精品解析：浙江省建德市寿昌中学2024-2025学年高二下学期第二次检测数学试题

2024学年高二第二学期数学学科第二轮测试试题卷 一、单选题 1. 已知等差数列满足，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列是等比数列，，，若，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3. 已知曲线上一点，记为函数的导数，则（ ） A. B. C. D. 4. 设函数满足，则曲线在处的切线斜率为（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 若函数无极值，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 6. 已知函数是上可导函数，的导函数的图象如图，则下列结论不正确的是（ ） A. 分别是极大值点和极小值点 B. 分别是极大值点和极小值点 C. 在区间上增函数 D. 在区间上是减函数 7. 已知数列满足，其中，为数列的前n项和，则下列四个结论中，正确的是（ ） A. B. 数列的通项公式为： C. 数列的前n项和为： D. 数列为递减数列 三、填空题 8 已知数列中，，，则_______． 9. 已知函数是上的增函数，则的最小值为________. 四、解答题 10. 已知函数，其中为非零常数． （1）当时，求的单调区间； （2）若函数的图象在点处的切线斜率为，求的极值． 11. 在数列中，，， (1)设，证明：数列是等差数列； (2)求数列的前项和. 12. 已知函数. （1）讨论单调性； （2）当，证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年高二第二学期数学学科第二轮测试试题卷 一、单选题 1. 已知等差数列满足，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的性质，可得答案. 【详解】因为，解得. 故选：B. 2. 已知数列是等比数列，，，若，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，根据等比数列通项公式基本量的计算可得，结合等比数列前n项求和公式计算即可求解. 【详解】设等比数列的公比为q， 由，解得， 所以，解得. 故选：B 3. 已知曲线上一点，记为函数的导数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导可得，进而求解. 【详解】，，所以， 所以. 故选：D 4. 设函数满足，则曲线在处的切线斜率为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】曲线在处的切线斜率为，利用已知计算即可. 【详解】由题可得， 曲线在处的切线斜率为， 令，则原式． 故选：B. 5. 若函数无极值，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得恒成立，求解即可. 【详解】的导数为， 函数不存在极值点， R上恒成立， 即恒成立， ，解得， 即实数a的取值范围是 故选：B. 二、多选题 6. 已知函数是上的可导函数，的导函数的图象如图，则下列结论不正确的是（ ） A. 分别是极大值点和极小值点 B. 分别是极大值点和极小值点 C. 在区间上是增函数 D. 在区间上是减函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据的正负，从而确定函数的单调性和极值点的情况，即可对每个选项进行判断. 【详解】根据的图象可知： 当时，，单调递减；当时，，且不恒为零，单调递增； 对AB：根据单调性可知，只有极小值点，没有极大值点，故AB错误； 对CD：根据单调性可知，在单调递增，在也单调递增，故C正确，D错误. 故选：ABD. 7. 已知数列满足，其中，为数列的前n项和，则下列四个结论中，正确的是（ ） A. B. 数列的通项公式为： C. 数列的前n项和为： D. 数列为递减数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】令可求；利用已知求的方法求数列通项公式；利用裂项相消法求数列的前n项和;根据数列与函数的关系判断数列的单调性. 【详解】因为， 所以当时，， 两式相减得，所以， 又因为当时，满足上式， 所以数列通项公式为：，故A正确，B错误， ， 所以 ， 故C正确； 因为，随着的增大，在减小，所以数列为递减数列， 故D正确. 故选:ACD. 三、填空题 8. 已知数列中，，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用累加法和等比数列求和来求解即可. 【详解】由已知得， 再由累加法得：． 故答案为： 9. 已知函数是上的增函数，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】由函数单调性得恒成立，分离参数后构造函数求最值即得. 【详解】因为函数是上增函数， 所以，即：. 令，则，令，得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以， 要使恒成立，则，故的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 10. 已知函数，其中为非零常数． （1）当时，求的单调区间； （2）若函数的图象在点处的切线斜率为，求的极值． 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2）极大值为，无极小值 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间； （2）求出函数导函数，根据导数的几何意义可知，求得的值，根据求极值的步骤依次求解即可. 【小问1详解】 当时，定义域为， 又， 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减； 即的单调递增区间为，单调递减区间为； 【小问2详解】 因为，所以，解得， 所以，则， 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减； 所以在处取得极大值，且极大值为，无极小值． 11. 在数列中，，， (1)设，证明：数列是等差数列； (2)求数列的前项和. 【答案】（1）略（2） 【解析】 【详解】试题分析：（1）题中条件，而要证明的是数列是等差数列，因此需将条件中所给的的递推公式转化为的递推公式：，从而，，进而得证；（2）由（1）可得，，因此数列的通项公式可以看成一个等差数列与等比数列的乘积，故可考虑采用错位相减法求其前项和，即有：①，①得：②， ②-①得. 试题解析：（1）∵， ，又∵，∴， ，∴则是为首项为公差的等差数列； 由（1）得 ，∴， ∴①， ①得：②， ②-①得. 考点：1.数列的通项公式；2.错位相减法求数列的和. 12. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当，证明：. 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导后对其导函数进行通分再对其分子因式分解，分类讨论与时的单调性即可. （2）求出，将所证转化为，进而转化为证明恒成立，构造函数求其最大值即可证明. 【小问1详解】 ∵，定义域为， 则， ①当时，，在上单调递增； ②当时，当时，，在上单调递增 当时，，在上单调递减， 综上，①当时，上单调递增， ②当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 由（1）可得，当时， . 要证， 只需证， 即证恒成立. 令，，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， ∴的最大值为，即：. ∴恒成立， ∴原命题得证.即：当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$