精品解析：湖南省常德市2025届高三下学期模拟考试数学试题

2025年常德市高三年级模拟考试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由一元二次不等式解出集合，再求交集即可. 【详解】由题意可得， 又因为 所以. 故选：B 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定. 【详解】的否定为. 故选：C 3. 已知数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据与的关系及等比数列的通项求出的通项，再根据等比数列的前项和公式求出，再逐一判断即可. 【详解】由， 当时，， 当时，， 所以， 所以数列从第二项开始是以为首项，为公比的等比数列， 所以，， 所以， 故ABC错误，D正确. 故选：D. 4. 已知复数满足：，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件化简求解得出，进而得出模长. 【详解】因为复数满足：，则， 即得，所以 则. 故选：A. 5. 下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性逐一判断即可. 【详解】对于A，因为函数为减函数，， 所以，故A错误； 对于B，因为函数是减函数，， 所以，故B错误； 对于C，因为，而， 因为函数在上单调递增， 所以，故C错误； 对于D，因为，， 所以，故D正确. 故选：D. 6. 从1，2，3，4，5，6，7这7个数任选3个不同数排成一个数列，则得到的数列为等差数列的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用排列计数问题求出试验及事件的基本事件数，再求出古典概率. 【详解】从给定的7个数中任取3个的试验有个基本事件， 能构成等差数列的事件含有：公差为的个，公差为的个，公差为有个，共18个基本事件， 所以得到的数列为等差数列的概率为. 故选：A 7. 已知，则（ ） A. B. 7 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用条件求出，然后可得答案. 【详解】因为，所以， 由和差化积公式可得， 因为，所以， 由， 可得，所以. 故选：C 8. 已知椭圆的左，右焦点分别为，点在椭圆上，连接并延长交椭圆于点.若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义及勾股定理列式求出离心率. 【详解】设，由，得，， 由椭圆定义得， 由，得，则， 解得，，令椭圆的半焦距为c， 由，得，解得， 所以椭圆的离心率为. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分..在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设样本空间，且每个样本点是等可能的，已知事件，则下列结论正确的是（ ） A. 事件A与B为互斥事件 B. 事件两两独立 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据互斥事件、独立事件的定义和条件概率公式即可解答. 【详解】对于选项A，因为，所以事件与不互斥，故A错误； 对于选项B，， ，故B正确； 对于选项C，交集为，则，故C错误； 对于选项D，，故D正确. 故选：BD. 10. 已知连续函数是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数在上单调递增 C. 函数存在极小值点 D. “”是“”的充要条件 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用导数确定单调性判断A；举例说明判断B；利用极小值的意义，结合偶函数及单调性判断C；利用充要条件的意义，结合导数求函数最小值判断D. 【详解】由定义域在上的连续函数在区间上单调递增，得，， 对于A，，，函数在上单调递增，A正确； 对于B，取函数，显然符合题意，函数， ，当时，，函数在上不单调，B错误； 对于C，函数定义域为，，函数是偶函数， 令，因函数，在上都是增函数，则在上也是增函数， 因是偶函数，故在上是减函数， 因此是函数的一个极小值点，C正确； 对于D，当时，依题意，，， 令，则， 当时，；当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增，， 故有； 而当时，取，得，则， 所以“”是“”的充要条件，D正确. 故选：ACD 11. 如图，在棱长为2的正方体中，空间中的点满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则的最大值为 C. 若，则平面截该正方体的截面面积的最小值为 D. 若，则平面与平面夹角的正切值的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断A；利用空间向量的模建立方程求出最小值判断B；作出截面并求出最小面积判断C；利用面面角的向量求法求解判断D. 【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 由，得，即点， 对于A，，则点，，， ，因此，A正确； 对于B，，则，即， 令，则， 其中锐角由确定，则当时，的最大值为，B正确； 对于C，，在边上，且， 因平面平面，设平面平面， 而平面平面，则，同理， 因此是平面截该正方体的截面， 点到直线的距离 ，当且仅当时取等号， ，C错误； 对于D，因， 设平面的法向量，则， 令，得； 又，因，则， 令平面的法向量，则， 令，得. 设平面与平面的夹角为， 则，， 当时，，当时，， 当且仅当或时取等号，因，此时最小，，， 因此平面与平面夹角的正切值的最小值为，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据离心率公式和双曲线的的关系进行求解 【详解】由题知：，双曲线的渐近线方程为 故答案为 【点睛】本题考查双曲线渐近线的求法，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质 13. 若函数有最小值，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数探讨函数在上单调性及对应函数值集合，再由给定最值情况求出范围. 【详解】当时，，求导得， 函数在上单调递增，在时的取值集合为， 当时，，没有最小值， 由函数在R上有最小值，得在上单调递减，且， 因此，解得，所以实数的取值范围是. 故答案为： 14. 已知函数在区间上有且仅有1个零点和1条对称轴，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】求出相位的取值范围，再由零点及对称轴情况列出不等式求解. 【详解】当时，， 由函数在区间上有且仅有1个零点和1条对称轴，， 得或，解得或， 则，所以实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某景区经过提质改造后统计连续5天进入该景区参观的人数（单位：千人）如下： 日期 3月5日 3月6日 3月7日 3月8日 3月9日 第x天 1 2 3 4 5 参观人数y 2.2 2.6 3.1 5.2 6.9 （1）建立关于的回归直线方程，预测第10天进入该景区参观的人数； （2）该景区只开放东门，西门供游客出入，游客从东门，西门进入该景区的概率分别为、，且出景区与进入景区选择相同的门的概率为，出景区与进入景区选择不同的门的概率为.假设游客从东门，西门出入景区互不影响，求甲，乙两名游客都从西门出景区的概率. 附：参考数据：. 参考公式：回归直线方程，其中，. 【答案】（1），约为千人； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用最小二乘法公式求出回归直线方程，再估计第10天进入该景区参观的人数. （2）利用全概率公式分别求出甲，乙从西门出景区的概率，再利用相互独立事件概率的乘法公式求解. 【小问1详解】 依题意，，而， 则，， 因此，当时，， 所以关于的回归直线方程为，第10天进入该景区参观的人数约为千人. 【小问2详解】 记“甲从西门进入景区”为事件，“甲从西门出景区”为事件，“乙从西门出景区”为事件， ，， 由全概率公式得，同理， 所以甲，乙两名游客都从西门出景区的概率. 16. 如图，在四棱锥中，底面四边形是正方形，平面，二面角为. （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 在四棱锥中，由平面，平面，得， 由四边形是正方形，得，而平面， 因此平面，又平面, 所以平面平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质、判定及面面垂直的判定推理得证. （2）利用（1）的信息确定二面角的平面角，再作出线面角，利用几何法求出正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，平面，而，则平面，又平面， 于是，为二面角的平面角，则， 令正方形的棱长为4，而，则， 取中点，连接，则，由（1）知平面平面， 又平面平面，平面，则平面， 是直线与平面所成的角，而， ，所以直线与平面所成角的正弦值为. 17. 如图，在中，分别是上的点，且与交于点，已知，且. （1）若，求的长； （2）求的长. 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）在中，利用余弦定理求解； （2）在上取点，使得，过点作，由三角形全等可得，进而可得，则，运算得解. 【小问1详解】 在中，，，， ， . 【小问2详解】 如图，在上取点，使得，又，， ，则， 所以， 过点作，垂足为， 则， 所以. 18. 已知函数在处的切线与直线垂直. （1）求函数的单调区间； （2）若对任意恒成立，求实数的值； （3）对于函数，规定：，叫做函数的阶导数.若对任意恒成立，求满足条件的正整数的最小值. 【答案】（1） 单调递增区间为，单调递减区间为. （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义可得，进而利用导数求单调区间； （2）构建，可知对任意恒成立，注意到，可得，，并代入检验充分性； （3）可设，根据求导法则结合数列知识可得，，分析可知对任意恒成立，结合二次函数运算求解即可. 【小问1详解】 由题意可知：函数的定义域为，则， 若函数在处的切线与直线垂直， 则，解得，所以， 令，则，解得或； 令，则，解得； 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 构建，则， 由题意可知：对任意恒成立，且， 则，解得， 若，则， 构建，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，即对任意恒成立， 且对任意恒成立， 可知对任意恒成立，所以符合题意； 综上所述：. 【小问3详解】 由（1）可知：， 根据求导法则可设，其中， 则， 则 可知数列是以首项为2，公差为2的等差数列，则， 对于，则， 当时， ， 且符合上式，所以， 则， 若对任意恒成立， 则对任意恒成立， 且的图象开口向上，对称轴为， 可知在内单调递增，则，解得， 所以满足条件的正整数的最小值为3. 19. 已知抛物线的焦点为，点在上，且. （1）求抛物线的方程； （2）过点作圆的两条切线，且分别与相交于点，（异于点）. （ⅰ）若，求.面积； （ⅱ）证明：直线过定点. 【答案】（1） （2）（ⅰ）； （ⅱ）证明：设直线， 联立得，得，则， 的切线斜率为， 是切线，所以 即，计算得， 所以，化简得， 直线，过定点. 【解析】 【分析】（1）根据焦半径公式结合题设条件可得关于的方程组，求出解后可得抛物线方程； （2）（ⅰ）设，再根据，得出k，再联立方程得出点A,B的坐标计算得出面积；（ⅱ）设直线联立得出，根据可得，由此可证直线过定点. 【小问1详解】 点在上，且. 由题意得：，解得， 所以抛物线C的方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）因为，设， 设圆心O到直线的距离为， 又因为，所以，所以，化简得出， 所以或； 联立直线与，得出， 所以； 联立直线与，得出， 所以； 所以 所以； （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年常德市高三年级模拟考试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（     ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知复数满足：，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 5. 下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 从1，2，3，4，5，6，7这7个数任选3个不同数排成一个数列，则得到的数列为等差数列的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. 7 C. D. 8. 已知椭圆的左，右焦点分别为，点在椭圆上，连接并延长交椭圆于点.若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分..在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设样本空间，且每个样本点是等可能的，已知事件，则下列结论正确的是（ ） A. 事件A与B为互斥事件 B. 事件两两独立 C. D. 10. 已知连续函数是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数在上单调递增 C. 函数存在极小值点 D. “”是“”的充要条件 11. 如图，在棱长为2的正方体中，空间中的点满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则的最大值为 C. 若，则平面截该正方体的截面面积的最小值为 D. 若，则平面与平面夹角的正切值的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为______． 13. 若函数有最小值，则实数的取值范围是______. 14. 已知函数在区间上有且仅有1个零点和1条对称轴，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某景区经过提质改造后统计连续5天进入该景区参观的人数（单位：千人）如下： 日期 3月5日 3月6日 3月7日 3月8日 3月9日 第x天 1 2 3 4 5 参观人数y 2.2 2.6 3.1 5.2 6.9 （1）建立关于的回归直线方程，预测第10天进入该景区参观的人数； （2）该景区只开放东门，西门供游客出入，游客从东门，西门进入该景区的概率分别为、，且出景区与进入景区选择相同的门的概率为，出景区与进入景区选择不同的门的概率为.假设游客从东门，西门出入景区互不影响，求甲，乙两名游客都从西门出景区的概率. 附：参考数据：. 参考公式：回归直线方程，其中，. 16. 如图，在四棱锥中，底面四边形是正方形，平面，二面角为. （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 如图，在中，分别是上的点，且与交于点，已知，且. （1）若，求的长； （2）求的长. 18. 已知函数在处的切线与直线垂直. （1）求函数的单调区间； （2）若对任意恒成立，求实数的值； （3）对于函数，规定：，叫做函数的阶导数.若对任意恒成立，求满足条件的正整数的最小值. 19. 已知抛物线的焦点为，点在上，且. （1）求抛物线的方程； （2）过点作圆的两条切线，且分别与相交于点，（异于点）. （ⅰ）若，求.面积； （ⅱ）证明：直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $