精品解析：山西省晋中市榆社县2025年九年级中考第一次模拟数学试卷

2025年初中学业水平考试——模拟测评（一） 数学 注意事项： 1．本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 计算的结果是（ ） A. 6 B. C. D. 2. 地铁是一种独立的有轨交通系统，不受地面道路情况的影响，能够快速、安全、舒适地运送乘客，而且效率高、无污染，能够实现大运量的要求，具有良好的社会效益．下列四个城市的地铁图标中，文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 2025年春节是中国“春节”申遗成功后的首个农历新年，被称为首个“非遗版”春节，为迎接这个特别的春节，各地开展了丰富多彩的非遗主题活动．根据山西省文化和旅游厅数据统计，2025年春节放假期间全省共接待国内游客2837.97万人次，同比增长22.20%．数据“2837.97万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 一个物块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若摩擦力与重力G方向的夹角的度数为，则斜面的坡角的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 某校“创客作品展示活动”采用民主投票的方式进行评选，即该校每位同学从名候选人中选择名进行无记名投票，进而从中选出获胜者．根据投票结果判断最终获胜者所需要考虑的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 7. 如图，已知中，为直径，P、D为上两点，过点P作的切线与的延长线交于点C，连接、．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 9. 一次函数的x与y的部分对应值如下表所示，根据该表反映的变化规律，下列说法正确的是（ ） … 0 1 2 … … 1 4 7 … A. 的值随值的增大而减小 B. 该函数的图象经过第一、三、四象限 C. 关于的方程的解是 D. 不等式的解集为 10. 如图，正五边形的对角线相交于点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案直接写在答题卡相应的位置） 11. 我省普通高考实行“”模式，包括3门普通高等学校招生全国统一考试科目（以下简称全国统考科目）和3门普通高中学业水平选择性考试科目（以下简称选考科目），其中全国统考科目为语文、数学、外语3门，选考科目由考生从物理和历史2门首选科目中任选1门，从思想政治、地理、化学、生物学4门再选科目中任选2门．开学初，某校对高一新生进行选科操作，若A、B两位同学是该校高一新生，则他们选择同一科再选科目的概率为_________． 12. 如图，的顶点A，B，C的坐标分别是，，．以坐标原点为位似中心，相似比为，将缩小，则点C的对应点的坐标为________． 13. 如图，点是为直径的半圆上一点，连接，将沿直线翻折，翻折后的圆弧恰好经过点．若，则图中阴影部分的面积为______． 14. 如图，在中，，，，过点C作于点D，E是的中点，连接并延长，交边于点F，则的长为_________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）计算：； （2）解方程组： 16. “冰雪同梦，亚洲同心．”2025年2月7日至2月14日，在黑龙江省哈尔滨市举办的第九届亚洲冬季运动会的吉祥物是“滨滨”和“妮妮”．某经销商计划购进一批以“滨滨”和“妮妮”为主题的“手办摆件”和“卡通徽章”进行销售，在采购时发现，用2000元采购“手办摆件”的个数与用2600元采购“卡通徽章”的个数相等，一个“手办摆件”的进价比一个“卡通徽章”的进价少15元． （1）求采购“手办摆件”和“卡通徽章”的单价分别是多少元． （2）若该经销商计划采购“手办摆件”和“卡通徽章”共100个，并且总费用不超过6000元，则该经销商至少采购“手办摆件”多少个? 17. 人工智能是当前科技领域的热门话题，特别是上线后，在知识类任务上水平显著提升，生成速度大幅提高．某学校为了解该校学生对人工智能的关注与了解程度，对全校学生进行问卷测试，得分采用百分制，得分越高，则表明对人工智能的关注与了解程度就越高．现从八、九年级学生中分别随机抽取20名学生的测试成绩进行整理和分析（得分用表示，且得分为整数，共分为5组：A组：，B组：，C组：，D组：，E组：），下面给出了部分信息： 八年级被抽取的学生测试得分的所有数据如下： 50，51，59，65，66，73，76，79，83，84，84，84，84，86，88，88，92，93，97，98． 九年级被抽取的学生测试得分中D组包含的所有数据如下： 88，88，86，88，88，84，85，89． 八、九年级被抽取的学生测试得分统计表 平均数/分 众数/分 中位数/分 八年级 79 84 九年级 79 88 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：上述图表中，__________：__________，__________． （2）根据以上数据，你认为该校八、九年级哪个年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高？请说明理由． 18. 如图，某校在综合实践活动课上，小明设计了一个探索杠杆平衡条件的装置，在左边固定的托盘中放置一个重物（质量固定），在右边可左右移动的托盘中放置一定质量的砝码（质量记为），可使仪器水平平衡（平衡时遵循杠杆平衡条件）．改变托盘与点之间的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表格： 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 （1）与之间的函数表达式为____________． （2）当砝码的质量为时，求托盘与点之间的距离． （3）当托盘向左移动（不能移动到点）时，应往托盘中添加砝码还是减少砝码?并说明理由． 19. 研学实践：钟鼓楼作为中国古代的传统建筑，一般都成为当地的地标，在古时主要承担报时之责．太原钟楼坐落于太原市府东街南侧，它始建于明代中期，是由傅山先生的祖父傅霖筹集资金修建而成．周末某学校研学小组对太原钟楼的高度进行测量． 方案设计：如图，观察员在地面上的点处观察点的仰角为．观察员在点处竖直向上升起一架无人机，当无人机到达离地面的点处时，测得钟楼顶端点的俯角为， 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，两点的水平距离，．请根据上述数据，计算太原钟楼的顶端到地面的距离．（结果精确到；参考数据：，，，，，） 20. 阅读与思考 下面是小颖同学复习过程中课后积累笔记的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． ×年×月×日 晴 在学习“特殊平行四边形”的过程中，我们通过构造矩形，获得了直角三角形斜边上中线的相关性质．基本思路如下： 证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图1，在中，，是斜边上的中线． 求证：． 解题思路：如图2，延长到点E，使，连接四边形是平行四边形（依据）→四边形是矩形→矩形的对角线相等→结论． 今天我们学习了“平行线分线段成比例”的相关性质，能否借助这一性质证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一结论呢?小颖给出了如下思路． 已知：如图3，在中，，是斜边上的中线． 求证： 证明：过点作边的垂线，垂足为D． ∵， ∴． 又∵， ∴． …… 任务： （1）解题思路中“依据”处应填_________；利用尺规在图3中，按照小颖的方法补全图形（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． （2）补全小颖的证明过程 （3）请你用其他方法证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，在图4中画出适当的辅助线，并给出解题思路． 21. 学科实践 请根据以下项目材料，探索并完成任务． 课题 如何确定烟花燃放后粉尘颗粒下落的位置 背景 燃放烟花是中国的传统文化，具有吉祥欢乐的象征，烟花射入高空后，光剂燃烧形成五彩缤纷的美丽图案．某数学实践小组对某款烟花展开测试 图示 数据1 图1为一组烟花的燃放实物图，烟花升空到光剂燃尽颗粒物下落过程近似看成抛物线形状，为安全考虑，在一较高的长方体平台上燃放，如图2，平台边长为，高为，为的中点，E为燃放前烟花的喷射点（烟花的高度忽略不计），P为升空后的爆炸点，为，点，E，P在与地面垂直的同一直线上，点N，M分别为抛物线，与平台的交点，抛物线与关于对称，抛物线在距离中心水平距离处达到最高，此时高度为 数据2 抛物线为烟花光剂燃尽颗粒物下落过程中形成的最高且与中心水平距离最远的抛物线，该抛物线外围属于安全范围，其函数表达式满足 问题解决 任务1 确定烟花光剂燃烧颗粒物的运动路径 在图2中以点为坐标原点，CD所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式 任务2 探究烟花燃尽颗粒物下落后的位置 在任务1所建的平面直角坐标系中，求烟花燃尽颗粒物下落后点M的坐标 任务3 确定观看烟花的安全距离 请你计算说明观赏人在地面上站立的安全范围 22. 综合与探究 问题情境： 如图1，四边形是矩形，沿过点的直线将矩形折叠，使点落在边上的点处，折痕交边于点，连接． 猜想证明： （1）判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究： （2）创新小组在解决了上述问题后，继续将矩形沿所在直线折叠，使点，分别落在，边上的点，处，交于点，展开铺平．将绕点逆时针方向旋转，得到，点，的对应点分别为，，如图，连接，．试探究线段，之间的数量关系，并说明理由．问题解决： （3）在的条件下，若，，在旋转的过程中，当，，三点在同一条直线上时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中学业水平考试——模拟测评（一） 数学 注意事项： 1．本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 计算的结果是（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查有理数乘法，根据有理数乘法运算法则，先确定符号、再计算结果即可得到答案，熟记两个有理数乘法运算法则是解决问题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 2. 地铁是一种独立的有轨交通系统，不受地面道路情况的影响，能够快速、安全、舒适地运送乘客，而且效率高、无污染，能够实现大运量的要求，具有良好的社会效益．下列四个城市的地铁图标中，文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形定义．根据题意利用轴对称图形定义逐一对选项进行识别即可． 【详解】解：∵轴对称图形即沿着对称轴折叠两边能完全重合的图形， ∴C选项符合轴对称图形定义， 故选：C． 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由同底数幂的乘法运算、积的乘方运算、幂的乘方运算、合并同类项、单项式乘以单项式运算逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查整式混合运算，涉及同底数幂的乘法运算、积的乘方运算、幂的乘方运算、合并同类项、单项式乘以单项式运算等知识，熟练掌握相关整式运算法则是解决问题的关键． 4. 2025年春节是中国“春节”申遗成功后的首个农历新年，被称为首个“非遗版”春节，为迎接这个特别的春节，各地开展了丰富多彩的非遗主题活动．根据山西省文化和旅游厅数据统计，2025年春节放假期间全省共接待国内游客2837.97万人次，同比增长22.20%．数据“2837.97万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，读懂题意，按照科学记数法的表示原则得到即可确定答案，表示时关键要正确确定的值以及的值．注意，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：2837.97万， 故选：B． 5. 一个物块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若摩擦力与重力G方向的夹角的度数为，则斜面的坡角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线性质，三角形的外角和定理等．根据题意先将图中点命名，利用外角和定理及平行线性质可列等式即，代入数值计算即可． 【详解】解：将下图中的点进行命名： ， 根据题意得：， ∴， ∵摩擦力的方向与斜面平行， ∴， ∴，即：， 解得：， 故选：C． 6. 某校“创客作品展示活动”采用民主投票的方式进行评选，即该校每位同学从名候选人中选择名进行无记名投票，进而从中选出获胜者．根据投票结果判断最终获胜者所需要考虑的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了统计量的选择，解答本题的关键是熟练掌握平均数、中位数、众数、方差的意义． 根据平均数、中位数、众数、方差的意义解答即可． 【详解】解：由题意知，最终获胜者所需要考虑的统计量是众数， 故选：C． 7. 如图，已知中，为直径，P、D为上两点，过点P作的切线与的延长线交于点C，连接、．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的性质，三角形内角和定理，圆周角定理掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解题关键．连接，由圆的切线可知，进而得到，再利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， 是的切线，切点为， ， ， ， ， ， 故选：B． 8. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 通过计算一元二次方程的判别式，判断根的情况即可． 【详解】解：∵ 方程中，，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选A． 9. 一次函数的x与y的部分对应值如下表所示，根据该表反映的变化规律，下列说法正确的是（ ） … 0 1 2 … … 1 4 7 … A. 的值随值的增大而减小 B. 该函数的图象经过第一、三、四象限 C. 关于的方程的解是 D. 不等式的解集为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据表格信息结合一次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由表格可知，的值随值的增大而增大，故选项A错误； ∴， 当时，， ∴该函数的图象经过第一、二、三象限，故选项B错误； 当时，，故关于的方程的解不是，故选项C错误； ∵的值随值的增大而增大，且当时，， ∴不等式的解集为；故选项D正确； 故选D． 10. 如图，正五边形的对角线相交于点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正五边形的性质、三角形内角和及等腰三角形性质得到相关角度及线段长度，再由相似三角形的判定和性质得到，设，代入可得，化为一元二次方程求解即可得到结论． 【详解】解：是正五边形， ，， 则， ，， ， ， ， ∴， ∴， 设， ∴， ∴，即 解得或（负值舍去）， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查正多边形性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理、解一元二次方程等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会构建方程解决问题． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案直接写在答题卡相应的位置） 11. 我省普通高考实行“”模式，包括3门普通高等学校招生全国统一考试科目（以下简称全国统考科目）和3门普通高中学业水平选择性考试科目（以下简称选考科目），其中全国统考科目为语文、数学、外语3门，选考科目由考生从物理和历史2门首选科目中任选1门，从思想政治、地理、化学、生物学4门再选科目中任选2门．开学初，某校对高一新生进行选科操作，若A、B两位同学是该校高一新生，则他们选择同一科再选科目的概率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，概率公式，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：将思想政治、地理、化学、生物学4门再选科目分别记为A、B、C、D， 列表如下： 由表格可知，共有16种等可能得情况，其中选择同一科再选科目的情况有4种， 选择同一科再选科目的概率为， 故答案为： 12. 如图，的顶点A，B，C的坐标分别是，，．以坐标原点为位似中心，相似比为，将缩小，则点C的对应点的坐标为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．把C点的横纵坐标都乘以或即可得到点的坐标． 【详解】解：∵以原点O为位似中心，相似比为，把缩小， ∴点C的对应点的坐标为或． 故答案为：或． 13. 如图，点是为直径的半圆上一点，连接，将沿直线翻折，翻折后的圆弧恰好经过点．若，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，解直角三角形，扇形的面积公式等知识，掌握知识点的应用及正确作出辅助线是解题的关键． 连接，作于点，则，根据题意和图形，可知阴影部分的面积扇形的面积，由折叠性质可知，根据正弦求出，通过三角形外角性质得出，最后由扇形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，连接，作于点，则， 由图可知，阴影部分的面积扇形的面积， 由折叠性质可知：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴扇形的面积是：， 故答案为：． 14. 如图，在中，，，，过点C作于点D，E是的中点，连接并延长，交边于点F，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、相似三角形与全等三角形的判定及性质，解题关键是准确作辅助线构造相似三角形与全等三角形来建立所求线段与已知线段的关系． 首先，利用勾股定理求出的长，再由三角形面积公式求出的长，进而求出的长；然后，过点作，构造出，得到，最后根据相似三角形的性质列出关于的方程即可． 【详解】在中，，，， ∴， ∴ ． ∵， ∴，即， 解得 ． 在中， ， ∴ ． 过点作，交的延长线于点． ∴， ∵是中点， ∴即 ， 且， ∴， 则 ． ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴ ． 解得 ． 所以的长为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）计算：； （2）解方程组： 【答案】（1）4（2） 【解析】 【分析】本题考查了零次幂、负整数指数幂，解二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简负整数指数幂、零次幂，绝对值，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． （2）运用代入消元法进行解方程，即可作答． 【详解】解：（1） ． （2）， 则把①代入②，得． 解得． 把代入①，得． ∴原方程组的解为． 16. “冰雪同梦，亚洲同心．”2025年2月7日至2月14日，在黑龙江省哈尔滨市举办的第九届亚洲冬季运动会的吉祥物是“滨滨”和“妮妮”．某经销商计划购进一批以“滨滨”和“妮妮”为主题的“手办摆件”和“卡通徽章”进行销售，在采购时发现，用2000元采购“手办摆件”的个数与用2600元采购“卡通徽章”的个数相等，一个“手办摆件”的进价比一个“卡通徽章”的进价少15元． （1）求采购“手办摆件”和“卡通徽章”的单价分别是多少元． （2）若该经销商计划采购“手办摆件”和“卡通徽章”共100个，并且总费用不超过6000元，则该经销商至少采购“手办摆件”多少个? 【答案】（1）采购“手办摆件”的单价为50元，采购“卡通徽章”的单价为65元 （2）该经销商至少采购“手办摆件”34个 【解析】 【分析】本题考查分式方程、一元一次不等式解应用题，读懂题意，准确列出方程及不等式求解是解决问题的关键． （1）设采购“手办摆件”的单价为元，则采购“卡通徽章”的单价为元，由题意列分式方程求解即可得到答案； （2）设采购“手办摆件”个，则采购“卡通徽章”个，由题意列不等式求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：设采购“手办摆件”的单价为元，则采购“卡通徽章”的单价为元， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：采购“手办摆件”的单价为50元，采购“卡通徽章”的单价为65元； 【小问2详解】 解：设采购“手办摆件”个，则采购“卡通徽章”个， 根据题意得， 解得， ∵为正整数， ∴的最小值为34， 答：该经销商至少采购“手办摆件”34个． 17. 人工智能是当前科技领域的热门话题，特别是上线后，在知识类任务上水平显著提升，生成速度大幅提高．某学校为了解该校学生对人工智能的关注与了解程度，对全校学生进行问卷测试，得分采用百分制，得分越高，则表明对人工智能的关注与了解程度就越高．现从八、九年级学生中分别随机抽取20名学生的测试成绩进行整理和分析（得分用表示，且得分为整数，共分为5组：A组：，B组：，C组：，D组：，E组：），下面给出了部分信息： 八年级被抽取的学生测试得分的所有数据如下： 50，51，59，65，66，73，76，79，83，84，84，84，84，86，88，88，92，93，97，98． 九年级被抽取的学生测试得分中D组包含的所有数据如下： 88，88，86，88，88，84，85，89． 八、九年级被抽取的学生测试得分统计表 平均数/分 众数/分 中位数/分 八年级 79 84 九年级 79 88 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：上述图表中，__________：__________，__________． （2）根据以上数据，你认为该校八、九年级哪个年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高？请说明理由． 【答案】（1）84，，40 （2）九年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高． 理由： ∵八、九年级被抽取的学生测试得分的平均数相同，但九年级测试得分的中位数、众数均大于八年级， ∴九年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高． 【解析】 【分析】本题考查了数据统计分析，中位数，众数，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）根据众数的定义确定八年级的众数a；根据中位数的定义确定九年级的中位数b；再求出九年级D组所占的百分比即可； （2）根据平均数或中位数或众数的意义回答即可； 【小问1详解】 八年级被抽取的学生测试得分的所有数据中，84出现4次是出现次数最多的数据， ； 九年级被抽取的学生测试得分组有：（个），组有：（个），组有：（个）， 九年级被抽取的学生测试得分的中位数是组的第、个的平均数， 组数据从小到大排序后为：84，85，86，88，88，88，88，89． ． 九年级被抽取的学生测试得分的中位数是组共有个数据， D组占比． ； 故答案为：84，，40； 【小问2详解】 略 18. 如图，某校在综合实践活动课上，小明设计了一个探索杠杆平衡条件的装置，在左边固定的托盘中放置一个重物（质量固定），在右边可左右移动的托盘中放置一定质量的砝码（质量记为），可使仪器水平平衡（平衡时遵循杠杆平衡条件）．改变托盘与点之间的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表格： 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 （1）与之间的函数表达式为____________． （2）当砝码的质量为时，求托盘与点之间的距离． （3）当托盘向左移动（不能移动到点）时，应往托盘中添加砝码还是减少砝码?并说明理由． 【答案】（1） （2）托盘与点之间的距离是 （3） 应往托盘中添加砝码． 理由如下： ∵， ∴该函数图象在第一象限内，的值随值的增大而减小， ∵当托盘向左移动（不能移动到点）时，逐渐减小， ∴逐渐增大， ∴应往托盘中添加砝码． 【解析】 【分析】（1）由表格中，即可得到与之间的函数表达式； （2）把代入求解即可得到答案； （3）由反比例函数性质即可得到答案． 【小问1详解】 解：由 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 中数据可知，， 与之间的函数表达式为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：把代入，得，解得， 答：当砝码的质量为时，托盘B与点之间的距离是． 【小问3详解】 略 19. 研学实践：钟鼓楼作为中国古代的传统建筑，一般都成为当地的地标，在古时主要承担报时之责．太原钟楼坐落于太原市府东街南侧，它始建于明代中期，是由傅山先生的祖父傅霖筹集资金修建而成．周末某学校研学小组对太原钟楼的高度进行测量． 方案设计：如图，观察员在地面上的点处观察点的仰角为．观察员在点处竖直向上升起一架无人机，当无人机到达离地面的点处时，测得钟楼顶端点的俯角为， 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，两点的水平距离，．请根据上述数据，计算太原钟楼的顶端到地面的距离．（结果精确到；参考数据：，，，，，） 【答案】太原钟楼的顶端到地面的距离约为 【解析】 【分析】本题考查三角函数测高，涉及矩形的判定与性质，过点作于点，延长交于点，如图所示，由矩形的判定与性质得到相关角度与线段长度，数形结合，由正切函数定义列式求解即可得到答案，熟练掌握三角函数测高题型的解法是解决问题的关键． 【详解】解：过点作于点，延长交于点，如图所示： 则四边形、四边形都是矩形，， ∴，，． 设，则． 在中，，，， ∴． 在中，，，， ∴． ∵， ∴，解得． ∴． ∴． 答：太原钟楼的顶端到地面的距离约为． 20. 阅读与思考 下面是小颖同学复习过程中课后积累笔记的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． ×年×月×日 晴 在学习“特殊平行四边形”的过程中，我们通过构造矩形，获得了直角三角形斜边上中线的相关性质．基本思路如下： 证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图1，在中，，是斜边上的中线． 求证：． 解题思路：如图2，延长到点E，使，连接四边形是平行四边形（依据）→四边形是矩形→矩形的对角线相等→结论． 今天我们学习了“平行线分线段成比例”的相关性质，能否借助这一性质证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一结论呢?小颖给出了如下思路． 已知：如图3，在中，，是斜边上的中线． 求证： 证明：过点作边的垂线，垂足为D． ∵， ∴． 又∵， ∴． …… 任务： （1）解题思路中“依据”处应填_________；利用尺规在图3中，按照小颖的方法补全图形（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． （2）补全小颖的证明过程 （3）请你用其他方法证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，在图4中画出适当的辅助线，并给出解题思路． 【答案】（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形， 补全图形3如下： （2） 证明：过点作边的垂线，垂足为D． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴ ∵是斜边上的中线， ∴． ∴． ∴D是边的中点，即是的垂直平分线． ∴． ∴，即； （3） 证明：如解图，延长到点F，使，连接， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，平行线分线段成比例定理等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）根据平行四边形的判定即可求解，根据作垂线的方法即可作图； （2）过点作边的垂线，垂足为D．，则，而，那么，可得是的垂直平分线，则，则，即； （3）延长到点F，使，连接，先证明，再证明，则，即可求证． 【小问1详解】 解：如图2， ∵是斜边上的中线， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形), 补全图形3如下： 故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 学科实践 请根据以下项目材料，探索并完成任务． 课题 如何确定烟花燃放后粉尘颗粒下落的位置 背景 燃放烟花是中国的传统文化，具有吉祥欢乐的象征，烟花射入高空后，光剂燃烧形成五彩缤纷的美丽图案．某数学实践小组对某款烟花展开测试 图示 数据1 图1为一组烟花的燃放实物图，烟花升空到光剂燃尽颗粒物下落过程近似看成抛物线形状，为安全考虑，在一较高的长方体平台上燃放，如图2，平台边长为，高为，为的中点，E为燃放前烟花的喷射点（烟花的高度忽略不计），P为升空后的爆炸点，为，点，E，P在与地面垂直的同一直线上，点N，M分别为抛物线，与平台的交点，抛物线与关于对称，抛物线在距离中心水平距离处达到最高，此时高度为 数据2 抛物线为烟花光剂燃尽颗粒物下落过程中形成的最高且与中心水平距离最远的抛物线，该抛物线外围属于安全范围，其函数表达式满足 问题解决 任务1 确定烟花光剂燃烧颗粒物的运动路径 在图2中以点为坐标原点，CD所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式 任务2 探究烟花燃尽颗粒物下落后的位置 在任务1所建的平面直角坐标系中，求烟花燃尽颗粒物下落后点M的坐标 任务3 确定观看烟花的安全距离 请你计算说明观赏人在地面上站立的安全范围 【答案】 任务1：建立平面直角坐标系如下： ； 任务2：； 任务3：观赏人在地面上站立的安全范围在以点为圆心，长为半径的圆外． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用； 任务1：以点O为原点建立如图所示直角坐标系，设出抛物线的顶点式，再将代入即可得出结论； 任务2：令，得点N的坐标为，再根据对称的性质即可得出结果； 任务3：令，得，求解即可． 【详解】解：任务1：如解图，建立平面直角坐标系． 根据题意，得抛物线的顶点坐标为． ∴可设抛物线的函数表达式为． 由题意易得． 又∵， ∴． ∴点P的坐标为． 把代入，得． 解得． ∴抛物线的函数表达式为． 任务2：根据题意，得点N的纵坐标为1． 令， 解得，（不合题意，舍去）． ∴点N的坐标为． ∵抛物线与关于对称， ∴烟花燃尽颗粒物下落后点M的坐标为． 任务3：令，得， 解得，（不合题意，舍去）． ∴观赏人在地面上站立的安全范围在以点为圆心，长为半径的圆外． 22. 综合与探究 问题情境： 如图1，四边形是矩形，沿过点的直线将矩形折叠，使点落在边上的点处，折痕交边于点，连接． 猜想证明： （1）判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究： （2）创新小组在解决了上述问题后，继续将矩形沿所在直线折叠，使点，分别落在，边上的点，处，交于点，展开铺平．将绕点逆时针方向旋转，得到，点，的对应点分别为，，如图，连接，．试探究线段，之间的数量关系，并说明理由．问题解决： （3）在的条件下，若，，在旋转的过程中，当，，三点在同一条直线上时，请直接写出的面积． 【答案】四边形是正方形． 理由如下： 四边形是矩形， ， 由折叠的性质可得：，， 四边形是矩形， 四边形是正方形； ， 理由如下： 四边形是矩形， ， 由折叠的性质可得：， ， ， ． 由旋转的性质，得，，， ， ， ， 由折叠的性质，知， 在中，， ，即； 或． 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得：，根据折叠的性质可证：，，从而可证四边形是正方形； 根据矩形的性质可得，根据折叠的性质可得：，从而可证，根据平行线的性质可得，根据旋转的性质可得，，从而可证，根据相似三角形的性质可得； 利用勾股定理可得，根据旋转的性质可得：，从而可求，，，根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】略 略 解：或， 理由如下： 如下图所示， ， ， 在中，， 根据旋转的性质可得：， 则， ，， ，． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，解决本题的关键是根据折叠的性质和旋转的性质找到边之间的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $