第三十章 二次函数（单元测试）-【上好课】2024-2025学年九年级数学下册同步精品课堂（冀教版）

第三十章 二次函数（单元测试） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．抛物线（    ） A．开口向上，且有最高点 B．开口向上，且有最低点 C．开口向下，且有最高点 D．开口向下，且有最低点 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质解答． 【详解】解：， 抛物线开口向上，且有最低点． 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值问题，熟记二次函数的性质是解题的关键． 2．若是二次函数，则a的值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【分析】由二次函数的定义可得：，从而可得答案． 【详解】解：∵是二次函数， ∴ 由①得： 由②得： ． 故选B． 3．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x＝﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（2.5，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2，其中说法正确的是（　　） A．①②③ B．②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据图象分别求出a、b、c的符号，即可判断①，根据对称轴求出b＝2a，代入2a﹣b即可判断②，把x＝2代入二次函数的解析式，再根据图象即可判断③，求出点（﹣5，y1）关于直线x＝﹣1的对称点的坐标，根据对称轴即可判断y1和y2的大小. 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴a＞0， ∵二次函数的图象交y轴的负半轴于一点， ∴c＜0， ∵对称轴是中线x＝﹣1， ∴﹣＝﹣1，∴b＝2a＞0， ∴abc＜0，∴①正确； ∵b＝2a， ∴2a﹣b＝0，∴②正确； 把x＝2代入y＝ax2+bx+c得：y＝4a+2b+c， 从图象可知，当x＝2时y＞0， 即4a+2b+c＞0，∴③错误； ∵（﹣5，y1）关于直线x＝﹣1的对称点的坐标是（3，y1）， 又∵当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，2.5＜3， ∴y1＞y2，∴④正确； 即正确的有3个①②④. 故选：C. 【点睛】本题考查了二次函数的图象和系数的关系的应用，关键是注意：当a＞0时，二次函数的图象开口向上，当a＜0时，二次函数的图象开口向下. 4．若二次函数的图象经过点，则该图象必过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得二次函数的对称轴为轴，再根据二次函数的对称性即可解答． 【详解】解：， 二次函数的对称轴为轴， 关于轴对称的点为， 该图象必过点， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的对称性，熟练求得二次函数的对称轴是解题的关键． 5．已知二次函数，当时，函数有最小值，当时，函数有最小值，则的值为（   ） A．1 B．1或 C．2或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握对称轴，顶点坐标中最值的计算方法是解题的关键． 根据题意可得，二次函数图象开口向上，对称轴直线为，由当时，函数有最小值，当时，函数有最小值，，可得对称轴在轴左边，即，由此得到二次函数图象的大致图形，当时，，当时，函数的最小值为，由此求出的值，即可求解． 【详解】解：已知二次函数中，， ∴二次函数图象开口向上，对称轴直线为， ∵当时，函数有最小值，当时，函数有最小值，， ∴对称轴在轴左边，即， ∴， 如图所示， ∴当时，， ∴当时，函数的最小值为， 解得，， 又∵， ∴， ∴， 故选：D ． 6．将抛物线绕原点旋转.则旋转后的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定抛物线的顶点坐标为，再利用关于原点对称的点的坐标特征得到对应点的坐标为，然后利用旋转后抛物线的开口方向相反，开口大小不变写出旋转后抛物线． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为 绕原点旋转后即是关于原点对称，所得对应的顶点坐标为， 此时旋转后抛物线的开口方向相反，开口大小不变 旋转后抛物线的解析式为 故选择D． 7．已知二次函数图象的顶点在第一象限，且图象经过点，若为整数，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】首先根据题意确定a、b的符号，然后进一步确定a的取值范围，根据a＋b为整数确定a、b的值，从而确定答案． 【详解】依题意知中，，，， ，且， ，， ， 又为整数， ， 故，， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是能够根据图象经过的点确定a−b＋1的值和a、b的符号，难度中等． 8．已知函数y＝﹣（a+1）x+a（a是常数，且a≠1），下列说法中：①若该函数图象的对称轴是直线x＝﹣2，则a＝﹣5；②方程﹣（a+1）x+a＝0至少有一个整数根；③关于x的方程﹣（a+1）x+a﹣m＝0（m＞0）有两个不相等的实数根；④若y＝﹣（a+1）x+a的函数值为负数，则a＜x＜1．正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据对称轴为x＝﹣2即可求出a的值；令y＝0，解方程即可判断②；根据②和抛物线的性质可以判断③④． 【详解】解：若该函数图象的对称轴是直线， 解得a＝﹣5， 故①正确； 令﹣（a+1）x+a＝0，即（x﹣a）（x﹣1）＝0， 解得，， 所以方程方程﹣（a+1）x+a＝0至少有一个整数根x＝1， 故②正确； 由②得抛物线y＝﹣（a+1）x+a（ a是常数，且a≠1）与x轴有两个不同的交点， 又抛物线开口向上， 所以抛物线y＝﹣（a+1）x+a与直线y＝m（m≥0）有两个交点， 即关于x的方程﹣（a+1）x+a﹣m＝0（m＞0）有两个不相等的实数根， 故③正确； 由②知，抛物线与x轴交点为（a，0）和（1，0），抛物线开口向上， ∴当a＞1时，y＝﹣（a+1）x+a的函数值为负数对应的x取值范围是1＜x＜a； 当a＜1时，y＝﹣（a+1）x+a的函数值为负数对应的x取值范围是a＜x＜1， 故④错误． 故选C． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，方程的解与交点坐标的关系，关键是对二次函数性质的掌握． 9．二次函数的图象，如图所示，其对称轴为直线，若点，是它的图象上的两点，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】由于二次函数的图象的开口向上，对称轴为直线x＝1，然后根据点和点离对称轴的远近可判断与的大小关系． 【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴为直线x＝1， 而1−（−1）＝2，2−1＝1， ∴点离对称轴的距离比点要远， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足解析式（a、b、c为常数，a≠0）． 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与，过点A（1，-3）作直线l∥y轴，交抛物线于点B，交抛物线于点C，则以下结论： （1）抛物线与 y轴的交点坐标为（0，1） （2）若点D（-4，m）及点E（7，n）均在抛物线上，则m>n； （3）若点B在点A的上方，则c>0；     （4）若BC=2，则c=3； 其中结论正确的是（     ） A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（1）（4） 【答案】B 【详解】分析：(1)把x＝0代入抛物线得到抛物线与y轴的交点；(2)根据点D，E离抛物线的对称的距离的远近判断；(3)根据点B的纵坐标大于点A的纵坐标，列不等式判断；(4)根据BC＝2，列方程求解. 详解：(1)当x＝0时，y＝5，所以抛物线与y轴的交点坐标为(0，5)，则(1)错误； (2)抛物线的对称轴是x＝2，开口向上，离对称轴越远的点的函数值越大，因为7－2＝5，2－(－4)＝6，所以点D离对称轴x＝2更远，即m＞n，则(2)正确； (3)把x＝1代入得， ＝1－4＋c＝c－3，即B(1，c－3)，根据题意得，c－3＞－3，即c＞0. 则(3)正确； (4)把x＝1代入得，＝2，则C(1，2)， 所以BC＝|c－3－2|＝|c－5|. 根据题意得|c－5|＝2，解得c＝7或c＝3. 则(4)错误. 故选B. 点睛：二次函数与y轴的交点是当x＝0时的y值；当开口向上时，离对称轴越远的点的函数值越大，当开口向下时，离对称轴越远的点的函数值越小；根据点的坐标列方程时，要把表示距离的式子加绝对值. 二、填空题 11．已知二次函数，当时，随的增大而 （填“增大”或“减小”）. 【答案】增大 【分析】本题考查了二次函数的性质，求出二次函数的对称轴为轴，开口向上是解答本题的关键． 根据二次函数的二次项系数及对称轴，判断函数的增减性，由此得到答案． 【详解】解：二次函数，开口向上，对称轴为轴， 当时，随的增大而增大， 故答案为：增大． 12．如图，若直线（为常数）与函数的图象恒有两个不同的交点，则常数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数的图象即可确定m的取值范围． 【详解】解：分段函数的图象如图： 故要使直线（m为常数）与函数的图象恒有两个不同的交点， 常数m的取值范围为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数和反比例函数的图象．通过数形结合的方法找到满足条件的m的范围即可． 13．平移抛物线，使得平移后的抛物线经过原点，且顶点在第四象限，那么平移后的抛物线的表达式可以是 ．（只需写出一个符合条件的表达式） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移．根据题意可设平移后的抛物线的解析式为，可得该抛物线的顶点坐标为，再由顶点在第四象限，可得，即可． 【详解】解：根据题意可设平移后的抛物线的解析式为， ∵， ∴该抛物线的顶点坐标为， ∵顶点在第四象限， ∴， 即， ∴平移后的抛物线的解析式为． 故答案为：（答案不唯一）． 14．已知二次函数的图象上部分点的坐标的对应值如表所示： x … 0 4 … y … 0.37 0.37 … 则方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，根据抛物线经过点得到，再根据抛物线经过点，求出对称轴，进而求出函数值为所对应的自变量的值，根据二次函数与一元二次方程的关系即可得出答案． 【详解】解：由抛物线经过点得到， 因为抛物线经过点，， 所以抛物线的对称轴为直线， 而抛物线经过点， 所以抛物线经过点， 因为二次函数解析式为， 方程变形为， 所以方程的根理解为函数值为所对应的自变量的值， 所以方程的根为，． 故答案为：，． 15．如图，水池中心点处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距点；喷头高时，水柱落点距点．那么喷头高时，水柱落点距点为 ． 【答案】4 【分析】由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高时，可设，将代入解析式得出；喷头高时，可设；将代入解析式得，联立可求出和的值，设喷头高为时，水柱落点距点，则此时的解析式为，将代入可求出． 【详解】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化， 当喷头高时，可设， 将代入解析式得出， 整理得①； 喷头高时，可设； 将代入解析式得②， 联立可求出， 设喷头高为时，水柱落点距点， 此时的解析式为， 将代入可得， 解得或舍去． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二次函数的平移性质是解题关键． 16．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2．下列结论：①﹣a＜b＜﹣2a；②b2+8a＞4ac；③a＜﹣1；④方程ax2+（b+c﹣2）x＝0的解为x1＝0，x2＝1．其中正确的是 ． 【答案】①②③④ 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，根据对称轴在y轴的右侧，a，b异号，b＞0，根据对称轴小于1，判断①；根据顶点的纵坐标大于2判断②，根据图象经过（1，2）判断③，把方程的解代入方程即可判断④． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴a＜0， ∵与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2． ∴﹣＜1， ∴﹣a＜b＜﹣2a，故正确； 由于抛物线的顶点纵坐标大于2，即：＞2， 由于a＜0，所以4ac﹣b2＜8a，即b2+8a＞4ac，故②正确， 由题意知，a+b+c＝2，（1） a﹣b+c＜0，（2） 4a+2b+c＜0，（3） 把（1）代入（3）得到：4a+b+2﹣a＜0， 则a＜． 由（1）代入（2）得到：b＞1． 则a＜﹣1．故③正确． ∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）， ∴x＝1时，y＝a+b+c＝2， 把x1＝0代入方程使等式成立， 把x2＝1代入方程得a+b+c﹣2＝0，即a+b+c＝2． ∴方程ax2+（b+c﹣2）x＝0的解为x1＝0，x2＝1，故④正确； 综上所述，正确的结论是①②③④． 故答案为①②③④． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，准确判断是解题的关键． 三、解答题 17．已知二次函数 (1)求开口方向、对称轴及顶点坐标; (2)当x为何值时，y随x增大而减小，当x为何值时，y随x增大而增大． 【答案】(1)开口向下，对称轴为：直线，顶点坐标为：； (2)时，y随x增大而减小，时，y随x增大而增大． 【分析】（1）根据二次函数的性质进行解答即可； （2）根据对称轴的开口方向朝下，在对称轴的左侧，y随x增大而增大，在对称轴的右侧，y随x增大而增大减小进行解答即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴抛物线的开口向下， 对称轴为：直线，顶点坐标为：； （2）解：∵抛物线的开口向下， ∴时，y随x增大而减小，时，y随x增大而增大． 【点睛】本题考查二次函数的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 18．已知二次函数，当x＝－1时，函数的最小值为－3，它的图象经过点（1，5），求这个二次函数的表达式． 【答案】 【分析】根据题意，先得出二次函数的顶点坐标为，然后设该二次函数的解析式为，将点代入求解即可得． 【详解】解：依题意，可得二次函数的顶点坐标为， 设该二次函数的解析式为， ∵它的图象经过点， ∴代入函数解析式可得：， 解得：． 故该二次函数的解析式为：． 【点睛】题目主要考查根据待定系数法确定二次函数的解析式，熟练掌握顶点式的特点性质是解题关键． 19．已知二次函数y=﹣2x2﹣4x+6． (1)求出函数的顶点坐标、对称轴以及描述该函数的增减性． (2)求抛物线与x轴交点和y轴交点坐标；并画出它的大致图象． (3)当﹣2＜x＜4时．求函数y的取值范围． 【答案】(1)顶点坐标（﹣1，8），对称轴x=﹣1，当x≤﹣1时，y随着x的增大而增大，当x≥﹣1时，y随着x的增大而减小 (2)函数图象与x轴交点坐标（1，0），（﹣3，0），与y轴交点坐标（0，6），图象见解析 (3)﹣42＜y≤8 【分析】（1）顶点坐标为（﹣）对称轴是x=﹣，据对称轴的左侧还是右侧来进行判断函数值随自变量的变化； （2）与x轴的坐标y=0，与y轴的交点坐标x=0； （3）根据图象即可得到结论． 【详解】（1）解：∵a=﹣2，b=﹣4，c=6， ∴﹣=﹣=﹣1，==8， ∴顶点坐标（﹣1，8），对称轴x=﹣1．当x≤﹣1时，y随着x的增大而增大，当x≥﹣1时，y随着x的增大而减小； （2）解：当y=0时，﹣2x2﹣4x+6=0， ∴x1=﹣3，x2=1， 当x=0时，y=6， ∴函数图象与x轴交点坐标（1，0），（﹣3，0），与y轴交点坐标（0，6）； （3）解：∵抛物线开口向上， ∴当x=-1时，y有最大值，最大值为8， 当x=4时，y=42， 当x=-2时，y=6， ∴当﹣2＜x＜4时，函数y的取值范围﹣42＜y≤8． 【点睛】本题考查了抛物线的对称轴、顶点坐标与抛物线解析式的关系，抛物线的顶点式：y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标为（h，k），对称轴x=h．同时考查了用抛物线与x轴的交点坐标． 20．已知二次函数的图象经过点、． (1)求该二次函数的表达式； (2)求该二次函数的顶点坐标． 【答案】(1)二次函数的表达式为 (2)该二次函数的顶点坐标为 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的性质，正确求出函数解析式是解题关键． （1）将点、代入函数解析式，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式． （2）将二次函数解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标． 【详解】（1）解：将点、代入二次函数， 得：， 解得：， 二次函数的表达式为； （2）解：， 该二次函数的顶点坐标为． 21．如图，已知抛物线与轴交于 和两点，与轴交于点． (1)求此抛物线的解析式； (2)设是线段上的动点，作交于，连接，当的面积是面积的倍时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式、平行线分线段成比例定理以及等高三角形面积的比等于其对应底的比等知识． （1）将、的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值； （2）根据抛物线的解析式可得出点的坐标，由和等高，则面积比等于对应底边比，由此可得出；然后由平行线分线段成比例定理，即可求得、的比例关系，由此可求出点坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于和两点， ， 解得：， 故此抛物线的解析式为：； （2）由知：； ， ，； ， ， ， ， ， 点的坐标为：． 27．甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在点上正方的处发出一球，羽毛球飞行的高度与水平距离之间满足函数表达式．已知点与球网的水平距离为，球网的高度为． （1）当时，①求的值．②通过计算判断此球能否过网． （2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到点的水平距离为，离地面的高度为的处时，乙扣球成功，求的值． 【详解】试题分析：（1）①利用a=，（0，1）代入解析式即可求出h的值；②利用x=5代入解析式求出y，再与1.55比较大小即可判断是否过网；（2）将点（0，1），（7，）代入解析式得到一个二元一次方程组求解即可得出a的值. 试题解析：（1）解：①∵a=，P（0，1）; ∴1=+h; ∴h=; ②把x=5代入y=得： y==1.625; ∵1.625＞1.55; ∴此球能过网. （2）解：把（0，1），（7，)代入y=得：; 解得：; ∴a=. 23．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从、两点同时出发，运动时间为． (1)当的面积为时，的值时多少？ (2)的面积随出发时间是怎样变化的？并当取何值时，面积最大，最大是多少？ 【答案】(1)或 (2)当时，的面积S随t的增大而增大，当时，的面积S随t的增大而减小，当为时的面积最大，最大面积是 【分析】本题考查了三角形的面积，一元二次方程的应用，二次函数的最值等知识； （1）根据题意和三角形的面积列出方程，求出方程的解即可； （2）先列出函数解析式，再化成顶点式，最后求出最值即可． 【详解】（1）解：根据题意得：，， ∴， 的面积 ， 解得：或， 即当秒或秒时，的面积是； （2）由题意得：， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，的面积S随t的增大而增大， 当时，的面积S随t的增大而减小， ∴当为时的面积最大，最大面积是． 24．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点 （1）直接写出点A、B、C的坐标； （2）点为线段AB上一点（点M不与点AB重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作交抛物线于点Q，过点Q作轴于点N，可得矩形PQNM．如图，点P在点Q左边，当矩形PQNM的周长最大时，m的值是多少？并求出此时的的面积； （3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若，求点F的坐标． 【答案】（1），，；（2），；（3）或 【分析】（1）直接令，求出，令，即， 解得或，即可得到答案； （2）由，则，再由且P、Q都在抛物线上，P、Q关于直线对称，则，从而得到矩形PMNQ的周长，利用二次函数的性质求出矩形的周长最大时，，即可得到AM的长，然后求出直线AC的解析式进而得到E点坐标，由此求解即可； （3）由，抛物线的对称轴为，则N应与原点重合，点Q与点C重合，可以得到则，设，则，由点G在点F的上方且，则，解方程即可． 【详解】解：（1）令，， ∴， 令，即， 解得或， ∴，； （2）由抛物线可知，对称轴为直线． ∵， ∴ ∴， ∵且P、Q都在抛物线上， ∴P、Q关于直线对称， ∴， ∴矩形PMNQ的周长 ∵，且a=-2＜0， ∴矩形的周长最大时，． ∵，， 设直线AC的解析式， ∴ ∴， ∴直线AC的解析式， 令，则， ∴， ∴，， ∴； （3）∵，抛物线的对称轴为直线， ∴N应与原点重合，点Q与点C重合， ∴， 把代入，解得， ∴， ∴， ∵， ∴． 设，则， ∵点G在点F的上方且， ∴． 解得或， ∴或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，两点距离公式，一次函数与几何综合，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关性质． 25．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B 向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP=AQ．点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点， HQ⊥AB于Q，交AC于点H．当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动．设BP的长为x，△HDE的面积为y． （1）求证：△DHQ∽△ABC； （2）求y关于x的函数解析式并求y的最大值； 【详解】（1）∵A、D关于点Q成中心对称，HQ⊥AB， ，HD=HA， ， ∴△DHQ∽△ABC． （2）①如图1，当时， ED=，QH=， 此时 当时，最大值． ②如图2，当时， ED=，QH=， 此时 当时，最大值． ∴y与x之间的函数解析式为 y的最大值是 （3）①如图1，当时， 若DE=DH，∵DH=AH=， DE=， ∴，． 显然ED=EH，HD=HE不可能； ②如图2，当时， 若DE=DH，，； 若HD=HE，此时点D，E分别与点B，A重合，； 若ED=EH，则△EDH∽△HDA， ∴，，． ∴当x的值为时，△HDE是等腰三角形. 试卷第22页，共23页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三十章 二次函数（单元测试） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．抛物线（    ） A．开口向上，且有最高点 B．开口向上，且有最低点 C．开口向下，且有最高点 D．开口向下，且有最低点 2．若是二次函数，则a的值为（    ） A． B．4 C． D． 3．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x＝﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（2.5，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2，其中说法正确的是（　　） A．①②③ B．②③ C．①②④ D．①②③④ 4．若二次函数的图象经过点，则该图象必过点（    ） A． B． C． D． 5．已知二次函数，当时，函数有最小值，当时，函数有最小值，则的值为（   ） A．1 B．1或 C．2或 D． 6．将抛物线绕原点旋转.则旋转后的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 7．已知二次函数图象的顶点在第一象限，且图象经过点，若为整数，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 8．已知函数y＝﹣（a+1）x+a（a是常数，且a≠1），下列说法中：①若该函数图象的对称轴是直线x＝﹣2，则a＝﹣5；②方程﹣（a+1）x+a＝0至少有一个整数根；③关于x的方程﹣（a+1）x+a﹣m＝0（m＞0）有两个不相等的实数根；④若y＝﹣（a+1）x+a的函数值为负数，则a＜x＜1．正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．二次函数的图象，如图所示，其对称轴为直线，若点，是它的图象上的两点，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与，过点A（1，-3）作直线l∥y轴，交抛物线于点B，交抛物线于点C，则以下结论： （1）抛物线与 y轴的交点坐标为（0，1） （2）若点D（-4，m）及点E（7，n）均在抛物线上，则m>n； （3）若点B在点A的上方，则c>0；     （4）若BC=2，则c=3； 其中结论正确的是（     ） A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（1）（4） 二、填空题 11．已知二次函数，当时，随的增大而 （填“增大”或“减小”）. 12．如图，若直线（为常数）与函数的图象恒有两个不同的交点，则常数的取值范围是 ． 13．平移抛物线，使得平移后的抛物线经过原点，且顶点在第四象限，那么平移后的抛物线的表达式可以是 ．（只需写出一个符合条件的表达式） 14．已知二次函数的图象上部分点的坐标的对应值如表所示： x … 0 4 … y … 0.37 0.37 … 则方程的解为 ． 15．如图，水池中心点处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距点；喷头高时，水柱落点距点．那么喷头高时，水柱落点距点为 ． 16．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2．下列结论：①﹣a＜b＜﹣2a；②b2+8a＞4ac；③a＜﹣1；④方程ax2+（b+c﹣2）x＝0的解为x1＝0，x2＝1．其中正确的是 ． 三、解答题 17．已知二次函数 (1)求开口方向、对称轴及顶点坐标; (2)当x为何值时，y随x增大而减小，当x为何值时，y随x增大而增大． 18．已知二次函数，当x＝－1时，函数的最小值为－3，它的图象经过点（1，5），求这个二次函数的表达式． 19．已知二次函数y=﹣2x2﹣4x+6． (1)求出函数的顶点坐标、对称轴以及描述该函数的增减性． (2)求抛物线与x轴交点和y轴交点坐标；并画出它的大致图象． (3)当﹣2＜x＜4时．求函数y的取值范围． 20．已知二次函数的图象经过点、． (1)求该二次函数的表达式； (2)求该二次函数的顶点坐标． 21．如图，已知抛物线与轴交于 和两点，与轴交于点． (1)求此抛物线的解析式； (2)设是线段上的动点，作交于，连接，当的面积是面积的倍时，求点的坐标． 22．甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在点上正方的处发出一球，羽毛球飞行的高度与水平距离之间满足函数表达式．已知点与球网的水平距离为，球网的高度为． （1）当时，①求的值．②通过计算判断此球能否过网． （2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到点的水平距离为，离地面的高度为的处时，乙扣球成功，求的值． 23．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从、两点同时出发，运动时间为． (1)当的面积为时，的值时多少？ (2)的面积随出发时间是怎样变化的？并当取何值时，面积最大，最大是多少？ 24．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点 （1）直接写出点A、B、C的坐标； （2）点为线段AB上一点（点M不与点AB重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作交抛物线于点Q，过点Q作轴于点N，可得矩形PQNM．如图，点P在点Q左边，当矩形PQNM的周长最大时，m的值是多少？并求出此时的的面积； （3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若，求点F的坐标． 25．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B 向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP=AQ．点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点， HQ⊥AB于Q，交AC于点H．当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动．设BP的长为x，△HDE的面积为y． （1）求证：△DHQ∽△ABC； （2）求y关于x的函数解析式并求y的最大值； （3）当x为何值时，△HDE为等腰三角形？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$