2025届高考数学二轮复习重点专题突破·函数恒成立与有解问题（全国通用）

NO 高考二轮复习专题 函数恒成立与有解问题 目 录 CONTENTS 1 知识梳理·温故知新 2 典例分析·能力提升 3 真题演练·高分突破 知识梳理·温故知新 1.分离参数法解决恒（能）成立问题的策略 ()分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题 (2)a≥x)恒成立台a≥x)max: a≤孔x)恒成立台a≤fx)min: a≥fx)能成立台a≥fx)mim: a≤x)能成立台a≤x)max. 2.根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参 数范围，借助函数单调性求解 3.“双变量”的恒（能）成立问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含 条件，进行等价变换，常见的等价变换有 对于某一区间1 (1)x1,x2∈I,x1)>Pgx2)台x)mim>gx)nmax. (2)Hx1∈I1,3x2∈12，fx1)Pgx2)台x)min>g(x)min (3)3x1∈1Ii,廿x2∈I2,fxi)Pg(x2)台x)maxg(x)max 2 典例分析·能力提升 典例一 目标最值法 例 (2024:河北名校调研)已知函数∫)=nx+是-3(m>0. (1)当m=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程； 【解折】y‘倒-0= (>0) 当m=1时.f‘0)=-1,f0)=1-3=支， 所以曲线y寸)在点(1，f)处的切线方程为y一2=一(c一1) 即x+-3 =0 (2)若fx)22 恒成立，求实数m的取值范围 【解析】 2)迪0得f‘=二2m x3 >0). 因为m>0,所以由f'x)=0,得x=V2m 所以当x∈(0，V2m)时，f'x)<0,fx)单调递减： 当x∈(N2m，+∞)时，f'(x)>0,f(x)单调递增 所以f(x)mim=f(N2m)=lnV2m, 电fez7,得f=n2m≥2， 解得m≥ 所以实数m的取值范围为e十∞ 探究 目标最值法就是直奔主题，例如：若f(x)≥0恒成立，则去求f(x) 的最小值：若fx)≥0有解，则去求f(x)的最大值，然后再解相应不等式.解题 过程也许需要分类讨论， 典例二分离参数法 例 (2024湖北武汉阶段练习)已知函数f()=lnx+ar+3(a∈R). 1 (I)当a=一2时，求函数fc)的极值： 【解析】 ()当a=时，f)=1nx-32+3.E0,+四所以f 当0<<1时，f'(x)>0,f)单调递增， 当x>1时，f·()<0,f(x)单调递减 所以r在x=1处取得极大值f①)=了， 无极小值