黑龙江省牡丹江市第二高级中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试题

第一部分 客观题(请用 2B铅笔填涂) @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ 1 A B C D 6 A B C D 11 A B C D 2 A B C D 7 A B C D 3 A B C D 8 A B C D 4 A B C D 9 A B C D 5 A B C D 10 A B C D @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ 第二部分 主观题(请用黑色签字笔作答) 牡丹江市第二高级中学高一学年答题卡（数学） 姓名:________________________ 条 码 粘 贴 处 准 考 证 号 缺考标记/违纪标记： 考生禁填！由监考老师 负责用黑色字迹的签 字笔填涂。 缺考、违纪： Q 注 意 事 项 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写 清楚。 2. 请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方 框内。 3. 选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 黑色字迹的签字笔填写，字体工整。 4. 请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围 的答案无效，在草稿纸、试卷上作答无效。 5. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不 准使用涂改液、刮纸刀。 涂 点 填 涂 样 例 有效填涂 $ 无效填涂 %^&* 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 12.______________________ 13.______________________ 14.______________________ 16.(15分) 15.（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17.(15分) 18.(17分) 19.(17分) 1 牡丹江二中 2024—2025学年度第二学期高一学年月考试题 数学 考生注意 1.本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上 。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对 应题目的答案 标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书．．．．．．． 写的答案无效．．．．．． ,．在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．。 一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1．设 a， b  为非零向量，则“ a b  ”是“ a b  ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知向量  1,2a  ，  , 4b x  ，若向量 a b  ，则 x （ ） A． 8 B． 2 C．8 D． 2 3．在三角形 ABC中， 2a  ， π 3 B  ， 2 3b  ，则 C （ ） A． π 6 B． π 2 C． π 6 或 π 2 D． π 3 或 π 2 4．已知向量 a，b  满足 | | | | | | 2a b a b       ，则   a b （ ） A．0 B．2 C． 2 2 D．2 3 5．已知 (1, 2)a   ， (2, 1)b    ，则 ( )a a b    的值为（ ） A．3 B．5 C．4 D．6 6．已知向量    2, 1 , 1,3a b     ，则下列向量与 2a b  平行的是（ ） A． 2 2 3       ， B．  1, 3 C．  1, 2 D． 11, 3       7．四边形 ABCD是正方形，延长CD至 E，使得 2DE CD ，若点 P为 BC的中点，且 AP AB AE      ，则   （ ） A．3 B． 2 C．1 D． 5 2 8．已知 ABCV 的外接圆圆心为 O，且 2AO AB AC     ， 1OA AC    ，点 D是线段 BC上一动点，则DA DB   的 最小值是（ ） A． 1 4  B． 1 16  C． 9 16  D． 3 8  2 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对 的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．下列命题中，正确的是（ ） A．若 a与b  都是单位向量，则 a b  B．直角坐标平面上的 x轴、 y轴都是向量 C．若用有向线段表示的向量 AM  与 AN  不相等，则点M 与N不重合 D．海拔、温度、角度都不是向量 10．已知向量    3, 1 , 2,0a b   ，则下列说法正确的是（ ） A． a b  B． a与 b  的夹角为 π 3 C．若  a a b    ，则 2 3 3    D．存在 0c   ，使得 a c b c      11．在边长为 3的正方形 ABCD中， ,M N分别是边 ,AB AD上的动点（含端点），且 2MN  ，则CM CN   的取 值可以是（ ） A．12 B．11 C．10 D．9 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知  1, 2a  ， 2 3b  ， 3a b    ，则 a与b的夹角为 ． 13．在 ABCV 中，角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c，且 13 2 ,cos 3 a c B  ，则 sin sin A B  ． 14．已知 3u   ， 4v   ，且 0u v    .若 1a   ，则当  0,1t 时，  1a tu t v      的取值范围为 . 四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知 4a   ， 2b   ，且 a  与 b  的夹角为 120°，求： (1) 2a b  ； (2)若向量2a b  与 3a b   平行，求实数 的值． 3 16．（15分）在 ABCV 中， , ,a b c分别是角 , ,A B C 的对边. 若 3, 2 6, 2a b B A   . (1)求 cosA的值； (2)求边长c的值. 17．（15分）如图，在 ABCV 中，点M 、 N满足 AM mAB   ，  0, 0AN nAC m n     ，点D满足 1 3 BD BC   ， E为 AD的中点，且M 、N、 E三点共线. (1)用 AB  、 AC  表示 AE  ； (2)求 1 1 2m n  的值. 4 18．（17分）已知   (2 1, 2)a x y x y      ， (2, 2)b    ． (1)当 x，y为何值时， a与 b  共线？ (2)是否存在实数 x，y，使得a b  ，且 a b  ？若存在，求出 xy的值；若不存在，请说明理由． 19．（17分）正等角中心（positive isogonal centre）亦称费马点，是三角形的巧合点之一．“费马点”是由十七世 纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点 的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当 ABCV 的三个内角均小于120时，使得 120AOB BOC COA      o的点O即为费马点；当 ABCV 有一个内角大于或等于120时，最大内角的顶点为 费马点．试用以上知识解决下面问题：已知 ABCV 的内角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c， (1)若 sin sin ( ) sinc C a A c b B   ， ①求A； ②若 2bc  ，设点 P为 ABCV 的费马点，求 PA PB PB PC PC PA           ； (2) 若    cos2 2sin sin 1C A B A B    ，设点 P为 ABCV 的费马点， PB PC t PA  ，求实数 t的最小值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B B B D D C CD ACD 题号 11 答案 ABC 1．B【详解】若，则，模长相等，但它们的方向可以不同，故不一定成立， 故得不到，若，则，故“”是“”的必要不充分条件，故选：B. 2．A【详解】因为，所以，解得.故选：A. 3．B【详解】由可得：，所以，又，所以， 结合内角和定理，所以.故选：B 4．B【详解】由得，，∵，∴，即.故选：B. 5．B【详解】因为，，则，所以.故选：B. 6．D【详解】因为，所以．若向量满足，则该向量与平行，检验易知D符合题意．故选：D． 7．D【详解】如下图，因为点为的中点，所以，又因为，所以，则，所以，则. 故选：D. 8．C【详解】因为，可知O为的中点，又因为O为的外接圆圆心，则， 且，即，可知为等边三角形，即，如图，建立平面直角坐标系， 则，设，可得， 则，可知当时，取到最小值. 9．CD 【详解】选项A，由于单位向量长度相等，但是方向不确定，故A错误；选项B，由于只有方向，没有大小，故轴，轴不是向量，故B错误；选项C，由于向量起点相同，但长度不相等，所以终点不同，C正确； 选项D，海拔、温度、角度只有大小，没有方向，故不是向量，D正确．故选：CD 10．ACD【详解】对于A，由题可知，故A项正确； 对于B，，故与的夹角为，故B项错误； 对于C，若，则，故C项正确； 对于D，若，则，则当时，可以使，故D正确. 故选：ACD 11．ABC 【详解】 如图，以为坐标原点，射线的方向分别为轴､轴的正方向，建立平面直角坐标系. 则.设，其中，因，则 则，.因为，故得，解得，当且仅当时，等号成立.又，当且仅当点或点与点重合时等号成立， 故得，即，又，所以都满足其范围，不满足其范围，故ABC正确，D错误.故选：ABC. 12．【详解】设与的夹角为，因为，，，所以，因为，所以，即与的夹角为．故答案为： 13．【详解】在中，由及余弦定理，， 由正弦定理得.故答案为： 14．【详解】因为，所以，又，.故可以建立直角坐标系，如图所示： 设，，则，，在线段上取点，因为，，三点共线，故存在，使得，又，取，则在以为圆心，以1为半径的圆上. .因为直角斜边上的高为：，所以当，在，之间时，取得最小值，为；当与重合，点坐标为时，取得最大值，为. 所以.故答案为：. 15．【详解】（1）， 所以. （2）由于向量与平行，所以存在实数，使得， 所以，解得. 16．【详解】（1）在中，由正弦定理，，，可得， 因为，所以，即，显然，解得． （2）在中，由余弦定理， 得，解得或, 当时，又，所以，又，，所以，则，与矛盾，所以舍去；所以． 17．【详解】（1）因为，则，所以， 因为为的中点，故. （2）因为、、三点共线，则，，， 所以存在，使得，即， 所以， 又因为，且、不共线， 所以，则， 所以，故. 18．【详解】（1）因为与共线，所以存在实数，使得， 所以，解得，所以当，y为任意实数时，与共线． （2）由．① 由．②联立①②解得或，所以或． 所以存在实数x，y，使得，且，此时或． 19．【详解】（1）①在中，由正弦定理及，得， 即，由余弦定理得， 又，所以. ②由①知，，则的三个角都小于，由费马点定义知：， 设，由得： ，整理得， 所以.    （2）由，得， 即，又，，则， 于是，整理得，即， 又，有，则，， 由点为的费马点，得， 设，，，， 由，得， 由余弦定理得， ， ， 相加得得， 整理得，于是，当且仅当，即时取等号， 又，因此，而，解得， 所以实数的最小值为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$