精品解析：重庆市垫江第一中学校2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题

垫江一中2025年春期高二（下）数学第一次月考 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（每小题5分，共8小题40分） 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出导函数，令可得． 【详解】由已知，所以． 故选：A． 2. 函数f（x）＝ex+x在[﹣1，1]上的最大值是（ ） A. e B. e+1 C. ﹣e+1 D. e﹣1 【答案】B 【解析】 【分析】可求导数，判断导数的符号，从而得出在上单调递增，从而便可求出的最大值. 【详解】， ， 在上单调递增， 时，的最大值为. 故选：. 【点睛】本题考查基本初等函数的导数的求解公式，以及根据导数符号判断函数单调性的方法，指数函数的值域，根据单调性定义求函数最值的方法. 3. 设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据的图象可得的单调性，从而得到在相应范围上的符号，据此可判断的图象. 【详解】由的图象可知，在上为单调递减函数，故时，，故排除A，C；当时，函数的图象是先递增，再递减，最后再递增，所以的值是先正，再负，最后是正，因此排除B， 故选：D. 4. 已知函数，若在R上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出导函数，由已知得出恒成立.进而推得恒成立，由列出不等式，解不等式即可得出答案. 【详解】由已知可得，. 因为在R上单调递增，所以恒成立. 因为， 所以恒成立， 所以，，解得. 故选：D. 5. 函数图象上的点到直线的距离的最小值是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设与直线平行且与函数图象相切的直线方程为：，利用导数的几何意义求得切点，再求出切点到直线的距离，即得答案. 【详解】解：设与直线平行且与函数图象相切的直线方程为：， 设切点为， 又因为，所以，解得， 所以切点， 又因为点到直线的距离为， 所以函数图象上的点到直线的距离的最小值是. 故选：B. 6. 从1，2，3，4，5五个数字中随机地有放回地依次抽取三个数字，则数字2只出现一次的取法总数有（ ） A. 16 B. 48 C. 75 D. 96 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式计算即得. 【详解】有放回三次抽取的数字中，2只出现一次，按抽取的顺序有3种方法，另两次抽取的数字各有4种方法， 所以不同取法总数是. 故选：B 7. 已知，则a，b，c大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据式子结构，构造函数，利用导数判断出的单调性，进而得到a，b，c的大小关系. 【详解】根据式子结构，构造函数，则， 令，则，令，得， 因此在单调递增，在单调递减， 而，，， 因为，所以，即. 故选：D 8. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数，判断出单调性，再判断函数的奇偶性，则不等式不等式可化为即为，运用对数函数的单调性，即可得到解集. 【详解】函数的导数为， 则x>0时，，f(x)递增; 因为，则f(x)为偶函数，则不等式可化为 又因为x>0时, f(x)递增，且f(x)为偶函数， 所以，解得： 故选:D 【点睛】(1)利用单调性解不等式通常用于： ①分段函数型不等式；②复合函数型不等式；③抽象函数型不等式；④解析式较复杂的不等式； (2)解题的一般策略是：利用函数的单调性，将函数值的大小关系转化为自变量的关系，解不等式即可． 二、多选题（每小题6分，共3小题18分） 9. 如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（ ） A. 在区间上是增函数 B. 在区间上是减函数，在区间上是增函数 C. 是的极大值点 D. 是的极小值点 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数得出导函数的符号，进而得出函数的单调性，再结合函数的极值的定义即可求解. 【详解】根据图象知，当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减，故A错误，故B正确； 当时，取得是极大值，是的极大值点，故C正确； 当时，取得极小值，是的极小值点，故D正确. 故选：BCD. 10. 定义：设 是 的导函数，是函数 的导数，若方程有实数解 ，则称点 为函数 的“拐点”．经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图像的对称中心． 已知函数 的对称中心为 ，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 函数 既有极大值又有极小值 C 函数 有三个零点 D. 对任意 ，都有 【答案】AB 【解析】 【分析】根据拐点定义二次求导可计算可求出函数解析式即可判定A，根据导数研究其极值可判定B，结合B项结论及零点存在性定理可判定C，利用函数解析式取特殊值可判定D. 【详解】由题意可知，， 而，故A正确； 此时，， 显然或时，，则在上单调递增， 时，，即在上单调递减，所以在时取得极大值，在时取得极小值，故B正确； 易知， 结合B结论及零点存在性定理可知在存在一个零点，故C错误； 易知，故D错误 故选：AB 11. 已知函数的导函数为，若，且，，则的取值可能为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】AB 【解析】 【分析】令，利用导数说明函数的单调性，即可得到，从而求出的取值范围，即可判断. 【详解】因为， 令，则 ， 所以在定义域上单调递增， 所以，即， 又，， 所以，所以， 又，所以，， 所以的可能取值为、. 故选：AB 【点睛】关键点点睛：本题关键是依题意构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可求出的取值范围. 三、填空题（每小题5分，共3小题15分） 12. 若函数在处有极小值，则实数的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用函数的导数可得，解出的值之后，验证函数在处取得极小值即可. 【详解】由已知可得， 又函数在处有极小值，所以， 解得，所以， 当时，，当时，， 所以函数在处取得极小值. 故答案为：. 13. 由数字组成没有重复数字的三位数，则能被5整除的三位数共有__________个. 【答案】 【解析】 【分析】能被整除的三位数末位数字是或，分成末位数字是5和末位数字是0两种情况讨论. 【详解】能被整除的三位数说明末尾数字是或 当末尾数字是时，百位数字除了有种不同的选法，十位有种不同的选法，根据分步乘法原理一共有种方法； 当末尾数字是时，百位数字有种不同的选法，十位有种不同的选法，根据分步乘法原理一共有种方法； 则一共有种 故答案为： 14. 设实数，若对不等式恒成立，则m的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数判定其单调性得，分离参数根据恒成立求即可. 【详解】由， 构造函数， 在为增函数，则 即对不等式恒成立，则， 构造函数 令，得；令，得； 在上单调递增，在上单调递减， ，即. 故答案为：. 四、解答题（第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分．共5小题77分） 15. 求下列函数的导数. （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】由常见函数的导数公式及导数的运算法则可得答案. 【小问1详解】 【小问2详解】 16 已知函数 （1）求函数的极大值; （2）当时，求的值域. 【答案】（1）极大值 （2） 【解析】 【分析】（1）求导后，分析单调性可得极值； （2）利用（1）的单调性求出即可； 【小问1详解】 由题意的， 令，解得或；令，解得； 则在上单调递减；在和上单调递增， 如下表： 1 正 0 负 0 正 增 极大值 减 极小值 增 所以极大值为. 【小问2详解】 由（1）可知，在上单调递减，在上单调递增， 所以最小值， 又，， 所以当时，的值域为. 17. 已知函数． （1）若，求曲线在处切线方程； （2）若时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出函数在某点的导数，该导数就是曲线在该点处切线的斜率，再结合该点的函数值，利用点斜式方程可求得切线方程. （2）将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，通过求导分析函数单调性来确定最值. 【小问1详解】 当时，. 首先求的导数：可得. 然后求和值： 将代入，得. 将代入，得. 最后根据点斜式方程求切线方程：则切线方程为，即. 【小问2详解】 当时，恒成立，即恒成立. 对不等式进行化简：可得在上恒成立. 设，则. 求的导数：可得. 设，求的导数：. 因为，所以，，则.这说明在上单调递减. 所以，即.则在上单调递减. 所以.因此，. 则实数的取值范围是. 18. 已知函数，其中为实数， （1）若，求函数的最小值； （2）若方程在上有实数解，求的取值范围； 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）利用导数可求得单调性，由此可确定； （2）求导后，在和两种情况下可确定单调，不满足题意；当时，可求得单调性，结合单调性可知只需即可满足题意，由此可求得结果. 【详解】（1）当时，，则，由得：； 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增； . （2）； ①当时，在上恒成立，在上单调递增， ，方程在上无实数解，不合题意； ②当时，在上恒成立，在上单调递减， ，方程在上无实数解，不合题意； ③当时，令得：； 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， ，， 若方程在上有实数解，则只需， 即，解得：，； 综上所述：的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据方程有根求解参数范围，解题关键是能够通过分类讨论得到函数在区间内的单调性，结合单调性确定函数最值，由此得到不等关系. 19. 已知函数. （1）若对任意，恒成立，求的取值范围； （2）若函数有两个不同的零点，，证明：. 【答案】（1），（2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）对任意，恒成立，可变形为，因此只要求得的最大值即可，这可由导数的知识求解； （2）首先利用导数研究的单调性，确定零点分布，不妨设，得，然后用分析法转化所要证不等式为，由，这时以退为进，证明，即证，现在可构造函数，.证明，这又可用导数证明． 【详解】（1）解：由对任意恒成立，得对任意恒成立. 令，则. 令，则. 在上，，单调递增；在上，，单调递减. 故， 则，即的取值范围为. （2）证明：设，，则. 在上，，单调递增；在上，，单调递减. ∵，，当时，，且， ∴，. 要证，即证. ∵，，在上单调递减， ∴只需证明 由，只需证明. 令，. ， ∵，∴，， ∴， ∴在上单调递增， ∴， 即，∴. 【点睛】本题考查导数的应用，用导数研究不等式恒成立，研究函数零点．解题过程自始至终贯穿着转化思想，但转化后仍然要用导数去研究函数的单调性与最值．本题难度较大，属于难题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 垫江一中2025年春期高二（下）数学第一次月考 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（每小题5分，共8小题40分） 1. 已知函数，则（ ） A B. C. D. 2. 函数f（x）＝ex+x在[﹣1，1]上的最大值是（ ） A e B. e+1 C. ﹣e+1 D. e﹣1 3. 设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，若在R上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 函数图象上的点到直线的距离的最小值是（ ） A B. C. 1 D. 6. 从1，2，3，4，5五个数字中随机地有放回地依次抽取三个数字，则数字2只出现一次的取法总数有（ ） A. 16 B. 48 C. 75 D. 96 7. 已知，则a，b，c大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共3小题18分） 9. 如图所示是导数的图象，下列结论中正确的有（ ） A. 在区间上是增函数 B. 在区间上是减函数，在区间上是增函数 C. 是的极大值点 D. 是的极小值点 10. 定义：设 是 的导函数，是函数 的导数，若方程有实数解 ，则称点 为函数 的“拐点”．经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图像的对称中心． 已知函数 的对称中心为 ，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 函数 既有极大值又有极小值 C. 函数 有三个零点 D. 对任意 ，都有 11. 已知函数的导函数为，若，且，，则的取值可能为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 三、填空题（每小题5分，共3小题15分） 12. 若函数在处有极小值，则实数的值为______. 13. 由数字组成没有重复数字的三位数，则能被5整除的三位数共有__________个. 14. 设实数，若对不等式恒成立，则m的取值范围为________． 四、解答题（第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分．共5小题77分） 15. 求下列函数的导数. （1）； （2）. 16. 已知函数 （1）求函数的极大值; （2）当时，求的值域. 17. 已知函数． （1）若，求曲线在处切线方程； （2）若时，恒成立，求实数的取值范围． 18. 已知函数，其中为实数， （1）若，求函数的最小值； （2）若方程在上有实数解，求的取值范围； 19 已知函数. （1）若对任意，恒成立，求的取值范围； （2）若函数有两个不同的零点，，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$