精品解析：福建省泉州五中2024-2025学年九年级下学期第五次月考数学试卷

泉州五中2024-2025学年初三第五次月考数学试卷 一．选择题（单项选择，每小题4分，共40分） 1. 负数的概念最早记载于我国古代著作《九章算术》．若零上记作，则零下应记作（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，正负数是一对具有相反意义的量，若零上由正数表示，那么零下就用负数表示，据此可得答案． 【详解】解：若若零上记作，那么零下应记作， 故选：A． 2. 某校为了了解学生的视力情况，从全校名学生中，随机抽取了名学生进行调查，在这次调查中（ ） A. 名学生是总体 B. 抽取的名学生是总体的一个样本 C. 名是样本容量 D. 抽取的名学生视力是总体的一个样本 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了总体，个体，样本和样本容量的定义，根据总体，个体，样本和样本容量的定义，即可得到正确选项，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、名学生的视力情况是总体，原选项错误，不符合题意； 、抽取的名学生的视力情况是总体的一个样本，原选项错误，不符合题意； 、是样本容量，原选项错误，不符合题意； 、抽取的名学生视力是总体的一个样本，原选项正确，符合题意； 故选：． 3. 全国绿化委员会办公室发布的《2023年中国国土绿化状况公报》显示，2023年全国完成国土绿化任务超800万公顷，其中造林3998000公顷．将3998000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解： 故选：B． 4. 观察如图所示的某物体的三视图，请说出该物体的名称（ ） A. 三棱锥 B. 长方体 C. 三棱柱 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由三视图确定几何体的形状，熟练掌握三视图是解题的关键． 根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，即可得出答案． 【详解】解：根据三视图可知，该物体的名称为三棱柱， 故选C． 5. 下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等式的性质，根据等式的性质逐项判断即可．正确理解等式的性质是解题的关键． 【详解】解：A、两边都加c，结果不变，故不符合题意； B、两边都减c，结果不变，故不符合题意； C、时，则由，不能得到，故符合题意； D、两边都乘以c，结果不变，故不符合题意； 故选：C． 6. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，根据各象限内点的坐标特征解答即可，解题的关键是熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 【详解】解：∵，， ∴在第四象限， 故选：． 7. 已知矩形的对角线交于点O，下列条件中能判定四边形是正方形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方形的判定，根据正方形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：矩形中，对角线交于点O， ，， A，，不能判定四边形是正方形； B，，不能判定四边形是正方形； C，，不能判定四边形是正方形； D，，由对角线互相垂直的矩形为正方形，能判定四边形是正方形； 故选D． 8. 若关于x的方程=0有增根，则m的值是 A. 3 B. 2 C. 1 D. －1 【答案】B 【解析】 【详解】解：若关于x的方程=0有增根，则x=1为增根． 把方程去分母可得m-1-x=0，把x=1代入可得m-1-1=0，解得m=2． 故选：B． 【点睛】分式方程，本题难度较低，主要考查学生对分式方程知识点的掌握，增根使分式分母为零． 9. 甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 甲、乙两人之间的最远距离是米 B. 乙追上甲后，再走米才到达终点 C. 乙用分钟追上甲 D. 甲到终点时，乙已经在终点处休息了分钟 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，解题的关键是理解题意，利用数形结合思想获取所求问题需要的条件． 根据题意和函数图象中的数据可以逐个判断结论是否正确即可解答． 【详解】解：由图象可知，甲出发分钟后乙追上甲，则乙用了（分钟）追上甲，故原选项正确，不符合题意； 根据图象，甲步行分钟走了米，甲步行的速度为（米分钟），乙的速度为（米分钟）， 则乙走完全程的时间为（分钟）， 乙追上甲剩下的路程为：（米）， ∴乙追上甲后，再走米才到达终点，故选项正确，不符合题意； 当乙到达终点时，甲步行了（米）， 甲离终点还有（米）， 故甲乙两人之间的最远距离是米，故错误，符合题意； ∵甲步行了米， ∴甲离终点还有（分）， ∴甲到终点时，乙已经在终点处休息了分钟，故正确，不符合题意， 故选：． 10. 已知在平面直角坐标系中．抛物线（a，k为常数，且）与y轴交点的纵坐标大于2，将抛物线向左平移1个单位长度得到抛物线，若点、均在抛物线上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数图象的平移问题，先求出抛物线与y轴交点的坐标为，进而得到，再求出抛物线的对称轴为直线，再由开口向上，离对称轴越远函数值越大即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，， ∴抛物线与y轴交点的坐标为， ∵抛物线（a，k为常数，且）与y轴交点的纵坐标大于2， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴将抛物线向左平移1个单位长度得到抛物线，则抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线中，离对称轴越远函数值越大， ∵， ∴， ∴ 根据现有条件无法判断， 故选：B． 二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 单项式的系数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了单项式系数，熟练掌握单项式的系数的定义是解题的关键； 根据单项式系数的定义直接解答即可． 【详解】单项式的系数是， 故答案为：． 12. 直线过点，则值为____． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，代数式求值，熟练掌握整体代入法是解题的关键． 将点P的坐标代入一次函数解析式中，求出的，再整理体代入计算即可． 【详解】解：将点代入得： ， 即：， ∴． 故答案为：2025． 13. _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值等知识点，熟练掌握实数的运算法则并牢记特殊角的三角函数值是解题的关键．先计算负整数指数幂、特殊角的三角函数值并化简二次根式，然后按照实数的混合运算法则进行计算即可，即先乘除后加减． 【详解】解： ， 故答案为：． 14. 今年冬天哈尔滨的冰雪旅游是继夏天的淄博烧烤之后的新旅游热点，南方游客纷纷打卡哈尔滨冰雪大世界．一位游客乘滑雪板沿坡度为的斜坡滑行30米，则他下降的高度为_____米． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，根据坡度的概念、勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：如图， 设他下降的高度为x米， ∵斜坡的坡度为， ∴这位同学滑行的是水平距离为米， 由勾股定理得：，即， 解得：（负值舍去）， ∴他下降的高度为15米， 故答案为：15． 15. 如图，是的直径，弦交于点，，点是的中点，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的垂径定理，勾股定理和含角的直角三角形的性质．如图，作于，连接，根据垂径定理得，由题意得，，在中，根据含的直角三角形的性质计算出，然后在中，利用勾股定理计算得到，即． 【详解】解：如图，作于，连接， ∵， ∴，则， ∵，点是的中点， ∴，则， ∴，则， ∵，，则， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 如图，点E为正方形对角线上一点，连接，延长交于点G，作交于F，连接，若，则线段长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，连接，延长到H，使得，连接，作于J，于K．首先证明，利用参数构建方程解决问题即可． 【详解】解：如图，连接，延长到H，使得，连接，作于J，于K． ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴C，D，F，E四点共圆， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，设，则， 在中，∵， ∴， 解得（舍去）或3， ∴， ∵， ∴，设， ∴， ∴， ∴， ∵， 故答案为：． 三．解答题（共9小题，共86分） 17. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】利用代入消元法求解即可． 【详解】解： 由②得：③ 把③代入①得：， 解之得：， 把代入③得：， 所以方程组的解为． 【点睛】本题考查的是解二元一次方程组，熟悉相关解法是解答此题的关键． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】；． 【解析】 【分析】先根据完全平方公式及平方差公式进行化简，然后计算除法，最后将已知值代入求解即可． 【详解】解：， ， ， ； 当，时， 原式 ． 【点睛】题目主要考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则及完全平方公式和平方差公式是解题关键． 19. 如图，四边形是平行四边形，C是边上一点，点B在的延长线上，且．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，矩形的判定，熟练掌握相关定理是解题的关键． 先证得四边形是平行四边形，进一步运用有一个角是直角的平行四边形是矩形进行证明即可． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴, ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； ∵, ∴四边形矩形． 20 央视一套《三餐四季》节目播出，主持人撒贝宁、王嘉宁和嘉宾刘玉栋、方志忠、顾中一等组成寻味团，探索莆田当地美食．其中有“莆田卤面”、“妈祖平安面”、“豆浆炒米粉”、“焖豆腐”． （1）小湄想从以上这4道美食中随机选择1道品尝，则她选中“妈祖平安面”的概率为______； （2）新春来临，某商场举行美食节活动，拟从这4道美食中选择2道作为美食节经典菜肴，若用A、B、C、D分别表示“莆田卤面”、“妈祖平安面”、“豆浆炒米粉”、“焖豆腐”，请用画树状图或列表方法求出恰好选中“莆田卤面”，“豆浆炒米粉”的概率． 【答案】（1） （2）恰好选中“莆田卤面”，“豆浆炒米粉”的概率为 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键； （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中她选中“妈祖平安面”的结果有1种，利用概率公式可得答条， （2）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好选中“莆田卤面”，“豆浆炒米粉”的结果数，再利用概率公式可得出答案 【小问1详解】 由题意知，共有4种等可能的结果，其中她选中“妈祖平安面”的结果有1种， ∴她选中“妈祖平安面”的概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 列表如下： A B C D A B C D 共有12种等可能的结果，其中恰好选中“莆田卤面”，“豆浆炒米粉”的结果有：，，共2种， ∴恰好选中“莆田卤面”，“豆浆炒米粉”的概率为． 21. 请根据以下素材，完成下列问题： 如何选择购买方案？ 素材一 抖音直播带货成为当下网络销售的主要渠道之一，某服装直播带货平台针对某款防晒衣开展促销活动，该款防晒衣售价为100 元． 小明和几位同学都喜欢这款防晒衣，打算一起购买x件，且． 素材二 该服装直播带货平台开展促销活动时，向顾客提供了两种优惠方案∶ 方案一：所购防晒衣一律打九折； 方案二：所购防晒衣超出三件的，则超出三件以上的部分打八五折． （1）若按方案一购买，同学们需付款 元；若按方案二购买，同学们需付款 元；(用含x的式子表示) （2）请通过计算说明同学们按照哪种方案购买更划算？ 【答案】（1）， （2）当时，同学们按照方案一购买更划算；当时，同学们按照方案一和方案二购买费用一样；当时，同学们按照方案二购买更划算． 【解析】 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程及一元一次不等式的应用，解题的关键是正确理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）根据素材一和素材二列出代数式即可； （2）分三种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：按方案一购买，同学们需付款元； 按方案二购买，同学们需付款元； 故答案为：，； 【小问2详解】 根据题意，得 ，解得． ，解得． ，解得． ∴当时，同学们按照方案一购买更划算；当时，同学们按照方案一和方案二购买费用一样；当时，同学们按照方案二购买更划算． 22. 如图，在平面直角坐标系中放置一块角的三角板，，A，B两点分别落在x轴和y轴上，直线的解析式为，右侧有一条直线且过的中点 （1）用尺规作出直线（保留作图痕迹，不写作法）． （2）若直线l与边交于点D，双曲线经过点D，求出k的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数综合应用． （1）根据题意做出线段的垂直平分线即可； （2）利用一线三直角证明继而可求出点C坐标，再根据中点坐标公式求出D点坐标，即可求出双曲线中的k值． 【小问1详解】 解：∵，，右侧有一条直线且过的中点， ∴作线段的垂直平分线即可，如图示： 【小问2详解】 解：如图，作轴，垂足为F， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵直线， ∴点D为线段的中点， ∴，， ∴， ∵点在双曲线图象上， ∴． 23. 某校项目式学习小组以“借助太阳光线测量大楼高度”开展主题活动，他们计划携带测量仪器、标杆、测角仪等工具，确定方法后先画出测量示意图，然后实地进行测量，并得到具体数据，从而计算大楼的高度．如图1是某一次（同一时刻）测量活动场景抽象出的平面几何图形，大楼抽象为线段，已知，，点，，，在一条直线上． 下面是两组测量数据： 第一组 第二组 ①标杆； ②标杆底部到楼底部的距离； ③从点看点的仰角为． ①标杆； ②标杆的影长； ③大楼的影长． 请你帮他们解决如下问题： （1）请依据第一组的数据计算大楼的高度．（参考数据：，，） （2）请判断两组同学的最后结果是否一致，并说明理由． （3）学习小组进一步计划去郊外进行测绘实践活动“测量山坡两侧点与点的高度差”，因山坡的遮挡，两点无法用眼睛直接观测到，于是他们先画出如图所示的测绘图纸，在点，处分别竖直安置经纬仪和，且，用无人机辅助测得与水平线的夹角＝，与水平线的夹角＝，米，米．请你根据以上数据求点与点的高度差．（参考数据：） 【答案】（1） （2）两组同学的最后结果一致，理由见解析； （3）点与点的高度差为米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形应用，解直角三角形的应用；熟练掌握以上知识点是解题的关键； （1）在利用三角函数解得的值，进而即可求解； （2）依题意，，根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求解； （3）过点作于点，过点作于点，过点作于点，在和中，利用三角函数解得，的值，即可获得答案． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作于点， 又∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴ ∴ 【小问2详解】 两组同学的最后结果一致，理由如下， 根据第二组数据计算：依题意， ∴ ∵ ∴， 解得： 【小问3详解】 如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点， 在中， （米）， 在中， （米）， （米）． 答：点与点的高度差为米． 24. 【问题情境】如图，在中，，，点D在边上，将线段绕点D顺时针旋转得到线段（旋转角小于），连接，以为底边在其上方作等腰三角形，使，连接． 【特例感知】 （1）如图1，当时，则与的数量关系为 ； 【尝试探究】（2）如图2，写出与的数量关系（用含α的三角函数表示），并说明理由． 【拓展应用】（3）如图4，当，且点B，E，F三点共线时，若，，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2）；理由见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由，得到，即是等边三角形，得到，由是等边三角形，得到，再根据，得到，证明，即可得出结论； （2）过点A作于点H，可推出，进而证得，从而，从而可得答案； （3）作于点M，过点C作，交延长线于点H，设，则，由得，从而，进而表示出，在中，由勾股定理列出方程，从而，进一步得出结果． 【详解】解：（1），， ， 是等边三角形， ， 等腰三角形 ，， ∴是等边三角形， ， ， ， 在与中， ， ， ， （2）解：；理由如下： 如图，过点A作于点H， ∵，， ∴， ∴． ∵是以为底边的等腰三角形，， ∴，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵，H为的中点， ∴． 在中，， ∴． ∴． ∴． （3）．理由如下： 如图，过点D作于点M，过点C作，交延长线于点H， ∴． ∴． ∵线段绕点D顺时针旋转得到线段， ∴． ∴． ∵是以为底边的等腰三角形，， ∴，． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 设，则， ∵， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴，． ∴． 在中，，， ∴． ∴，解得． ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 25. 已知抛物线：，交x轴于A、B、与y轴的交点C在负半轴． （1）若，，． ①求抛物线的解析式． ②若在对称轴右侧抛物线上，且为锐角三角形，求的取值范围． （2）如图，D在y轴上点C的下方，过D的直线与抛物线都只有唯一公共点E、F，交y轴于Q，轴交y轴于N，轴交于M，求． 【答案】（1）①；②． （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与几何综合，解题关键是利用直线与抛物线交点个数与系数的关系，设参数表示线段从而求解． （1）①根据可得点C坐标为，由待定系数法即可求出解析式； ②求出当为直角三角形时的特殊位置，再根据图形即可得出，的取值范围即可； （2）根据直线与抛物线只有一个交点，设点坐标为，，，根据直线与抛物线有唯一交点求出，从而求出与的长，即可求解． 【小问1详解】 解：①∵，． ∴点， 将，，，代入，得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； ②如图： ∵，，， ∴， ， 当时；， ∴， 整理得： 解得：（与点A重合，舍去）或， 当时；， ∴， 整理得： 解得：（与点C重合，舍去）或， ∴为锐角三角形，的取值范围 【小问2详解】 设点坐标为，，， 点在点下方， ， 直线的解析式为， 直线的解析式为， 直线的解析式为， 直线与抛物线有唯一交点， 中， ， 直线与抛物线有唯一交点， 中， ， ， 或，或或 点E在第二象限，点F在第四象限，点C在点D上方， ， 直线的解析式为， ， ，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 泉州五中2024-2025学年初三第五次月考数学试卷 一．选择题（单项选择，每小题4分，共40分） 1. 负数的概念最早记载于我国古代著作《九章算术》．若零上记作，则零下应记作（ ） A. B. C. D. 2. 某校为了了解学生的视力情况，从全校名学生中，随机抽取了名学生进行调查，在这次调查中（ ） A. 名学生是总体 B. 抽取的名学生是总体的一个样本 C. 名是样本容量 D. 抽取的名学生视力是总体的一个样本 3. 全国绿化委员会办公室发布的《2023年中国国土绿化状况公报》显示，2023年全国完成国土绿化任务超800万公顷，其中造林3998000公顷．将3998000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 4. 观察如图所示的某物体的三视图，请说出该物体的名称（ ） A. 三棱锥 B. 长方体 C. 三棱柱 D. 不能确定 5. 下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 已知矩形的对角线交于点O，下列条件中能判定四边形是正方形的是（ ） A. B. C. D. 8. 若关于x的方程=0有增根，则m的值是 A. 3 B. 2 C. 1 D. －1 9. 甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 甲、乙两人之间的最远距离是米 B. 乙追上甲后，再走米才到达终点 C. 乙用分钟追上甲 D. 甲到终点时，乙已经在终点处休息了分钟 10. 已知在平面直角坐标系中．抛物线（a，k为常数，且）与y轴交点的纵坐标大于2，将抛物线向左平移1个单位长度得到抛物线，若点、均在抛物线上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 单项式系数是_____． 12. 直线过点，则值为____． 13. _____． 14. 今年冬天哈尔滨的冰雪旅游是继夏天的淄博烧烤之后的新旅游热点，南方游客纷纷打卡哈尔滨冰雪大世界．一位游客乘滑雪板沿坡度为的斜坡滑行30米，则他下降的高度为_____米． 15. 如图，是的直径，弦交于点，，点是的中点，且，则______． 16. 如图，点E为正方形对角线上一点，连接，延长交于点G，作交于F，连接，若，则线段长为_____． 三．解答题（共9小题，共86分） 17. 解方程组： 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 如图，四边形是平行四边形，C是边上一点，点B在的延长线上，且．求证：四边形是矩形． 20. 央视一套《三餐四季》节目播出，主持人撒贝宁、王嘉宁和嘉宾刘玉栋、方志忠、顾中一等组成寻味团，探索莆田当地美食．其中有“莆田卤面”、“妈祖平安面”、“豆浆炒米粉”、“焖豆腐”． （1）小湄想从以上这4道美食中随机选择1道品尝，则她选中“妈祖平安面”的概率为______； （2）新春来临，某商场举行美食节活动，拟从这4道美食中选择2道作为美食节经典菜肴，若用A、B、C、D分别表示“莆田卤面”、“妈祖平安面”、“豆浆炒米粉”、“焖豆腐”，请用画树状图或列表的方法求出恰好选中“莆田卤面”，“豆浆炒米粉”的概率． 21. 请根据以下素材，完成下列问题： 如何选择购买方案？ 素材一 抖音直播带货成为当下网络销售的主要渠道之一，某服装直播带货平台针对某款防晒衣开展促销活动，该款防晒衣售价为100 元． 小明和几位同学都喜欢这款防晒衣，打算一起购买x件，且． 素材二 该服装直播带货平台开展促销活动时，向顾客提供了两种优惠方案∶ 方案一：所购防晒衣一律打九折； 方案二：所购防晒衣超出三件的，则超出三件以上的部分打八五折． （1）若按方案一购买，同学们需付款 元；若按方案二购买，同学们需付款 元；(用含x的式子表示) （2）请通过计算说明同学们按照哪种方案购买更划算？ 22. 如图，在平面直角坐标系中放置一块角的三角板，，A，B两点分别落在x轴和y轴上，直线的解析式为，右侧有一条直线且过的中点 （1）用尺规作出直线（保留作图痕迹，不写作法）． （2）若直线l与边交于点D，双曲线经过点D，求出k值． 23. 某校项目式学习小组以“借助太阳光线测量大楼高度”开展主题活动，他们计划携带测量仪器、标杆、测角仪等工具，确定方法后先画出测量示意图，然后实地进行测量，并得到具体数据，从而计算大楼的高度．如图1是某一次（同一时刻）测量活动场景抽象出的平面几何图形，大楼抽象为线段，已知，，点，，，在一条直线上． 下面是两组测量数据： 第一组 第二组 ①标杆； ②标杆底部到楼底部的距离； ③从点看点仰角为． ①标杆； ②标杆的影长； ③大楼的影长． 请你帮他们解决如下问题： （1）请依据第一组的数据计算大楼的高度．（参考数据：，，） （2）请判断两组同学的最后结果是否一致，并说明理由． （3）学习小组进一步计划去郊外进行测绘实践活动“测量山坡两侧点与点的高度差”，因山坡的遮挡，两点无法用眼睛直接观测到，于是他们先画出如图所示的测绘图纸，在点，处分别竖直安置经纬仪和，且，用无人机辅助测得与水平线的夹角＝，与水平线的夹角＝，米，米．请你根据以上数据求点与点的高度差．（参考数据：） 24. 【问题情境】如图，在中，，，点D在边上，将线段绕点D顺时针旋转得到线段（旋转角小于），连接，以为底边在其上方作等腰三角形，使，连接． 【特例感知】 （1）如图1，当时，则与数量关系为 ； 【尝试探究】（2）如图2，写出与的数量关系（用含α的三角函数表示），并说明理由． 【拓展应用】（3）如图4，当，且点B，E，F三点共线时，若，，请直接写出的长． 25. 已知抛物线：，交x轴于A、B、与y轴的交点C在负半轴． （1）若，，． ①求抛物线的解析式． ②若在对称轴右侧抛物线上，且为锐角三角形，求的取值范围． （2）如图，D在y轴上点C的下方，过D的直线与抛物线都只有唯一公共点E、F，交y轴于Q，轴交y轴于N，轴交于M，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$