浙江省华东师大附属杭州学校2023-2024学年下学期八年级期中数学试卷

2023-2024学年浙江省华东师大附属杭州学校八年级（下）期中数学试卷 一、选择题：（本题有10个小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）下列二次根式是最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 2．（3分）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 3．（3分）如图，在矩形中，对角线，交于点，下列说法错误的是　　 A． B． C． D． 4．（3分）用配方法解方程时，配方结果正确的是　　 A． B． C． D． 5．（3分）如图，在正方形网格中，，，，，，，，，，是网格线交点，△与△关于某点成中心对称，则其对称中心是　　 A．点 B．点 C．点 D．点 6．（3分）一组数据，，5，3，7有唯一的众数7，则这组数据的中位数是　　 A． B．3 C．5 D．7 7．（3分）如图，的对角线，相交于点，且，．则的周长为　　 A．13 B．8 C．7 D．5 8．（3分）关于的方程的解是，，，均为常数，，则方程的解是　　 A．， B．， C．， D．， 9．（3分）如图，的对角线与相交于点，过点作交于点，若，，，则的长为　　 A． B． C． D． 10．（3分）对于关于的一元二次方程的根的情况，有以下四种表述： ①当，，时，方程一定没有实数根； ②当，，时，方程一定有实数根； ③当，时，方程一定没有实数根； ④当，，时，方程一定有两个不相等的实数根． 其中表述正确的序号是　　 A．① B．② C．③ D．④ 二、填空题：（本题有6个小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）使有意义的的取值范围是 　　． 12．（3分）一个多边形的内角和等于，则它的边数是 　　． 13．（3分）关于的方程的一个解是，则方程的另一个解 　　． 14．（3分）小明在计算一组数据的方差时，先计算了这组数据的平均数，然后写出了如下计算公式：，则这组数据的方差　　． 15．（3分）如图，在平行四边形中，平分，，连接，是的中点，连接，若，则　　． 16．（3分）如图，在菱形中，对角线、相交于点，点在线段上，连接，若，，则线段的长为　　． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）计算： （1）； （2）． 18．（8分）解方程： （1）； （2）． 19．（6分）为了选拔一名学生参加数学比赛，对两名备赛选手进行了10次测验，成绩如下（单位：分） 甲：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10 乙：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10 选手 平均数 中位数 众数 方差 甲 7 6 2.6 乙 7 （1）以上成绩统计分析中，　　，　　，　　； （2）　　2.6（填“”，“ ”或“” ； （3）根据以上信息，请你判断哪位同学参加比赛更合适，请说明理由． 20．（8分）已知：如图，点，点是的对角线上的两点，且． （1）求证：． （2）求证：四边形是平行四边形． 21．（8分）某商店经销一种成本为每千克20元的水产品，据市场分析，若按每千克30元销售，一个月能售出，销售单价每涨1元，月销售量就减少，解答以下问题． （1）当销售单价定为每千克35元时，销售量是　　千克、月销售利润是　　元； （2）商店想在月销售成本不超过6000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少？ 22．（10分）如图1，两个全等的直角三角形和的斜边和在同一直线上，，并连结，． 【操作思考】 （1）在△沿直线平移过程中，求证：； 【拓展探究】 （2）如图2，若四边形为菱形，，，求的长． 23．（12分）定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“有爱方程”． （1）判断一元二次方程是否为“有爱方程”，并说明理由； （2）若关于的一元二次方程为“有爱方程”，证明：为“有爱方程”的根； （3）已知是关于的“有爱方程”，若是该“有爱方程”的一个根，求的值． 24．（12分）如图，在中，延长至点，使，连接交于点，连接，． （1）求证：； （2）若 ①若，，求的面积； ②连接，求证：． 2023-2024学年浙江省华东师大附属杭州学校八年级（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C D C C B A D B 一、选择题：（本题有10个小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）下列二次根式是最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 【分析】满足以下两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式，由此判断即可． 【解答】解：、被开方数含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 、是最简二次根式，故此选项符合题意； 、被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 、被开方数含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 2．（3分）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：不能合并，故选项错误，不符合题意； ，故选项正确，符合题意； ，故选项错误，不符合题意； ，故选项错误，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 3．（3分）如图，在矩形中，对角线，交于点，下列说法错误的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据矩形的性质推出即可． 【解答】四边形是矩形， ，，，不能推出， 选项、、正确，选项错误； 故选：． 【点评】本题考查了矩形的性质的应用，注意：矩形的对边平行且相等，矩形的对角线互相平分且相等． 4．（3分）用配方法解方程时，配方结果正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断． 【解答】解：方程， 整理得：， 配方得：． 故选：． 【点评】此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 5．（3分）如图，在正方形网格中，，，，，，，，，，是网格线交点，△与△关于某点成中心对称，则其对称中心是　　 A．点 B．点 C．点 D．点 【分析】关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，由此即可解决问题． 【解答】解：△与△关于某点成中心对称， 对应点和的连线与对应点和的连线的交点是对称中心． 故选：． 【点评】本题考查中心对称，关键是掌握中心对称的性质． 6．（3分）一组数据，，5，3，7有唯一的众数7，则这组数据的中位数是　　 A． B．3 C．5 D．7 【分析】根据众数的定义先求出的值，再根据中位数的定义把这组数据从小到大排列，找出最中间的数或中间两个数的平均数即可得出答案． 【解答】解：数据，，5，3，7有唯一的众数7， ， 把这些数从小到大排列为，3，5，7，7， 则这组数据的中位数是5． 故选：． 【点评】本题主要考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数． 7．（3分）如图，的对角线，相交于点，且，．则的周长为　　 A．13 B．8 C．7 D．5 【分析】平行四边形的对角线互相平分，根据平行四边形的性质即可解决问题． 【解答】解：四边形是平行四边形， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质：平行四边形的对边相等 8．（3分）关于的方程的解是，，，均为常数，，则方程的解是　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】设，则方程可化为，，是方程的解；方程可化为，得或，从而求出的值即可． 【解答】解：设，则方程可化为， ，是方程的解， 方程可化为， 或，即或， 或，即，． 故选：． 【点评】本题考查方程的解，利用换元法解方程是解题的关键． 9．（3分）如图，的对角线与相交于点，过点作交于点，若，，，则的长为　　 A． B． C． D． 【分析】由平行四边形的性质得，，而，由，证明，求得，因为于点，所以，求得，于是得到问题的答案． 【解答】解：的对角线与相交于点，，，， ，，， ，， ， △是直角三角形，且， ，， 于点， ， ， 故选：． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、勾股定理及其逆定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，证明是解题的关键． 10．（3分）对于关于的一元二次方程的根的情况，有以下四种表述： ①当，，时，方程一定没有实数根； ②当，，时，方程一定有实数根； ③当，时，方程一定没有实数根； ④当，，时，方程一定有两个不相等的实数根． 其中表述正确的序号是　　 A．① B．② C．③ D．④ 【分析】关于的一元二次方程的判别式为△，若△，则方程有两个不相等的实数根；△，则方程有两个相等的实数根；△，则方程无实数根，据此逐一判断即可． 【解答】解：①当，，时，满足，，， 此时△，即方程有两个不相等的实数根， 故①错误； ②，， ， ， ， △，即方程有两个不相等的实数根， 故②正确； ③当，，时，满足，， 此时△，即方程有两个不相等的实数根， 故③错误； ④，，， ，， △，即方程有两个相等的实数根， 故④错误； 综上，正确的是②， 故选：． 【点评】本题考查的是根的判别式和一元二次方程的解，利用一元二次方程根的判别式判断根的情况是解题的关键． 二、填空题：（本题有6个小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）使有意义的的取值范围是 　　． 【分析】当被开方数为非负数时，二次根式才有意义，列不等式求解． 【解答】解：根据二次根式的意义，得 ，解得． 【点评】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 12．（3分）一个多边形的内角和等于，则它的边数是 　7　． 【分析】根据边形的内角和为列出关于的方程式，解方程即可求出边数的值． 【解答】解：设这个多边形的边数是， 则：， 解得， 故答案为：7． 【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，关键在于要根据公式进行正确运算，变形和数据处理． 13．（3分）关于的方程的一个解是，则方程的另一个解 　3　． 【分析】先利用根与系数的关系得，然后把代入可得的值． 【解答】解：根据根与系数的关系得， 而， 所以． 故答案为：3． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 14．（3分）小明在计算一组数据的方差时，先计算了这组数据的平均数，然后写出了如下计算公式：，则这组数据的方差　2　． 【分析】由方差的计算公式，可知这组数据为6、8、8、10，然后根据平均数和方差的定义求解，作答即可． 【解答】解：计算公式：， 这组数据为6、8、8、10， 这组数据的平均数为：． ． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查方差和算术平均数，解题的关键是由计算方差的算式得出这组数据． 15．（3分）如图，在平行四边形中，平分，，连接，是的中点，连接，若，则　2　． 【分析】根据平行四边形的性质结合角平分线的定义可求解，即可得，利用等腰三角形的性质可得，进而可得是的中位线，根据三角形的中位线的性质可求解． 【解答】解：在平行四边形中，， ． 平分， ， ， ． ， ． 是的中点， 是的中位线， ， ， ． 故答案为2． 【点评】本题主要考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，证明是的中位线是解题的关键． 16．（3分）如图，在菱形中，对角线、相交于点，点在线段上，连接，若，，则线段的长为　　． 【分析】设，则，根据菱形的性质得，，，然后利用勾股定理计算，再计算的长． 【解答】解：设，则， ， 四边形为菱形， ，，， ， ， 解得， 即，， 在△中，， 在△中，， 故答案为：． 【点评】本题考查了菱形的性质，解答本题的关键要熟练掌握菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先化简二次根式，然后计算加减法． （2）先去括号，然后计算加减法． 【解答】解：（1） ； （2） ． 【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算顺序是解此题的关键． 18．（8分）解方程： （1）； （2）． 【分析】（1）先利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程； （2）先移项，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可． 【解答】解：（1）， ， ， ， 所以，； （2）， ， ， 或， 所以，． 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法． 19．（6分）为了选拔一名学生参加数学比赛，对两名备赛选手进行了10次测验，成绩如下（单位：分） 甲：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10 乙：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10 选手 平均数 中位数 众数 方差 甲 7 6 2.6 乙 7 （1）以上成绩统计分析中，　6　，　　，　　； （2）　　2.6（填“”，“ ”或“” ； （3）根据以上信息，请你判断哪位同学参加比赛更合适，请说明理由． 【分析】（1）根据平均数、众数、中位数的定义即可求出结果； （2）根据平均数和方差的计算结果求出答案； （3）比较出甲、乙两位同学的中位数、众数和方差即可． 【解答】解：（1）甲数据从小到大排列，第5、6位都是6，故中位数为； 甲的平均数， 乙的数据中7最多有4个，所以众数， 故答案为：6，7，7； （2）， ， 故答案为：； （3）选择乙同学， 理由：乙同学的中位数和众数都比甲的大，并且乙的方差比甲小，成绩比较稳定． 【点评】本题主要考查了平均数、众数、方差和中位数，在解题时要能根据方差的计算公式求出一组数据的方差是解题的关键． 20．（8分）已知：如图，点，点是的对角线上的两点，且． （1）求证：． （2）求证：四边形是平行四边形． 【分析】（1）连接，交于点，利用平行四边形的性质可得，，然后利用等式的性质可得，从而可得四边形是平行四边形，即可解答； （2）利用（1）的思路，即可解答． 【解答】证明：（1）连接，交于点， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ； （2）四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 21．（8分）某商店经销一种成本为每千克20元的水产品，据市场分析，若按每千克30元销售，一个月能售出，销售单价每涨1元，月销售量就减少，解答以下问题． （1）当销售单价定为每千克35元时，销售量是　450　千克、月销售利润是　　元； （2）商店想在月销售成本不超过6000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少？ 【分析】（1）利用销售量涨价的钱数，即可求出销售量，再利用月销售利润每千克的利润月销售量，即可求出月销售利润； （2）设销售单价应为元千克，则每千克的利润为元，月销售量为千克，利用月销售利润每千克的利润月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合月销售成本不超过6000元，即可确定的值． 【解答】解：（1）（千克）， （元． 故答案为：450；6750． （2）设销售单价应为元千克，则每千克的利润为元，月销售量为千克， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：销售单价应为60元千克． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 22．（10分）如图1，两个全等的直角三角形和的斜边和在同一直线上，，并连结，． 【操作思考】 （1）在△沿直线平移过程中，求证：； 【拓展探究】 （2）如图2，若四边形为菱形，，，求的长． 【分析】（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可解决问题； （2）设，根据勾股定理，建立方程求解即可． 【解答】（1）证明：△△， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ； （2）解：，，， ， 如图2，连接交于点， △平移的过程中，四边形能成为菱形， 四边形能成为菱形， ，，， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， 整理得， 解得：或（舍去）， ． 当时，四边形能成为菱形． 【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，平移的性质，菱形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，平行线的判定与性质等知识，熟练掌握菱形判定与性质是解题的关键． 23．（12分）定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“有爱方程”． （1）判断一元二次方程是否为“有爱方程”，并说明理由； （2）若关于的一元二次方程为“有爱方程”，证明：为“有爱方程”的根； （3）已知是关于的“有爱方程”，若是该“有爱方程”的一个根，求的值． 【分析】（1）将一元二次方程化为一元二次方程的一般形式，再根据“有爱方程”的定义判断即可； （2）根据“有爱方程”的定义得到、、的数量关系，将用含和的代数式表示出来并代入方程，再利用十字相乘法分解因式证明即可； （3）根据“有爱方程”的定义得到各系数之间的数量关系，将常数项用含的代数式表示出来并代入原方程，并把代入，得到关于的一元二次方程，再利用十字相乘分解因式法求解即可． 【解答】（1）解：一元二次方程是“有爱方程”．理由如下： ， ， ， ，，， ， 一元二次方程是“有爱方程”． （2）证明：关于的一元二次方程为“有爱方程”， ， ， ， 为“有爱方程”的根． （3）解：是关于的“有爱方程”， ， ， 是该“有爱方程”的一个根， ， ， 或． 【点评】本题考查一元二次方程的解，掌握一元二次方程的一般形式、用十字相乘分解因式法解一元二次方程是解题的关键． 24．（12分）如图，在中，延长至点，使，连接交于点，连接，． （1）求证：； （2）若 ①若，，求的面积； ②连接，求证：． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，结合△△，证得结论； （2）①由已知条件，得到，结合勾股定理，求得的长，从而得到平行四边形的面积； ②由条件，得到四边形是矩形，在△中，，结合图形，得到，，且，从而证得结论． 【解答】（1）证明：， ，， ， ， 又， ，， △△，， ， ， ， ， ； （2）解：①，， ， 在△中，，， ， 的面积为； ②证明：，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 在△中，， ， ， 即， ， ， 在△中，，且， ， ． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，三角形全等，勾股定理的应用，熟练掌握相关性质是解题的关键． 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$