精品解析：广西壮族自治区贵港市港北区第四初级中学2024-2025学年七年级下学期3月月考数学试题

2025年春季期港北四中七年级数学3月质量检测试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 在实数（相邻两个3之间依次增加1个0）中，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列算式能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 下列说法中，正确的是（ ） A. 的算术平方根是2 B. 是2的一个平方根 C. 的立方根是 D. 6. 已知，下列结论中成立的是（ ） A. B. C. D. 如果，那么 7. 比较下列各组数的大小，正确的是(　　　) A. B. C. D. 8. 若4x2+（k﹣1）x+25是一个完全平方式，则常数k的值为（　　） A. 11 B. 21 C. ﹣19 D. 21或﹣19 9. 现有如图所示的甲、乙、丙三种长方形或正方形纸片各张，小明要用这些纸片中的若干张拼接（不重叠、无缝隙）一个长、宽分别为和的长方形．下列判断正确的是（ ） A. 甲种纸片剩余张 B. 丙种纸片剩余张 C. 乙种纸片缺少张 D. 甲种和乙种纸片都不够用 10. 若不等式组的解集是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 小红准备用50元钱买甲、乙两种饮料共10瓶，已知甲饮料每瓶7元，乙饮料每瓶4元，则小红最多能买甲种饮料的瓶数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 12. 若关于的多项式的结果中不含项，则的值为（   ） A. 1 B. 0 C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 的相反数是__________． 14. 若关于x，y的二元一次方程组的解满足不等式，则m的取值范围为_________． 15. 已知，，则的值是______． 16. 定义新运算：对于任意实数a、b都有ab=a(a-b)+1，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．例如：25=2×(2-5)+1=2×(-3)+1=-5．那么不等式4x<13的解集为_____． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 先化简再求值：，其中，． 19. 解下列不等式（组），并把它们的解集在数轴上表示出来： （1）； （2）． 20. 已知的算术平方根是5，b、c满足． （1）求a、b、c的值； （2）求的平方根． 21. 阅读材料：是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是我们可用来表示的小数部分．请根据材料解答下列问题： （1）的整数部分是________，小数部分是________； （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； （3）已知：，其中x是整数，且，求的算术平方根． 22. 数学活动 【知识生成】 我国著名的数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微．”数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．图1是一个边长为的正方形，从整体来看，它的面积可以表示为，分块来看，这个正方形有四块，其中面积为的正方形有1块，面积为的正方形有1块，面积为的长方形有2块，因此，该正方形的面积还可以表示为，这两种方法都是求同一个正方形的面积，于是得到． 图1　　　　　　　　　　　　　图2 【直接应用】 （1）已知：，求的值； 【解决问题】 （2）如图2，四边形是长方形，分别以为边向两边作正方形和正方形，若，两正方形的面积和为54，求长方形的面积； 【知识迁移】 （3）若，求的值． 23. 根据下列信息，探索完成任务： 信息一 2024年巴黎奥运会，即第33届夏季奥林匹克运动会（ ），是由法国巴黎举办的国际性奥林匹克赛事，2024年7月26日本届奥运会在巴黎塞纳河上举行开幕式．某校七年级举行了关于“奥林匹克运动会”的线上知识竞赛，竞赛试卷共30道题目，每道题都给出四个答案，其中只有一个答案正确，参赛者选对得4分，不选或者选错扣2分，得分不低于78分者获奖． 信息二 为奖励获奖同学，学校准备购买A、B两种文具作为奖品，已知购买1个A型文具和4个B型文具共需44元，购买2个A型文具和购买3个B型文具所花的钱一样多． 信息三 学校计划完成本次活动的总费用（包含支付线上平台使用费和购买奖品两部分）不超过850元，其中支付线上平台使用费刚好用了180元，剩余的钱用于购买两种型号的文具共60个作为奖品，其中A型文具数量大于45个． 解决问题 任务一 小明同学是获奖者，他至少应选对多少道题． 任务二 求A型文具和B型文具的单价． 任务三 通过计算说明该校共有哪几种购买方案． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春季期港北四中七年级数学3月质量检测试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 在实数（相邻两个3之间依次增加1个0）中，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如2π，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）． 【详解】解：（相邻两个3之间依次增加1个0）是无理数； 是有理数． 故选C． 2. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了合并同类项，同底数幂乘法，幂的乘方和积的乘方，解题的关键是掌握以上运算法则． 根据合并同类项，同底数幂乘法，幂的乘方和积的乘方运算法则进行判断即可． 【详解】解：与不是同类项，无法合并，则A不符合题意； ，则B符合题意； ，则C不符合题意； ，则D不符合题意； 故选：B． 3. 下列算式能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，掌握公式的结构特点是解决问题的关键．能利用平方差公式计算的式子应具备以下特点：两个因式中既有相同项也有互为相反数的项． 【详解】解：能利用平方差公式计算的式子应具备以下特点：两个因式中既有相同项也有互为相反数的项， A、两个因式中既没有相同项也没有互为相反数的项，故本选项不符合题意； B、两个因式中没有相同项，故本选项不符合题意； C、两个因式中没有相同项，故本选项不符合题意； D、两个因式中有相同项也有互为相反数的项和，故本选项符合题意． 故选：D． 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据完全平方公式，平方差公式逐项计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了完全平方公式，平方差公式，熟练掌握完全平方公式，平方差公式是解题的关键． 5. 下列说法中，正确的是（ ） A. 的算术平方根是2 B. 是2的一个平方根 C. 的立方根是 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是平方根，算术平方根的含义，立方根的含义，求解一个数的算术平方根，掌握“平方根与算术平方根及立方根的含义”是解题的关键．根据算术平方根、平方根、立方根的定义逐项判断即可． 【详解】A．没有算术平方根，故原说法错误，不符合题意； B．是2的一个平方根，说法正确，符合题意； C．的立方根是1，，故原说法错误，不符合题意； D．，故原说法错误，不符合题意； 故选：B． 6. 已知，下列结论中成立的是（ ） A. B. C. D. 如果，那么 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质对各选项分析进行分析即可． 【详解】因为a<b， A选项：-a>-b,-a+1>-b+1,故错误； B选项：-3a>-3b，故错误； C选项：,,故正确； D选项：如果，那么，故错误； 故选：C. 【点睛】考查了不等式的基本性质，解题关键是注意不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向要改变． 7. 比较下列各组数的大小，正确的是(　　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】逐一进行判断即可． 【详解】A中，，故错误； B中，，故错误； C中，，故正确； D中，，故错误； 故选：C． 【点睛】本题主要考查实数的大小比较，会估算无理数的大小是解题的关键． 8. 若4x2+（k﹣1）x+25是一个完全平方式，则常数k的值为（　　） A. 11 B. 21 C. ﹣19 D. 21或﹣19 【答案】D 【解析】 【详解】∵4x2+（k﹣1）x+25是一个完全平方式， ∴k-1=±2×2×5, 解之得：k=21或k=-19. 故选：D. 9. 现有如图所示的甲、乙、丙三种长方形或正方形纸片各张，小明要用这些纸片中的若干张拼接（不重叠、无缝隙）一个长、宽分别为和的长方形．下列判断正确的是（ ） A. 甲种纸片剩余张 B. 丙种纸片剩余张 C. 乙种纸片缺少张 D. 甲种和乙种纸片都不够用 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的乘法运算，解题的关键是掌握整式的乘法运算法则．根据长方形的面积公式可得，结合图形即可求解． 【详解】解：， 要拼接一个长、宽分别为和的长方形，需要甲种纸片张，乙种纸片张，丙种纸片张， 乙种纸片缺少张． 故选：C． 10. 若不等式组的解集是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．先求出每一个不等式的解集，再根据不等式组的解集，即可得到关于a的不等式，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴由得， ∵，且不等式组的解集为 ∴ ∴ 故选：D 11. 小红准备用50元钱买甲、乙两种饮料共10瓶，已知甲饮料每瓶7元，乙饮料每瓶4元，则小红最多能买甲种饮料的瓶数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】首先设小红能买甲种饮料的瓶数是x瓶，则可以买乙饮料（10-x）瓶，由题意可得不等关系：甲饮料的花费+乙饮料的花费≤50元，根据不等关系可列出不等式，再求出整数解即可． 【详解】解：设小红能买甲种饮料的瓶数是x瓶，则可以买乙饮料（10-x）瓶，由题意得： 7x+4（10-x）≤50， 解得：x≤ ， ∵x为整数， ∴x=0，1，2，3， 则小红最多能买甲种饮料的瓶数是3瓶． 故选B． 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，关键是弄清题意，找出合适的不等关系，设出未知数，列出不等式． 12. 若关于的多项式的结果中不含项，则的值为（   ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再根据不含项，即含项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵多项式的结果中不含项， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 的相反数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数，相反数的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据相反数的定义，即可解答． 【详解】解：的相反数是． 故答案为：． 14. 若关于x，y的二元一次方程组的解满足不等式，则m的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，二元一次方程组的解，先利用整体的思想求出，从而可得，进而可得，然后按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答． 【详解】解：， ①②得：， 解得：， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 15. 已知，，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可得到答案． 【详解】解：． 故答案为：． 16. 定义新运算：对于任意实数a、b都有ab=a(a-b)+1，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．例如：25=2×(2-5)+1=2×(-3)+1=-5．那么不等式4x<13的解集为_____． 【答案】x1 【解析】 【分析】根据运算的定义列出不等式，然后解不等式求得不等式的解集即可． 【详解】解：4⊕x<13， 4(4−x)+1<13， 解得：x>1． 故答案为x>1． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向要改变． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方，实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法，幂的乘方进行计算即可； （2）根据实数的混合运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 先化简再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查整式的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据完全平方公式以及平方差公式以及多项式乘以多项式进行计算即可． 【详解】解：原式 ； 将，代入， 原式 ． 19. 解下列不等式（组），并把它们的解集在数轴上表示出来： （1）； （2）． 【答案】（1）， 解集在数轴上表示如下： （2）， 解集在数轴上表示如下： 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据不等式的性质进行计算即可； （2）分别解出两个不等式的解集，再将解集联立起来即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ， ， ， ． 20. 已知的算术平方根是5，b、c满足． （1）求a、b、c的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题考查算术平方根和非负性，求一个数的平方根： （1）根据算术平方根的定义求出，非负性，求出的值即可； （2）先将的值代入，求出代数式的值，再求平方根即可． 【小问1详解】 解：的算术平方根是5， ， b、c满足， ，， ，； 【小问2详解】 由（1）可知，， 25的平方根是． 21. 阅读材料：是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是我们可用来表示的小数部分．请根据材料解答下列问题： （1）的整数部分是________，小数部分是________； （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； （3）已知：，其中x是整数，且，求的算术平方根． 【答案】（1）3， （2）6 （3）11 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，能估算出，，的范围是解此题的关键． （1）先估算出的范围，即可得出答案； （2）先估算出的范围，求出a、b的值，再代入求出即可； （3）先估算出的范围，求出x、y的值，再代入求出即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴的整数部分是3，小数部分是， 故答案为：3，； 【小问2详解】 解：∵， ∴的整数部分是2，小数部分为，即； ∵， ∴的整数部分是4，即； ∴ 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴ ∵，其中x是整数，且， ∴， ∴， ∴的算术平方根为 22. 数学活动 【知识生成】 我国著名的数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微．”数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．图1是一个边长为的正方形，从整体来看，它的面积可以表示为，分块来看，这个正方形有四块，其中面积为的正方形有1块，面积为的正方形有1块，面积为的长方形有2块，因此，该正方形的面积还可以表示为，这两种方法都是求同一个正方形的面积，于是得到． 图1　　　　　　　　　　　　　图2 【直接应用】 （1）已知：，求的值； 【解决问题】 （2）如图2，四边形是长方形，分别以为边向两边作正方形和正方形，若，两正方形的面积和为54，求长方形的面积； 【知识迁移】 （3）若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】此题考查了据完全平方公式的变形，完全平方公式的几何应用， （1）根据完全平方公式的变形求解即可； （2）设正方形的边长为，正方形的边长为，则，根据，代入求解即可； （3）设，，则，，根据完全平方公式的变形求解即可． 【详解】解：（1）， ； （2）设正方形的边长为，正方形的边长为，则，， ； （3）设，，则，， ． 23. 根据下列信息，探索完成任务： 信息一 2024年巴黎奥运会，即第33届夏季奥林匹克运动会（ ），是由法国巴黎举办的国际性奥林匹克赛事，2024年7月26日本届奥运会在巴黎塞纳河上举行开幕式．某校七年级举行了关于“奥林匹克运动会”的线上知识竞赛，竞赛试卷共30道题目，每道题都给出四个答案，其中只有一个答案正确，参赛者选对得4分，不选或者选错扣2分，得分不低于78分者获奖． 信息二 为奖励获奖同学，学校准备购买A、B两种文具作为奖品，已知购买1个A型文具和4个B型文具共需44元，购买2个A型文具和购买3个B型文具所花的钱一样多． 信息三 学校计划完成本次活动的总费用（包含支付线上平台使用费和购买奖品两部分）不超过850元，其中支付线上平台使用费刚好用了180元，剩余的钱用于购买两种型号的文具共60个作为奖品，其中A型文具数量大于45个． 解决问题 任务一 小明同学是获奖者，他至少应选对多少道题． 任务二 求A型文具和B型文具的单价． 任务三 通过计算说明该校共有哪几种购买方案． 【答案】任务一：若小明同学是获奖者，他至少应选对23道题；任务二：型文具的单价为12元，型文具的单价为8元；任务三：该校共①购买型文具46个，购买型文具个；②购买型文具47个，购买型文具个两种购买方案 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式（组）的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． 任务一：设小明同学选对道题，则不选或者选错的有道题，根据题意列出一元一次不等式，求解即可获得答案； 任务二：设型文具的单价为元，型文具的单价为元，根据题意列出二元一次方程组，求解即可获得答案； 任务三：设学校购买型文具个，则购买型文具个，根据题意列出一元一次不等式组，求解确定的取值范围，即可确定答案． 【详解】任务一： 解：设小明同学选对道题，则不选或者选错的有道题， 根据题意，可得， 解得， ∴若小明同学是获奖者，他至少应选对23道题； 任务二： 解：设型文具的单价为元，型文具的单价为元， 根据题意，可得， 解得， ∴型文具的单价为12元，型文具的单价为8元； 任务三： 解：设学校购买型文具个，则购买型文具个， 根据题意，可得， 解得， ∵为整数， ∴，47， ∴购买方案有： ①购买型文具46个，购买型文具个； ②购买型文具47个，购买型文具个； 综上，该校共①购买型文具46个，购买型文具个；②购买型文具47个，购买型文具个两种购买方案． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $