精品解析：天津市第四十五中学2024-2025学年高二下学期第一次质量调查（3月）数学试题

高二数学第一次质量调查 一、单选题：本题共9小题，共43分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数的求导正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域为开区间，导函数在内的图像如图所示，则函数在开区间内有极大值点（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 函数在处的切线方程为，则（ ） A 10 B. 20 C. 30 D. 40 5. 已知函数在上为减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 永沙高级中学学生会有8位学生春游，其中高一学生2名､高二学生3名､高三学生3名.现将他们排成一列，要求2名高一学生相邻､3名高二学生相邻，3名高三学生中任意两名都不相邻，则不同的排法种数有（ ） A. 288种 B. 144种 C. 72种 D. 36种 7. 在某校举行的秋季运动会中，有甲，乙，丙，丁四位同学参加了50米短跑比赛.现将四位同学安排在1，2，3，4这4个跑道上，每个跑道安排一名同学，则甲不在1道，乙不在2道的不同安排方法有（ ）种. A 12 B. 14 C. 16 D. 18 8. 已知函数导函数为.若，对任意，存在，使成立，则实数a（ ） A. 有最大值 B. 有最小值 C. 有最大值 D. 有最小值 9. 已知定义在上的函数的导数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，共26分. 10. 五名旅客在三家旅店投宿的不同方法有______种． 11. 函数的单调递减区间为______． 12. 已知函数的导函数为，且满足 ，则____________. 13. 将个座位连成一排，安排个人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法数为__________. 14. 若关于的方程有解，则实数的取值范围是__________． 15. 已知函数对区间上任意都有，则实数m的最小值是________. 三、解答题：本题共4小题，共51分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知函数，当时，取得极小值5. （1）求的值； （2）当时，求的最小值. 17. 在0，1，2，3，4，5这6个数字中选择若干个数. （1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？ （2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？ （3）能组成多少个无重复数字且不大于3450的四位数？ 18. 设函数． （1）若在处取得极值，求值； （2）若在上为减函数，求的取值范围. 19. 已知函数，为的导函数． （Ⅰ）当时， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）求函数的单调区间和极值； （Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学第一次质量调查 一、单选题：本题共9小题，共43分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据排列数公式可得出关于的二次方程，进而可解得正整数的值. 【详解】由排列数公式可得，即， ，解得. 故选：D. 【点睛】本题考查排列数方程的求解，考查排列数公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 2. 下列函数的求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据常见初等函数的求导函数的公式可得选项． 【详解】对于A：，故A不正确； 对于B：，故B不正确； 对于C：，故C不正确； 对于D：，故D正确， 故选：D． 3. 函数的定义域为开区间，导函数在内的图像如图所示，则函数在开区间内有极大值点（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合图像，由函数极值的定义即可得到结果. 【详解】依题意，记函数的图像与轴的交点横坐标依次为 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以为极小值点，为极大值点，为极小值点 故极大值点有1个 故选:A 4. 函数在处的切线方程为，则（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的几何意义确定导数值和函数值． 【详解】由题意，又切线方程是时，，所以， ． 故选：B． 5. 已知函数在上为减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导，根据导函数的符号求解. 【详解】，由条件知当时，，即， 令，是减函数，； 故选：D. 6. 永沙高级中学学生会有8位学生春游，其中高一学生2名､高二学生3名､高三学生3名.现将他们排成一列，要求2名高一学生相邻､3名高二学生相邻，3名高三学生中任意两名都不相邻，则不同的排法种数有（ ） A. 288种 B. 144种 C. 72种 D. 36种 【答案】B 【解析】 【分析】先将2名高一学生看成整体，3名高二学生看成整体，排成一排，然后3名高三学生去插空即可. 【详解】根据题意，分2步进行： 第一步，先将2名高一学生看成整体，3名高二学生看成整体，然后排成一排有种不同的排法， 第二步，将3名高三学生插在这两个整体形成的3个空档中，有种不同排法， 根据分步原理，共有种不同排法， 故选：B 7. 在某校举行的秋季运动会中，有甲，乙，丙，丁四位同学参加了50米短跑比赛.现将四位同学安排在1，2，3，4这4个跑道上，每个跑道安排一名同学，则甲不在1道，乙不在2道的不同安排方法有（ ）种. A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】 甲不在1道，乙不在2道，则分别讨论甲在2道和甲不在2道两种情况，再求和即可. 【详解】①甲在2道的安排方法有：种； ②甲不在2道，则甲只能在3或4号道，乙不能在2道，只能在剩下的2个道中选择一个，丙丁有2种，所以甲不在2号跑道的分配方案有种，共有种方案. 故选B. 【点睛】方法点睛：（1）先讨论甲在乙的位置的情况，此时乙不受限制，剩余元素全排列即可； （2）再讨论甲也不在乙的位置的情况； （3）两种情况求和. 8. 已知函数的导函数为.若，对任意，存在，使成立，则实数a（ ） A. 有最大值 B. 有最小值 C. 有最大值 D. 有最小值 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知，，利用二次函数与指数函数的单调性可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为，则， 对任意，存，使成立，则， 因为函数在上单调递减，则， 函数在上单调递增，则， 所以，，解得，即实数有最大值. 故选：A. 9. 已知定义在上的函数的导数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构建，根据题意分析可知在上单调递减，结合函数单调性解不等式. 【详解】构建，则， 因为，则，即， 可知在上单调递减，且， 由可得，即，解得， 所以不等式的解集是. 故选：A． 【点睛】关键点点睛：根据构建，进而利用导数判断函数单调性，结合单调性解不等式. 二、填空题：本题共6小题，共26分. 10. 五名旅客在三家旅店投宿的不同方法有______种． 【答案】 【解析】 【分析】每名旅客都有种选择，根据分步乘法计数原理可得出五名旅客投宿的方法种数. 【详解】由于每名旅客都有种选择，因此，五名旅客在三家旅店投宿的不同方法有种. 故答案为：. 【点睛】本题考查分步乘法计数原理的应用，考查计算能力，属于基础题. 11. 函数的单调递减区间为______． 【答案】## 【解析】 【分析】求导，再令即可得解. 【详解】函数的定义域为， ， 令，得， 所以函数函数的单调递减区间为. 故答案为：. 12. 已知函数的导函数为，且满足 ，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】在等式两边求导，令，可得出关于的等式，解出的值，即可得出函数的解析式，代值计算可得出的值. 【详解】在等式两边求导得， 所以，，解得，则， 因此，. 故答案为：. 13. 将个座位连成一排，安排个人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法数为__________. 【答案】 【解析】 【分析】将其中两个空座位捆绑，形成一个“大元素”，与另外一个空位插入人形成的个空位中的个，结合插空法可得结果. 【详解】分两步处理： 先将四个人进行排序，有种排法； 然后将其中两人空座位捆绑，形成一个“大元素”，与另外一个空位插入人形成的个空位中的个， 有种不同的排法. 综上所述，由分步乘法计数原理可知，不同的安排方法种数为种. 故答案为：. 14. 若关于的方程有解，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，将方程有解问题转化为函数有零点问题，进而利用导数研究函数的单调性和极值，找到使函数有零点的的范围 【详解】设，则. ①若，则，为上的增函数. ∵时， ∴有且只有一个零点，即此时方程有解. ②若，令，得，即在上为增函数； 令，得，即在上为减函数. 要使函数有零点，需，即，解得. ∴时，有零点，即此时方程有解. 综上所述，. 故答案为 【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 15. 已知函数对区间上任意的都有，则实数m的最小值是________. 【答案】20 【解析】 【分析】求出在上最大值和最小值后由两者差可得的范围，即得的最小值、 【详解】，则＝0，，当或时，，递增，当时，，递减． 所以，，又，， 所以在上，， 所以的最大值为，即，所以的最小值为20． 故答案为：20． 【点睛】本题考查用导数研究函数的最值，解题关键是命题对区间上任意的都有，转化继． 三、解答题：本题共4小题，共51分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知函数，当时，取得极小值5. （1）求的值； （2）当时，求的最小值. 【答案】（1）， （2）1 【解析】 【分析】（1）由函数解析式求导，根据可导函数取极值的必要条件，建立方程求得，利用极小值的判别方法进行检验，再根据函数解析式求值，可得答案； （2）由导数与函数单调性的关系，求得导数与零的大小关系，明确函数的单调区间，可得答案． 【小问1详解】 由题意函数，当时，取得极小值5， 可得， 所以，得， 此时； 当时，，当时，， 所以在时取极小值，符合题意； 所以，．又，所以． 即实数，； 【小问2详解】 由（1）可得，所以， 令解得或， 、随的变化情况如下表： 1 2 0 0 递增 极大值 递减 极小值 递增 而，，由此可得函数的最小值为. 17. 在0，1，2，3，4，5这6个数字中选择若干个数. （1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？ （2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？ （3）能组成多少个无重复数字且不大于3450的四位数？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分个位数是否为零两种情况讨论，再根据分步乘法计数原理和分类加法计数原理即可得解； （2）分个位数为和两种情况讨论，再根据分步乘法计数原理和分类加法计数原理即可得解； （3）分千位数为或和两种情况讨论，再根据分步乘法计数原理和分类加法计数原理即可得解. 【小问1详解】 当个位数为时，则千位数有种选法， 则百位数有种选法，十位数有种选法， 所以能组成个无重复数字的四位偶数； 当个位数不为时，则个位数有种选法，则千位数有种选法， 则百位数有种选法，十位数有种选法， 所以能组成个无重复数字的四位偶数， 综上所述，能组成个无重复数字的四位偶数； 【小问2详解】 当个位数为时，则万位数有种选法， 则千位数有种选法，百位数有种选法，十位数有种选法， 所以能组成个无重复数字且为5的倍数的五位数； 当个位数为时，则万位数有种选法， 则千位数有种选法，百位数有种选法，十位数有种选法， 所以能组成个无重复数字且为5的倍数的五位数， 综上所述，能组成个无重复数字且为5的倍数的五位数； 【小问3详解】 当千位数为或时， 则能组成个无重复数字且不大于3450的四位数； 当千位数为，百位数为，十位数为时，则符合题意的数只有一个； 当千位数为，百位数为，十位数不为时， 则十位数有种选法，个位数有种选法， 所以符合题意的数有种； 当千位数为，百位数不为， 则百位数有种选法，十位数有种选法，个位数有种选法， 所以符合题意的数有种， 综上所述，能组成个无重复数字且不大于3450的四位数. 18. 设函数． （1）若在处取得极值，求的值； （2）若在上为减函数，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据极值点定义可知，由此可得，代回验证可知满足题意，由此可得结果； （2）将问题转化为在上恒成立，采用分离变量法可得，令，利用导数可求得，由此可得的取值范围. 【小问1详解】 ，； 当时，， 当时，；当时，； 在，上单调递减，在上单调递增， 在处取得极小值，符合题意； 综上所述：. 【小问2详解】 若在上为减函数，则在上恒成立， 即对恒成立， 令， 则， 在上单调递减，， ，即实数取值范围为. 19. 已知函数，为的导函数． （Ⅰ）当时， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）求函数的单调区间和极值； （Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有． 【答案】（Ⅰ）（i）；（ii）函数g(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,+∞)；的极小值为，无极大值；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】 【分析】(Ⅰ) (i)首先求得导函数的解析式，然后结合导数的几何意义求解切线方程即可； (ii)首先求得解析式，然后利用导函数与原函数的关系讨论函数的单调性和函数的极值即可； （Ⅱ）首先确定导函数的解析式，然后令，将原问题转化为与有关的函数，然后构造新函数，利用新函数的性质即可证得题中的结论. 【详解】(Ⅰ) (i) 当k=6时，，.可得，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. (ii) 依题意，. 从而可得， 整理可得：， 令，解得. 当x变化时，的变化情况如下表： 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数g(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞)； g(x)的极小值为g(1)=1，无极大值. （Ⅱ）证明：由，得. 对任意的，且，令，则 . ① 令. 当x>1时，， 由此可得在单调递增，所以当t>1时，，即. 因为，，， 所以 . ② 由(Ⅰ)(ii)可知，当时，，即， 故 ③ 由①②③可得. 所以，当时，任意的，且，有 . 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $