浙江省杭州市萧山区文渊中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷

2023-2024学年浙江省杭州市萧山区文渊中学八年级（下）期中数学试卷 一.选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1．（3分）下列各式中，一定是二次根式的是　　 A． B． C． D． 2．（3分）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 3．（3分）八（2）班大部分学生的年龄都是14周岁，这里的14周岁指的是八（2）班全体学生年龄的　　 A．方差 B．众数 C．中位数 D．平均数 4．（3分）下列图形不是中心对称图形的是　　 A．等边三角形 B．平行四边形 C．线段 D．正方形 5．（3分）甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环如表所示： 甲 乙 丙 丁 9 8 9 9 1.2 0.3 0.3 0.8 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择　　 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 6．（3分）新能源汽车已逐渐成为人们的交通工具，据某品牌新能源汽车经销商1月至3月份统计，该品牌新能源汽车1月份销售1000辆，3月份销售1210辆．设月平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是　　 A． B． C． D． 7．（3分）中，、是对角线上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形一定为平行四边形的是　　 A． B． C． D． 8．（3分）设，是方程的两个实数根，则的值为　　 A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 9．（3分）如图，平行四边形中，点、分别在、上，依次连接、、、，图中阴影部分的面积分别为、、、，已知、、，则的值是　　 A．6 B．7 C．8 D．9 10．（3分）下列给出的四个命题： ①关于的方程有实数根，则满足且； ②若，则； ③若，则方程一定无解； ④若方程的两个实根中有且只有一个根为0，那么，． 其中是真命题是　　 A．①② B．②③④ C．②④ D．①②④ 二.填空题（共6小题，每题3分，共18分） 11．（3分）化简的值为 　　． 12．（3分）《义务教育劳动教育课程标准》年版）首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定．某班有5名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：3，4，3，5，5．则这组数据的方差是 　　． 13．（3分）如果，则的取值范围是 　　． 14．（3分）已知是完全平方式，则常数的值是 　　． 15．（3分）关于的方程的解是，，，，均为常数，，则方程的解是　　． 16．（3分）已知，在平行四边形中，，分别是，的中点，，且，则　　． 三.解答题（共8小题，第17，18题每题6分，第19，20题每题8分，第21，22题每题，10分，第23，24题每题12分，共72分） 17．（6分）计算： （1）； （2）． 18．（6分）解方程： （1）； （2）． 19．（8分）为传承经典文化，某校开展了“诗词达人”竞赛活动．为了解七、八年级竞赛情况，从七、八年级各随机抽取10名学生成绩（单位：分）进行如下统计分析． 【收集数据】 七年级：90，95，95，80，90，80，85，90，85，100； 八年级：85，85，95，80，95，90，90，90，100，90． 【整理数据】 分数 人数 年级 80 85 90 95 100 七年级 2 3 2 1 八年级 1 2 4 2 1 【分析数据】 统计量 平均数（分 中位数（分 众数（分 方差 七年级 89 90 39 八年级 90 90 根据以上信息回答下列问题： （1）请直接写出表格中，，的值； （2）求八年级学生成绩的方差； （3）通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？请说明理由． 20．（8分）已知关于的一元二次方程有两个不等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程有一根为3，求方程的另一根． 21．（10分）观察下列各式：①，②；③， （1）请观察规律，并写出第④个等式：　　； （2）请用含的式子写出你猜想的规律：　　； （3）请证明（2）中的结论． 22．（10分）如图，在中，，是直线上的两点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，且，求的长． 23．（12分） 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 素材1 如图1，图中是小琴家需要设置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体，底面尺寸如图2所示． 素材2 如图是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种均为 长方形纸板． 长方形纸板① 长方形纸板② 小琴分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒． 长方形纸板①的制作方式 长方形纸板②制作方式 裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒． 将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒． 目标1 熟悉材料 熟悉按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝隙的放入储物区域，且恰好没有延伸到过道，则长方形纸板宽的为 　　． 目标2 利用目标1计算所得的数据，进行进一步探究． 初步应用 按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是，求储物盒的容积． 储物收纳 按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．如图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒． 24．（12分）如图，中，为边上的一个动点（不与、重合），过点作直线的垂线，垂足为，与的延长线相交于点． （1）若为中点，求证：； （2）若，，，当点在线段上运动时，的长度是否改变？若不变，求；若改变，请说明理由； （3）在（2）的条件下，为直线上的一点，设，若、、、四点构成一个平行四边形，请用含的代数式表示． 2023-2024学年浙江省杭州市萧山区文渊中学八年级（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B A C B C B A C 一.选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1．（3分）下列各式中，一定是二次根式的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的定义分别判断即可． 【解答】解：、的被开方数，不是二次根式，故此选项不符合题意； 、是三次根式，故此选项不符合题意； 、的被开方数，是二次根式，故此选项符合题意； 、的被开方数有可能小于0，即当时不是二次根式，故此选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查了二次根式的定义，概念：式子叫做二次根式，熟记定义是解题的关键． 2．（3分）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的加法，减法，乘法，除法法则，进行计算逐一判断即可解答． 【解答】解：、与不能合并，不符合题意； 、，不符合题意； 、，符合题意； ，符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 3．（3分）八（2）班大部分学生的年龄都是14周岁，这里的14周岁指的是八（2）班全体学生年龄的　　 A．方差 B．众数 C．中位数 D．平均数 【分析】根据平均数、众数、中位数的定义求解即可． 【解答】解：八（2）班大部分学生的年龄都是14周岁，这里的14周岁指的是八（2）班全体学生年龄的众数． 故选：． 【点评】此题主要考查了方差，算术平均数，中位数和众数，解答此题的关键是要明确众数与中位数的意义． 4．（3分）下列图形不是中心对称图形的是　　 A．等边三角形 B．平行四边形 C．线段 D．正方形 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可． 【解答】解：、等边三角形是轴对称图形但不是中心对称图形，符合题意； 、平行四边形不一定是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； 、线段是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； 、正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查的是称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 5．（3分）甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环如表所示： 甲 乙 丙 丁 9 8 9 9 1.2 0.3 0.3 0.8 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择　　 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【分析】根据平均数和方差的意义求解即可． 【解答】解：由表格知，甲、丙、丁成绩的平均数大于乙，且其中丙成绩的方差最小， 所以要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择丙， 故选：． 【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义． 6．（3分）新能源汽车已逐渐成为人们的交通工具，据某品牌新能源汽车经销商1月至3月份统计，该品牌新能源汽车1月份销售1000辆，3月份销售1210辆．设月平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据1月份的销售量增长率）月份的销售量，列出方程即可． 【解答】解：设某品牌新能源汽车销售量的月均增长率为，根据题意得： ， 故选：． 【点评】本题考查了从实际问题抽象出一元二次方程，找出等量关系是解答本题的关键． 7．（3分）中，、是对角线上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形一定为平行四边形的是　　 A． B． C． D． 【分析】连接与相交于，根据平行四边形的对角线互相平分可得，，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到即可，然后根据各选项的条件分析判断即可得解． 【解答】解：连接与相交于， 在中，，， 要使四边形为平行四边形，只需证明得到即可； 、若，则，即，故本选项不符合题意； 、能够利用“角角边”证明和全等，从而得到，故本选项不符合题意； 、若，则无法判断，故本选项符合题意； 、由，从而推出，然后得出，，，结合选项可证明四边形是平行四边形；故本选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 8．（3分）设，是方程的两个实数根，则的值为　　 A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【分析】先利用一元二次方程解的定义得到，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：是方程 0 2 的实数根， ， ， ，是方程 0 2 的两个实数根， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．也考查了一元二次方程的根． 9．（3分）如图，平行四边形中，点、分别在、上，依次连接、、、，图中阴影部分的面积分别为、、、，已知、、，则的值是　　 A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】影阴部分是三角形与三角形的公共部分，而，，这三块是平行四边形中没有被三角形与三角形盖住的部分，故面积面积平行四边形的面积，而与的面积都是平行四边形面积的一半，据此求得的值． 【解答】解：设平行四边形的面积为，则， 由图形可知，面积面积平行四边形的面积， ， 即， 解得， 故选：． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，解决问题的关键是明确各部分图形面积的和差关系：平行四边形的面积面积面积． 10．（3分）下列给出的四个命题： ①关于的方程有实数根，则满足且； ②若，则； ③若，则方程一定无解； ④若方程的两个实根中有且只有一个根为0，那么，． 其中是真命题是　　 A．①② B．②③④ C．②④ D．①②④ 【分析】根据一元二次方程的性质，一元二次方程的解一一判断即可； 【解答】解：①当时，原方程变形为，解得； 当时，△，解得，即且时，方程有两个实数根， 所以的取值范围为，故此选项不符合题意； ②， 或， ， ；此选项符合题意； ③， ， ， △， 方程一定有解，故此选项不符合题意； ④若方程的两个实根中有且只有一个根为0，那么，，故此选项符合题意； 故选：． 【点评】本题考查命题与定理，一元二次方程，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 二.填空题（共6小题，每题3分，共18分） 11．（3分）化简的值为 　2　． 【分析】根据二次根式的性质进行计算即可． 【解答】解：， 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了二次根式的运算，解题关键是熟练掌握二次根式的性质． 12．（3分）《义务教育劳动教育课程标准》年版）首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定．某班有5名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：3，4，3，5，5．则这组数据的方差是 　0.8　． 【分析】根据方差的定义列式计算即可． 【解答】解：这组数据的平均数为， 所以方差为， 故答案为：0.8． 【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义． 13．（3分）如果，则的取值范围是 　　． 【分析】结合题意，根据二次根式的性质，通过列一元一次不等式组并求解，即可得到答案． 【解答】解：， ， 解得， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式、一元一次不等式组的知识，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，从而完成求解． 14．（3分）已知是完全平方式，则常数的值是 　或　． 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值． 【解答】解：是完全平方式， ， 解得：或， 故答案为：或， 【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 15．（3分）关于的方程的解是，，，，均为常数，，则方程的解是　和　． 【分析】把方程看作关于的一元二次方程，利用关于的方程的解是，得到或，从而得到方程的解． 【解答】解：把方程看作关于的一元二次方程， 关于的方程的解是，， 或， ，， 方程的解为和． 故答案为：和． 【点评】本题考查了解一元二次方程直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．也考查了一元二次方程与二次函数的关系． 16．（3分）已知，在平行四边形中，，分别是，的中点，，且，则　　． 【分析】延长、交于点，过点作于点，根据平行四边形的性质利用证明，根据全等三角形的性质求出，进而推出是等边三角形，根据等边三角形的性质求出，，再根据勾股定理求解即可． 【解答】解：如图，延长、交于点，过点作于点， 四边形是平行四边形， ，， ，， 分别是的中点， ， ， ， ， 又， 是等边三角形， ， 是的中点， ， 设，则， ， ， ， ， 在中，，， ，， ， ， 故答案为：． 【点评】此题考查了平行四边形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 三.解答题（共8小题，第17，18题每题6分，第19，20题每题8分，第21，22题每题，10分，第23，24题每题12分，共72分） 17．（6分）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则计算即可． （2）结合完全平方公式、平方差公式去括号，再合并同类项即可． 【解答】解：（1） ． （2） ． 【点评】本题考查二次根式的混合运算、平方差公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 18．（6分）解方程： （1）； （2）． 【分析】（1）方程利用因式分解法求出解即可； （2）方程利用配方法求出解即可． 【解答】解：（1）， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ， ，． 【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法和配方法，熟练掌握因式分解和配方的方法是解本题的关键． 19．（8分）为传承经典文化，某校开展了“诗词达人”竞赛活动．为了解七、八年级竞赛情况，从七、八年级各随机抽取10名学生成绩（单位：分）进行如下统计分析． 【收集数据】 七年级：90，95，95，80，90，80，85，90，85，100； 八年级：85，85，95，80，95，90，90，90，100，90． 【整理数据】 分数 人数 年级 80 85 90 95 100 七年级 2 3 2 1 八年级 1 2 4 2 1 【分析数据】 统计量 平均数（分 中位数（分 众数（分 方差 七年级 89 90 39 八年级 90 90 根据以上信息回答下列问题： （1）请直接写出表格中，，的值； （2）求八年级学生成绩的方差； （3）通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？请说明理由． 【分析】（1）先分别按照从小到大的顺序整理七年级与八年级的数据，再按照频数，众数，中位数的含义可得答案； （2）根据方差的计算公式计算即可； （3）从平均数与方差的角度出发分析即可． 【解答】解：（1）从小到大整理七年级的数据为： 80，80，85，85，90，90，90，95，95，100， ， 出现次数最多的数据是90，所以众数， 从小到大整理八年级的数据为： 80，85，85，90，90，90，90，95，95，100， 排在第5个，第6个数据为90，90， 所以中位数， 即，，； （2）方差； （3）从平均数来看，八年级成绩的平均数高于七年级成绩的平均数， 从方差来看，七年级的成绩数据波动比八年级的成绩数据波动大，说明八年级学生的成绩稳定性好一些， 所以总的来说，八年级的成绩比七年级的成绩好． 【点评】本题考查了数据的整理与分析，掌握频数与频率，平均数，众数，中位数，方差的定义是解题的关键． 20．（8分）已知关于的一元二次方程有两个不等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程有一根为3，求方程的另一根． 【分析】（1）根据一元二次方程有两个不等的实数根，得到根的判别式大于0，求出的范围即可； （2）利用根与系数的关系求出两根之和，将一个根代入计算即可求出另一根． 【解答】解：（1）关于的一元二次方程有两个不等的实数根， △， 解得：； （2）设方程另一根为， 由根与系数的关系可得：， 解得：， 方程的另一根为2． 【点评】此题考查了根与系数的关系，以及根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． 21．（10分）观察下列各式：①，②；③， （1）请观察规律，并写出第④个等式：　　； （2）请用含的式子写出你猜想的规律：　　； （3）请证明（2）中的结论． 【分析】（1）认真观察题中所给的式子，得出其规律并根据规律写出第④个等式； （2）根据规律写出含的式子即可； （3）结合二次根式的性质进行化简求解验证即可． 【解答】解：（1）； （2）； （3） ． 故答案为：（1）； （2）． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，解答本题的关键在于认真观察题中所给的式子，得出其规律并根据规律进行求解即可． 22．（10分）如图，在中，，是直线上的两点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，且，求的长． 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得，．根据平行线的性质，得，则．根据可以证明，，，从而证明，根据一组对边平行且相等的四边形，即可证明四边形是平行四边形； （2）根据勾股定理得到，连接交于，求得，根据平行四边形的性质得到，设，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：四边形是平行四边形， ，． ． ． 在和中， ， ． ，． ， 四边形是平行四边形； （2）解：，，， ， 连接交于， ， 四边形是平行四边形， ， ， 设， ， ， ， ， ， （负值舍去）， 的长为． 【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到． 23．（12分） 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 素材1 如图1，图中是小琴家需要设置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体，底面尺寸如图2所示． 素材2 如图是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种均为 长方形纸板． 长方形纸板① 长方形纸板② 小琴分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒． 长方形纸板①的制作方式 长方形纸板②制作方式 裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒． 将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒． 目标1 熟悉材料 熟悉按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝隙的放入储物区域，且恰好没有延伸到过道，则长方形纸板宽的为 　40　． 目标2 利用目标1计算所得的数据，进行进一步探究． 初步应用 按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是，求储物盒的容积． 储物收纳 按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．如图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒． 【分析】（1）由制作过程知小正方形的边长为，，设小正方形的边长为 ，列出方程可求解； （2）设小长方形的宽为 ，，长为，列出方程组可求解． 【解答】（1）解：储物区域的长为，由于收纳盒可以完全放入储物区域， 则图1中的四角裁去小正方形的边长为， 则收纳盒的宽小正方形的边长， 由图2知，设小正方形的边长为 ， 由题意可得：， 解得：， 体积为， 答：储物盒的容积为6552立方厘米； （2）设小长方形的宽为 ，，长为， 由题意可得：， 解得： 小长方形的宽为 当，之间两边恰好重合且无重叠部分，收纳盒的高为， 玩具机械狗也不能完全放入该储物； 综上所述：玩具机械狗不能完全放入该储物． 答：玩具机械狗不能完全放入该储物． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，合理将实际问题转化成方程（组是解决此题的关键． 24．（12分）如图，中，为边上的一个动点（不与、重合），过点作直线的垂线，垂足为，与的延长线相交于点． （1）若为中点，求证：； （2）若，，，当点在线段上运动时，的长度是否改变？若不变，求；若改变，请说明理由； （3）在（2）的条件下，为直线上的一点，设，若、、、四点构成一个平行四边形，请用含的代数式表示． 【分析】（1）证明即可解决问题． （2）结论：的长度不变．．证明，再证明四边形是平行四边形，推出即可解决问题． （3）分两种情形：如图3中，当点在线段上时，作于．当点在的延长线上时，分别求解即可． 【解答】（1）证明：如图1中， 四边形是平行四边形， ， ， ，， ， ． （2）解：结论：的长度不变．． 理由：如图2中，取的中点，连接，． ，， 是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． （3）解：如图3中，当点在线段上时，作于． 在中，，， ，， ． 当点在的延长线上时，同法可得， 综上所述，的长为或． 【点评】本题考查平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$