精品解析：江苏省盐城市射阳县2024-2025学年七年级下学期3月月考数学试题

2025年春学期3月份调研七年级数学试卷 分值：150分时间：120分钟 一、单选题（每小题3分，计24分） 1. 下列图形中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式的运算，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，将沿方向平移1个单位得到，若的周长等于8，则四边形的周长等于（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 下列四个选项的图形，能够由如图平移得到的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形．已知，，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 22 B. 24 C. 32 D. 40 8. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 1 二、填空题（每小题3分，计30分） 9. 若，，则______． 10. 等边三角形至少旋转___度才能与自身重合． 11. 计算：＝____． 12. 若3m＝6，3m＋n＝48，则3n＝__________． 13. 计算的结果是____________． 14. 一副直角三角尺如图1所示叠放，现将含角的三角尺固定不动，将含角的三角尺绕顶点按箭头方向转动至图2位置（点在的延长线上）的过程中，当与三角形的边所在直线平行时，的度数为___________． 15. ___________．（用完全平方公式计算） 16. 已知，则的值是______． 17. （1）已知，，则的值为______； （2）已知，则n的值为______． 18. 已知两个完全相同的直角三角形纸片、，如图放置，点、重合，点在上，与交于点．，，现将图中的绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，在旋转的过程中，恰有一边与平行的时间为____秒． 三、解答题（共9题，计96分） 19. 已知，是整数，解决以下问题： （1）若，且，，求的值. （2）若，且，求的值. 20. 计算： （1）； （2）． 21. 在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度．三角形的三个顶点的位置如图所示，将点A平移到，点B平移到，点C平移到． （1）请画出平移后的三角形，并写出点B经过怎样的平移得到？ （2）连接、，则这两条线段的位置关系是______． 22. 在平面直角坐标系中，每一个小正方形的边长都是1个单位长度，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出向下平移5个单位所得到的，并写出点的坐标； （2）画出将绕原点O逆时针方向旋转后的，并写出点的坐标． 23. 化简求值：的值，其中，． 24. 先化简，再求值：，其中，． 25. 北师大版初中数学教科书七年级下册第23页告诉我们，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式．例如由图①可以得到，这样就用图形面积验证了完全平方公式．请解答下列问题： （1）类似地，写出图②中所表示的数学等式________________； （2）如图③的图案被称为“赵爽弦图”，是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲．这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽．此图由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，已知直角三角形的两直角边分别为，，若，，求大正方形的面积； （3）如图④，在边长为的正方形各边上分别截取，当时，求正方形的面积． 26. 计算： （1）； （2）； （3）． 27. 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或者几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． [解决问题] （1）已知13是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式______； （2）若可配方成（m、n为常数），则______； [探究问题] （3）已知，则______； （4）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． [拓展结论] （5）已知实数x、y满足，求的最值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春学期3月份调研七年级数学试卷 分值：150分时间：120分钟 一、单选题（每小题3分，计24分） 1. 下列图形中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的概念，熟练掌握概念判断图形是解题的关键． 根据轴对称图形的概念可以得出答案． 【详解】解：A．不满足轴对称图形的概念，不符合题意； B．不满足轴对称图形的概念，不符合题意； C．不满足轴对称图形的概念，不符合题意； D．该图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，所以该图是轴对称图形，该选项符合题意． 故选：D． 2. 下列各式的运算，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方分别计算，对各项进行判断即可． 【详解】解：A、a2和a3不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； B、原计算错误，故该选项不符合题意； C、a3和a不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； D、正确，故该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方，掌握相关运算法则是解题的关键． 3. 如图，将沿方向平移1个单位得到，若的周长等于8，则四边形的周长等于（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移的基本性质，得出四边形的周长即可得出答案． 【详解】解：根据题意，将周长为8个单位的沿边向右平移1个单位得到， ，，； 又， 四边形的周长． 故选：B． 【点睛】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．得到，是解题的关键． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除，积的乘方，完全平方公式，根据同底数幂的乘除，积的乘方，完全平方公式法则逐项计算判断即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，原选项运算正确，符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 故选：． 5. 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较和幂的乘方，先根据幂的乘方进行变形，再比较即可，能正确根据幂的乘方进行变形是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 6. 下列四个选项的图形，能够由如图平移得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查利用平移设计图案．根据平移的性质即可得到结论，解决本题的关键是掌握图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状、大小、方向，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，以致选错． 【详解】解：观察图形可知C中的图形是平移得到的． 故选：C． 7. 如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形．已知，，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 22 B. 24 C. 32 D. 40 【答案】A 【解析】 【分析】根据平移的性质可得，，求出，再根据得出，最后根据梯形面积公式求解即可． 【详解】解：∵直角三角形沿方向平移得到直角三角形，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴四边形是梯形， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平移的性质，解题的关键是掌握平移前后对应边相等，对应点连线的长度等于平移的距离． 8. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查积的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故选C． 二、填空题（每小题3分，计30分） 9. 若，，则______． 【答案】16 【解析】 【分析】根据积的乘方法则可得出，再代入数据计算即可． 【详解】． 故答案为：16． 【点睛】本题考查积的乘方．掌握积的乘方法则是解题关键． 10. 等边三角形至少旋转___度才能与自身重合． 【答案】120 【解析】 【分析】等边三角形的中心到三个顶点的距离相等，相邻顶点与中心连线的夹角相等，求旋转角即可．本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 【详解】解：∵等边三角形的中心到三个顶点的距离相等，相邻顶点与中心连线的夹角相等， ∴旋转角为， ∴至少旋转120度才能与自身重合． 故答案为：120． 11. 计算：＝____． 【答案】1 【解析】 【分析】根据积的乘方逆运算进行计算即可． 【详解】解：原式 =1 故答案为：1． 【点睛】本题考查积的乘方的逆运算，解题关键是掌握． 12. 若3m＝6，3m＋n＝48，则3n＝__________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解：∵3m=6， ∴3m+n=3m·3n=6×3n=48， ∴3n=8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，解题的关键是灵活运用公式． 13. 计算的结果是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据积的乘方计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了积的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 14. 一副直角三角尺如图1所示叠放，现将含角的三角尺固定不动，将含角的三角尺绕顶点按箭头方向转动至图2位置（点在的延长线上）的过程中，当与三角形的边所在直线平行时，的度数为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、平行线的性质和判定、角的运算，根据与三角尺的一直角边平行，分以下两种情况讨论，①时，②当时，根据这两种情况，分别利用平行线的性质求解，即可解题． 【详解】解：①时，如图所示： ； ②当时，如图所示： 有， ， ， ， 故答案为：或． 15. ___________．（用完全平方公式计算） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式：，先将原式中看作一项，利用完全平方公式求出，再利用完全平方公式求出即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 16. 已知，则的值是______． 【答案】16 【解析】 【分析】由已知条件可得2ｘ+y=4,再利用同底数幂的乘法法则及幂的乘方法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【详解】解：∵2x+y-4=0, ∴2x+y=4, ． 故答案为：16． 【点睛】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用． 17. （1）已知，，则的值为______； （2）已知，则n的值为______． 【答案】 ①. 576 ②. 1 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的灵活运用． （1）利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可； （2）对已知条件进行整理得，从而可求解． 【详解】解：（1）， （2）∵， ∴，即，解得：． 故答案为：576，1． 18. 已知两个完全相同的直角三角形纸片、，如图放置，点、重合，点在上，与交于点．，，现将图中的绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，在旋转的过程中，恰有一边与平行的时间为____秒． 【答案】2或8或10 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、平行线的性质、旋转的速度、旋转角度、旋转时间之间的关系等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．分三种情形讨论：①当时．②当时．③当时，分别求出即可解决问题． 【详解】解：，，， ． ①当时，如图1中， ， ， ， ， ， 旋转时间． ②如图2中，当时， ， ， 旋转时间． ③当时，如图3中， ， ， ， 旋转时间． 综上所述，旋转时间为或或时，恰有一边与平行． 故答案为：2或8或10． 三、解答题（共9题，计96分） 19. 已知，是整数，解决以下问题： （1）若，且，，求的值. （2）若，且，求的值. 【答案】（1）6 （2）343 【解析】 【分析】（1）利用同底数幂的乘法运算即可； （2）利用幂的乘方计算，之后再整体代入即可得到答案． 【小问1详解】 解：，， ； 【小问2详解】 解：． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方运算，掌握运算性质是解题的关键． 20. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用单项式乘多项式法则展开； （2）利用完全平方公式和平方差公式展开，再合并同类项． 【小问1详解】 解：原式=； 【小问2详解】 原式= = = 【点睛】本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型． 21. 在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度．三角形的三个顶点的位置如图所示，将点A平移到，点B平移到，点C平移到． （1）请画出平移后的三角形，并写出点B经过怎样的平移得到？ （2）连接、，则这两条线段的位置关系是______． 【答案】（1） 如图所示，三角形即为所求； （2）平行 【解析】 【分析】本题考查作图−平移变换，解题的关键是掌握平移变换的性质．平移后的图形中的每一点都是由原图形中的某一点移动后得到的，连接各组对应点的线段平行（或在一条直线上）且相等． （1）利用A点平移规律得出对应点位置即可求解； （2）利用平移规律得出两条线段的位置关系即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据平移规律可知：、的位置关系是平行． 故答案为：平行． 22. 在平面直角坐标系中，每一个小正方形的边长都是1个单位长度，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出向下平移5个单位所得到的，并写出点的坐标； （2）画出将绕原点O逆时针方向旋转后的，并写出点的坐标． 【答案】（1） 解：如图所示， ∴ （2） 如图所示： ∴ 【解析】 【分析】本题考查的是坐标与图形，画平移图形，画旋转图形，熟练的利用平移与旋转的性质进行作图是解本题的关键． （1）分别确定A，B，C平移后的对应点，再顺次连接即可，再根据的位置可得其坐标； （2）分别确定A，B，C绕O旋转后的对应点，再顺次连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 化简求值：的值，其中，． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据整式的混合运算计算括号内的，再计算整式的除法，最后代入数值计算． 【详解】原式 ． 当时， 原式． 24. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式化简求值，首先利用整式的相关法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可． 【详解】 ， 当，时 原式= ． 25. 北师大版初中数学教科书七年级下册第23页告诉我们，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式．例如由图①可以得到，这样就用图形面积验证了完全平方公式．请解答下列问题： （1）类似地，写出图②中所表示的数学等式________________； （2）如图③的图案被称为“赵爽弦图”，是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲．这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽．此图由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，已知直角三角形的两直角边分别为，，若，，求大正方形的面积； （3）如图④，在边长为的正方形各边上分别截取，当时，求正方形的面积． 【答案】（1）（a＋b）2＝4ab＋（a−b）2 （2）19 （3）2 【解析】 【分析】（1）利用大正方形面积公式表示出大正方形的面积，也可用四个小长方形与一个小正方形表示出大正方形的面积，利用面积相等即可求解； （2）利用四个直角三角形的面积与小正方形的面积表示出大正方形的面积，根据a＋b＝5，（a−b）2＝13可求出ab，代入即可求解； （3）延长PE交BA的延长线于点I，延长QF交CB的延长线于点J，延长MG交DC的延长线于点K，延长NH交AD的延长线于点L，由∠AFQ＝∠BGM＝∠CHN＝∠DEP＝45°可得△AEI，△BFJ，△CGK，△DHL为等腰直角三角形，从而可得FI＝GK＝HK＝EL＝AB＝BC＝CD＝AD，可得等腰Rt△FQI，等腰Rt△MGJ，等腰Rt△NHK，等腰Rt△EPL的面积之和为正方形ABCD的面积，从而可得正方形MNPQ的面积为等腰Rt△AEI，等腰Rt△BFJ，等腰Rt△CGK，等腰Rt△DHL的面积之和，即可求解． 【小问1详解】 利用正方形面积公式，大正方形的面积为：（a＋b）2， ∵大正方形由四个小长方形和一个小正方形构成， ∴大正方形的面积也可表示为：4ab＋（a−b）2， ∴（a＋b）2＝4ab＋（a−b）2， 故答案为：（a＋b）2＝4ab＋（a−b）2； 【小问2详解】 ∵小正方形的边长为：a−b， ∴小正方形的面积为：（a−b）2， ∴大正方形面积为：4×ab＋（a−b）2＝2ab＋（a−b）2＝a2＋b2， ∵a＋b＝5，（a−b）2＝13， ∴（a＋b）2＝25， ∴（a＋b）2＋（a−b）2＝a2＋b2＋2ab＋a2＋b2−2ab＝2（a2＋b2）＝25＋13＝38， ∴a2＋b2＝19， ∴大正方形的面积为19； 【小问3详解】 如图，延长PE交BA的延长线于点I，延长QF交CB的延长线于点J，延长MG交DC的延长线于点K，延长NH交AD的延长线于点L， ∵∠AFQ＝∠BGM＝∠CHN＝∠DEP＝45°， ∴∠AEI＝∠BFJ＝∠CGK＝∠DHL＝45°， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°， ∴∠EAI＝∠FBJ＝∠GCK＝∠HDL＝90°， ∴△AEI，△BFJ，△CGK，△DHL为等腰直角三角形， ∵AE＝BF＝CG＝DH＝1， ∴AI＝BJ＝CK＝DL＝1， ∴FI＝GK＝HK＝EL＝AB＝BC＝CD＝AD， ∴S▱ABCD＝S△FQI＋S△MGJ＋S△NHK＋S△EPL， ∵S▱ABCD＝S四边形AEQF＋S四边形BFMG＋S四边形CGNH＋S四边形DHPE＋S▱MNPQ， ∴S▱MNPQ＝S△AEI＋S△BFJ＋S△CGK＋S△DHL ＝AE2＋BF2＋CG2＋DH2 ＝＋＋＋ ＝2． 【点睛】本题考查乘法公式的证明，解题的关键是熟练掌握乘法公式的证明方法，一般利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明． 26. 计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算和平方差公式的运用，熟练掌握公式和法则是解题关键． （1）先计算平方差公式及多项式乘多项式，然后去括号，最后合并同类项即可； （2）先计算平方差公式，然后去括号，最后合并同类项即可； （3）先计算平方差公式，然后去括号，最后合并同类项即可． 【小问1详解】 原式 【小问2详解】 原式 【小问3详解】 原式 27. 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或者几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． [解决问题] （1）已知13是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式______； （2）若可配方成（m、n为常数），则______； [探究问题] （3）已知，则______； （4）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． [拓展结论] （5）已知实数x、y满足，求的最值． 【答案】（1）（2）（3）5（4）13（5） 【解析】 【分析】本题主要考查的是配方法的应用，“完美数”的定义． （1）根据“完美数”的定义解答即可． （2）利用配方法把原式变形，进而求出m，n的值，然后计算即可． （3）利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性计算出x，y的值，然后再计算即可． （4）利用配方法把原式变形，根据“完美数”的定义解答即可． （5）将等式变形求得，利用配方法即可求得最小值． 【详解】解：（1）， 故答案为：． （2） ， ∴，， ∴， 故答案为： （3） 即， 即， ∴，， ∴， 故答案为：5． （4） ， 要使S为“完美数”，则， 解得： （5）， ∴， ∴ ， ∵ ∴取的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $