甘肃省白银市第八中学2024-2025学年高三下学期3月质量检测数学试题

2024—2025学年（下）高三年级3月质量检测 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷与答题卡一并交监考人员收回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 某小区随机调查了10位业主2月份每户的天然气使用量，数据如下（单位：）：18，19，20，20，21，21，22，23，23，24．估计该小区业主月均用气量的样本数据的60%分位数为（ ） A. 21 B. 21.5 C. 22 D. 22.5 3. 已知复数是纯虚数，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 4. 若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为B．若，则该椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 一个圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，轴截面的面积为9，则该圆台的体积为（ ） A. B. 2π C. D. 7π 7. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则角的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，有恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线的右焦点为F，直线是C的一条渐近线，P是l上一点，则下列说法中正确的是（ ） A. C的虚轴长为 B. C的离心率为 C. 的最小值为 D. 过点能作4条直线与C仅有一个交点 10. 在棱长为1的正方体中，是棱的中点，则（ ） A. 过点有且只有一条直线与直线和都相交 B. 过点有且只有一个平面与直线和所成角相等 C. 过，，三点的截面把正方体分成两部分，则该截面的周长为 D. 点是正方形内的动点，，则点的轨迹长度 11. 对于正整数n，是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目（若两个正整数的最大公因数是1，则称这两个正整数互质）．函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如，（10与1，3，7，9均互质）则（ ） A. B. 数列是单调递增数列 C. 若p为质数，则数列为等比数列 D. 数列的前5项和等于 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，向量在向量方向上的投影向量的模长为，写出一个满足条件的向量________． 13. 排球比赛实行“五局三胜制”（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束），根据此前的若干次比赛数据统计可知，在甲、乙两队的比赛中，每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，则在这场“五局三胜制”的排球比赛中甲队获胜的概率为________． 14. 已知正四棱锥的底面边长与高均为2，设是正方形及其内部的点构成的集合，点是正方形的中心，若集合，则直线与平面所成角的正切值的最小值为________． 四､解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 某校为了解学生数学学科核心素养发展水平，组织本校2000名学生进行针对性检测（检测分为初试和复试），并随机抽取了100名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示． （1）根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；（同一组数据用该区间的中点值作代表） （2）根据频率分布直方图，求样本的80％分位数（四舍五入精确到整数）； （3）若所有学生的初试成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，．初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数（四舍五入精确到整数）． 附：若随机变量服从正态分布，则，，． 16. 已知函数，． （1）若，求曲线的斜率为1的切线方程； （2）若不等式没有整数解，求实数的取值范围． 17. 已知等差数列的前项和为，且，，． （1）求的通项公式； （2）设其中是正整数． （i）求，，，； （ii）求． 18. 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，三角形是正三角形，是棱的中点，设平面与平面的交线为． （1）证明：平面； （2）证明：； （3）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值． 19. 抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，由抛物线的三条切线围成的三角形称为抛物线的切线三角形．已知抛物线的焦点为F，直线过点F，过x轴下方的一点P作C的两条切线和，且，分别交x轴于点A，B，交l于点M，N． （1）求抛物线C的标准方程； （2）若△PMN为阿基米德三角形，求∠MPN； （3）证明：切线三角形PAB的外接圆过定点． 2024—2025学年（下）高三年级3月质量检测 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷与答题卡一并交监考人员收回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】D 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】AD 【11题答案】 【答案】AC 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】或（答案不唯一，写出任意一个即可） 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】2 四､解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2）（i），，，；（ii） 【18题答案】 【答案】（1）证明：四边形是菱形，所以，平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面平面，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. （2）证明：取与中点，．连接，，，， 则运用中位线性质知，且,则，， 则四边形是平行四边形， 是正三角形，易知，， 底面是菱形，， 则是正三角形，则， 平面， 平面， 平面，， 由于四边形是菱形，四边形是平行四边形， 所以，， ． （3）. 【19题答案】 【答案】（1） （2） （3） 由（1）可知抛物线， 设分别与抛物线切于点， 由（1）可知直线的斜率为，直线的斜率为， 所以直线的方程为.即 直线的方程为，即， 所以. 设外接圆的圆心为， 则圆心在线段的垂直平分线上， 所以， 则圆的半径为， 所以圆的方程为， 又点在圆上， 所以， 即，所以， 所以 整理得， 即， 令，得， 所以的外接圆过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $