索上，，且，，求的长． 【解析】（1）解：由题意得顶点P的坐标为，点A的坐标为， 设缆索所在抛物线的函数表达式为， 把代入得， 解得， ∴缆索所在抛物线的函数表达式为； （2）解：∵缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称， ∴缆索所在抛物线的函数表达式为， ∵， ∴把代入得，， 解得，， ∴或， ∵， ∴的长为． 21．如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位：）． (1)若，； ①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； ②求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标； ③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围； (2)若．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的最小值． 【解析】（1）①如图1，由题意得是上边缘抛物线的顶点， 设． 又∵抛物线经过点， ∴， ∴． ∴上边缘抛物线的函数解析式为． 当时，， ∴，（舍去）． ∴喷出水的最大射程为．              图1 ②∵对称轴为直线， ∴点的对称点的坐标为． ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， 即点是由点向左平移得到，则点的坐标为． ③如图2，先看上边缘抛物线， ∵， ∴点的纵坐标为0.5． 抛物线恰好经过点时， ． 解得， ∵， ∴． 当时，随着的增大而减小， ∴当时，要使， 则． ∵当时，随的增大而增大，且时，， ∴当时，要使，则． ∵，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带， ∴的最大值为． 再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是， ∴的最小值为2． 综上所述，的取值范围是． （2）的最小值为． 由题意得是上边缘抛物线的顶点， ∴设上边缘抛物线解析式为． ∵上边缘抛物线过出水口（0，h） ∴ 解得 ∴上边缘抛物线解析式为 ∵对称轴为直线， ∴点的对称点的坐标为． ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， ∴下边缘抛物线解析式为． 当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点，恰好分别在两条抛物线上， ∵DE=3 ∴设点，，， ∵D在下边缘抛物线上， ∴ ∵EF=1 ∴ ∴ ， 解得， 代入，得． 所以的最小值为． 题型三 利用二次函数求解图形面积最值问题 1．某小区有一块绿地如图中等腰直角所示，计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧，其中点P，M，N分别在边上，记，， 图中阴影部分的面积为Sm2，当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）    A．一次函数关系，二次函数关系 B．一次函数关系，反比例函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系 【答案】A 【解析】解：设（m为常数）， 在中，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ 即， ∴y与x成一次函数关系， ∵， ∴S与x成二次函数关系． 故选：A． 2．正方形的面积与边长的函数图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：由正方形的面积公式可得：， 故选：B． 3．用一段20米长的铁丝在平地上围成一个矩形，该矩形的一边长为x米，面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵用一段20米长的铁丝在平地上围成一个矩形，该矩形的一边长为x米， ∴矩形另一边长为米， ∴矩形的面积， 故选：B． 4．如图1，△ABC是直角三角形，∠A=90°，AB=8cm，AC=6cm点P从点A出发，沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达终点，则另一个动点也停止运动，则三角形APQ的最大面积是（   ） A．8cm2 B．16cm2 C．24cm2 D．32cm2 【答案】B 【解析】根据题意设运动时间为x秒，可得：AP=2xcm，AQ=xcm， 则S==， 则根据题意可知：当x=4cm时，面积有最大值，最大面积为16． 故选：B． 5．如图，P是抛物线在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形周长的最大值为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【解析】解：设， ∴， ∴四边形周长， ∴当时，四边形周长有最大值，最大值为， 故选：C． 6．如图，某建筑队在一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成一个长方形仓库，仓库总面积为平方米，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则关于的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：由题意得，平行于墙的一边长为米， ∴， 故选：B． 7．某农场要建矩形的饲养室，如图所示，一面靠着现有足够长的墙，其他三面用材料建设围墙，在中间再建一道墙隔开，并在两处各留宽的门，已知计划中的材料可建墙体总长为（不包括门），则能建成的饲养室最大总占地面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：依题意，设矩形的面积为垂直于墙的矩形的饲养室的边长为，平行于墙的矩形的饲养室的边长则， 则， ∵， ∴开口向下，在时，有最大值，且为， 则能建成的饲养室最大总占地面积为， 故选：B． 8．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠足够长的墙体，中间用一道围栏隔开，并在如图所示的三处各留宽的门，所有围栏的总长（不含门）为，则能建成的饲养室面积最大为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设矩形饲养室的长为x米，宽为y米，则 由所有围栏的总长（不含门）可得： 整理得： 由，即得： 则能建成的饲养室的面积为 整理得： 由二次函数的性质可知，在的范围内，当时，S取得最大值，最大值为75 故选：A． 9．如图，在长为20m、宽为14m的矩形花圃里建有等宽的十字形小径，若小径的宽不超过1m，则花圃中的阴影部分的面积有（    ） A．最小值247 B．最小值266 C．最大值247 D．最大值266 【答案】A 【解析】解：设小径的宽为xm，阴影部分的面积为ym2 由题意得，y=(20−x)(14−x)=x2−34x+280=(x-17)2-9(0<x≤1) 有最小值，对称轴为直线x=17，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小 当x=1时，y有最小值，最小值为：y= (1-17)2-9=247 故选：A． 10．如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为，有下列结论： ①的长可以为； ②的长有两个不同的值满足菜园面积为； ③菜园面积的最大值为． 其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【解析】解：设的边长为，则边的边长为， 当时，， 解得， ∵的长不能超过， ∴，故①错误； ∵当菜园面积为时，， 整理得，， 解得或， ∴的长有两个不同的值满足菜园面积为，故②正确； 设矩形的菜园面积为， 根据题意得，， ∵，， ∴当时，y有最大值，最大值为200，故③正确； 故选：C． 11．如图是一面足够长的墙，用长的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花园，若设的长度为，则矩形花园的面积与的函数解析式为 ． 【解析】解：设的长度为，则， 由题意得，， 故答案为：． 12．已知直角三角形的两条直角边的和等于12，则该直角三角形面积的最大值是 ． 【解析】解：设该三角形的一条直角边为，则另一条为， 则其面积， 可得：当时，取得最大值，此时； 故答案为：18． 13．将一条长为的铁丝剪成两段，并分别围成正方形，则这两个正方形面积之和的最小值为 ． 【解析】解：设其中一段铁丝的长度为，则另一段铁丝的长度为，两个正方形的边长分别为，． 设两个正方形的面积之和为，则． ∵，∴当时，取得最小值，为． 故答案为：． 14．在综合实践活动中，同学们借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园，则矩形花园的最大面积为 ． 【解析】解：设，则， ， 此函数的对称轴为：， ，故函数有最大值， 当时，函数取得最大值， 则：， 故答案为：100． 15．某养殖户用80米长的隔离网在某湖泊中间围成一个长方形养殖区域用来饲养某种大米虾．如图，该长方形养殖区域中间有两条隔离网，则围成的养殖区域最大面积是 平方米． 【解析】解：设养殖园的面积为平方米，宽为米，则长为米， 根据题意，得 ， ∵， ∴开口向下， ∴当时，S最大，最大值为200． 即围成养殖园的最大面积平方米． 故答案为：200． 16．如图所示，用长的铝合金条制成下部为矩形，上部为半圆的窗框（包括窗棂）．若使此窗户的透光面积最大，则最大透光面积为 ． 【解析】解：设矩形的宽为，则矩形的长为，即，设透光面积为y， 则 ， ∵， 当时，y最大，最大值为， 故最大透光面积为， 故答案为：． 17．某农场要建一个饲养场（矩形）两面靠现有墙（位置的墙最大可用长度米，位置的墙最大可用长度为米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长米，饲养场达到的最大面积为 平方米． 【解析】解：设饲养场（矩形）的面积为平方米，一边长为米，则饲养场另一边 米， ， ， 当时，的最大值为平方米， ， 符合题意， 饲养场达到的最大面积为平方米， 故答案为：． 18．如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完． (1)若所围成矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？ (2)矩形框架ABCD面积最大值为______平方厘米． 【解析】（1）解：设AB的长为x厘米，则有厘米，由题意得： ， 整理得：， 解得：， ∵，∴， ∴都符合题意， 答：AB的长为8厘米或12厘米． （2）解：由（1）可设矩形框架ABCD的面积为S平方厘米，则有： ， ∵，且， ∴当时，S有最大值，即为； 故答案为：150． 19．某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）． (1)若矩形养殖场的总面积为36，求此时x的值； (2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 【解析】（1）解：∵BC=x，矩形CDEF的面积是矩形BCFA面积的2倍， ∴CD=2x， ∴BD=3x，AB=CF=DE=(24-BD)=8-x， 依题意得：3x(8-x)=36， 解得：x1=2，x2=6(不合题意，舍去)， 此时x的值为2m； ； （2）解：设矩形养殖场的总面积为S， 由（1）得：S=3x(8-x)=-3(x-4)2+48， ∵墙的长度为10， ∴0＜3x＜10， ∴0＜x＜， ∵-3<0， ∴x＜4时，S随着x的增大而增大， ∴当x=时，S有最大值，最大值为， 即当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 m2． 20．为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长）和长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题： (1)方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度的水池且需保证总种植面积为，试分别确定、的长； (2)方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问应设计为多长？此时最大面积为多少？ 【解析】（1）解：两块篱笆墙的长为12m，篱笆墙的宽为AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m， 设CG为am，DG为(12-a)m，那么 AD×DC-AE×AH=32 即12×3-1×（12-a）=32 解得：a=8 ∴CG=8m，DG=4m． （2）解：设两块矩形总种植面积为ym2，BC长为xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由题意得， 两块矩形总种植面积=BC×DC 即y=x·(21-3x) ∴y=-3x2+21x =-3(x-)2+ ∵21-3x≤12 ∴x≥3 ∴当BC=m时，y最大=m2． 21．如图，正方形纸片的边长为4，将它剪去4个全等的直角三角形，得到四边形．设的长为，四边形的面积为．    (1)求关于的函数表达式； (2)当取何值时，四边形的面积为10？ (3)四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）解：在正方形纸片上剪去4个全等的直角三角形， ， ，四边形为正方形， 在中，， ， 正方形的面积； 不能为负， ， 故关于的函数表达式为 （2）解：令，得， 整理，得， 解得， 故当取1或3时，四边形的面积为10； （3） 解：存在． （4） 正方形的面积； 当时，y有最小值8，即四边形的面积最小为8． 题型四 利用二次函数模型解决其他问题 1．某超市1月份的营业额为100万元，第一季度的营业额为万元，如果每月平均增长率为，那么与的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：由题意得，与的函数解析式为， 故选：D． 2．据科学计算，搭载“神十八”的长征二号F遥运载火箭，在点火第一秒通过的路程为，第二秒时共通过了的路程，第三秒时共通过了的路程，在这一过程中通过的总路程（）与时间（s）成二次函数关系，在达到离地面的高度时，火箭依程序设定拐弯，则这一过程需要的时间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：设二次函数的解析式为， 由题可得二次函数图象过，，， ∴，解得， ∴， 当时，， 解得或（舍去）， ∴这一过程需要的时间大约是13秒钟， 故选：B． 3．飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行时间（单位：）的函数解析式是，则飞机从着陆滑行到停止，最后滑行的路程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：由题意可得，当时，飞机停下， 此时，． 当时，． 故飞机从着陆滑行到停止，最后滑行的路程是． 故选：D． 4．在修建贵南高铁某路段时，需对铁路旁边某一斜坡进行加固，现用混凝土喷射机将混合料喷射到坡面，如图是喷射机工作时的截面图，以喷出口为原点建立平面直角坐标系，若混合料的喷出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，混合料的落点是，则点到喷出口所在水平面的垂直距离是（   ） A．6 B． C．8 D．12 【答案】A 【解析】解：联立 解得：（舍去）或 ∴点到喷出口所在水平面的垂直距离是 故选：A． 5．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】解：令，则，解得：，， ∴小球从抛出到落地需要，故①正确； ∵， ∴最大高度为， ∴小球运动中的高度可以是，故②正确； 当时，；当时，； ∴小球运动时的高度大于运动时的高度，故③错误； 故选：C． 6．使用家用燃气灶烧开一壶水所需的燃气量y（单位：）与旋钮的旋转角度x（单位：度）之间近似满足函数关系，如图记录了家用燃气灶烧开一壶水的旋钮的旋转角度x与燃气量y的三组数据，根据函数模型和数据，可推断出 此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：由题意可知函数图象为开口向上的抛物线，由图表数据描点连线，补全图可得如图， ∴抛物线对称轴在直线和之间，且时的函数值大于的函数值, ∴对称轴应在直线的左侧， ∴旋钮的旋转角度x在和之间，约为时，燃气灶烧开一壶水最节省燃气． 故选：B． 7．已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h＝－t2＋24t＋1．则下列说法中正确的是(      ) A．点火后9 s和点火后13 s的升空高度相同 B．点火后24 s火箭落于地面 C．点火后10 s的升空高度为139 m D．火箭升空的最大高度为145 m 【答案】D 【解析】A、当t=9时，h=136；当t=13时，h=144；所以点火后9s和点火后13s的升空高度不相同，此选项错误； B、当t=24时h=1≠0，所以点火后24s火箭离地面的高度为1m，此选项错误； C、当t=10时h=141m，此选项错误； D、由h=－t2+24t+1=－（t－12）2+145知火箭升空的最大高度为145m，此选项正确； 故选：D． 8．如图是王阿姨晚饭后步行的路程s(单位：m)与时间t(单位：min)的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分.下列说法不正确的是(   ) A．25min~50min，王阿姨步行的路程为800m B．线段CD的函数解析式为 C．5min~20min，王阿姨步行速度由慢到快 D．曲线段AB的函数解析式为 【答案】C 【解析】观察图象可知5min~20min，王阿姨步行速度由快到慢，25min~50min，王阿姨步行的路程为2000-1200=800m，故A选项正确，C选项错误； 设线段CD的解析式为s=mt+n，将点(25，1200)、(50，2000)分别代入得 ，解得：， 所以线段CD的函数解析式为，故B选项正确； 由曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分，所以设抛物线的解析式为y=a(x-20)2+1200， 把(5，525)代入得：525=a(5-20)2+1200， 解得：a=-3， 所以曲线段AB的函数解析式为，故D选项正确， 故选：C. 9．汽车刹车后行驶的距离s与行驶时间t的函数关系是，汽车从刹车到停下来所用时间是 ． 【解析】解：∵， ∴当秒时，s取得最大值，即汽车停下来， 故答案为：． 10．加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：）满足函数表达式，则最佳加工时间为 ． 【解析】解：∵的对称轴为（min）， 故：最佳加工时间为3.75min， 故答案为：3.75． 11．太原地铁2号线开通两年多以来，极大地便利了人们的生活．小明早晨从小店区西桥站出发，乘坐一段地铁后，换骑共享单车去学校，经过多次乘坐发现，骑共享单车的时间与乘坐地铁路程之间满足二次函数，几个地铁站点与出发站之间的距离如下表： 地铁站点 … … … 8 9 10 13 … 若小明骑共享单车所需的时间最少，则他乘坐地铁应到达的站点为 站点． 【答案】D 【解析】解： ， ∵， ∴当时，y取得最小值， ∵C站点，而D站点， ∴D站点更接近最小值点， 故他乘坐地铁应到达的站点为D站点． 故答案为：D． 12．东台鱼汤面是“中华名小吃”．如图，是一个面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底为原点建立平面直角坐标系，已知碗口宽cm，碗深cm，则当满碗汤面的竖直高度下降cm时，碗中汤面的水平宽度为 cm（碗的厚度不计）． 【解析】解：设抛物线解析式为， 根据题意得， ， ， 抛物线解析式为， 当满碗汤面的竖直高度下降cm时，汤面高度为， ， ， 碗中汤面的水平宽度为， 故答案为：. 13．如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y（单位：）与距离停车棚支柱的水平距离x（单位：）近似满足函数关系的图象，点在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长，高的矩形，则可判定货车 完全停到车棚内（填“能”或“不能”）． 【解析】解：∵，， ∴， 在中，当时，， ∵， ∴可判定货车能完全停到车棚内， 故答案为：能． 14．在泡菜腌制的过程中，亚硝酸盐的含量会随着时间的推移而发生变化．一般来说，腌制初期亚硝酸盐含量较低，到达一个峰值后又逐渐下降．这个变化曲线近似于抛物线．假设腌制时间（单位：天）与亚硝酸盐含量（单位：毫克/千克）之间的关系可以用函数来表示，其中是腌制时间，是对应的亚硝酸盐含量．根据实验数据，我们得到以下结论： ①腌制开始（第天）时，亚硝酸盐含量为毫克/千克； ②腌制第天时，亚硝酸盐含量达到毫克/千克； ③腌制第天时，亚硝酸盐含量达到毫克/千克． 因此，泡菜腌制过程中第 天亚硝酸盐含量最高． 【解析】解：将点、、代入中得： ，解得：， ， ， 当时，有最大值为，即泡菜腌制过程中第天亚硝酸盐含量最高， 故答案为：． 15．野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分． (1)建立如图所示的平面直角坐标系． 对某只野兔一次跳跃中水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m）进行测量，得到以下数据： 水平距离x 0 1 2 竖直高度y 0 根据上述数据，回答下列问题： ①野兔本次跳跃的最大竖直高度为 m； ②求满足条件的抛物线的解析式． (2)在满足（1）的条件下，在野兔起跳点前方处有宽为的小溪，则野兔此次跳跃 （填“能”或“不能”）跃过小溪． 【解析】（1）解： ①由，和，可知， 抛物线的对称轴为直线， ∴当时，y有最大值， ∴野兔本次跳跃的最大竖直高度为米， 故答案为：； ②由题意可知，抛物线的顶点为. 设抛物线解析式为. 当时，， ，解得. 抛物线的解析式为. （2）能. 理由：令，则， 解得，（舍去）， ∴野兔落地点距离起跳点米， ， ∴野兔此次跳跃能跃过小溪． 故答案为：能． 16．公路上正在行驶的甲车，发现前方30m处沿同一方向行驶的乙车后，为了行驶安全，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示． (1)当甲车减速至6m/s时，它行驶的路程是多少？ (2)若乙车以10m/s的速度匀速行驶，当时间t在什么范围时，两车间的距离不超过米？ 【解析】（1）解：二次函数图象过原点，可设二次函数解析式为， 代入，，可得： ， 解得：， 即二次函数解析式为：； 设一次函数解析式为， 代入，得：， 解得：， 即一次函数解析式为：， 当时，代入一次函数解析式，解得， 此时，， 当甲车减速至时，它行驶的路程是米； （2）解：乙车行驶速度是，时间是，行驶路程为， 设甲、乙之间的距离为（单位：米）， 则 ， ， 解得：或9， ． 17．“跳大绳”是中国历史悠久的运动，一直受到青少年儿童的喜爱．通过跳绳运动可以促进学生心肺功能的提高，培养学生良好的意志品质，还可以培养学生团结协作的精神．某校在大课间活动中开展了“跳大绳”活动．如图，小明和小亮分别抓住大绳的两端转动大绳，他们转动大绳的手距离水平地面均为1m，大绳在距离他们5m处有最高点，距水平地面3.5m．建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中是大绳距小明的水平距离，是大绳距水平地面的高度．    (1)求抛物线的表达式； (2)小红在跳绳时，距离小明的水平距离2m（即与点O的水平距离），当绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶正上方1m处，求小红的身高； (3)身高为1.9m的体育老师刘老师也参加了活动，当刘老师跳进大绳，直立落地时，绳子甩到最高处，且正好扫过刘老师的头顶，求刘老师与小红间的水平距离． 【解析】（1）解：由题意知，抛物线顶点坐标为， 则抛物线的表达式为， 将点代入得，解得， ． 即抛物线的表达式为． （2）把代入 得，（m）， 即小红的身高是1.6 m； （3）当时，， 解得或， 刘老师与小红之间的水平距离为（m）或（m）， 答：刘老师与小红间的水平距离是1 m或7 m． 18．窑洞（如图1）是黄土高原的产物，是陕北地方劳动人民的象征，具有十分浓厚的中国民俗风情和乡土气息，它除了坚固及特有的外在美之外，还具有冬暖夏凉的天然优点.小明家的窑洞（如图2）的门窗上面部分可以看成一个抛物线，下面部分是矩形，已知矩形的长，宽，门窗最高点D与地面垂直距离为，以点O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系. (1)求出该抛物线的函数表达式； (2)春节前夕，小明想对家里的窑洞门窗进行装饰，准备在门窗上面的抛物线上悬挂两个灯笼，使它们离地面的高度相等，且均为，请求出两个灯笼的水平距离.（结果保留根号） 【解析】（1）解：由题意知拋物线顶点D坐标， 则抛物线的函数表达式为：， 把代入得：， ， ； （2）由题意知：， 解得，  ，             两灯笼的水平距离：米． 19．综合与实践 问题情境：元旦晚会舞台布置中需要搭一条抛物线型灯链，最初的设计方案如图1所示，灯链两端连接A，B两点，点C位于点B正下方的地面处，以点A正下方的地面处的点O为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，抛物线解析式的二次项系数为，米，米，但实际实施方案后发现最低点过低． 方案修改：莉莉将方案进行修改，如图2，将图1中灯链的最低点固定在距地面2.7米的点N处，点N两侧的灯链形成了两个对称的新抛物线． (1)求图1中抛物线的解析式． (2)若图1中抛物线的最低点为M，求点M到的距离． (3)若图2中两个最低点的距离为4米，修改方案后最低点提高了多少米？ 【解析】（1）解：设抛物线的解析式为． ∵抛物线的对称轴为直线， ，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）将代入， 得（米）． 答：点M到的距离为米． （3）∵图2中两个新抛物线对称，且最低点之间的水平距离为4米， ∴左边的新抛物线的对称轴为直线． 设左边的新抛物线的解析式为． 将点代入， 得 解得 ∴灯链最低点提高了（米）． 20．2024年巴黎奥运会女子单人10米跳台决赛中，全红婵以425.60分的总分夺得金牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的动作（如图1），为了分析这个动作我们可以建立如图2所示的平面直角坐标系，将她从点起跳后的运动路线看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系． (1)下表为平时训练中完成一次动作，全红婵的水平距离与竖直高度的几组数据： 水平距离 3 4 4.5 竖直高度 10 11.25 10 6.25 根据表中数据，求与近似满足的二次函数解析式，并求出的值； (2)某一次10米跳台练习中，如果与之间近似满足二次函数，则全红婵完成跳水动作入水时的入水点到点的距离是多少？ 【解析】（1）解：根据表格得，函数图象过点，， 二次函数的对称轴为直线． 设二次函数的解析式为， 将点，代入， 得， 解得 ， ． 将代入，可得． （2）解：与之间近似满足二次函数， 将代入，可得． 解得． 与之间近似满足二次函数． 当时，， 解得，（舍）． 答：全红婵完成跳水动作入水时的入水点到点的距离是． 21．综合与实践 问题情境：如图，这是某公园的一种水上娱乐项目.数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究． 数据说明：下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池.以水池面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系.他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路线都近似地看作是抛物线的一部分，点B与水池面的距离为2米，水滑道最低点C与水池面的距离为米，点C到点B的水平距离为3米.根据测量得到的数据和调查得到的信息解决下列问题    (1)求水滑道所在抛物线的解析式不用写出x的取值范围 (2)腾空点B与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离不少于3米.若某人腾空后的路线形成的抛物线恰好与抛物线的某一段关于点B成中心对称． ①求此人腾空后的最大高度和抛物线的解析式； ②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由水面与地面之间的高度差忽略不计 【解析】（1）解：由题意，水滑道所在抛物线的顶点， 可设抛物线为 又， 抛物线为； （2）①由题意， 抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称， 抛物线的顶点与抛物线的顶点C关于点B成中心对称． 是它们的中点． 又，， 抛物线的顶点为 此人腾空后的最大高度为米． 又此时可设抛物线为， 将代入得， ； 抛物线的解析式 ②由①得， 令， 或舍去 米． 又米， 落点D在安全范围内． 22．16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． (1)若火箭第二级的引发点的高度为． ①直接写出a，b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． (2)直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过． 【解析】（1）解：①∵火箭第二级的引发点的高度为 ∴抛物线和直线均经过点 ∴， 解得，． ②由①知，， ∴ ∴最大值 当时， 则 解得， 又∵时， ∴当时， 则 解得 ∴这两个位置之间的距离． （2）解：当水平距离超过时， 火箭第二级的引发点为， 将，代入，得 ， 解得， ∴． 1．若一种服装销售盈利y（万元）与销售数量x（万元）满足函数关系式，则盈利（   ） A．最大值为5万元 B．最大值为7万元 C．最小值为5万元 D．最大值为6万元 【答案】B 【解析】解： ， 当时， （万元）； 故选：B． 2．某超市将进价为40元件的商品按50元/件出售时，每月可售出500件．经试销发现，该商品售价每上涨1元，其月销量就减少10件．超市为了每月获利8000元，则每件应涨价多少元？若设每件应涨价x元，则依据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解: 设这种衬衫每件涨价x元，则销售量为（500-10x）件， 根据题意，得， 故选：C． 3．如图是蔬菜塑料大棚及其正面的示意图．示意图中曲线可近似看作一条抛物线，四边形为矩形且支架，，，均垂直于地面．已知米，米，以所在的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系（规定一个单位长度代表1米），若点M的坐标为，则抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵米，米， ∴米，米， ∴ ∴设抛物线解析式为 ∴将，代入得 解得 ∴． 故选：A． 4．已知某抛物线形拱桥下的拱顶离水面时，水面宽，那么下列说法中正确的是（    ） A．若以拋物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴建立直角坐标系，则这条抛物线的解析式是 B．若以水面所在直线为轴，以水面的垂直平分线为轴建立直角坐标系，则过条批物线的解析式是 C．水面上升后，水面宽为 D．水面下降后，水面宽为 【答案】C 【解析】解：如图，建立直角坐标系，    设拱桥的抛物线解析式为， ∵拱顶离水面时，水面宽， ∴图中点坐标为，代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为，故选项不符合题意； B、∵以水面所在直线为轴，以水面的垂直平分线为轴建立直角坐标系，水面宽， ∴抛物线过点，代入中， ，故选项不符合题意； C、水面上升后，即当时，， 解得，， ∴水面宽为，故选项符合题意； D、水面下降后，即当时，， 解得，， ∴水面宽为，故选项不符合题意； 故选：C． 5．一个乒乓球从光滑斜面自由滚下的路程y（米）与时间x（秒）的平方成正比例，当乒乓球滚下3米时，经过的时间为1.5秒，当秒时，乒乓球所经过的路程为（   ） A．1.5米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【解析】解：设， 将代入上式得： 解得：， 则函数的表达式为：， 当时，， 即乒乓球所经过的路程是米． 故选：C． 6．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，水面下降，水面宽度增加（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：如图所示，建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y经过中点O且经过C点，则通过画图可得知O为原点， 由题意得：抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，和为的一半,即2米，抛物线顶点C坐标为， ∴点B的坐标为， ∴这个抛物线的解析式为， 把点B坐标代入到抛物线解析式得：, ∴， ∴抛物线解析式为， 当水面下降2米， 当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离， 可以通过把代入抛物线解析式得出：， 解得：   ∴水面宽度增加到米， ∴比原先的宽度当然是增加了米， 故选：C． 7．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量（单位：）与旋钮的旋转角度（单位：度）近似满足函数关系式，如图记录了某种家用节能燃气灶烧开同一壶水的旋钮的旋转角度与燃气量的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋较角度约为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：由图象可知，物线开口向上， 从18和72两个点可以看出对称轴， 所以最终对称轴的范围是， 即对称轴位于直线与直线之间， 所以此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度约为． 故选：D． 8．已知某商品每件的进价为40元，售价为每件60元，每星期可卖出该商品300件．根据市场调查反映：商品的零售价每降价1元，则每星期可多卖出该商品20件．有下列结论： ①当降价为3元时，每星期可卖360件； ②每星期的利润为6120元时，可以将该商品的零售价定为42元或者43元； ③每星期的最大利润为6250元． 其中，正确结论的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【解析】设降价x元，则售价为元，每件的盈利元，每天可售出件， ①当降价为3元时，每星期可卖件；正确； ②根据题意，得， 整理，得， 解得， 每星期的利润为6120元时，可以将该商品的零售价定为58元或者57元；错误； ③设每星期的利润为y元，根据题意，得 ， 故每星期的最大利润为6125元．错误． 故选：C． 9．一个8人小组参加集体跳长绳比赛，其中2人负责摇绳．站立的位置相距，剩余6人跳绳，他们都站在同一直线上．如图所示，当绳子摇到最高处时，绳子的形状近似于一条抛物线，摇绳的手距离地面都是，绳子的最高点距离地面．根据平时训练的情况，当绳子摇到最高处时，这6名学生头顶离地高度（单位：m）的范围如表所示． 学生 A B C D E F 头顶离地高度的范围 1.51～1.72 1.36～1.64 1.68～1.84 1.56～1.75 1.36～1.64 1.56～1.75 将此次比赛中这6名学生站立的队列长度记为（单位：m），若比赛中绳子都不会碰到他们的头顶，根据表一的数据可求的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解∶由题意，以左边摇绳人与地面的交点为原点，地面所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图∶ 设抛物线解析式为， 由已知可得，在抛物线上，且抛物线顶点为． ． ． 抛物线的函数表达式为． 将代入，得． 求出或． 此次比赛中这6名学生站立的队列长度为∶． 即，即此时B、E两位学生分别站在队列两侧 ． 故选：C． 10．九年级16班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（　） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．面积都一样 【答案】C 【解析】解：方案1：设米，则米， 则菜园面积， 当时，此时菜园最大面积为8平方米； 方案2：解法一：如图，过点作于，则， ∵， ∴当时，的面积最大为； 解法二：过点作于， 设，，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当且仅当时，菜园最大面积为8平方米； 方案3：半圆的半径为米， ∴此时菜园最大面积（平方米） ∵， ∴方案3的菜园面积最大， ∴在三种方案中，最佳方案是方案3． 故选：C． 11．数学课上，老师提出如下问题：“如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园（墙足够长）．这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？”小慧设菜园的面积为，菜园的…为，列出．则自变量的实际意义是 ． 【解析】∵矩形的面积 ∴x或者是平行于墙的矩形的长 当是是平行于墙的矩形的长时，+2x≠30 ，不合题意； 当x是是平行于墙的矩形的长时，2()+x=30 ，符合合题意； 故答案为：平行于墙的一边的长度 12．在某市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为，由此可知该生此次实心球训练的成绩为 米． 【解析】解：当时，， 解得，（舍去），． 故答案为：10． 13．自动无人驾驶技术已经在某些城市开始应用，其极大地方便了市民的出行．某型号无人驾驶汽车在进行刹车性能测试时，其刹车距离与刹车时的速度满足关系式．若刹车距离为，则刹车时的速度为 ． 【解析】解：∵，刹车距离为， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：刹车时的速度为． 故答案为：50． 14．某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，如图所示，开了三扇宽为的门，已知计划中的材料可建围墙的总长为，那么这两间种牛饲养室所占面积最大是 ． 【解析】解：可建墙体的总长为，三处各留宽的门，根据图形可知则总长为． 设该饲养室的宽为，则长为， 该饲养室的面积． 由二次函数的性质可知当时，取最大值，最大值为192． 故答案为：192． 15．如图，仁和桥有一段抛物线形状的拱梁，抛物线的解析式为．小辉骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面，当小辉骑自行车行驶8秒时和12秒时拱梁的高度相同，则小辉骑自行车通过拱梁部分的桥面共需 秒． 【解析】解：∵当小明骑自行车行驶8秒时和12秒时拱梁的高度相同， ∴抛物线的对称轴是直线， ∴，得， 令，则， 代入，得： 解得，， ∴小强骑自行车通过拱梁部分的桥面共需：（秒）， 故答案为：20． 16．廊桥是我国古老的文化遗产，如图，是某座抛物线型的廊桥示意图．已知水面宽米，抛物线最高点C到水面的距离为米，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离等于 米． 【解析】解：如图，以所在直线为 x 轴、线段 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系， 由题意知，． 设过点A， B， C 的抛物线方程为， 把点的坐标代入，得 ， 解得： ， 则该抛物线的解析式为：， 把 代入,得 ， 即 ， ∴， 所以两盏警示灯之间的水平距离为： ， 故答案为：．  17．某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是 元． 【解析】解：设种快餐的总利润为，种快餐的总利润为，两种快餐的总利润为，设快餐的份数为份，则B种快餐的份数为份． 据题意：， ， ∴， ∵， ∴当的时候，W取到最大值1264，故最大利润为1264元， 故答案为：1264． 18．现用长为的材料，做成一个如图所示的窗户框架，该窗户框架中分割出的三个矩形的面积相等，设窗户位于上方的矩形的宽为，窗户的总面积为，则与之间的函数关系式是 （不用写出自变量的取值范围）． 【解析】解：设窗户位于上方的矩形的宽为， 该窗户框架中分割出的三个矩形的面积相等，且窗户框架的总长度为， 窗户位于下方的矩形的长为，窗户位于上方的矩形的长为， 根据题意得：， 即． 故答案为：． 19．如图1所示，某乡村准备修建一条100m长的水渠．水渠的过水横截面是如图2所示的矩形．如水渠底面与侧面的修建造价为100元，，则修水渠的总价为 万元（用含t的代数式表示）；为了提高水渠的过水量，要使过水横截面的面积尽可能大，现有资金4万元，当过水横截面面积最大时，水渠的深度为 m． 【解析】解：依题意，如水渠底面与侧面的修建造价为100元，，则修水渠的总价为元万元， 设矩形的边，，矩形的面积为，依题意，得 ， ，当时，有最大值， 要使过水横截面的面积尽可能大，现有资金4万元，当过水横截面面积最大时， ，即， 水渠的深度为， 故答案为：． 20． 如图，九（1）班劳动实践基地位于形围墙的内侧，已知，墙长7米，墙长3米．同学们准备用10米长的围栏，在基地内围出一块矩形菜地（可利用围墙）．请问他们能围出的最大面积是 米． 【解析】解：设矩形的宽为，面积为 ①∵墙长7米，墙长3米， ∴， ∵10米长的围栏， ∴当围成的矩形在以为边围成的矩形的内部时，矩形的最大面积为， ②当矩形的长大于7，宽小于3时，则：矩形的长为， ∴， ∵， ∴当时，随着的增大而减小， ∵， ∴， ③当矩形的长小于7，宽大于3时，则：矩形的长为， ∴， ∴当时，的最大值为； 综上：他们能围出的最大面积是米； 故答案为：． 21．如图为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是拋物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度（单位：）与距离停车棚支柱的水平距离（单位：）近似满足函数关系的图象，点在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长，高的矩形， （1）________； （2）可判定货车________完全停到车棚内（填“能”或“不能”）． 【解析】（1）∵点在图象上， ， 解得： 故答案为： （2） 在抛物线中， 当时， 故可以判断货车能完全停到车棚内． 故答案为：能． 22．“利民快餐店”试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为元，该店每天固定支出费用为元（不含套餐成本）．若每份售价不超过元，每天可销售份；若每份售价超过元，每提高元，每天的销售量就减少份．为了便于结算，每份套餐的售价（元）取整数，用（元）表示该店日纯收入．该店既要吸引顾客，使每天的销售量较大，又要有较高的日纯收入．按此要求，每份套餐的售价应定为多少元？此时日纯收入为多少？ 【解析】解：当售价（元）时，该店日纯收入为，当时，日纯收入为元； 当售价（元）时，该店日纯收入为， ∴二次函数的图像在平面直角坐标系中，开口向下，有最大值， ∴， 售价（元）取整数， 则售价或元时，日销售量最大， 要吸引顾客，销售量较大， ∴售价为元时，最大利润为元， ∴每份套餐的售价应定为元，此时日纯收入为元． 23．在电影《哪吒之魔童闹海》中，同学们觉得海妖从空间裂缝G点处跳出袭击陈塘关的画面非常生动有趣，同学们把海妖起跳后飞行的路线看作抛物线的一部分，取海平面上水平线为x轴，铅垂线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系，从海妖起跳到着落的过程中，海妖离海平面的铅垂高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足（，a、h、n都为常数），若，海妖起跳后的最高点距海平面，与点G的水平距离是．陈塘关正面城墙与起跳点G的水平距离，城墙宽，城墙高． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)通过计算说明海妖能否成功跳到城墙上？ (3)为阻止海妖攻入城墙，一名士兵在中点E处朝海妖放箭，箭的路线可看作直线（k、b为常数），问士兵要想射中空中飞行的海妖，k的值至少为______（直接写出结果）． 【解析】（1）解：∵海妖起跳后的最高点距海平面，与点G的水平距离是． ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：∵陈塘关正面城墙与起跳点G的水平距离，城墙宽，城墙高， ∴，， 令得，，解得，（舍）或， ∵， ∴海妖能成功跳到城墙上； （3）解：∵，，E为的中点， ∴， ∴， 当直线经过点时， ，解得， 当直线与抛物线相切时，即方程有两个相等的实数根， ∴方程整理得， ∴， ∴，此时直线与点下方的抛物线相切（舍）或， ∴， ∴k的值至少为， 故答案为：． 24．某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个设计方案，现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示： 方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，． 方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，． 要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计），方案一中，矩形框架的面积记为，点、在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点在抛物线上，边在上，现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： (1)求方案一中抛物线的函数表达式； (2)在方案一中，当时，求矩形框架的面积并比较的大小． 【解析】（1）解：由题意知，，， 方案一中抛物线的顶点， 设抛物线的函数表达式为， 把代入得，， 解得：， ， 方案一中抛物线的函数表达式为； （2）解：在中， 令得：； 解得或， ， ， ， ． 25．某建筑物的窗户如图所示，上半部分是等腰三角形，，，点、、分别是边、、的中点；下半部分四边形是矩形，，制造窗户框的材料总长为16米（图中所有黑线的长度和），设米，米．    (1)求与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围； (2)当为多少时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），并计算窗户的最大面积． 【解析】（1）∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴． ∵，是边的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∵点、、分别是边、的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）设面积为S， 则 ， ∴当时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），最大面积为． 26．【生活情境】 为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的长方形水池进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图②，以下简称水池2）． 【建立模型】 如果设水池的边加长长度为，加长后水池1的总面积为，则关于的函数解析式为：；设水池2的边的长为，面积为，则关于的函数解析式为：，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图像如图③． 【问题解决】 (1)若水池2的面积随长度的增加而减小，则长度的取值范围是_________（可省略单位），水池2面积的最大值是_________； (2)在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是_________，此时的值是_________； (3)当水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是_________； (4)在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时的值； (5)假设水池的边的长度为，其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积关于的函数解析式为：．若水池3与水池2的面积相等时，有唯一值，求的值． 【解析】（1）∵ ∴抛物线的顶点坐标为（3，9），对称轴为x=3， ∵水池2的面积随长度的增加而减小， ∴长度的取值范围是；水池2面积的最大值是9； 故答案为：；9； （2）由图象得，两函数交于点C，E， 所以，表示两个水池面积相等的点是C，E； 联立方程组 解得， ∴x的值为1或4， 故答案为：C，E；1或4 （3）由（2）知，C（1，5），E（4，8）， 又直线在抛物线上方时，或， 所以，水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是或， 故答案为或； （4）在范围内，两个水池面积差， ∵ ∴函数有最大值， ∵，∴当时，函数有最大值，为即，当时，面积差的最大值为 （5）∵水池3与水池2的面积相等， ∴， 整理得， ∵有唯一值，∴ ，解得，． 27．乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度为 的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分． 乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：）．测得如下数据： 水平距离x/ 竖直高度y/ (1)在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象； (2)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是__________，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是__________； ②求满足条件的抛物线解析式； (3)技术分析：如果只上下调整击球高度，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长为274，球网高为15.25．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度的值约为1.27．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计）． 【解析】（1）解：如图所示， （2）①观察表格数据，可知当和时，函数值相等，则对称轴为直线，顶点坐标为， 又抛物线开口向下，可得最高点时，与球台之间的距离是 ， 当时，， ∴乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是 ； 故答案为：；． ②设抛物线解析式为，将代入得， ，解得：， ∴抛物线解析式为； （3）∵当时，抛物线的解析式为， 设乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为，则平移距离为 ， ∴平移后的抛物线的解析式为， 依题意，当时，， 即，解得：． 答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为． 28．用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）． 科学原理：如图2，始终盛满水的圆体水桶水面离地面的高度为H（单位：cm），如果在离水面竖直距离为h（单校：cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s（单位：cm）与h的关系为s2=4h（H—h）． 应用思考：现用高度为20cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离h cm处开一个小孔． （1）写出s2与h的关系式；并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少? （2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式； （3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm，求整高的高度及小孔离水面的竖直距离． 【解析】解：(1)∵s2=4h(H-h)， ∴当H=20时，s2=4h(20-h)=-4(h-10)2+400， ∴当h=10时，s2有最大值400， ∴当h=10时，s有最大值20cm． ∴当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是20cm； 故答案为：最大射程是20cm. (2) ∵s2=4h(20-h)， 设存在a，b，使两孔射出水的射程相同，则有： 4a(20-a)=4b(20-b)， ∴20a-a2=20b-b2， ∴a2-b2=20a-20b， ∴(a+b)(a-b)=20(a-b)， ∴(a-b)(a+b-20)=0， ∴a-b=0或a+b-20=0， ∴a=b或a+b=20. 故答案为：a=b或a+b=20. (3)设垫高的高度为cm，则 ∴当时， ∴时，此时 ∴垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm． 故答案为：垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.5　用二次函数解决问题（四大题型提分练） 题型一 利用二次函数求解销售问题 1．某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时，平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元时，平均每天能多售出4件．求当每件的定价为多少元时，该服装店平均每天的销售利润最大？小颖的想法是根据“销售利润=（售价-成本）×销售量”列出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，把二次函数解析式转化为顶点式进行解答．这种解法体现的数学思想是（    ） A．整体思想 B．函数思想 C．方程思想 D．公理化思想 2．某种商品每天的销售利润y（元）与单价x（元）之间的函数关系式为．则这种商品每天的最大利润为（ ） A．0.1元 B．3元 C．25元 D．75元 3．某超市一种干果现在的售价是每袋元，每星期可卖出袋，经市场调研发现，如果在一定范围内调整价格，每涨价元，每星期就少卖出袋．已知这种干果的进价为每袋元，设每袋涨价（元），每星期的销售量为（袋），每星期销售这种干果的利润为（元）．则与，与满足的函数关系分别是（    ） A．一次函数，二次函数 B．一次函数，反比例函数 C．反比例函数，二次函数 D．反比例函数，一次函数 4．2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品．某商家以每套34元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件．若该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价每提高2元，则每天少卖4套．设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，则该商品每天销售套件所获利润w与x之间的函数关系式为（    ）． A． B． C． D． 5．某农户要改造部分农田种植蔬菜，经调查，平均每亩改造费用是900元，添加辅助设备费用（元）与改造面积（亩）的平方成正比，比例系数为18，每亩种植蔬菜还需种子、人工费用600元，若每亩蔬菜年销售额为7000元，设改造农田x亩，改造当年收益为y元，则y与x之间的数量关系可列式为（    ） A． B． C． D． 6．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（    ）元． A．50 B．90 C．80 D．70 7．某公司计划生产一种新型电子产品，经过公司测算，在生产数量不超过8万件的情况下，生产成本和销售价格均是生产数量的一次函数，其部分数据如下表： 生产数量（万件） 生产成本（元/件） 销售价格（元/件） 1 9 16 2 8 14 3 7 12 为获最大利润，生产数量应为（    ） A．3万件 B．4万件 C．5万件 D．6万件 8．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，有下列结论： ①设每件涨价x元，则实际卖出件； ②在降价的情况下，降价5元，即定价55元时，利润最大，最大利润是6250元； ③综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，定价元时利润最大； 其中，正确结论的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9．“十一”黄金周，某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元），满足关系：m =140－x．写出商场卖这种商品每天的销售利润 y与每件的售价x之间的函数关系式是 ． 10．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（，且x为整数）出售，可卖出件，若使利润最大，则每件商品的售价应为 元． 11．某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为 元时，才能使每天所获销售利润最大． 12．某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为 元（利润=总销售额-总成本）．    13．电商平台销售某款儿童组装玩具，进价为每件100元，在销售过程中发现，每周的销售量y（件）与每件玩具售价x（元）之间满足一次函数关系（其中，且x为整数）．当每件玩具售价为120元时，每周的销量为80件；当每件玩具售价为140元时，每周的销量为40件． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当每件玩具售价为多少元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大？最大周利润是多少元？ 14．普洱茶是中国十大名茶之一，也是中华古老文明中的一颗瑰宝．某公司经销某种品牌普洱茶，每千克成本为50元．经市场调查发现：每周销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如下表所示， 销售单价x（元/千克） 56 65 75 销售量y（千克） 128 110 90 解答下列问题： （1）求y与x的函数关系式； （2）求这一周销售这种品牌普洱茶获得的利润W元的最大值； （3）物价部门规定茶叶销售单价不得高于90元/千克，公司想获得不低于2000元周利润，请计算销售单价范围． 题型二 利用二次函数解决抛物线性的实际问题 1．如图，福州西湖公园上有一座造型为抛物线形状的拱桥，因其宛如玉带，从而被人称为玉带桥，经测量，玉带桥的拱顶离水面的平均高度为，若玉带桥所在的这条抛物线表示的二次函数为，则该抛物线所在的平面直角坐标系是如下的（   ） A．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴 B．以抛物线与水面的左交点为原点，以水面为轴 C．以水面为轴，以抛物线的对称轴为轴 D．以图中夕阳所在位置为原点，以抛物线的对称轴为轴 2．如图，隧道的截面由抛物线和长方形OABC构成，长方形的长OA是12m，宽OC是4m．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y=﹣x2+bx+c表示．在抛物线型拱璧上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m．那么两排灯的水平距离最小是(　　)    A．2m B．4m C．m D．m 3．如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小滨想知道这道门的高度，他先测出门的宽度，然后用一根长为的小竹竿竖直的接触地面和门的内壁，并测得，则门高为（　　） A． B． C． D． 4．如图1，某地大桥主桥墩结构为抛物线形，桥墩的高度和宽度分别为40m和30m，若建立如图2所示的平面直角坐标系，则该抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 5．某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，以水平地面为x轴，垂直于水平地面且位于池塘中心的线为y轴建立平面直角坐标系，池塘的宽，池底最深处距离水平地面5 ，原来的水面宽24 ，若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离变为（    ） A．1.2 B．1 C．0.8 D．0.6 6．廊桥是我国古老的文化遗产．如图是某座抛物线形廊桥的示意图，已知水面AB宽48m，拱桥最高处点C到水面的距离为12m，为保护该桥的安全，现要在该抛物线上的点E，F处安装两盏警示灯，若要保证两盏灯的水平距离是24m，则警示灯E距水面的高度为（     ） A．12m B．11m C．10m D．9m 7．三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（　　） A．4米 B．5米 C．2米 D．7米 8．根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是，当飞行时间t为 s时，小球达到最高点． 9．如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的水平距离OA的长是 m． 10．从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度（单位：）与它距离喷头的水平距离（单位：）之间满足函数关系式，喷出水珠的最大高度是 ． 11．某地每年六月有举办龙舟比赛的习俗，比赛路线需要经过一个抛物线型的拱桥，该抛物线的函数表达式为，如图，是水平面，某商家在点，处悬挂了广告条幅，已知，点到的距离为米，则点到点的距离为 米． 12．如图，一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为，宽为，隧道最高点P的坐标为，如果一辆货车高，宽，那么这辆货车 （填“能”或“不能”）从该隧道内通过． 13．如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高 m时，水柱落点距O点． 14．如图，一位篮球运动员投篮时，球从点出手后沿抛物线行进，篮球出手后距离地面的高度与篮球距离出手点的水平距离之间的函数关系式是．下列说法正确的是 （填序号）． ①篮球行进过程中距离地面的最大高度为；②篮球出手点距离地面的高度为．    15．年5月8日，商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步．时分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为米时，两条水柱在物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退米，两条水柱的形状及喷水口、到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点距地面 米．    16．如图，一辆宽为2米的货车要通过跨度为8米，拱高为4米的单行抛物线隧道（从正中通过），抛物线满足表达式．为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有米的距离，求货车的限高应是多少米？ 17．小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度． (1)求抛物线的表达式． (2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离． 18．如图，在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似看作抛物线，抛物线解折式的二次项系数为，已知甲、乙两名学生拿绳的手间距为米，距地面均为米，以甲所在的地面的点为原点，建立如图所示的直角坐标系．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)身高为米的小红也想参加这个活动，请问她在跳绳时，头顶与甩绳之间的最大竖直距离为多少米？（假定当绳甩到最高处时，学生双脚处于落地状态）． 19．如图，要修建一条截面为抛物线型的隧道，线段表示水平的路面，根据设计要求：，该抛物线的顶点到的距离为． (1)请建立合适的平面直角坐标系，并求满足设计要求的抛物线的函数表达式； (2)现需在这一隧道内壁上同一高度处安装照明灯（即在该抛物线上的点，处分别安装照明灯）．若要求，处的照明灯水平距离为，求照明灯的高度． 20．一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索与缆索均呈抛物线型，桥塔与桥塔均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线为x轴，以桥塔所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．      已知：缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称，桥塔与桥塔之间的距离，，缆索的最低点P到的距离（桥塔的粗细忽略不计） (1)求缆索所在抛物线的函数表达式； (2)点E在缆索上，，且，，求的长． 21．如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位：）． (1)若，； ①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； ②求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标； ③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围； (2)若．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的最小值． 题型三 利用二次函数求解图形面积最值问题 1．某小区有一块绿地如图中等腰直角所示，计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧，其中点P，M，N分别在边上，记，， 图中阴影部分的面积为Sm2，当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）    A．一次函数关系，二次函数关系 B．一次函数关系，反比例函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系 2．正方形的面积与边长的函数图像大致为（    ） A． B． C． D． 3．用一段20米长的铁丝在平地上围成一个矩形，该矩形的一边长为x米，面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 4．如图1，△ABC是直角三角形，∠A=90°，AB=8cm，AC=6cm点P从点A出发，沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达终点，则另一个动点也停止运动，则三角形APQ的最大面积是（   ） A．8cm2 B．16cm2 C．24cm2 D．32cm2 5．如图，P是抛物线在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形周长的最大值为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 6．如图，某建筑队在一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成一个长方形仓库，仓库总面积为平方米，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则关于的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 7．某农场要建矩形的饲养室，如图所示，一面靠着现有足够长的墙，其他三面用材料建设围墙，在中间再建一道墙隔开，并在两处各留宽的门，已知计划中的材料可建墙体总长为（不包括门），则能建成的饲养室最大总占地面积为（    ） A． B． C． D． 8．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠足够长的墙体，中间用一道围栏隔开，并在如图所示的三处各留宽的门，所有围栏的总长（不含门）为，则能建成的饲养室面积最大为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在长为20m、宽为14m的矩形花圃里建有等宽的十字形小径，若小径的宽不超过1m，则花圃中的阴影部分的面积有（    ） A．最小值247 B．最小值266 C．最大值247 D．最大值266 10．如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为，有下列结论： ①的长可以为； ②的长有两个不同的值满足菜园面积为； ③菜园面积的最大值为． 其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 11．如图是一面足够长的墙，用长的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花园，若设的长度为，则矩形花园的面积与的函数解析式为 ． 12．已知直角三角形的两条直角边的和等于12，则该直角三角形面积的最大值是 ． 13．将一条长为的铁丝剪成两段，并分别围成正方形，则这两个正方形面积之和的最小值为 ． 14．在综合实践活动中，同学们借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园，则矩形花园的最大面积为 ． 15．某养殖户用80米长的隔离网在某湖泊中间围成一个长方形养殖区域用来饲养某种大米虾．如图，该长方形养殖区域中间有两条隔离网，则围成的养殖区域最大面积是 平方米． 16．如图所示，用长的铝合金条制成下部为矩形，上部为半圆的窗框（包括窗棂）．若使此窗户的透光面积最大，则最大透光面积为 ． 17．某农场要建一个饲养场（矩形）两面靠现有墙（位置的墙最大可用长度米，位置的墙最大可用长度为米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长米，饲养场达到的最大面积为 平方米． 18．如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完． (1)若所围成矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？ (2)矩形框架ABCD面积最大值为______平方厘米． 19．某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）． (1)若矩形养殖场的总面积为36，求此时x的值； (2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 20．为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长）和长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题： (1)方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度的水池且需保证总种植面积为，试分别确定、的长； (2)方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问应设计为多长？此时最大面积为多少？ 21．如图，正方形纸片的边长为4，将它剪去4个全等的直角三角形，得到四边形．设的长为，四边形的面积为．    (1)求关于的函数表达式； (2)当取何值时，四边形的面积为10？ (3)四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 题型四 利用二次函数模型解决其他问题 1．某超市1月份的营业额为100万元，第一季度的营业额为万元，如果每月平均增长率为，那么与的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 2．据科学计算，搭载“神十八”的长征二号F遥运载火箭，在点火第一秒通过的路程为，第二秒时共通过了的路程，第三秒时共通过了的路程，在这一过程中通过的总路程（）与时间（s）成二次函数关系，在达到离地面的高度时，火箭依程序设定拐弯，则这一过程需要的时间是（    ） A． B． C． D． 3．飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行时间（单位：）的函数解析式是，则飞机从着陆滑行到停止，最后滑行的路程是（    ） A． B． C． D． 4．在修建贵南高铁某路段时，需对铁路旁边某一斜坡进行加固，现用混凝土喷射机将混合料喷射到坡面，如图是喷射机工作时的截面图，以喷出口为原点建立平面直角坐标系，若混合料的喷出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，混合料的落点是，则点到喷出口所在水平面的垂直距离是（   ） A．6 B． C．8 D．12 5．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．使用家用燃气灶烧开一壶水所需的燃气量y（单位：）与旋钮的旋转角度x（单位：度）之间近似满足函数关系，如图记录了家用燃气灶烧开一壶水的旋钮的旋转角度x与燃气量y的三组数据，根据函数模型和数据，可推断出 此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度可能是（    ） A． B． C． D． 7．已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h＝－t2＋24t＋1．则下列说法中正确的是(      ) A．点火后9 s和点火后13 s的升空高度相同 B．点火后24 s火箭落于地面 C．点火后10 s的升空高度为139 m D．火箭升空的最大高度为145 m 8．如图是王阿姨晚饭后步行的路程s(单位：m)与时间t(单位：min)的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分.下列说法不正确的是(   ) A．25min~50min，王阿姨步行的路程为800m B．线段CD的函数解析式为 C．5min~20min，王阿姨步行速度由慢到快 D．曲线段AB的函数解析式为 9．汽车刹车后行驶的距离s与行驶时间t的函数关系是，汽车从刹车到停下来所用时间是 ． 10．加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：）满足函数表达式，则最佳加工时间为 ． 11．太原地铁2号线开通两年多以来，极大地便利了人们的生活．小明早晨从小店区西桥站出发，乘坐一段地铁后，换骑共享单车去学校，经过多次乘坐发现，骑共享单车的时间与乘坐地铁路程之间满足二次函数，几个地铁站点与出发站之间的距离如下表： 地铁站点 … … … 8 9 10 13 … 若小明骑共享单车所需的时间最少，则他乘坐地铁应到达的站点为 站点． 12．东台鱼汤面是“中华名小吃”．如图，是一个面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底为原点建立平面直角坐标系，已知碗口宽cm，碗深cm，则当满碗汤面的竖直高度下降cm时，碗中汤面的水平宽度为 cm（碗的厚度不计）． 13．如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y（单位：）与距离停车棚支柱的水平距离x（单位：）近似满足函数关系的图象，点在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长，高的矩形，则可判定货车 完全停到车棚内（填“能”或“不能”）． 14．在泡菜腌制的过程中，亚硝酸盐的含量会随着时间的推移而发生变化．一般来说，腌制初期亚硝酸盐含量较低，到达一个峰值后又逐渐下降．这个变化曲线近似于抛物线．假设腌制时间（单位：天）与亚硝酸盐含量（单位：毫克/千克）之间的关系可以用函数来表示，其中是腌制时间，是对应的亚硝酸盐含量．根据实验数据，我们得到以下结论： ①腌制开始（第天）时，亚硝酸盐含量为毫克/千克； ②腌制第天时，亚硝酸盐含量达到毫克/千克； ③腌制第天时，亚硝酸盐含量达到毫克/千克． 因此，泡菜腌制过程中第 天亚硝酸盐含量最高． 15．野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分． (1)建立如图所示的平面直角坐标系． 对某只野兔一次跳跃中水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m）进行测量，得到以下数据： 水平距离x 0 1 2 竖直高度y 0 根据上述数据，回答下列问题： ①野兔本次跳跃的最大竖直高度为 m； ②求满足条件的抛物线的解析式． (2)在满足（1）的条件下，在野兔起跳点前方处有宽为的小溪，则野兔此次跳跃 （填“能”或“不能”）跃过小溪． 16．公路上正在行驶的甲车，发现前方30m处沿同一方向行驶的乙车后，为了行驶安全，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示． (1)当甲车减速至6m/s时，它行驶的路程是多少？ (2)若乙车以10m/s的速度匀速行驶，当时间t在什么范围时，两车间的距离不超过米？ 17．“跳大绳”是中国历史悠久的运动，一直受到青少年儿童的喜爱．通过跳绳运动可以促进学生心肺功能的提高，培养学生良好的意志品质，还可以培养学生团结协作的精神．某校在大课间活动中开展了“跳大绳”活动．如图，小明和小亮分别抓住大绳的两端转动大绳，他们转动大绳的手距离水平地面均为1m，大绳在距离他们5m处有最高点，距水平地面3.5m．建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中是大绳距小明的水平距离，是大绳距水平地面的高度．    (1)求抛物线的表达式； (2)小红在跳绳时，距离小明的水平距离2m（即与点O的水平距离），当绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶正上方1m处，求小红的身高； (3)身高为1.9m的体育老师刘老师也参加了活动，当刘老师跳进大绳，直立落地时，绳子甩到最高处，且正好扫过刘老师的头顶，求刘老师与小红间的水平距离． 18．窑洞（如图1）是黄土高原的产物，是陕北地方劳动人民的象征，具有十分浓厚的中国民俗风情和乡土气息，它除了坚固及特有的外在美之外，还具有冬暖夏凉的天然优点.小明家的窑洞（如图2）的门窗上面部分可以看成一个抛物线，下面部分是矩形，已知矩形的长，宽，门窗最高点D与地面垂直距离为，以点O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系. (1)求出该抛物线的函数表达式； (2)春节前夕，小明想对家里的窑洞门窗进行装饰，准备在门窗上面的抛物线上悬挂两个灯笼，使它们离地面的高度相等，且均为，请求出两个灯笼的水平距离.（结果保留根号） 19．综合与实践 问题情境：元旦晚会舞台布置中需要搭一条抛物线型灯链，最初的设计方案如图1所示，灯链两端连接A，B两点，点C位于点B正下方的地面处，以点A正下方的地面处的点O为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，抛物线解析式的二次项系数为，米，米，但实际实施方案后发现最低点过低． 方案修改：莉莉将方案进行修改，如图2，将图1中灯链的最低点固定在距地面2.7米的点N处，点N两侧的灯链形成了两个对称的新抛物线． (1)求图1中抛物线的解析式． (2)若图1中抛物线的最低点为M，求点M到的距离． (3)若图2中两个最低点的距离为4米，修改方案后最低点提高了多少米？ 20．2024年巴黎奥运会女子单人10米跳台决赛中，全红婵以425.60分的总分夺得金牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的动作（如图1），为了分析这个动作我们可以建立如图2所示的平面直角坐标系，将她从点起跳后的运动路线看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系． (1)下表为平时训练中完成一次动作，全红婵的水平距离与竖直高度的几组数据： 水平距离 3 4 4.5 竖直高度 10 11.25 10 6.25 根据表中数据，求与近似满足的二次函数解析式，并求出的值； (2)某一次10米跳台练习中，如果与之间近似满足二次函数，则全红婵完成跳水动作入水时的入水点到点的距离是多少？ 21．综合与实践 问题情境：如图，这是某公园的一种水上娱乐项目.数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究． 数据说明：下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池.以水池面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系.他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路线都近似地看作是抛物线的一部分，点B与水池面的距离为2米，水滑道最低点C与水池面的距离为米，点C到点B的水平距离为3米.根据测量得到的数据和调查得到的信息解决下列问题    (1)求水滑道所在抛物线的解析式不用写出x的取值范围 (2)腾空点B与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离不少于3米.若某人腾空后的路线形成的抛物线恰好与抛物线的某一段关于点B成中心对称． ①求此人腾空后的最大高度和抛物线的解析式； ②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由水面与地面之间的高度差忽略不计 22．16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． (1)若火箭第二级的引发点的高度为． ①直接写出a，b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． (2)直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过． 1．若一种服装销售盈利y（万元）与销售数量x（万元）满足函数关系式，则盈利（   ） A．最大值为5万元 B．最大值为7万元 C．最小值为5万元 D．最大值为6万元 2．某超市将进价为40元件的商品按50元/件出售时，每月可售出500件．经试销发现，该商品售价每上涨1元，其月销量就减少10件．超市为了每月获利8000元，则每件应涨价多少元？若设每件应涨价x元，则依据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．如图是蔬菜塑料大棚及其正面的示意图．示意图中曲线可近似看作一条抛物线，四边形为矩形且支架，，，均垂直于地面．已知米，米，以所在的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系（规定一个单位长度代表1米），若点M的坐标为，则抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 4．已知某抛物线形拱桥下的拱顶离水面时，水面宽，那么下列说法中正确的是（    ） A．若以拋物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴建立直角坐标系，则这条抛物线的解析式是 B．若以水面所在直线为轴，以水面的垂直平分线为轴建立直角坐标系，则过条批物线的解析式是 C．水面上升后，水面宽为 D．水面下降后，水面宽为 5．一个乒乓球从光滑斜面自由滚下的路程y（米）与时间x（秒）的平方成正比例，当乒乓球滚下3米时，经过的时间为1.5秒，当秒时，乒乓球所经过的路程为（   ） A．1.5米 B．米 C．米 D．米 6．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，水面下降，水面宽度增加（   ） A． B． C． D． 7．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量（单位：）与旋钮的旋转角度（单位：度）近似满足函数关系式，如图记录了某种家用节能燃气灶烧开同一壶水的旋钮的旋转角度与燃气量的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋较角度约为（   ） A． B． C． D． 8．已知某商品每件的进价为40元，售价为每件60元，每星期可卖出该商品300件．根据市场调查反映：商品的零售价每降价1元，则每星期可多卖出该商品20件．有下列结论： ①当降价为3元时，每星期可卖360件； ②每星期的利润为6120元时，可以将该商品的零售价定为42元或者43元； ③每星期的最大利润为6250元． 其中，正确结论的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 9．一个8人小组参加集体跳长绳比赛，其中2人负责摇绳．站立的位置相距，剩余6人跳绳，他们都站在同一直线上．如图所示，当绳子摇到最高处时，绳子的形状近似于一条抛物线，摇绳的手距离地面都是，绳子的最高点距离地面．根据平时训练的情况，当绳子摇到最高处时，这6名学生头顶离地高度（单位：m）的范围如表所示． 学生 A B C D E F 头顶离地高度的范围 1.51～1.72 1.36～1.64 1.68～1.84 1.56～1.75 1.36～1.64 1.56～1.75 将此次比赛中这6名学生站立的队列长度记为（单位：m），若比赛中绳子都不会碰到他们的头顶，根据表一的数据可求的范围是（   ） A． B． C． D． 10．九年级16班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（　） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．面积都一样 11．数学课上，老师提出如下问题：“如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园（墙足够长）．这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？”小慧设菜园的面积为，菜园的…为，列出．则自变量的实际意义是 ． 12．在某市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为，由此可知该生此次实心球训练的成绩为 米． 13．自动无人驾驶技术已经在某些城市开始应用，其极大地方便了市民的出行．某型号无人驾驶汽车在进行刹车性能测试时，其刹车距离与刹车时的速度满足关系式．若刹车距离为，则刹车时的速度为 ． 14．某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，如图所示，开了三扇宽为的门，已知计划中的材料可建围墙的总长为，那么这两间种牛饲养室所占面积最大是 ． 15．如图，仁和桥有一段抛物线形状的拱梁，抛物线的解析式为．小辉骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面，当小辉骑自行车行驶8秒时和12秒时拱梁的高度相同，则小辉骑自行车通过拱梁部分的桥面共需 秒． 16．廊桥是我国古老的文化遗产，如图，是某座抛物线型的廊桥示意图．已知水面宽米，抛物线最高点C到水面的距离为米，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离等于 米．  17．某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是 元． 18．现用长为的材料，做成一个如图所示的窗户框架，该窗户框架中分割出的三个矩形的面积相等，设窗户位于上方的矩形的宽为，窗户的总面积为，则与之间的函数关系式是 （不用写出自变量的取值范围）． 19．如图1所示，某乡村准备修建一条100m长的水渠．水渠的过水横截面是如图2所示的矩形．如水渠底面与侧面的修建造价为100元，，则修水渠的总价为 万元（用含t的代数式表示）；为了提高水渠的过水量，要使过水横截面的面积尽可能大，现有资金4万元，当过水横截面面积最大时，水渠的深度为 m． 20．如图，九（1）班劳动实践基地位于形围墙的内侧，已知，墙长7米，墙长3米．同学们准备用10米长的围栏，在基地内围出一块矩形菜地（可利用围墙）．请问他们能围出的最大面积是 米． 21．如图为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是拋物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度（单位：）与距离停车棚支柱的水平距离（单位：）近似满足函数关系的图象，点在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长，高的矩形， （1）________； （2）可判定货车________完全停到车棚内（填“能”或“不能”）． 22．“利民快餐店”试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为元，该店每天固定支出费用为元（不含套餐成本）．若每份售价不超过元，每天可销售份；若每份售价超过元，每提高元，每天的销售量就减少份．为了便于结算，每份套餐的售价（元）取整数，用（元）表示该店日纯收入．该店既要吸引顾客，使每天的销售量较大，又要有较高的日纯收入．按此要求，每份套餐的售价应定为多少元？此时日纯收入为多少？ 23．在电影《哪吒之魔童闹海》中，同学们觉得海妖从空间裂缝G点处跳出袭击陈塘关的画面非常生动有趣，同学们把海妖起跳后飞行的路线看作抛物线的一部分，取海平面上水平线为x轴，铅垂线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系，从海妖起跳到着落的过程中，海妖离海平面的铅垂高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足（，a、h、n都为常数），若，海妖起跳后的最高点距海平面，与点G的水平距离是．陈塘关正面城墙与起跳点G的水平距离，城墙宽，城墙高． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)通过计算说明海妖能否成功跳到城墙上？ (3)为阻止海妖攻入城墙，一名士兵在中点E处朝海妖放箭，箭的路线可看作直线（k、b为常数），问士兵要想射中空中飞行的海妖，k的值至少为______（直接写出结果）． 24．某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个设计方案，现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示： 方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，． 方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，． 要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计），方案一中，矩形框架的面积记为，点、在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点在抛物线上，边在上，现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： (1)求方案一中抛物线的函数表达式； (2)在方案一中，当时，求矩形框架的面积并比较的大小． 25．某建筑物的窗户如图所示，上半部分是等腰三角形，，，点、、分别是边、、的中点；下半部分四边形是矩形，，制造窗户框的材料总长为16米（图中所有黑线的长度和），设米，米．    (1)求与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围； (2)当为多少时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），并计算窗户的最大面积． 26．【生活情境】 为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的长方形水池进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图②，以下简称水池2）． 【建立模型】 如果设水池的边加长长度为，加长后水池1的总面积为，则关于的函数解析式为：；设水池2的边的长为，面积为，则关于的函数解析式为：，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图像如图③． 【问题解决】 (1)若水池2的面积随长度的增加而减小，则长度的取值范围是_________（可省略单位），水池2面积的最大值是_________； (2)在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是_________，此时的值是_________； (3)当水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是_________； (4)在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时的值； (5)假设水池的边的长度为，其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积关于的函数解析式为：．若水池3与水池2的面积相等时，有唯一值，求的值． 27．乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度为 的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分． 乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：）．测得如下数据： 水平距离x/ 竖直高度y/ (1)在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象； (2)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是__________，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是__________； ②求满足条件的抛物线解析式； (3)技术分析：如果只上下调整击球高度，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长为274，球网高为15.25．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度的值约为1.27．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计）． 28．用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）． 科学原理：如图2，始终盛满水的圆体水桶水面离地面的高度为H（单位：cm），如果在离水面竖直距离为h（单校：cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s（单位：cm）与h的关系为s2=4h（H—h）． 应用思考：现用高度为20cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离h cm处开一个小孔． （1）写出s2与h的关系式；并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少? （2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式； （3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm，求整高的高度及小孔离水面的竖直距离． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$