精品解析：福建省厦门松柏中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

2024-2025松柏中学高一数学下学期月考试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若向量，则下列结论正确的是 A. B. C. D. 2. 已知向量满足，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则 A. 3 B. C. D. 12 4. 已知在矩形中，，线段交于点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知单位向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，内角的对边分别为，为BC边上一点，且，则的面积为（） A. B. C. D. 7. 在中，角的对边分别为，若，则的形状为（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形 8. 如图所示，半圆的直径，为圆心，是半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值是（ ） A. B. C. 0 D. 2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，．则b可以为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 10. 如图，点是线段的三等分点，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 在中，，周长为10，面积为，则（ ） A. 为钝角三角形 B. C. D. 边上的高为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，，则______． 13. 如图，作用于同一点的三个力，，处于平衡状态，已知，，与的夹角为，则的大小为______. 14. 已知在中，角所对的边分别为，，是的中点，若，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，是同一平面内的三个向量，其中. （1）若，且，求的坐标； （2）若，且与垂直，求与的夹角. 16. 已知在中，角所对的边分别为，且. （1）若，求的值； （2）若的面积为3，求的值. 17. 某市发生水灾.国家抗震救灾指挥部紧急从处调飞机去某地运救灾物资到受灾的处.现有以下两个方案供选择: 方案一：飞到位于处正东方向上的市调运救灾物资，再飞到处； 方案二：飞到位于处正南方向上的市调运救灾物资，再飞到处. 已知数据如图所示：, , . 问：选择哪种方案，能使得飞行距离最短？（参考数据：） 18. 如图，圆的半径为3，其中为圆上两点． （1）若，当为何值时，与垂直？ （2）若为的重心，直线过点交边于点，交边于点，且，，求最小值． 19. 在中，角所对边分别为． （1）已知，，． ①求； ②若的平分线交于点，求线段的长； （2）若是锐角三角形，为（1）中所求，为的垂心，且，求的取值范围； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025松柏中学高一数学下学期月考试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若向量，则下列结论正确的是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】本题考查向量的坐标运算． 解答：选项A、． 选项B、 选项C、，正确． 选项D、因为所以两向量不平行． 2. 已知向量满足，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律求解即得. 【详解】由，得，两边平方得，而， 所以. 故选：A 3. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则 A. 3 B. C. D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】先根据正弦定理得，再根据余弦定理列方程解得结果. 【详解】因为，所以由正弦定理得, 因此，选C. 【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. 4. 已知在矩形中，，线段交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合向量的运算性质，从出发进行计算，进行合理的“插点”，使其能被表示即可. 【详解】依题意得，结合图形有：. 故选：D 5. 已知单位向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将=1两边平方得到向量的数量积，再根据在方向上的投影向量公式得出结果. 【详解】由已知， 因为，所以. 所以在方向上的投影向量为. 故选：B． 6. 在中，内角的对边分别为，为BC边上一点，且，则的面积为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得，可求，可求的面积. 【详解】因为在中，，又为边上一点，且， 所以， 又， 所以， 所以，解得， 所以. 故选:D. 7. 在中，角的对边分别为，若，则的形状为（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理将边化角，再由和角公式化简可得或，最后分类讨论即可. 【详解】由正弦定理，得， 所以，故， 所以或，即或， 故为直角三角形或等腰三角形． 选：D． 8. 如图所示，半圆的直径，为圆心，是半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值是（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的线性运算得，取数量积运算得到，且，方向相反，设，将所求式子化为，用二次函数求最值即可. 【详解】由平行四边形法则得，故，，且，方向相反， 设，则． 因为，所以当时，取得最小值，最小值为． 故选：B． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，．则b可以为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】AB 【解析】 【分析】由正弦定理可得，由得，结合选项即可求解. 【详解】在△ABC中，，， 由正弦定理可得，即，所以， 因为，所以， 所以b可以为7，8， 故选：AB. 10. 如图，点是线段的三等分点，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用向量相等的定义即可求解，两个向量相等必须是大小相等且方向相同. 【详解】由题知，点是线段的三等分点， 所以，，， 对于A：且方向相同，所以，A选项正确； 对于B：，所以，B选项错误； 对于C：，所以，C选项错误； 对于D：且方向相同，所以，D选项正确； 故选：AD. 11. 在中，，周长为10，面积为，则（ ） A. 为钝角三角形 B. C. D. 边上的高为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题设，结合三角形面积公式及余弦定理求出的值，判断各项即可. 【详解】设的内角的对边分别为，则，① ，即，② 再根据余弦定理，得，③ 由①②③解得，故C正确； ，故B正确； 设边上的高为，则，得，故D正确； 由，得或， 可知4为最长边，最长边所对的角最大，设为，， 所以，则为锐角， 所以为锐角三角形，故A错误． 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，，则______． 【答案】##0.8 【解析】 【分析】利用向量的坐标代入题设方程求得的值，再根据向量夹角的坐标公式计算即得. 【详解】因，， 则，解得，则， 故． 故答案为：. 13. 如图，作用于同一点的三个力，，处于平衡状态，已知，，与的夹角为，则的大小为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合平面向量的运算法则和向量的数量积的计算公式，准确计算，即可求解. 【详解】因为，，三个力处于平衡状态，所以，则， 所以. 故答案为：. 14. 已知在中，角所对的边分别为，，是的中点，若，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理及两角差的正弦公式可得，，再利用余弦定理可得，进而得到，再根据基本不等式求解即可. 【详解】由， 根据正弦定理得，， 即，所以． 又因为，， 所以，所以． 在中，，① 在中，，② 因为，所以， ①②可得，又因为，所以， 即，所以， 令，则，即，解得， 又因为，所以，当且仅当时，等号成立， 则的最大值为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，是同一平面内的三个向量，其中. （1）若，且，求的坐标； （2）若，且与垂直，求与的夹角. 【答案】（1），或 （2） 【解析】 【分析】（1）由向量的共线定理求解； （2）由向量垂直的坐标公式及数量积应用求解． 【小问1详解】 ∵； ∴设，且，； ∴； ∴； ∴，或； 【小问2详解】 ∵与垂直， ∴，即， 又，， ∴， ∴， 又， ∴与的夹角. 16. 已知在中，角所对的边分别为，且. （1）若，求的值； （2）若的面积为3，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）先求，利用正弦定理求a； （2）分别利用面积和余弦定理列方程组，即可求出的值. 【详解】解：（1）因为，B 为内角，所以， 由正弦定理得，即，解得； （2）由的面积得：，得 由余弦定理得，得， 即， 所以即，所以. 17. 某市发生水灾.国家抗震救灾指挥部紧急从处调飞机去某地运救灾物资到受灾的处.现有以下两个方案供选择: 方案一：飞到位于处正东方向上的市调运救灾物资，再飞到处； 方案二：飞到位于处正南方向上的市调运救灾物资，再飞到处. 已知数据如图所示：, , . 问：选择哪种方案，能使得飞行距离最短？（参考数据：） 【答案】 选择方案一,能使飞行距离最短. 【解析】 【分析】抽象到平面图形中，方案一为求AC+BC的长度，方案二为求AD+BD的长度,然后比较大小，长度小的即为飞行的距离短． 【详解】方案一：在中, 依题意得, 由 ， 且为等腰三角形 所以． （利用等腰三角形的性质，几何法求解的长亦可）． 方案二：在中, ． 即，所以． 因为． 故选择方案一,能使飞行距离最短. 【点睛】利用正弦定理、余弦定理解三角形的实际应用的一般思路：实际问题抽象概括后，若已知量和未知量集中在一个三角形中，则直接用正弦定理或余弦定理求解；若涉及两个及以上的三角形，需要先解够条件的三角形，或设未知量，根据条件列出方程（组），解方程求未知量． 18. 如图，圆的半径为3，其中为圆上两点． （1）若，当为何值时，与垂直？ （2）若为的重心，直线过点交边于点，交边于点，且，，求最小值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出的长，利用平面向量数量积的定义可求出的值，由已知可得出，利用平面向量数量积的运算性质可得出关于的等式，解之即可； （2）由重心的性质推导得出，由、、三点共线，推导出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，从而可得最小值． 【小问1详解】 因为，， 所以由余弦定理得，即，所以． 若与垂直，则， 所以，所以， 解得，即时，与垂直； 【小问2详解】 因为为的重心，所以， 又因为，，所以， 由于三点共线，所以存在实数使得，所以 化简为，所以，所以． 显然，，则， 当且仅当时，即时，取最值． 则的最小值为2． 19. 在中，角所对边分别为． （1）已知，，． ①求； ②若的平分线交于点，求线段的长； （2）若是锐角三角形，为（1）中所求，为的垂心，且，求的取值范围； 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①利用同角三角函数基本关系和正弦定理以及余弦定理即可得到答案；②根据余弦定理得，再利用三角形面积公式即可得到答案； （2）设，将表示为角的三角函数，再利用二倍角公式，转化为关于的函数，即可求出范围； 【小问1详解】 ①因为，， 所以， 由正弦定理，得，即， 由余弦定理，得， 因为，所以； ②又因为，，所以， 即，解得，设边上的角平分线长为， 则， 即， 即，解得，即边上的角平分线长为； 【小问2详解】 延长交于，延长交于， 设，，所以， 在中，， 在中，，，所以， 在中，， 同理可得在中，， 所以 ， 因为，所以，所以， 所以，即的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $