精品解析：湖南省长沙市望城区第一中学2024-2025学年高一下学期3月阶段测试数学试卷

望城一中2027届高一年级3月阶段测试数学试卷 望城一中 高一年级数学组 本试题卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟． ☆祝考试顺利☆ 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为虚数单位，复数满足，则（ ） A. B. C. 3 D. 2. 设，，则（ ）． A. B. C. D. 、的大小无法确定 3. 在下列条件中：①；②；③且；④，，中能成为“使二次方程的两根为正数”的必要非充分条件是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 4. 已知点，，，，与同向的单位向量为，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 2000年我国国内生产总值(GDP)为89 442亿元，如果我国GDP年均增长7.8%，那么按照这个增长速度，在2000年的基础上，我国GDP要实现比2000年翻两番的目标，需要经过（ ）（参考数据：lg2≈0.301 0，lg1.078≈0.032 6，结果保留整数) A. 17年 B. 18年 C. 19年 D. 20年 6. 已知O为内一点，若分别满足①；②；③；④（其中a，b，c为中，角A，B，C所对的边）．则O依次是的（ ） A. 内心、重心、垂心、外心 B. 外心、垂心、重心、内心 C. 外心、内心、重心、垂心 D. 内心、垂心、外心、重心 7. 已知是偶函数，任意，且，满足，，则的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 已知动点，，O为坐标原点，则当时，下列说法正确的是（ ） A. 有最小值1 B. 有最小值，且最小值小于1 C. 恒成立 D. 存在，使得 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 已知复数，是关于z的方程的两个复数根，且，，则（ ） A. 与互为共轭复数 B. C. D. 10. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若∥，则 C. 若，则 D. 若，则向量，的夹角为钝角 11. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，，，则只有一解 C. 若，则 D. 若为锐角三角形，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数是R上的增函数，则实数a的取值范围是________. 13. 设复数若则的最小值为_________. 14. 如图，在中，点是边上一点且，是边的中点，直线和直线交于点，若是的平分线，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知在中，角所对的边分别为，记其面积为，则有 （1）求； （2）若，求的最小值． 16. 已知平行四边形中，，，和交于点． （1）用，表示向量． （2）若的面积为，的面积为，求的值． （3）若，，求的余弦值． 17. 已知函数（，）的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象过点． （1）求的解析式； （2）求函数的单调递增区间； （3）将函数的图象向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程，在区间上有且只有一个实数解，求实数的取值范围． 18. 如图，设是平面内相交成的两条射线，分别与同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. （1）在仿射坐标系中 ①若，求； ②若，且与的夹角为，求； （2）如上图所示，在仿射坐标系中，分别在轴，轴正半轴上，分别为中点，求的最大值. 19. 复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔､棣莫弗､欧拉､高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受. 材料：形如的数称为复数的代数形式.而任何一个复数都可以表示成的形式，即，其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作.复数叫做复数的三角形式.由复数的三角形式可得出，若，则.其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍. 请根据所学知识，回答下列问题： （1）试将写成三角形式； （2）设复数，且.若复数在复平面上对应的点分别为，且为复平面的坐标原点.向量逆时针旋转后与向量重合，求实数，的值； （3）已知单位圆以坐标原点为圆心，点为该圆上一动点（纵坐标大于0），点，以为边作等边，且在上方.