吉林省长春市东北师范大学附属中学2024-2025学年高三下学期数学学科大练习（五）

东北师花女学耐属中学 2024一2025学年下学期高三年级 RIGH SCHOOLATTACHED TO NORTHEAST NORMAL UNIVERSITY (数学)学科大练习（五） 考试时间：120分钟试卷满分：150分 拼搏一年成就梦想 组题人：汪家玲审题人：陆直 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知集合A=yy=√2-3，集合B={xy=1og3(1-2x),则AnB=()》 A.[0 B.0,为 C.(2,3] D.[-1,+∞) 2已知复数= 则z=() A罗 B. C.20 5 D 3.现有6名同学到3家不同的养老院参加“关爱孤弈老人”爱心志愿活动，若每家养老院安排 2名同学，且每名同学只前往一家养老院，则共有安排方法() A.30种 B.60种 C.90种 D.120种 已知函数)=nx+-c+1,则a<2是f()在(Q,+o)上单调递增的《) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5、在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a五c,若 (a+olsm4-si血C)=b(eimA-sm),且c=5,则a- b 的取值范围为() A（1,2) 2 c(5 D.（1,5 6如图，AB为圆锥SO底面圆的一条直径，点C为线段SA的中点，现沿SA将圆锥SO的侧 面展开，所得的平面图形中AABC为直角三角形，若SA=4,则圆锥SO的表面积为() 第1页， 08 32π 4π A. B. C.8π D.12π 9 9 7,点P是边长为1的正六边形ABCDEF边上的动点，则PA·PB的最大值为() A.2 & C.3 4 4 8.已知双曲线E: y2 行~日=1a>0,b>0)的右焦点为F,其左右顶点分别为4B,过F且 与x轴垂直的直线交双曲线E于M,N两点，设线段MF的中点为P,若直线BP与直线AW 的交点在y轴上，则双曲线E的离心率为() A.2 B.3 c.2 D.5 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态图(1)形成对称形态， 图(2)形成“右拖尾”形态，图(3)形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确 的是（) (1) (2) 3) A.图(1)的平均数=中位数=众数 且图(2)的平均数<众数<中位数 C.图(2)的众数<中位数<平均数 D.图(3)的平均数<中位数<众数 共3页 10.已知函数f)=cos22x+2sin4x- 则下列说法正确的是() A函数f()的最小正周期为号 B.函数∫在区间(-器骨上单调递增 C,函数fx)的图象的一条对称轴方程为x=晋 11.我国知名品牌小米公司的L0g0具备“超椭圆”数学之美，设计师的灵感来源于数学中的曲 线C:r+=1(a,b为常数，n∈R且n≠0)则下列有关曲线C的说法中正确的是() A.对任意的n∈R且n≠0，曲线C总关于x轴和y轴对称 B.当a=b=1,n=-2时，曲线C上的点到原点的距离最小值为2 C.当a=1,b=2时，曲线C与坐标轴的交点个数为5个 D.当a=b=1,n=时，曲线C上的点到原点的距离最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知各项为正数的数列{a}是等比数列，且其前n项和为Sn,若S2=6,S4=30,则 a1= 13.甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为二和} 在目标被击中的情况 下，甲、乙同时击中目标的概率为 14.空间直角坐标系中，从原点出发的两个向量a、b满足：a五=2，=1，且存在实数 t,使得|a-21a+b上0成立，则由a构成的空间几何体的体积是 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 第2行 15.(本小题满分13分) 已知函数f(x)=xnx一ax. (1)当a=0时，求函数f(x)的单调区间； (②)若对任意x∈(0，+∞)，f(x)≤x2+2恒成立，求实数a的取值范围. 16.(本小题满分15分) 如图所示，半圆柱的轴截面为平面BCCB1,BC是圆柱底面的直径，O为底面圆心，AA1为一 条母线，点E在棱CC上，且CE=1CC1,0<1<1,且AB=AC=AA1=4. B ()当1=时，求证：0E⊥AB1 (2)当1=时，求平面AB1E与平面B10B夹角的余弦值. 17.(本小题满分15分) 为研究一种新药的耐受性，要对白鼠进行连续给药后观察是否出现F症状的试验，该试验的设 计为：对参加试验的每只白鼠每天给药一次，连续给药四天为一个给药周期，试验共进行三个 周期。假设每只白鼠给药后当天出现F症状的概率均为， 且每次给药后是否出现F症状与上次 给药无关 (1)从试验开始，若某只白鼠连续出现2次F症状即对其终止试验，求一只白鼠至少能参加一个 给药周期的概率； (②)若在一个给药周期中某只白鼠至少出现3次F症状，则在这个给药周期后，对其终止试验， 设一只白鼠参加的给药周期数为X,求X的分布列和数学期望， 瓦，共3页 18.(本小题满分17分) 设S,为数列{a,}的前n项和，已知a,=l 是公差为的等差数列.。令 ∫an-2,n为奇数 6= T为数列{b}的前n项和. 3an,n为偶数 (1)求数列{a,}的通项公式： (2)证明：当n>3时，Tn>Sn. 19.(本小题满分17分) 设抛物线C:x2=2y(p>0),过点M(0,4的直线与C交于A,B两点，且OA⊥OB.若抛 物线C的焦点为F,记△AOB,△AOF的面积分别为SMoB,SAOF, (1)求S4oB+2Sor的最小值. (2)设点D(1,4),直线AD与抛物线C的另一交点为E,求证：直线BE过定点， (3)我国古代南北朝数学家祖咀所提出的祖咆原理是“幂势既同，则积不容异”，即：夹在两 个平行平面间的两个几何体被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积 总相停，那么这两个几何体的体积相等当△AOB为等腰直角三角形时，记线段AB与抛物线 围成的封闭图形为四，0绕y轴旋转半周形成的曲面所围成的几何体为Ω.试用祖桓原理的数学 思想求出？的体积 第3页，共3页高三数学大练习5参考答案 一、ADCACBCB 二、ACD,AD,ABD 一)进 15.解:(1)当a=0时,f(x)=xlnx ·函数f(x)=xlnx的定义域是(0,+oo),f(x)=lnx+1 令f'(x)<0,得ìnx+1<0,解得0<x<-f(x)的单调递减区间是(o.. 令f'(x)>0,得lnx+1>0,解得x>,f(x)的单调递增区间是(,+co). 综上,f(x)的单调递减区间是(o.),单调递增区间是(,+~) (2)*任意xE(0,+c),f(x)<x2+2,:xlnx<x2+ax+2恒成立 "x>0,.a→lnx-x-2在xE(0,+co)上恒成立 设(x)-ìnx-x-(x→),则(x)--1+---2)(+1) 令h'(x)=0,得x=2,x2=-1(舍去).当xE(0.2)时,h(x)>0,h(x)单调递增;当xe (2.+co)时,h(x)<0,h(x)单调递减 .当x=2时,h(x)取得极大值,也是最大值,且h(x)max=h(2)=ln2-3 .若a>h(x)在xE(0,+co)上恒成立,则a>h(x)max=ln2-3 故实数a的取值范围是[ln2-3,+co) 16.解:(1)当a-时,点E为校CC中点 由BC是直径可知AB1.AC,则△ABC是等腰直角三角形,故A01.BC 由圆柱的特征可知BB。1平面ABC 又A0C平面ABC,所以BB。1AO 因为BBOBC=B,BB,BCC平面BCCB,则AO1平面BCC.B 第1页 而OEc平面BCCB,则AO1OE 因为AB=AC=AA=4,则BC-2AB=4V2 所以BO-BB+B0-24,E=0C*+CE-12 BE=EC?+BC2=36-BO+OE2,所以BO1OE 因为BO 1OE,A0 1OE,A0OBO=0,AO,BO C平面ABO,所以OE 1平面ABO 又ABC平面ABO,故OE1AB (2)由题意及(1)易知AA,AB,AC两两垂直,如图所示建立空间直角坐标系A一xyz 则B(40.4),E(0.4.1),0(2.2.0),所以AB =(4.0,4),AE=(0.4.1),A0=(2.2.0) 由(1)知A01平面B0E,故平面B0E的一个法向量是A0=(2.2.0) 设=(x,y,z)是平面ABE的一个法向量. 设平面AB,F与平面B.0F夹角为9 所以cose =lcos<n, A01-A010566 A02v2xV3-5660 则平面ABE与平面B:OE夹角的余弦值为5V66 66 17. 解:(1)设“一只白鼠至少能参加一个给药周期”为事件M,则M的对立事件是一个给药 周期也没有参加完, 设一次给药出现F症状为事件A,则一个一个给药周期也没有参加完的概率为 P()-P(A44)+P(AAA))+2×)- .一只白鼠至少能参加一个给药周期的概率为:P(M)=1-P(M)=1---. 共3页 (2)设事件B为“在一个给药周期中某只白鼠至少出现3次F症状” 则P(B)=c()(1-)+-,随机变量X的可能取值为1,2,3. (x-1)-c((1-)+4-- P(x=2)-[1-P(B)]+P(B)-×- P(x=3)=[1-P(B]·[1-P(B]-×-“ .X的分布列为 ln x2 x-1×}×3-- $-1S1+(n-1×1-n+1 18.解:(1)由题意得. 2 .2S.=(n+1). ①. 当n>2时,2S=na_1 ② 2_n-1 .2...-2.3.4.._n d 2a 2_123. n~1 .-n..a.=n (nz2). _ 又n-1时,.=1满足a.=n,.a.=n (2)由a-n得.-{ [n-2,n为奇数 32,n为偶数 第 #---+-) ①当n为偶数时, 2n2+n 2 2 2 此时,T.-S.- 2 2 2(n-1)2+n-1 ②当n为奇数时(n>3),T.=T,+b.= 2n?-n-3 +n-2= 2 2 2n}-n-3-n}-n(n-3)(n+1)o .T-S.= 2 综上,当n>3时,T.>S.. 19.解(1)设A(x,y),B(x,y),直线l:y=k+4, 由_=4 #2=2 2p2p 由$A1OB, $x+yy=0,16-8=0,解得=2,即$x=--8=-1$ 6 $os+2$or-xloM{xlx-x+2xxlor\x{x (2)设E(×,y),则直线AE的斜率k +4 _#,方程为y+4-4(x-1). -1 页,共a页 整理得-+1616 -16_-1616. -1x -x-1 于是+x+16=×,又x×x=-16,联立消去x,得××+16(×x+)-160$ [2-4y 设直线BE:y=k,x+m,与抛物线联立 整理得:x2-4x-4m-0. #y=2x+m $=-4m,x+=4k,因此-4m+64k,-16=0,m=16k -4 直线y=kx+16k,-4恒过定点(-16,-4). (3) 图1:几何体2 图2:几何体① 作底面半径为4、高为4的圆柱,并将内部切割去掉O之后,上下翻转得到几何体$ 现做一平面,使其平行于Q和的底面,且被两几何体分别截得如图中阴影所示截面 在图1的几何体O中,设B(txo,y),即AB=xo,4C=y,AD=4-y%,且x2}=4y。。 则图2的几何体中,有EJ-4-y,由抛物线方程得 2-4(4-y。)-16-4y。=16-2, 则图2中截面圆环面积S.=(42-r2)=zx},而图1中截面圆面积S.=rx{} 山祖原理可得,O和①的体积相等,均为圆柱体积的一半,即 2 第3页,共3页