2025年陕西省中考数学总复习练习卷

陕西省中考总复习练习卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 时间：120分钟 满分：120分 一、单选题（共24分） 1．（本题3分）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（本题3分）已知，，，那么a、b、c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3．（本题3分）如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的左视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最少是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．（本题3分）将一副三角板按如图所示方式摆放在一张对边平行的长方形纸片上，其中含角的直角三角板的斜边与纸片一边贴合，含角的直角三角板的一个顶点与含角的直角三角板的直角顶点重合，且两个直角三角板的一条直角边贴合，而含角的直角三角板的另一个顶点恰好落在纸片的另一边上，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 5．（本题3分）不等式组的解集表示在数轴上，下面表示正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（本题3分）如图，教室内的地面上有个倾倒的畚箕，手柄，，小天将畚箕绕点A按顺时针方向旋转后平放在地面，则的长可表示为（   ） A． B． C． D． 7．（本题3分）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①②③④⑤⑥若点，，在该函数图像上，则；其中正确的结论的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．（本题3分）如图，在边长为2的正方形中，E在对角线上，且，连接并延长，交边于H点，过D作于F，连接．G为上一点，且，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 二、填空题（共15分） 9．（本题3分）已知，则 ． 10．（本题3分）对于实数定义新运算：，例如，若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 ． 11．（本题3分）如图，是内接正五边形的一条边，是优弧上的两点，且点在点的右侧．若，则的度数为 ． 12．（本题3分）已知双曲线和的图象如图所示，直线与双曲线交于点，将直线向上平移与双曲线交于点，与轴交于点，与双曲线交于点，，，则 ． 13．（本题3分）如图，矩形中，，，点是对角线上的动点，将沿折叠，得到，若与矩形的一条边平行，则的长为 ． 三、解答题（共81分） 14．（本题5分）计算：． 15．（本题5分）先化简：，然后从，0，2中选取一个合适的数作为的值代入求值． 16．（本题5分）解方程：． 17．（本题5分）如图，在中，，请用尺规作图的方法，在的内部求作一点P，使得是等腰三角形，且． 18．（本题5分）如图，在四边形中，，点是边上一点，． (1)求证：； (2)若，求的长度． 19．（本题5分）陕西红色革命遗址中具有代表性的五处分别是：A．西安市红色旅游系列景区，B．咸阳市旬邑县马栏革命旧址，C．铜川市陕甘边照金革命根据地旧址，D．汉中市川陕革命纪念馆，E．延安革命纪念地系列景区．小英和小阳想利用周末时间，各自从这五处革命遗址中选择一处进行参观，并相互分享观后感，一时间不知道如何选择，于是他们制作了如图所示的五张卡片(卡片除正面内容不同外，其余均相同)，将卡片背面朝上洗匀后，小英先从中随机抽取一张，不放回，小阳再从剩下的四张卡片中随机抽取一张，他们分别以自己抽到的卡片为准进行参观． (1)小英抽到的卡片是C．铜川市陕甘边照金革命根据地旧址的概率为____________； (2)请用列表法或画树状图的方法，求小英和小阳最终都没有参观B．咸阳市旬邑县马栏革命旧址的概率． 20．（本题5分）为落实国家关于中学生信息素养提升的若干要求，提升学生的信息素养，某学校举行了中学生信息素养提升实践活动.据统计，七年级和八年级共创作作品159个，且七年级创作的作品数量是八年级创作的作品数量的还少6个，求七、八年级创作的作品分别有多少个． 21．（本题6分）紫云楼始建于唐开元十四年，是大唐芙蓉园内的标志性建筑，在其楼前有一高为的博山炉（如图①．假期小明和小华来大唐芙蓉园游玩，想利用所学的知识测量紫云楼与傅山炉的高度差，测量示意图如图②所示．小明在点处观察到博山炉的炉顶恰好挡住了紫云楼（即，，三点共线），此时小华测得，接着小明从点向前走到达点处，利用测倾器测得紫云楼楼顶的仰角为，已知小明的眼睛到地面的距离，测倾器，点，，，在同一条直线上，且，，，，请根据以上数据求紫云楼与博山炉的高度差．（结果保留整数参考数据：，， 22．（本题7分）小宇和小浩是邻居，周末两人骑共享单车从家到茂陵博物馆参观．若小宇先出发，骑行时，小浩才出发，开始时，他们两人骑行的速度相同，后来小宇改变骑行速度，小浩骑行速度始终保持不变．后，小宇到达茂陵博物馆．在整个骑行过程中，他们各自骑行的路程与小浩的骑行时间之间的关系如图所示． (1)求小宇改变骑行速度后，小宇的骑行路程y与x的函数表达式； (2)在小浩骑行过程中，当x为何值时，他们两人相距？ 23．（本题7分）某中学德育处利用班会课对全校学生进行了一次安全知识测试活动，现从八、九两个年级各随机抽取10名学生的测试成绩（得分用x表示，单位：分），现将20名学生的成绩分为四组（A：，B：，C：，D：）进行整理，部分信息如下： 九年级的测试成绩：78，84，85，92，93，94，94，100，100，100． 八年级的测试成绩在C组中的数据为：83，84，86，88． 根据以上信息，解答下列问题： (1)所抽取的八年级学生测试成绩的中位数是_______分，所抽取的九年级学生测试成绩的众数是______分； (2)补全频数分布直方图，并求出所抽取的九年级学生测试成绩的平均数； (3)若该中学八年级与九年级共有1000名学生，请估计此次测试成绩达到90分及以上的学生有多少人？ 24．（本题8分）如图，在中，以边上一点O为圆心，为半径作，与相切于点A．作交的延长线于点D，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求⊙O的半径． 25．（本题8分）根据以下素材，探索完成任务． 素材1：图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20米，拱顶离水面5米．据调查，该河段水位在此基础上再涨1.8米达到最高． 素材2：为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40厘米长的灯笼．如图3，为了安全，灯笼底部距离水面不小于1米（此时水面是指最高水位的水面）；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6米；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布． 问题解决： (1)任务1，拟定通行方案：当该河段水位再涨1.8米达到最高时，有一艘货船它露出水面高2.2米，船体宽8米，需要从拱桥下通过，请你在图2中建立合适的直角坐标系，并通过计算判断该货船是否能顺利通行． (2)任务2，拟定设计方案：根据素材信息，符合所有悬挂条件的灯笼数量最多可以是 个． 26．（本题10分）某 数学兴趣小组接到一项任务，需要让他们在一个矩形板材上裁剪出一个符合要求的四边形部件，任务具体如下： 【任务一】在如图的矩形板材中，，取边上一点E，，请你帮该数学兴趣小组在边上找一点F，连接，使得线段平分矩形的面积，则线段的长为 ． 【任务二】在完成任务一后，取线段的中点O，点 M和点N是线段上两点，且（M 在O点上方，N在O点下方），要求兴趣小组在线段上找一点P，连接和，使得角度最大，请帮该数学兴趣小组计算，当角度最大时，的值． 【任务三】在任务二的结论下，线段的左侧是否存在点Q，连接和，使得， 且满足四边形的面积最大，若存在，求出四边形的面积最大值；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《陕西省中考总复习练习卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B B B C B D A 1．B 【难度】0.85 【分析】本题考查整式的运算，涉及同底数幂的除法，积的乘方，完全平方公式，整式的加减，熟练掌握这些运算法则和公式是解题的关键．利用整式的运算法则和公式逐项进行计算即可． 【详解】解：A中，，选项错误，故不符合题意； B中，，选项正确，故符合题意； C中，，选项错误，故不符合题意； D中，，选项错误，故不符合题意； 故选：B． 2．B 【难度】0.85 【分析】本题考查零指数幂、负整数指数幂、有理数的乘方，根据零指数幂、负整数指数幂、有理数的乘方的运算法则求出a、b、c，进而比较大小即可求解． 【详解】解：，，， ∴， 故选：B． 3．B 【难度】0.85 【分析】本题考查了三视图的相关计算（已知三视图求最多或最少的小立方块的个数），熟练掌握由三视图确定小正方体的个数的方法是解题的关键：已知一个几何体的两种视图（含俯视图），其形状不能确定时，可先由俯视图把握几何体的堆叠方式，再结合另一个视图确定可能的小正方体的个数（遵循原则：俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章）．由俯视图可推知底层小正方体的最小个数，由左视图可推知第二层小正方体的最小个数，综合以上，即可得出答案． 【详解】解：综合左视图和俯视图可知，底层最少有个小正方体，第二层最少有个小正方体， 因此，搭成这个几何体的小正方体的个数最少是个， 故选：． 4．B 【难度】0.65 【分析】本题考查三角板中角度的计算，平行线的性质，过点作，进而得到，根据平行线的性质，进行求解即可． 【详解】解：如图，过点作，由题意，得：， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选B． 5．C 【难度】0.85 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法以及在数轴上表示不等式组的解集，解题的关键是分别求出每个不等式的解集，再确定不等式组的解集，并正确在数轴上表示出来． 先分别求解不等式组中的两个不等式，得到各自的解集，然后取它们的公共部分，最后将这个公共解集在数轴上表示出来，与选项对比得出答案． 【详解】解： ， 解得， ， 解得， 不等式组的解集为． 在数轴上表示为： 故选：C． 6．B 【难度】0.85 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据垂直定义可得∶ ．然后在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，再利用旋转的性质可得∶ ，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解∶ ， ， 在中，， ，， 由旋转得∶ ， ， 故选∶B． 7．D 【难度】0.4 【分析】本题考查了二次函数图象与二次函数系数之间的关系、抛物线与轴的交点，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据对称轴为直线及图象开口方向可判断出、、的符号，从而判断①；根据对称轴得到函数图象经过，则可判断②；利用、、的正负性可判断③；从图象与轴的交点在和之间可判断④；根据与的关系可判断⑤；结合图象以及、、到对称轴的距离可判断⑥． 【详解】解：①：∵函数开口方向向上，∴； ∵对称轴在轴右侧，∴、异号， ∵抛物线与轴交点在轴负半轴，∴， ∴， 故①符合题意； ②：∵图象与轴交于点，对称轴为直线， ∴图象与轴的另一个交点为， ∴当时，， ∴， 故②不符合题意； ③：∵，，， ∴，，， ∴， 故③符合题意； ④：当时，， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，∴， ∴， 即， ∴， 又∵， ∴， 解得， 故④符合题意； ⑤：由④知， ∵， ∴，， 故⑤符合题意； ⑥：抛物线开口向上且对称轴为直线， ∴抛物线上到对称轴的距离越远的点，纵坐标越大， ∴， 故⑥符合题意； ∴正确的有①③④⑤⑥． 故选：D ． 8．A 【难度】0.4 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理；证明，则可得，证明，可得，设，则，利用解直角三角形和勾股定理即可得到和，即可解答，熟练运用相似三角形判定和性质是解题的关键． 【详解】解：四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 根据勾股定理可得， ， ， 则， ， ， ， 故选：A． 9．6 【难度】0.85 【分析】本题考查了求代数式的值，因式分解，解题的关键是对多项式因式分解，通过整体代入求代数式的值．先提公因式，将式子转化为的形式，再将直接代入求解即可． 【详解】解：， 将代入上式，， 故答案为：6． 10． 【难度】0.85 【分析】本题考查定义新运算，根的判别式，根据新运算列出一元二次方程，根据方程有2个相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】解：， ∵方程有2个相等的实数根， ∴， ∴； 故答案为：． 11．24 【难度】0.65 【分析】本题考查的是正多边和圆，圆周角定理，三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，构造出圆心角是解题的关键． 连接，，由是内接正五边形的一条边可得出的度数，由圆周角定理即可得出的度数，进而可由三角形内角和定理求解． 【详解】解：连接，， 是内接正五边形的一条边， ， ， ， ， 故答案为：24． 12．8 【难度】0.65 【分析】本题考查了反比例函数的综合运用，涉及了平行线的性质，三角形相似的判定和性质及不规则面积的求解，解答本题的关键是数形结合思想，有一定难度．连接，，作于E，于F，先证得，由，得出，，根据反比例函数系数k的几何意义得出，进一步得出，通过证得，得出，然后根据求得的面积为4，从而求得k的值． 【详解】解：如图，连接，，作于E，于F． ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． 13．或/6或2 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了翻折问题、矩形的性质、解直角三角形，由问题与矩形的一条边平行可知需要分类讨论，当与平行或与平行，画出图形，依据图形特征利用勾股定理和解直角三角形得到边成比例，列方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ， ①如图， 当时， 设与交于点， ∵， ∴， ∵将沿折叠， 得到， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ，即 ， 解得 ， 在中，，即 ， ， ； ②如图， 当时，    方法一： ∵将沿折叠， 得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 方法二： 同理可得， ∵， ，即 解得， 由勾股定理可得， ， ∵， ∴， 即 ， 解得 ∴； 故答案为：或. 14． 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了实数的运算，求特殊角三角形函数值，先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂和负整数指数幂，最后根据实数的运算法则求解即可． 【详解】解： ． 15．， 【难度】0.85 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式 ， ，， ， 当时， 原式 16． 【难度】0.65 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键．先计算多项式乘以多项式，再利用配方法解一元二次方程即可得． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 所以方程的解为． 17．见解析 【难度】0.85 【分析】本题主要考查了尺规作图，角平分线的性质和垂直平分线的性质．根据题意先作的角平分线，再作线段的垂直平分线，交点即为点P． 【详解】解：如图，点P即为所作． ． 18．(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、勾股定理及二次根式的化简等知识，正确找出两个全等三角形是解题关键． （1）先求出，再证出，根据全等三角形的性质即可得证； （2）先根据勾股定理可得，再根据全等三角形的性质可得，然后利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， 在中，， 由（1）已证：， ∴， ∵， ∴． 19．(1) (2) 【难度】0.65 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有5种等可能的结果，其中小英抽到的卡片是C．铜川市陕甘边照金革命根据地旧址的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及小英和小阳最终都没有参观B．咸阳市旬邑县马栏革命旧址的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，共有5种等可能的结果，其中小英抽到的卡片是C．铜川市陕甘边照金革命根据地旧址的结果有1种， ∴小英抽到的卡片是C．铜川市陕甘边照金革命根据地旧址的概率为 故答案为：． （2）列表如下： 共有20种等可能的结果，其中小英和小阳最终都没有参观B．咸阳市旬邑县马栏革命旧址的结果有12种， ∴小英和小阳最终都没有参观B．咸阳市旬邑县马栏革命旧址的概率为 20．七年级创作的作品有60个，八年级创作的作品有99个． 【难度】0.65 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设七年级创作的作品有x个，八年级创作的作品有y个，根据“七年级和八年级共创作作品159个，且七年级创作的作品数量是八年级创作的作品数量的还少6个”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设七年级创作的作品有x个，八年级创作的作品有y个，根据题意得： ， 解得：． 答：七年级创作的作品有60个，八年级创作的作品有99个． 21． 【难度】0.65 【分析】本题考查了解直角三角形的应用及相似三角形的判定与应用，熟练掌握该知识点是关键．与交于点，与交于点，与交于点，设，则，，利用相似比列出方程求出值，即可得到两者的高度差． 【详解】解：如图，与交于点，与交于点，与交于点， 设， ， ， ， ，，，， ， ， ，即， ， 整理得：， ， ． 答：紫云楼与博山炉的高度差约为． 22．(1)小宇改变骑行速度后，关于的函数关系式为 (2)当或时，小宇和小浩两人相距 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解二元一次方程组等知识点，解题的关键是能从函数图象中获取有用的信息． (1)设小宇改变骑行速度后，关于的函数关系式为，把，代入得； (2)根据小宇和小浩两人相距列方程求值即可． 【详解】（1）解：设小宇改变骑行速度后，关于的函数关系式为， 把，代入得： ，解得， 小宇改变骑行速度后，关于的函数关系式为； （2）解：小浩的速度为（千米/小时）， 小浩骑行过程中，关于的函数解析式为， 小宇和小浩两人相遇前后相距， ， 解得或， 当或时，小宇和小浩两人相距． 23．(1)，100 (2)图见解析，九年级学生测试成绩的平均数是92分 (3)估计此次测试成绩达到90分及以上的学生有450人 【难度】0.65 【分析】本题考查了中位数与众数、频数分布直方图、平均数、利用样本估计总体，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键． （1）根据中位数与众数的定义求解即可得； （2）先求出所抽取的10名八年级学生的测试成绩在组的人数为2名，据此补全频数分布直方图，再根据平均数的公式计算即可得； （3）利用该中学八年级与九年级的学生总人数乘以测试成绩达到90分及以上的学生所占的百分比即可得． 【详解】（1）解：将所抽取的10名八年级学生的测试成绩按从小到大进行排序后，第5个数和第6个数的平均数即为中位数， ∵，， ∴按从小到大进行排序后，第5个数和第6个数在组， 又∵八年级的测试成绩在组中的数据为：83，84，86，88， ∴所抽取的八年级学生测试成绩的中位数是（分）， ∵在所抽取的10名九年级学生的测试成绩中，100分的人数最多， ∴所抽取的九年级学生测试成绩的众数是100分， 故答案为：，100． （2）解：所抽取的10名八年级学生的测试成绩在组的人数为（名）， 则补全频数分布直方图如下： （分）， 答：所抽取的九年级学生测试成绩的平均数为92分． （3）解：（人）， 答：估计此次测试成绩达到90分及以上的学生有450人． 24．(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【分析】（1）过O点作于点E，推导出，然后根据角平分线的性质即可得到，证明结论； （2）先利用勾股定理求出长，然后利用全等三角形得到，然后再在中利用勾股定理解题即可． 【详解】（1）证明：过O点作于点E， ∵与相切于点A， ∴ 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，，即， 解得：． 【点睛】本题考查切线的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定和性质． 25．(1)能，理由见解析 (2)8 【难度】0.4 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是能把实际问题转化为数学问题，掌握二次函数的相关性质时解题的关键． （1）先求出二次函数的解析式，当时，，解得：，由即可判断； （2）根据该河段水位再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于，灯笼长，可知悬挂点的纵坐标的最小值是，即可知悬挂点的横坐标的取值范围是：；方案一：从顶点处开始悬挂灯笼，根据，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为，可知共可挂7盏灯笼；方案二：从距顶点处开始挂灯笼，可知共可挂8盏灯笼． 【详解】（1）解：如图，以拱桥的顶点为坐标原点，抛物线对称轴为y轴建立平面直角坐标系， 则点B的坐标为， 设函数关系式为，代入得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得：， ∵ ∴该货船能顺利通行； （2）解：∵该河段水位再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于，灯笼长， ∴当悬挂点的纵坐标， 即悬挂点的纵坐标的最小值是， 当时，， ∴， ∴悬挂点的横坐标的取值范围是：； 方案一：如图3（坐标轴的横轴），从顶点处开始悬挂灯笼， ∵，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为， ∴若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，， 若顶点一侧悬挂3盏灯笼时，， ∴顶点一侧最多悬挂3盏灯笼， ∵灯笼挂满后成轴对称分布， ∴共可挂7盏灯笼， 方案二：从距顶点处开始挂灯笼，如图4， ∵若顶点一侧悬挂5盏灯笼时，， 若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，， ∴顶点一侧最多悬挂4盏灯笼， ∵灯笼挂满后成轴对称分布， ∴共可挂8盏灯笼， ∴最多8个灯笼， 故答案为：8． 26．[任务一] ；[任务二]；[任务三] 存在，四边形的面积最大值为 【难度】0.15 【分析】[任务一]：连接交于点，过点作于点，由于矩形是中心对称图形，故当经过对称中心时，线段平分矩形的面积，在由平行线间距离相等得到，同理可得：，最后由勾股定理即可求解； [任务二] 作的外接圆，记作，在上取点，连接交于点，则，故当与相切时，最大，连接，则，连接，证明，则，故，则，由勾股定理逆定理得到，则，因此，二，那么； [任务三] 作关于的对称圆，记为，则点在优弧上，则，连接，作于点，于，由于，故当点三点共线时，最大，且为，此时，可求，则，因此． 【详解】[任务一]解：连接交于点，过点作于点， ∵四边形是矩形， ∴，且为中心对称图形，， ∴当经过对称中心时，线段平分矩形的面积， ∴由对称性得， ∵，，， ∴， 同理可得：， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， 故答案为：； （2）作的外接圆，记作，在上取点，连接交于点， ∴， ∴当与相切时，最大，连接，则，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 而， ∴， ∵， ∴由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； [任务三]解：存在，理由如下： 作关于的对称圆，记为，则点在优弧上， ∴， 连接，作于点，于， ∵，， ∴由勾股定理得：， 由对称得： ∵， ∴当点三点共线时，最大，且为， ∴此时， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴存在，四边形的面积最大值为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，圆周角定理，切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识点，难度很大，识别“米勒圆”和“定弦定角”模型是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$