求线段长度的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 望城一中2027届高一年级3月阶段测试数学试卷 望城一中 高一年级数学组 本试题卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟． ☆祝考试顺利☆ 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为虚数单位，复数满足，则（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算出，再利用求出答案. 【详解】根据题意，得， 所以， 故. 故选：． 2. 设，，则（ ）． A. B. C. D. 、的大小无法确定 【答案】A 【解析】 【详解】，， 又因为为增函数，所以，即. 故选A. 3. 在下列条件中：①；②；③且；④，，中能成为“使二次方程的两根为正数”的必要非充分条件是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次方程的两根为正数，则一定满足，，，故根据必要不充分条件的定义即可判断. 【详解】∵二次方程的两根为正数， ∴，，， 故由使二次方程的两根为正数，一定能推出 ，，， 但是满足其中一个或2个不能推出使二次方程的两根为正数，故①②③能成为使二次方程的两根为正数的必要非充分条件. 故选A. 【点睛】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断.掌握必要条件的定义是解题基础． 4. 已知点，，，，与同向的单位向量为，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据所给点的坐标求出向量，的坐标及模长，再求出与同向的单位向量，最后根据投影向量的定义求解. 【详解】由题知点，，，， 有， ， ，. 与同向的单位向量为. 所以向量在向量方向上的投影向量为. 故选：B. 5. 2000年我国国内生产总值(GDP)为89 442亿元，如果我国GDP年均增长7.8%，那么按照这个增长速度，在2000年的基础上，我国GDP要实现比2000年翻两番的目标，需要经过（ ）（参考数据：lg2≈0.301 0，lg1.078≈0.032 6，结果保留整数) A. 17年 B. 18年 C. 19年 D. 20年 【答案】C 【解析】 【分析】设经过x年实现GDP比2000年翻两番的目标，列指数式方程求解即可． 【详解】解：假设经过x年实现GDP比2000年翻两番的目标． 根据题意，得89442×(1＋7.8%)x＝89442×4，即， 故， 故约经过19年，我国GDP就能实现比2000年翻两番的目标. 故选：C. 6. 已知O为内一点，若分别满足①；②；③；④（其中a，b，c为中，角A，B，C所对的边）．则O依次是的（ ） A. 内心、重心、垂心、外心 B. 外心、垂心、重心、内心 C. 外心、内心、重心、垂心 D. 内心、垂心、外心、重心 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的运算以及三角形四心的定义，逐项检验，可得答案. 【详解】对于①，因为①， 所以点O到点A，B，C的距离相等，即点O为的外心； 对于②，因为，所以， 所以，即，同理，， 即点O为的垂心； 对于③，因为，所以， 设D为BC的中点，则，即点O为的重心； 对于④，因为， 故，整理得． 又， 所以． 因为，分别为，方向的单位向量，故AO与的角平分线共线． 同理与的角平分线共线，与的角平分线共线， 故点为的内心． 故选：B. 7. 已知是偶函数，任意，且，满足，，则的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先判断出的图象关于对称，且在上单调递减，在上单调递增，再分类讨论，将原不等式转化为不等式组求解即可. 【详解】因为是偶函数，所以的图象关于轴对称， 又因为的图象可由的图象向右平移1个单位得到， 所以的图象关于对称， 因为任意，且，满是， 所以任取， 则在上单调递减， 由对称性可知在上单调递增， 由根据对称性可得， 因为，所以或 解得或. 即的解集是， 故选：A. 【点睛】方法点睛：解答抽象不等式问题 时，切勿将自变量代入函数解析式进行求解，首先应该注意考查函数的单调性．若函数为增函数，则；若函数为减函数，则． 8. 已知动点，，O为坐标原点，则当时，下列说法正确的是（ ） A. 有最小值1 B. 有最小值，且最小值小于1 C. 恒成立 D. 存在，使得 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由平面向量的数量积运算，结合三角函数的性质，代入计算即可得到结果. 【详解】由题意知，当时， ， 因为函数为偶函数，所以只考虑的情形即可， 又因为，所以， 即有最小值1，所以A正确，B错误； 又因为， 当时，，所以C错误； 又因为，，但与不可能同时为， 而，所以，所以D错误； 故选:A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 已知复数，是关于z的方程的两个复数根，且，，则（ ） A. 与互为共轭复数 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用一元二次方程的复数根的性质判断A；再利用韦达定理求得，从而判断BC；利用互为共轭复数的性质求得，从而求得，由此得以判断D. 【详解】对于A，一元二次方程的复数根互为共轭复数，故A正确； 对于B，由题意得，， 因为复数根互为共轭复数，所以为实数，为纯虚数， 故，则， 又，所以，则，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，则， 所以，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若∥，则 C. 若，则 D. 若，则向量，的夹角为钝角 【答案】BD 【解析】 【分析】由向量模的计算公式判断A；由共线向量的坐标运算判断B；由向量垂直时数量积为0判断C；由向量的数量积判断D. 【详解】解：对于A，因为，，所以， ，解得或，故A错误； 对于B，因为∥，所以，解得，故B正确； 对于C，因为，所以，解得，故C错误； 对于D，当时，，，又因为此时，不共线，所以向量，的夹角为钝角，故D正确. 故选：BD. 11. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，，，则只有一解 C. 若，则 D. 若为锐角三角形，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A、C：根据题意结合正弦定理运算分析即可；对于B：根据三角形解得个数的结论分析判断；对于D：根据题意结合正弦函数单调性分析判断. 【详解】对于选项A：由，由正弦定理可得， 则， 因为，则， 可得，即，所以为等腰三角形，故A正确； 对于选项B：若，，，则， 所以有两解，故B错误； 对于选项C：若， 有正弦定理可得， 则，即， 因为，则， 可得，所以，故C正确； 对于选项D：若为锐角三角形，则，可得， 且，，则在上单调递增， 所以， 又因为，则，可得， 所以，故D正确． 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数是R上的增函数，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由函数的单调性列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为函数是上的增函数， 则，解得. 故答案为：. 13. 设复数若则的最小值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意,将转化为两点间的距离公式,求得动点的轨迹方程,可知动点的轨迹为一个圆．再由点到直线距离公式可判定圆与两个定点形成的直线相切,进而可知两点间距离即为的最小值． 【详解】因为 则 设 由参数方程可知,动点P的轨迹方程为 所以表示点A与点B到圆上任意一点的距离之和 设直线的方程为,代入可得 ,解方程可得 所以直线的方程为 圆心到直线的距离为 因为 所以直线与圆相切,设切点为M 则当P与M重合时,取得最小值 所以 故答案为 【点睛】本题考查了复数的几何意义,将模长转化为两点间距离公式,利用数形结合的思想解决最短距离,属于中档题． 14. 如图，在中，点是边上一点且，是边的中点，直线和直线交于点，若是的平分线，则______. 【答案】 【解析】 【分析】分析可知与共线，可知存在，使得，然后依据、、三点共线以及、、三点共线可得出关于的表达式，结合平面向量的基本定理可求得的值. 【详解】记，，以、为邻边作平行四边形， 因为，则平行四边形为菱形，所以，平分， 且， 因为平分，则、共线， 则存在，使得， 因为、、三点共线，则、共线，则存在， 使得，即，可得， 因为为的中点，所以，， 因为、、三点共线，则、共线， 所以，存在，使得，即， 所以，， 因为、不共线，则，解得， 故， 又因为，所以，，故. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知在中，角所对的边分别为，记其面积为，则有 （1）求； （2）若，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理、面积公式计算可得答案； （2）由代入面积公式得，再利用基本不等式求最值可得答案. 【小问1详解】 由题意，， 又，得， 展开得，即， 由余弦定理得， 因为，所以； 【小问2详解】 由题意，，整理得， 由得， 由， 即求的最小值，， 因为，所以， 当且仅当即时等号成立， 所以， 故的最小值为． 16. 已知平行四边形中，，，和交于点． （1）用，表示向量． （2）若的面积为，的面积为，求的值． （3）若，，求的余弦值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量共线定理的推论得到，再由且，即可得到方程，求出，即可得解； （2）由（1）得到线段的比，即可得到面积之比； （3）依题意可得平行四边形是正方形，建立平面直角坐标系，利用坐标法求出两向量夹角的余弦值，即可得解. 【小问1详解】 因为点在上，则， 又因为，，可知，解得， 所以． 【小问2详解】 由可得，则，即， 因为，则， 即，可知，即， 所以． 【小问3详解】 由，即， 则， 所以，即，又， 所以平行四边形是正方形，如图所示的建系， 不妨设，则，可得，， 可得， 因为是向量和的夹角，所以的余弦值是． 17. 已知函数（，）的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象过点． （1）求的解析式； （2）求函数的单调递增区间； （3）将函数的图象向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程，在区间上有且只有一个实数解，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）（）； （3）或． 【解析】 【分析】（1）由条件易得，代入点，结合，可求出即得； （2）将看成整体角，利用正弦函数的递增区间，即可计算得到的递增区间； （3）由图象经伸缩平移变换得到，取，由，可得，结合函数图象，使其与直线在上只有一个交点可得的取值范围. 【小问1详解】 由的图象与轴的相邻两个交点之间的距离为，即，即； 则，那么． ．图象过点，代入可得， 又因为，则，可得， 故函数解析式为； 【小问2详解】 因的单调递增区间为，（）， 由，解得，（） 函数的单调递增区间为（）； 【小问3详解】 将的图象向右平移个单位后，得到的图象， 再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，即， 不妨取，由，可得. 在上只有一个实数解，即函数图象与直线在上只有一个交点，如图. 由的图象可知：须使或，故实数的取值范围为或． 18. 如图，设是平面内相交成的两条射线，分别与同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. （1）在仿射坐标系中 ①若，求； ②若，且与的夹角为，求； （2）如上图所示，在仿射坐标系中，分别在轴，轴正半轴上，分别为中点，求的最大值. 【答案】（1）; （2） 【解析】 【分析】（1）①由题意，，将其两边平方后利用向量数量积的运算律计算即得； ②利用（1）得到的模长公式，求得和，再计算，再将条件代入公式，列出方程，即可求出的值. （2）设出点用表示出，利用正弦定理，经过三角恒等变换，化简成正弦型函数，求得其最大值. 【小问1详解】 ① 由可得，，则， 即； ②依题意，将代入（1）得到的模长公式即得，，， ， 因与的夹角为，则由可得，，解得，. 【小问2详解】 依题意，设， 因是的中点，则， 是的中点，则， 故 因，， 则， 在中，由余弦定理，，即，代入上式可得， ， 由正弦定理，，设，则， 于是 ，其中， 则. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查新定义的仿射坐标系中的向量的运算，属于难题. 解决第（2）题的关键在于，设出的坐标，，求得的表达式，运用正弦定理，三角恒等变换化成正弦型函数是解决该题的关键. 19. 复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔､棣莫弗､欧拉､高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受. 材料：形如的数称为复数的代数形式.而任何一个复数都可以表示成的形式，即，其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作.复数叫做复数的三角形式.由复数的三角形式可得出，若，则.其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍. 请根据所学知识，回答下列问题： （1）试将写成三角形式； （2）设复数，且.若复数在复平面上对应的点分别为，且为复平面的坐标原点.向量逆时针旋转后与向量重合，求实数，的值； （3）已知单位圆以坐标原点为圆心，点为该圆上一动点（纵坐标大于0），点，以为边作等边，且在上方.求线段长度的最大值. 【答案】（1）； （2）； （3）最大值为3. 【解析】 【分析】（1）根据复数的三角形式的定义直接求解即可； （2）解法一：由题意得，解方程组即可，解法二：根据所给材料中的复数的乘法几何意义求解即可； （3）解法一：设，所表示的复数为所表示的复数为，根据复数的三角形式求出的坐标，从而可表示出，化简变形后可求出其最大值；解法二：连接，设，然后利用正余弦定理求解即可. 【小问1详解】 由于，故，所以， 所以， 因为，所以 所以； 【小问2详解】 法一：由题意知， 得，解得或， 因为逆时针旋转后与重合，所以； 法二：由材料一复数的乘法几何意义可知，复数乘以一个模长为1，辐角为的复数， 即为复数.故， 故，所以. 【小问3详解】 解法一：设， 所表示的复数为所表示的复数为，则， ， 故， 得 ， 所以当时，取得最大值3， 故线段长度的最大值为3. 解法二：连接，设， 由，在中可得， 在中可得，于是， 在中可得，于是， 在中可得， 化简得. 故的最大值为3. . 【点睛】关键点点睛：此题解题的关键是对所给材料的正确理解，然后利用材料中的知识解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $