精品解析：江苏省南京市鼓楼区南京市第二十九中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

2024—2025学年度高二第二学期第二次检测数学 2025.3 命题人:数学备课组 审题人：课程研发审核组 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设函数，则（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在空间四边形中，，，，且，，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知是单调递增的等比数列，且，则公比的值是（ ） A. 3 B. －3 C. 2 D. －2 4. 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的值为（     ） A. B. C. D. 5. 已知点，圆，若圆上存在点使得，则实数的最小值是（ ） A. －1 B. 1 C. 0 D. 2 6. 在“文化抚州，梦想之舟”半程马拉松比赛中，某路段设三个服务站，某高校5名同学到甲、乙、丙三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1人，则不同的安排方法共有（ ） A. 25种 B. 150种 C. 300种 D. 50种 7. 甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 事件与事件B相互独立 C. D. 8. 已知函数，，当时，恒成立，则实数a的取值范围是（     ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 下列说法中正确是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若随机变量，且，则 D. 若随机变量分布列为，则 10. 在棱长为1的正方体中，点F在底面ABCD内运动（含边界），点E是棱的中点，则（ ） A. 若F是棱AD的中点，则平面 B. 若平面，则F是AC上靠近C的四等分点 C. 点E到平面距离为 D. 若F在棱AB上运动，则点F到直线的距离最小值为 11. 已知函数（参考数据：），则下列说法正确的是（    ） A. 在上单调递增 B. 在处的切线方程为 C. 在内共有1个极值点 D. 设，则在上共有3个零点 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 展开式中，只有第6项的系数最大，展开式中的常数项是_____. 13. 如题图所示是某展区的一个菊花布局图，现有5个不同品种的菊花可供选择，要求相邻的两个展区不使用同一种菊花，则不同的布置方法有_________种． 14. 在生活中，可以利用如下图工具绘制椭圆，按照这个原理，已知O是滑杆上的一个定点，D可以在滑杆上自由移动，线段，点B，E是AD上两点，E是AD中点，且，如图，过B作AD的垂线，满足，则点E所形成的轨迹的离心率________；点C所形成的轨迹的离心率_________． 15. 记数列的前项和为，已知且． （1）求的通项公式； （2）记，求数列的前项和 16. “分布式计算系统”是由多台计算机组成的用以提高计算效率的计算机系统．在一个分布式计算系统中，若一次计算中发生故障的计算机数不超过总计算机数的，则称这次计算是“优质计算”，某科技公司采购了一批共计台计算机用于搭建分布式计算系统，每台计算机的故障率均为． （1）若，，记为一次计算中正常运行的计算机数量，求的分布列和数学期望； （2）若，，请估计一次计算中正常运行计算机数量最有可能是多少？ 17. 已知动点到点的距离比它到直线的距离小，记动点的轨迹为. （1）求轨迹的方程. （2）已知直线与轨迹交于A，B两点，以A，B为切点作两条切线，分别为，，且，相交于点.若点在直线上，求的值. 18. 如图，在四棱锥中，平面PAD，． （1）证明：平面ABCD； （2）若底面ABCD是正方形，．E为PB中点，点F在棱PD上，且平面AEF与平面ABCD的夹角的余弦值为． （ⅰ）求PF； （ⅱ）平面AEF交PC于点G，点M在平面PBC上，求EG与平面MAD所成角正弦值的取值范围． 19. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）设是的两个极值点， ①求证：； ②求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度高二第二学期第二次检测数学 2025.3 命题人:数学备课组 审题人：课程研发审核组 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用复合函数求导规则计算即可. 【详解】． 故选：D. 2. 如图，在空间四边形中，，，，且，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量加减运算与数乘运算的几何表示即可得解. 【详解】根据题意， . 故选：A 3. 已知是单调递增的等比数列，且，则公比的值是（ ） A. 3 B. －3 C. 2 D. －2 【答案】C 【解析】 【分析】根据等边数列的性质即可求解方程得，即可求解. 【详解】解：由是单调递增的等比数列且， 所以是的两个实数根，且， 得，故． 故选：C． 4. 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的值为（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由双曲线方程写出渐近线方程，根据直线垂直建立方程，可得答案. 【详解】双曲线的渐近线方程为，所以，解得. 故选：A. 5. 已知点，圆，若圆上存在点使得，则实数的最小值是（ ） A. －1 B. 1 C. 0 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】把存在性问题转化为两圆有公共点问题来求解即可. 【详解】根据题意，点，若，则点的轨迹是以为圆心，3为半径的圆，设该圆为圆， 圆，若圆上存在点使得，则圆与圆有公共点， 则，解得，即的取值范围为， 故的最小值为0． 故选：C． 6. 在“文化抚州，梦想之舟”半程马拉松比赛中，某路段设三个服务站，某高校5名同学到甲、乙、丙三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1人，则不同的安排方法共有（ ） A. 25种 B. 150种 C. 300种 D. 50种 【答案】B 【解析】 【分析】利用先分组后分配来解题，分组中要注意均分组消序思想. 【详解】五名同学分三个小组， 若按2人，2人，1人来分有种， 若按3人，1人，1人来分有种， 再把这三个小组排列到三个服务站去共有种， 所以每个服务点至少有1人的不同安排方法有：种， 故选：B. 7. 甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 事件与事件B相互独立 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】A选项，根据题意求出，判断A选项； B选项，利用全概率公式求出，得到，判断事件事件与事件B不相互独立，得到D选项正确； C选项，利用条件概率公式求解即可. 【详解】由题意得，所以A错误； 因为， ，所以，即， 故事件事件与事件B不相互独立，所以B错误，D正确； ，所以C错误； 故选：D 8. 已知函数，，当时，恒成立，则实数a的取值范围是（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】“当时，不等式恒成立”等价于“，恒成立”，设函数，通过导数分析其单调性得；再设并通过导数得在上单调递增，且，故得a的取值范围是. 【详解】由函数，，所以不等式恒成立，等价于 恒成立； 因为，所以； 设函数，，则， 计算，且； 所以， 当，时，令，解得， 所以时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 所以； 设，则， 所以在上单调递增，且； 要使恒成立，需使恒成立，即 所以a的取值范围是. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若随机变量，且，则 D. 若随机变量的分布列为，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用条件概率公式可判断A，利用概率的性质可判断B，利用二项分布的期望和方差公式可判断C，利用离散型随机变量的期望公式可判断D． 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，因为，所以， 所以，解得， 所以，所以，故C正确； 对于D，因为随机变量的分布列为， 所以，，， 所以，故D错误． 故选：ABC． 10. 在棱长为1的正方体中，点F在底面ABCD内运动（含边界），点E是棱的中点，则（ ） A. 若F是棱AD的中点，则平面 B. 若平面，则F是AC上靠近C的四等分点 C. 点E到平面的距离为 D. 若F在棱AB上运动，则点F到直线的距离最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用面面平行证明线面平行，判断A.；建立空间直角坐标系，利用向量法判断线面垂直判断B，利用等体积法求得点到直线的距离C，利用向量法求得点到直线的距离判断D. 【详解】对于A.如图，取的中点，连结，因为点是的中点， 所以，平面，平面， 所以平面， 同理，且，所以，平面，平面，所以平面， 且，平面， 所以平面平面，平面， 所以平面， 对于B. 若F是AC上靠近C的四等分点， 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， ，， 所以，，且，平面， 所以平面，且过点只有1条直线和平面垂直， 则点是唯一的，点是上靠近的四等分点，故B正确； 对于C. 因为E是棱的中点，所以点E到平面的距离为点到平面的距离的， 由题意可得是等边三角形，且，设点到平面的距离为， 由，所以， 所以，解得， 所以点E到平面的距离为，故C错误； 对于D.若点在棱上运动，设，， ，， 则点到的距离， 当时，的最小值为，故D正确. 故选：ABD 11. 已知函数（参考数据：），则下列说法正确的是（    ） A. 在上单调递增 B. 在处的切线方程为 C. 在内共有1个极值点 D. 设，则在上共有3个零点 【答案】BC 【解析】 【分析】求得，结合，得到，利用导数求得函数的单调性，以及极值点的定义，以及函数零点的判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由函数， 可得， 令，令，则，则， 可得，令，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以当时，， 所以，即，即对恒成立， 因为时，，所以， 所以函数在上单调递减，所以A错误； 对于B中，由，， 则切线方程为，则，故B正确； 对于C中，由函数，可得， 由A知，，令，即，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，当时，函数取得极大值，所以函数在内共有1个极值点， 所以C正确； 对于D中，由， 又由， 所以函数是周期为的周期函数， 不妨设，可得， 由A知，，令，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，且， 所以函数在上有两个零点，所以函数在上有无数个零点，所以D错误. 故选：BC. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 展开式中，只有第6项的系数最大，展开式中的常数项是_____. 【答案】210 【解析】 【分析】根据二项式系数增减性可得，即可根据通项特征求解. 【详解】第六项的二项式系数为，展开式中每一项的系数即二项式系数，故最大， 所以. 则， 令，故， 所以常数项为. 故答案为：210 13. 如题图所示是某展区的一个菊花布局图，现有5个不同品种的菊花可供选择，要求相邻的两个展区不使用同一种菊花，则不同的布置方法有_________种． 【答案】420 【解析】 【分析】先安排中心区域A，再从B开始沿逆时针方向进行布置四周的区域，分D与B选用同一种和选用不同种类菊花两种情况，结合计数原理得到答案. 【详解】先布置中心区域A共有5种方法，从B开始沿逆时针方向进行布置四周的区域， 则B有4种布置方法，C有3种布置方法． 如果D与B选用同一种菊花，则E有3种布置方法； 如果D与B选用不同种类菊花，则D有2种布置方法，E有2种布置方法． 按照分步乘法与分类加法计数原理， 则全部的布置方法有（种）. 故选：420． 14. 在生活中，可以利用如下图工具绘制椭圆，按照这个原理，已知O是滑杆上的一个定点，D可以在滑杆上自由移动，线段，点B，E是AD上两点，E是AD中点，且，如图，过B作AD的垂线，满足，则点E所形成的轨迹的离心率________；点C所形成的轨迹的离心率_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据绘制椭圆工具的原理，结合椭圆的定义，利用已知的长度及图形关系，即可求出椭圆的离心率. 【详解】如图所示，过点E作OD的垂线，交OA的延长线于点P， 交OD于N，过A作AM垂直PN，垂足为M， 可知，P的轨迹为圆， 而由伸缩变换可知，E的轨迹为椭圆， ； 所以， 所以椭圆的离心率为. 延长AC至K，使，则， 过OK作直线l，过点C作， 交OA于P，交l于N﹐过A作AM垂直PN，垂足为M， 所以，可得， 所以AM即是中角平分线，又是PC边上的高 可得 由及，易知 ， 故P的轨迹为圆，，由伸缩变换可知， C的轨迹为椭圆， 所以椭圆的离心率为. 故答案为：； 15. 记数列的前项和为，已知且． （1）求的通项公式； （2）记，求数列的前项和 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用的关系，可得，利用累乘法可求的通项公式； （2）利用裂项相消法与等差数列的前项和公式求解即可. 【小问1详解】 根据题意，，，则， 两式相减得， 即， 所以， 又适合上式，故的通项公式为， 【小问2详解】 由（1）知，，所以， 故 . 16. “分布式计算系统”是由多台计算机组成的用以提高计算效率的计算机系统．在一个分布式计算系统中，若一次计算中发生故障的计算机数不超过总计算机数的，则称这次计算是“优质计算”，某科技公司采购了一批共计台计算机用于搭建分布式计算系统，每台计算机的故障率均为． （1）若，，记为一次计算中正常运行的计算机数量，求的分布列和数学期望； （2）若，，请估计一次计算中正常运行的计算机数量最有可能是多少？ 【答案】（1）分布列见解析，数学期望为 （2）台或台 【解析】 【分析】（1）由题意可知，，由二项分布可得出随机变量的分布列，利用二项分布的期望公式可得出的值； （2）设由台计算机组成的分布式计算系统中正常运行的计算机数为，则，解不等式组，其中，，求出的取值范围，即可得出结论. 【小问1详解】 由题意可知，， 可得，， ，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 所以，随机变量的数学期望为. 【小问2详解】 设由台计算机组成的分布式计算系统中正常运行的计算机数为，则． 且， 由得，其中，， 即，解得． 所以同时正常运行计算机数最有可能是台或台． 17. 已知动点到点的距离比它到直线的距离小，记动点的轨迹为. （1）求轨迹的方程. （2）已知直线与轨迹交于A，B两点，以A，B为切点作两条切线，分别为，，且，相交于点.若点在直线上，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，结合抛物线的定义与其标准方程，可得答案； （2）设出直线方程，联立抛物线方程，写出韦达定理，由切点设出切线方程，根据根的判列式为零，求得切线方程，联立求交点，可得答案. 【小问1详解】 由题意知动点到的距离与到直线的距离相等， 则动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以轨迹的方程为 【小问2详解】 设，，联立方程组，得， 可得，则，. 易知，的斜率存在，设的方程为， 联立方程组，得. 由，解得， 所以的方程为，同理可得，的方程为. 由，解得，即点，即为 又因为若点在直线上，所以，解得. 18. 如图，在四棱锥中，平面PAD，． （1）证明：平面ABCD； （2）若底面ABCD是正方形，．E为PB中点，点F在棱PD上，且平面AEF与平面ABCD的夹角的余弦值为． （ⅰ）求PF； （ⅱ）平面AEF交PC于点G，点M在平面PBC上，求EG与平面MAD所成角的正弦值的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，再由线面垂直的判定定理证明线面垂直； （2）（ⅰ）建立空间直角坐标系，写出点和向量的坐标，由点是上的一点得到进而得到平面的法向量的坐标，再由（1）中平面ABCD得到是平面ABCD的一个法向量，利用两平面夹角的余弦值求得的值，进而得到； （ⅱ）利用平面的法向量，确定点的坐标，从而得到的坐标，由点M在平面PBC上，可设，从而得到平面MAD的法向量，从而可以用表示出EG与平面MAD所成角的正弦值的取值范围，利用二次函数的值域得到正弦值的取值范围. 【小问1详解】 因为平面PAD，平面PAD，所以． 又，平面ABCD，平面ABCD，， 所以平面ABCD． 【小问2详解】 以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，如图． （ⅰ），，， ，，，设， 则． 设平面AEF的法向量为，则即， 取，得，， 所以是平面AEF的一个法向量， 因为平面ABCD，所以是平面ABCD的一个法向量． 因为平面AEF与平面ABCD的夹角的余弦值为， 所以，得，所以． （ⅱ）设，则． 因为为平面AEGF的一个法向量，所以， 所以，即，得， 所以，． ，，，，，， 因为M在平面PBC上，所以， 所以． 设平面MAD的法向量，则即， 取得，所以是平面MAD的一个法向量， 设EG与平面MAD所成角为，则 因为，所以 即EG与平面MAD所成角正弦值的取值范围为． 19. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）设是的两个极值点， ①求证：； ②求证：. 【答案】（1）减区间为，增区间为； （2）①②证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）①分析得的两根为，且，再构造函数，利用导数得其单调性即可证明原不等式； ②将左边不等式等价转化证明，再构造函数，利用导数即可证明，右边不等式利用切线放缩即可证明. 【小问1详解】 时，，， 因为，均在上单调递增， 则在上单调递增，又， 所以，，，， 所以在单调递减，在单调递增． 【小问2详解】 ①依题意的两根为， 即的两根为． 令， 得，且，， 则在单调递减，在单调递增，则． 令， 则，所以在单调递增，所以， 所以，又，在单调递增． 所以，即． ②由，要证明，只需证， 即证明， 即证明 即证明 即证明，设，， 则，则当时，，则在单调递减， 则，则在上恒成立，从而左边得证． 因为，，且，， 则在和处的切线分别为和， 令，得， 再证明恒成立， 设，则，令，解得， 且时，，此时函数单调递减； 时，，此时函数单调递增； 则，则恒成立， 再证明恒成立， 设，， 则当时，，单调递减；当时，，单调递增； 则恒成立， 所以，从而右边得证． 【点睛】关键点点睛：本题第二问第一问是经典的极值点偏移问题，需构造函数，再利用导数即可证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $