精品解析：河南省焦作市山阳区焦作市城乡一体化示范区宁郭镇张庄初级中学2024-2025学年七年级下学期3月月考数学试题

2024-2025七年级下学期第一次月考数学试卷 （满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 如图，下列工具的图片中，有对顶角的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用对顶角的定义解答即可．对顶角的定义：两条直线相交后没有公共边的一对角叫做对顶角． 【详解】根据对顶角的定义可知，选项B是对顶角，其它都不是， 故选：B． 【点睛】本题考查了对顶角的定义，理解对顶角的定义是解题的关键． 2. 2024年9月9日，工业和信息化部宣布中国首台氟化氩光刻机，实现套刻技术，标志着我国在高端芯片制造领域取得了关键性进展．已知8纳米米，0.000000008用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算；根据合并同类项，积的乘方，单项式乘以单项式以及完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】解：A. 与不能合并，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 4. 如图，直线l与∠BAC的两边分别相交于点D、E，则图中是同旁内角的有（　　） A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对 【答案】C 【解析】 【分析】根据同旁内角的定义依次判断求解即可． 【详解】解：射线AC与射线AB被直线l所截形成的同旁内角有：∠ADE与∠AED、∠CDE与∠BED； 射线AC与直线DE被射线AB所截形成的同旁内角有：∠DAE与∠DEA； 射线AB与直线DE被射线AC所截形成的同旁内角有：∠EAD与∠EDA； 故选：C． 【点睛】此题主要考查同旁内角的定义，解题的关键是每条直线依次判断． 5. 如图，已知相交于点，，下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，对顶角相等，掌握平行线的判定定理是解题关键．根据内错角相等、同旁内角互补，两直线平行判断即可． 【详解】解：A、当时，此时，则，原说法错误，不符合题意； B、当时，此时，无法证明平行，原说法错误，不符合题意； C、当时，，此时，则，原说法正确，符合题意 D、当时，此时，无法证明平行，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 6. 若，则（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法，根据左边化为，根据，利用同底数幂的乘法法则得到，得到，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选D． 7. 若展开合并后不含项，则常数的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式法则，熟练掌握多项式乘多项式可先拆分成多项式乘单项式是解题关键． 利用多项式乘多项式法则计算，合并，不含项得，计算即可． 【详解】解：， 根据题意，得：， 解得． 故选：A． 8. 小明在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，不小心用墨水把中间一项的系数染黑了，得到正确的结果为，则被染黑的系数是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式，运用完全平方公式求出对照求解即可． 【详解】解：由， ∴染黑的部分为． 故选：B． 9. 如图，，则，，之间的数量关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用已知的直角条件，通过角的和差关系，找出、、之间的联系进而代入各项逐一判断即可．本题主要考查了余角的性质，熟练掌握同角的余角相等是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴，， ∴，， ∴，故A项错误； ，故B项错误； ，故C项错误； ，故D项正确； 故选：D． 10. 小明、小亮、小刚、小颖一起研究一道数学题．如图，已知EF⊥AB，CD⊥AB， 小明说：“如果还知道∠CDG＝∠BFE，则能得到∠AGD＝∠ACB．” 小亮说：“把小明的已知和结论倒过来，即由∠AGD＝∠ACB，可得到∠CDG＝∠BFE．” 小刚说：“∠AGD一定大于∠BFE．” 小颖说：“如果连接GF，则GF一定平行于AB．” 他们四人中，有（ ）个人的说法是正确的． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由EF⊥AB，知CD∥EF，然后根据平行线的性质和判定即可得出答案． 【详解】解：已知EF⊥AB，CD⊥AB，∴CD//EF， （1）若∠CDG＝∠BFE， ∵∠BCD＝∠BFE， ∴∠BCD＝∠CDG， ∴DG//BC， ∴∠AGD＝∠ACB． （2）若∠AGD＝∠ACB， ∴DG//BC， ∴∠BCD＝∠CDG，∠BCD＝∠BFE， ∴∠CDG＝∠BFE． （3）由题意知，EF//DC， ∴∠BFE＝∠DCB＜∠ACB， 如下图， ①当DG∥BC时，则∠AGD＝∠ACB＞∠BFE， 即∠AGD一定大于∠BFE； ②当GD（GD′、GD″）与BC不平行时， 如图，设DG∥BC， 当点G′在点G的上方时， ∵∠AG′D＞AGD， 由①知，∠AG′D一定大于∠BFE； 当点G″在点G的下方时， 见上图，则∠AG″D不一定大于∠BFE， 综上，∠AGD不一定大于∠BFE； （4）如果连接GF，则GF不一定平行于AB； 综上知：正确的说法有两个． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，属于基础题，关键是掌握平行线的性质与判定． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若有意义，则的值可以是________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一，不为即可） 【解析】 【分析】本题主要考查了零指数幂，掌握任何不等于的数的次幂都等于是解题关键． 根据任何不等于的数的次幂都等于即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：． 故答案为：（答案不唯一，不为即可）． 12. 如图，直线，相交于点，将量角器的中心与点重合，发现表示的点在直线上，表示的点在直线上，则________． 【答案】78 【解析】 【分析】本题考查了角的计算，对顶角相等，熟练掌握对顶角相等这条性质是解题的关键． 先计算的度数，后利用对顶角相等确定即可． 【详解】解：如图， 根据题意，得， ∵， ∴， 故答案为：78． 13. 已知，求的值为______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂的除法的逆运算，代数式求值．熟练掌握幂的乘方的逆运算，同底数幂的除法的逆运算，代数式求值是解题的关键． 由题意知，根据，代值求解即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：． 14. 如图，地在地的北偏西方向，，则地在地的________方向． 【答案】北偏东 【解析】 【分析】本题主要考查了方位角，平行线的性质，熟练掌握方位角通常表达成北（南）偏东（西）多少度是解题关键． 过点作，根据方位角的概念及平行线的性质求出度数即可． 【详解】解：如图，过点作， 根据题意，得，且， ，， ， ， ， 故地在地的北偏东． 故答案为：北偏东 15. 如图，将一副直角三角尺的其中两个顶点重合叠放（，，）．三角尺固定不动，将三角尺绕点转动．当时，的度数为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的旋转变换及性质，平行线的性质等，分两种情况，运用平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图①，当时， ∵， ∴， ∴． 如图②， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴ 综上，的度数为或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）（运用乘法公式）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查幂的运算和乘法公式，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答本题的关键． （1）原式分别计算负整数指数幂和零整数指数幂，然后再进行加减运算即可． （2）把变形为，运用平方差公式进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 先化简，后求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查代数式求值、平方差公式和完全平方公式、多项式除以单项式的法则，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键． 先利用平方差公式和完全平方公式进行计算，再根据多项式除以单项式的法则进行计算，最后把代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 18. 如图，由相同边长的小正方形组成的网格图形，点，，都在格点上． （1）在网格内过点画与线段平行且相等的线段； （2）过点画直线的垂线，并注明垂足为点；过点画直线的垂线，交于点； （3）线段的长度是点________到直线________的距离，点到直线的距离是________； （4）线段，，中，最短的是________，判断依据是________． 【答案】（1） 如图所示，线段为所求作； （2）如图所示，为所求作； （3）；；线段的长度； （4）；垂线段最短． 【解析】 【分析】本题考查的是作图-基本作图，熟知平行线及垂线的作法是解答此题的关键． （1）根据题意画出图形即可； （2）根据题意画出图形即可； （3）根据点到直线距离的定义即可得出结论； （4）根据垂线段最短即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴线段的长度是点H到直线的距离； ∵， ∴点A到直线的距离是线段的长度． 故答案为：的长度； 【小问4详解】 解：∵， ∴． 又， ∴线段，，中，最短的是，判断依据是垂线段最短 故答案为：，垂线段最短． 19. 小明在学习《相交线与平行线》的过程中，遇到如图的一个图形，其中，，现要求自己添加一些线条，并探究其产生的几何结论．下列是小明的操作和猜想，请按照他的思路作图并填空． （1）用无刻度的直尺和圆规作交的延长线于点，使得； （2）求证：． 证明：因为， 所以， 即 ． 因为， 所以（ ）． 所以 （ ）． 又因为， 所以 ． 所以（ ）． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2）；两直线平行，内错角相等；；等量代换；；同位角相等，两直线平行． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，平行线的判定和性质，三角形内角和，解题的关键是充分利用已知条件，熟练运用平行线的判定和性质定理． （1）根据作一个角等于已知角的作法，作即可； （2）根据平行线的性质得到，等量代换得到，利用等式的性质得到，利用三角形内角和得到，从而判定结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，直线分别与直线，交于点，，，射线，分别与直线交于点，，且，，求的度数． 【答案】． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题关键． 由得，则，由得，结合求出，即可得的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ． 21. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．例如，，，因此，，都是“神秘数”． （1）设两个连续偶数为和（其中取非负整数），由这两个连续偶数构成的“神秘数”一定能被整除吗？为什么？ （2）是神秘数吗？为什么？ 【答案】（1） 解：能，理由如下： ， 由两个连续偶数为和（其中取非负整数）构成的“神秘数”一定能被整除． （2） 解：不是，理由如下： 设是和的平方差， ， 即， 解得：， 非偶数， 不是“神秘数”． 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，解一元一次方程，熟练掌握整式的运算法则是解题关键． （1）化简计算，整理即可求解； （2）设是和的平方差，得，利用平方差公式化简，解得，即可判断是否 “神秘数”． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 数学中，常对同一个量（图形的面积，点的个数，三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”，“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学方法． （1）在学习第一章《整式的乘除》时，通过对图1的面积“算两次”得到公式________； （2）如图2，两个直角边长分别为，，斜边长为的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成一个梯形，试用两种不同的方法计算梯形的面积，你能发现直角三角形的三边长，，之间有什么等量关系吗？（注：写出解答过程） （3）在（2）的条件下，当，时，求的值． 【答案】（1） （2） 解：，理由如下： 如图2，从整体上看是上底为，下底为，高为的直角梯形，其面积为， 从局部看，由三个直角三角形组成，三个直角三角形的面积和为， 因表示的都是同一个图形的面积， ， 整理，得：． （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题关键． （1）利用“算两次”的方式分别计算图形的面积即可； （2）利用“算两次”的方式计算梯形的面积即可； （3）利用完全平方公式将变形为，再将，代入求值即可． 【小问1详解】 解：如图1，从整体看是一个边长为的正方形，其面积为， 从局部看，由四部分组成，即：一个边长为的正方形，一个边长为的正方形，两个个长为、宽为的长方形，这四部分的面积和为． 因表示的都是同一个图形的面积， ． 故答案为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：，， ， ， ， ． 23. 实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线 m、反射光线n与平面镜a所夹的锐角． （1）利用这个规律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜工作原理示意图，、是平行放置的两面平面镜．已知光线沿直线m进入潜望镜，最后沿直线n射出，求证：． （2）显然，改变两面平面镜、之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置关系会随之改变，如图3，一束光线m射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被反射．若被反射出的光线n和光线m平行， 且 则 （3）请你猜想：图3中， 当两平面镜 、的夹角 时，可以使任何入射光线m经过平面镜、的两次反射后，与反射光线n平行，请说明理由． 【答案】（1） 证明：∵（已知）， （两直线平行，内错角相等）， ，（已知）， （等量代换）， ， 即：， ∴（内错角相等，两直线平行）． （2） （3） 解： 理由：∵， ， ， ，， ， ． 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定与性质，关键是对性质定理和判定定理的熟练掌握和灵活运用． （1）先由得出，再根据已知得出，从而得出； （2）先由，求出，再根据，得出； （3）根据平行线的性质得出，根据平角定义求出，由，，得出，根据三角形内角和定理得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 故答案为：96； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025七年级下学期第一次月考数学试卷 （满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 如图，下列工具的图片中，有对顶角的是（　　） A. B. C. D. 2. 2024年9月9日，工业和信息化部宣布中国首台氟化氩光刻机，实现套刻技术，标志着我国在高端芯片制造领域取得了关键性进展．已知8纳米米，0.000000008用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线l与∠BAC的两边分别相交于点D、E，则图中是同旁内角的有（　　） A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对 5. 如图，已知相交于点，，下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 6. 若，则（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 7. 若展开合并后不含项，则常数的值为（ ） A. 2 B. C. D. 8. 小明在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，不小心用墨水把中间一项的系数染黑了，得到正确的结果为，则被染黑的系数是（ ） A. B. 或 C. D. 或 9. 如图，，则，，之间的数量关系为（ ） A. B. C. D. 10. 小明、小亮、小刚、小颖一起研究一道数学题．如图，已知EF⊥AB，CD⊥AB， 小明说：“如果还知道∠CDG＝∠BFE，则能得到∠AGD＝∠ACB．” 小亮说：“把小明的已知和结论倒过来，即由∠AGD＝∠ACB，可得到∠CDG＝∠BFE．” 小刚说：“∠AGD一定大于∠BFE．” 小颖说：“如果连接GF，则GF一定平行于AB．” 他们四人中，有（ ）个人的说法是正确的． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若有意义，则的值可以是________．（写出一个即可） 12. 如图，直线，相交于点，将量角器的中心与点重合，发现表示的点在直线上，表示的点在直线上，则________． 13. 已知，求的值为______． 14. 如图，地在地的北偏西方向，，则地在地的________方向． 15. 如图，将一副直角三角尺的其中两个顶点重合叠放（，，）．三角尺固定不动，将三角尺绕点转动．当时，的度数为________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）（运用乘法公式）． 17. 先化简，后求值：，其中． 18. 如图，由相同边长的小正方形组成的网格图形，点，，都在格点上． （1）在网格内过点画与线段平行且相等的线段； （2）过点画直线的垂线，并注明垂足为点；过点画直线的垂线，交于点； （3）线段的长度是点________到直线________的距离，点到直线的距离是________； （4）线段，，中，最短的是________，判断依据是________． 19. 小明在学习《相交线与平行线》的过程中，遇到如图的一个图形，其中，，现要求自己添加一些线条，并探究其产生的几何结论．下列是小明的操作和猜想，请按照他的思路作图并填空． （1）用无刻度的直尺和圆规作交的延长线于点，使得； （2）求证：． 证明：因为， 所以， 即 ． 因为， 所以（ ）． 所以 （ ）． 又因为， 所以 ． 所以（ ）． 20. 如图，直线分别与直线，交于点，，，射线，分别与直线交于点，，且，，求的度数． 21. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．例如，，，因此，，都是“神秘数”． （1）设两个连续偶数为和（其中取非负整数），由这两个连续偶数构成的“神秘数”一定能被整除吗？为什么？ （2）是神秘数吗？为什么？ 22. 数学中，常对同一个量（图形的面积，点的个数，三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”，“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学方法． （1）在学习第一章《整式的乘除》时，通过对图1的面积“算两次”得到公式________； （2）如图2，两个直角边长分别为，，斜边长为的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成一个梯形，试用两种不同的方法计算梯形的面积，你能发现直角三角形的三边长，，之间有什么等量关系吗？（注：写出解答过程） （3）在（2）的条件下，当，时，求的值． 23. 实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线 m、反射光线n与平面镜a所夹的锐角． （1）利用这个规律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜工作原理示意图，、是平行放置的两面平面镜．已知光线沿直线m进入潜望镜，最后沿直线n射出，求证：． （2）显然，改变两面平面镜、之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置关系会随之改变，如图3，一束光线m射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被反射．若被反射出的光线n和光线m平行， 且 则 （3）请你猜想：图3中， 当两平面镜 、的夹角 时，可以使任何入射光线m经过平面镜、的两次反射后，与反射光线n平行，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $