精品解析：北京市石景山区2025届高三一模考试数学试题

石景山区2025年高三统一练习 数 学 本试卷共7页，满分为150分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合的补集运算求解. 【详解】因为全集，集合， 所以， 故选：B 2. 已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则实数a=（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 【答案】D 【解析】 【分析】先化简复数，再由复数的几何意义即可得出答案. 【详解】因为， 所以复数在复平面内对应的点的坐标为， 所以. 故选：D. 3. 在的展开式中，的系数为（ ） A. 10 B. -10 C. 40 D. -40 【答案】D 【解析】 【分析】由二项展开式的通项公式即可求解. 【详解】通项公式， 令，得，所以的系数为， 故选：D 4. 在中，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理计算可得. 【详解】因为，即，由正弦定理，所以， 所以，又，所以，所以. 故选：A 5. 已知x，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用反比例函数，指数函数，对数函数，余弦函数的性质判断即可. 【详解】因为，所以，即，故A错误； 因为，所以，即，故B正确； 因为，而余弦函数在上不单调， 如，故C错误； 因为，由于当时，恒有，故D错误； 故选：B. 6. 已知抛物线的焦点为，点在上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出抛物线的准线方程，根据抛物线的定义求出的取值范围. 【详解】抛物线的准线方程为， 又点在上且，则，所以， 即，故A错误，C正确； 又，所以，所以，故B、D错误. 故选：C 7. 等比数列中，，设甲：，乙：，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式求出与的关系，再根据充分条件和必要条件的定义判断甲是乙的什么条件. 判断充分性时，看由甲能否推出乙；判断必要性时，看由乙能否推出甲. 【详解】已知等比数列中，若，设公比为. 根据等比数列通项公式，即，解得. 再根据通项公式求，所以由能推出，充分性成立.  若，同样根据等比数列通项公式，即，解得，则. 又因为，所以由能推出，必要性成立. 由于充分性和必要性都成立，所以甲是乙的充要条件.  故选：C. 8. 经研究表明，糖块的溶解过程可以用指数型函数（a，k为常数）来描述，其中S（单位：克）代表t分钟末未溶解糖块的质量．现将一块质量为7克的糖块放入到一定量的水中，在第5分钟末测得未溶解糖块的质量为3.5克，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题设函数，代入数据计算即可. 【详解】由题意，当时，， 当时，，则， 则，即. 故选：A. 9. 已知点M，N为圆上两点，且，点P在直线上，点Q为线段中点，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】将圆的方程化为标准方程，从而得到圆心坐标和半径，再根据弦长求出圆心到弦MN的距离，进而确定点的轨迹，最后根据点到直线的距离公式求出的最小值. 【详解】已知圆的方程为，将其配方可得. 可知该圆的圆心坐标为，半径.  因为点为线段MN的中点，根据垂径定理可知. 已知，则. 在中，根据勾股定理. 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆.  已知点在直线上，可得圆心到直线的距离为： .  因为点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，所以的最小值等于圆心到直线的距离减去圆的半径，即 故选：B. 10. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点（不包含端点），给出下列三个命题： ①对任意点Q，都有； ②存在点Q，使得平面； ③过点Q且与垂直的平面截正方体所得截面面积的最大值为． 其中正确的命题个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，结合空间向量可判断①②；在平面内作⊥，垂足为点，过点作在平面内作⊥交于，得到平面截正方体截面为平行四边形，当与点重合时，截面面积最大，进而判断③. 【详解】以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 设， 对于①，， 则， 所以，即，故①正确； 对于②，， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 要使平面，则， 则，即，不符合题意， 所以不存在点Q，使得平面，故②错误； 对于③，如下图，在平面内作⊥，垂足为点， 过点作在平面内作⊥交于， 因为平面平面，平面平面， 且平面，所以平面， 又平面，所以⊥， 因为，、平面，所以平面， 平面截正方体截面为平行四边形， 当与点重合时，为中点，截面面积最大， 此时，，截面面积为，故③对. 故选：C. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 若，则___________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据分段函数解析式，求得所求表达式的值. 【详解】，， 所以. 故答案为： 12. 如图，角以为始边，它的终边与单位圆相交于点，且点的横坐标为，则的值为______ 【答案】##0.6 【解析】 【分析】先根据三角函数的定义可得，进而结合诱导公式求解即可. 【详解】由题意，点的横坐标为，则， 则. 故答案为：. 13. 已知双曲线，若，则双曲线的渐近线方程为______；若双曲线上存在四个点A，B，C，D使得四边形为正方形，则m的一个取值为______． 【答案】 ①. ②. （答案不唯一） 【解析】 【分析】第一空，根据双曲线的渐近线方程求解即可；第二空，分析可得，进而解不等式求解即可. 【详解】当时，双曲线为，此时， 则双曲线的渐近线方程为. 双曲线，即， 其渐近线方程为， 要使双曲线上存在四个点满足四边形是正方形， 根据正方形的对称性可得正方形的对称中心在原点，且在第一象限内的顶点横纵坐标相等， 则，解得，可取. 故答案为：；（答案不唯一）. 14. 高斯取整函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，．有如下四个结论： ①若，则； ②函数与函数无公共点； ③； ④所有满足的点组成区域的面积为． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据的取值范围，分别求出，的值，判断①；作出函数与函数的图像，即可判断②；对的取值分类讨论，即可判断③；对的取值分类讨论，求出点组成区域的面积，判断④． 【详解】对于①：若，则，则， ， 即，故①正确； 对于②：函数与函数的图象如图所示， 由图可得函数与函数无公共点，故②正确； 对于③：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ，故③错误； 对于④：当时，，此时组成区域的面积为1， 当时，，此时组成区域的面积为1， 当时，，此时组成区域的面积为1， 当时，，此时组成区域的面积为， 综上点组成区域的面积为，故④正确． 故答案为：①②④. 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15. 已知函数（其中，，）．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选出两个作为已知，使得函数唯一确定． （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的最大值和最小值． 条件①：； 条件②：是的对称中心； 条件③：可以由函数平移得到． 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答．按第一个解答计分． 【答案】（1） （2）最大值为2，最小值为 【解析】 【分析】（1）分析易得要使函数唯一确定，则必须要选③，选①③或选②③，进而根据正弦函数的性质求解即可； （2）根据正弦函数的性质求解即可； 【小问1详解】 ①，由，得； ②，由是的对称中心，得， 则，； ③，由， 因为可以由函数平移得到， 则，. 由上述可知，要使函数唯一确定，则必须要选③. 选①③，由上述可知，，，， 则，即， 所以或，， 则或，， 又，则，即. 选②③，由上述可知，，，，， 则，，即，， 又，则，即. 【小问2详解】 由，得， 则，则， 所以函数在上的最大值为2，最小值为. 16. 某市在高中阶段举办“环保知识竞赛”，全体高中生参与了此次活动．现从参赛学生中随机抽取了男、女各30名学生，将他们的成绩（单位：分）按，，，，五个分数段进行分组，统计如下： 成绩 男生人数 3 6 11 8 2 女生人数 a b 12 4 2 （1）在抽取的60名学生中，从成绩在80分及以上的学生中随机抽取2人，求恰好男、女生各1人，且2人分数段不同的概率； （2）从该市参赛的男生中随机抽取4人，设成绩在80分及以上的人数为X，用频率估计概率，求X的分布列和数学期望； （3）试确定a，b的值，使得抽取的女生成绩方差最小．（结论不要求证明） 【答案】（1） （2）分布列： X 0 1 2 3 4 P （3） 【解析】 【分析】（1）先确定成绩在80分及以上的男、女生人数，再利用组合数计算从这些学生中随机抽取2人，恰好男、女生各1人且分数段不同的概率，用到古典概型的概率公式；  （2）先求出从男生中随机抽取1人成绩在80分及以上的概率，判断随机变量X服从二项分布，然后根据二项分布的概率公式求出分布列，再根据期望公式求出数学期望； （3）根据方差的性质，数据越集中方差越小，确定a，b的值. 【小问1详解】 确定成绩在80分及以上的学生人数，男生中成绩在的有8人，在的有2人，共人；女生中成绩在的有4人，在的有2人，共人.所以成绩在80分及以上的学生共有人.  从这16人中随机抽取2人的总组合数为种.  要满足恰好男、女生各1人且分数段不同，分两种情况： 男生从选，女生从选，有种选法.  男生从选，女生从选，有种选法.   所以满足条件的选法共有种.  根据古典概型概率公式所求概率. 【小问2详解】 从男生中随机抽取1人，成绩在80分及以上的概率为.  从该市参赛的男生中随机抽取4人，设成绩在80分及以上的人数为X， 因为每次抽取是相互独立的，且概率相同，所以X服从参数为，的二项分布，即.  根据二项分布的概率公式，可得： .  .  .  .  .   所以X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 根据二项分布的数学期望公式，可得. 【小问3详解】 因为抽取的女生共30人，所以，即. 当数据越集中时方差越小，所以当时，抽取的女生成绩方差最小. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离. 【答案】（1） 设的中点为，连接、， 因为为的中点，所以，且， 又，且，所以，且， 所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设的中点为，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，再结合线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）记的中点为，连接，推导出，然后以为原点，以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值； （3）设，利用空间向量法可求出的值，在利用空间向量法可求出点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 记的中点为，连接， 因为，，， 所以四边形是矩形，则，， 以为原点，以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，如图， 则、、、， 则，，， 设平面的一个法向量为， 所以，令，则， 设平面的一个法向量为， 所以，令，则， 所以， 由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 【小问3详解】 依题意，设，则， 又由（2）得平面的一个法向量为， 记直线与平面所成角为， 所以，解得（负值舍去）， 所以，则， 而由（2）得平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为. 18. 已知椭圆过点，短轴长为4． （1）求椭圆的方程； （2）椭圆与轴的交点为，（点位于点的上方），直线与椭圆交于不同的两点，．设直线与直线相交于点．试问点是否在某定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 【答案】（1） （2）点在定直线上 【解析】 【分析】（1）依题意可得，即可求出、，从而得解； （2）由对称性分析该定直线为平行于横轴的直线，将直线与椭圆联立消，设直线、的方程解出纵坐标，结合韦达定理化简计算即可. 【小问1详解】 依题意可得，解得， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 在定直线上，理由如下： 设点与直线联立消去整理得， 由，且， 所以， 易知，，则，， 两式作商得，解得， 故在定直线上. 【点睛】 19. 已知函数． （1）若， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）证明：函数在区间上有且只有一个零点． （2）若实数使得对恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）（i）； （ii）因为，，令，，则， 当时，所以，所以即在上单调递减， 又，所以，所以在上单调递增， 又，当时，，所以， 所以在区间上有且只有一个零点； （2） 【解析】 【分析】（1）（i）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线方程；（ii）令，利用导数说明函数的单调性，即可得到的单调性，再结合零点存在性定理证明即可； （2）令，，求出函数的导函数，对分三种情况讨论，说明函数的单调性，即可得解. 【小问1详解】 （i）当时，则， 又，则， 所以函数在点处的切线方程为； （ii）略 【小问2详解】 由对恒成立， 即对恒成立， 令，，则， 所以，令， 则， 当时，对任意，则， 所以在单调递减，所以，满足题意； 当时，在上恒成立，所以在单调递减，又，， ①当，即时，恒成立，所以在单调递减， 所以，满足题意； ②当且时，即时，由零点存在性定理知，，使得. 当时，，所以在上单调递增，所以，不满足题意； ③当时，即时，对任意单调递增，所以，不满足题意. 综上，的取值范围为. 20. 已知有穷数列：，，…，经过一次M变换后得到数列：，，…，，． 其中，表示a，b中的最小者．记数列A的所有项之和为． （1）若：1，3，2，4，写出数列并求； （2）若：，，…，是1，2，3，…，n的一个排列，例如，当时，4，1，3，2可以为1，2，3，4的一个排列． （i）当时，求的最小值； （ii）若经过一次M变换后得到数列，求的最小值． 【答案】（1）：1，2，2，1；； （2）（i）9；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据变换的定义写出数列，再计算得； （2）（i）分析得的所有项中至多有两个1和两个2，则得到其最值； （ii）分若，和讨论即可. 【小问1详解】 由题意，，即1，2，2，1． 所以． 【小问2详解】 （i）由题意知，中元素两两互异，故中的任一元素， 如，在中至多在和中出现两次（规定，）， 且若出现两次则这两个数处于邻位（和也视为邻位）． 所以的所有项中至多有两个1和两个2．所以． 当为1，4，2，5，3时等号能取到，所以的最小值为9． （ii）同（i）可知，中的任一元素若在中仅出现一次，则在中至多出现两次； 若在中出现两次，由于这两个数处于邻位，故在中至多出现三次． ①若，则， 当满足时等号能取到． ②若，则． 当满足时等号能取到． ③若，则． 当满足时等号能取到． 综上，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石景山区2025年高三统一练习 数 学 本试卷共7页，满分为150分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则实数a=（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 3. 在的展开式中，的系数为（ ） A. 10 B. -10 C. 40 D. -40 4. 在中，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 已知x，，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线的焦点为，点在上，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 等比数列中，，设甲：，乙：，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 经研究表明，糖块的溶解过程可以用指数型函数（a，k为常数）来描述，其中S（单位：克）代表t分钟末未溶解糖块的质量．现将一块质量为7克的糖块放入到一定量的水中，在第5分钟末测得未溶解糖块的质量为3.5克，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知点M，N为圆上两点，且，点P在直线上，点Q为线段中点，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点（不包含端点），给出下列三个命题： ①对任意点Q，都有； ②存在点Q，使得平面； ③过点Q且与垂直的平面截正方体所得截面面积的最大值为． 其中正确的命题个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 若，则___________. 12. 如图，角以为始边，它的终边与单位圆相交于点，且点的横坐标为，则的值为______ 13. 已知双曲线，若，则双曲线的渐近线方程为______；若双曲线上存在四个点A，B，C，D使得四边形为正方形，则m的一个取值为______． 14. 高斯取整函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，．有如下四个结论： ①若，则； ②函数与函数无公共点； ③； ④所有满足的点组成区域的面积为． 其中所有正确结论的序号是______． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15. 已知函数（其中，，）．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选出两个作为已知，使得函数唯一确定． （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的最大值和最小值． 条件①：； 条件②：是的对称中心； 条件③：可以由函数平移得到． 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答．按第一个解答计分． 16. 某市在高中阶段举办“环保知识竞赛”，全体高中生参与了此次活动．现从参赛学生中随机抽取了男、女各30名学生，将他们的成绩（单位：分）按，，，，五个分数段进行分组，统计如下： 成绩 男生人数 3 6 11 8 2 女生人数 a b 12 4 2 （1）在抽取的60名学生中，从成绩在80分及以上的学生中随机抽取2人，求恰好男、女生各1人，且2人分数段不同的概率； （2）从该市参赛的男生中随机抽取4人，设成绩在80分及以上的人数为X，用频率估计概率，求X的分布列和数学期望； （3）试确定a，b的值，使得抽取的女生成绩方差最小．（结论不要求证明） 17. 如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离. 18. 已知椭圆过点，短轴长为4． （1）求椭圆的方程； （2）椭圆与轴的交点为，（点位于点的上方），直线与椭圆交于不同的两点，．设直线与直线相交于点．试问点是否在某定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 19. 已知函数． （1）若， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）证明：函数在区间上有且只有一个零点． （2）若实数使得对恒成立，求的取值范围． 20. 已知有穷数列：，，…，经过一次M变换后得到数列：，，…，，． 其中，表示a，b中的最小者．记数列A的所有项之和为． （1）若：1，3，2，4，写出数列并求； （2）若：，，…，是1，2，3，…，n的一个排列，例如，当时，4，1，3，2可以为1，2，3，4的一个排列． （i）当时，求的最小值； （ii）若经过一次M变换后得到数列，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $