精品解析：广东省深圳市龙华中学2024-2025学年高二下学期3月期中考试数学试题

龙华中学2024-2025第二学期第一次阶段考试试卷 高二数学 命题人：欧阳哲 审题人：徐宝民 满分150分 考试时间120分钟 注意事项： 1.答题前，务必将自己的班级、姓名、考生号填写在答题卡规定的位置上. 2.答题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项涂在答题卷相应的位置.） 1. 过点和点的直线倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知非零向量和互相垂直，则值是（ ） A. B. C. D. 3 若直线与直线平行，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 4. 已知点的坐标为，动点满足，为坐标原点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 5. 记等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 13 B. 45 C. 104 D. 130 6. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 用0，1，2，3，4五个数组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有（ ） A. 48个 B. 60个 C. 72个 D. 120个 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知双曲线左、右焦点分别为，，若（为的离心率），则（ ） A. B. 的虚轴长为 C. D. 的一条渐近线的斜率为 10. 函数 ，则下列说法正确的是 （ ） A. 当 时， 的极小值为 B. 为奇函数 C. 当 时， 一定有三个零点 D. 若直线 与 有三个交点 ，则 11. 在二项式展开式中，前3项的系数成等差数列，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 展开式中所有奇数项的二项式系数和为128 C. 常数项为 D. 展开式中系数最大项为第3项和第4项 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知等比数列的前项积为，若，则__________. 13. 设函数的导数为，若，则______. 14. 某环保局派遣包括张三，李四，王五在内的12名工作人员到A，B，C三个镇开展环境保护的宣传工作，每个镇至少派遣3人，因工作需要，张三，李四，王五3人要派遣到同一个镇，则不同的派遣方案共有__________种．（结果用数字表示） 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 如图，在三棱锥中，平面，，分别是棱，，的中点，，． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求点到平面的距离． 16. 已知椭圆的下焦点为，其离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过的直线与椭圆交于两点（直线与坐标轴不垂直），过作轴的垂线，垂足分别为，若直线与交于点，证明：点的纵坐标为定值. 17. 已知数列满足， （1）请证明是等比数列，并求数列的通项公式； （2）令，求数列前项的和． 18. 名男生与名女生，按照下列不同的要求，求不同的方案的方法总数，按要求列出式子，再计算结果，用数字作答. （1）从中选出名男生和名女生排成一列； （2）全体站成一排，男生互不相邻； （3）全体站成一排，甲不站排头，也不站排尾； （4）全体站成一排，甲、乙必须站在一起； 19. 设函数，. （1）当时，判断函数的单调性； （2）若函数在定义域内有两个不同极值点，求实数的取值范围； （3）设的两个不同的极值点为，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 龙华中学2024-2025第二学期第一次阶段考试试卷 高二数学 命题人：欧阳哲 审题人：徐宝民 满分150分 考试时间120分钟 注意事项： 1.答题前，务必将自己的班级、姓名、考生号填写在答题卡规定的位置上. 2.答题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项涂在答题卷相应的位置.） 1. 过点和点的直线倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两点坐标得到直线为，即可得倾斜角. 【详解】由过点和点的直线为，即其倾斜角为. 故选：B 2. 已知非零向量和互相垂直，则的值是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用代入坐标计算即得． 【详解】由可得， 解得. 故选：C． 3. 若直线与直线平行，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题可以通过直线与直线得直线方程以及两直线平行的相关性质列出等式，然后通过计算即可得出结果. 【详解】因为，所以，所以或． 当时，重合； 当时，，，符合题意． 综上. 故选：B. 4. 已知点的坐标为，动点满足，为坐标原点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆，从而的最大值为，得到答案. 【详解】点的坐标为，动点满足， 故点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆， 圆的方程为， 圆心与原点的距离为， 则的最大值为. 故选：B 5. 记等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 13 B. 45 C. 104 D. 130 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列的性质可得，结合前项和公式求解. 【详解】因为等差数列的前项和为，且， 则. 故选：C. 6. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求切线方程即可. 【详解】由，则，而， 所以点处的切线方程为，即. 故选：A 7. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复合函数的导函数计算判断A，B，C，应用乘法求导运算判断D. 【详解】因为所以A选项错误； 因为，所以B选项错误； 因为，所以C选项错误； 因为，所以D选项正确. 故选：D. 8. 用0，1，2，3，4五个数组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有（ ） A. 48个 B. 60个 C. 72个 D. 120个 【答案】B 【解析】 【分析】利用特殊元素优先法，结合计数原理以及排列数，可得答案. 【详解】若五位数的个位为零，其余数位随意安排，其情况数为， 若五位数的个位不为零，而个位仅有两种选择，万位有种选择，其情况数为， 所以五位数为偶数的情况数为. 故选：B 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知双曲线左、右焦点分别为，，若（为的离心率），则（ ） A. B. 的虚轴长为 C. D. 的一条渐近线的斜率为 【答案】AB 【解析】 【分析】由双曲线方程可求焦点，的坐标，结合离心率定义求离心率，根据求，再求虚轴长，由此判断ABC，再由渐近线方程的定义求渐近线，由此确定渐近线的斜率判断D. 【详解】由，知，，， 由，得，即，， 所以的虚轴长为，故A，B正确，C错误； 由的渐近线方程为，得两条渐近线的斜率分别为，，故D错误． 故选：AB． 10. 函数 ，则下列说法正确的是 （ ） A. 当 时， 的极小值为 B. 为奇函数 C. 当 时， 一定有三个零点 D. 若直线 与 有三个交点 ，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用导数确定极值判断A；利用奇函数的定义判断B；由极大值、极小值的正负判断C；利用中心对称的性质判断D. 【详解】对于A，当时，，求导得， 当时，，当时，，为极大值，A错误； 对于B，令，则， 函数是奇函数，B正确； 对于C，，当时，令的二根， ，当或时，；当时，， 函数在上递增，在上递减，， 由三次函数的图象特征知，函数的图象与轴有3个交点，C正确； 对于D，由选项B知，函数的图象关于点对称，而直线关于点对称， 因此函数的图象与直线的3个交点关于点对称， 其交点的横坐标满足，D正确. 故选：BCD 11. 在二项式的展开式中，前3项的系数成等差数列，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 展开式中所有奇数项的二项式系数和为128 C. 常数项为 D. 展开式中系数最大项为第3项和第4项 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出展开式的通项，根据题意可得，即可判断A；根据二项式定理的性质即可判断B；令的指数等于零，即可判断C；理由不等式法即可判断D. 【详解】展开式通项为， 则前3项的系数分别为， 对于A，由题意可得， 即，解得或（舍去）， 所以，故A正确； 对于B，展开式中所有奇数项的二项式系数和为，故B正确； 对于C，展开式的通项为， 令，则， 所以展开式中常数项为，故C错误； 对于D，设展开式中第项的系数最大项， 则有，解得或， 所以展开式中系数最大项为第3项和第4项，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知等比数列的前项积为，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列下标和的性质计算可得结果. 【详解】由题意得，， ∵， ∴， ∴. 故答案为：. 13. 设函数的导数为，若，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据导数的定义变形求解即可. 【详解】. 故答案为：. 14. 某环保局派遣包括张三，李四，王五在内的12名工作人员到A，B，C三个镇开展环境保护的宣传工作，每个镇至少派遣3人，因工作需要，张三，李四，王五3人要派遣到同一个镇，则不同的派遣方案共有__________种．（结果用数字表示） 【答案】 【解析】 【分析】分类讨论人员的分组情况并依次求出对应的不同分组方法数，再将各组安排到三个镇，结合排列组合数及分类分步计数求不同的派遣方案数. 【详解】先分类讨论人员分组情况： 当张三､李四､王五所在组恰有3人时，余下9人分成2组，有210种方法； 当张三､李四､王五所在组恰有4人时，先从其他9人中选1人到这组，再将余下8人分成2组，有种方法； 当张三､李四､王五所在组恰有5人时，先从其他9人中选2人到这组，余下7人分成2组，有种方法； 当张三､李四､王五所在组恰有6人时，先从其他9人中选3人到这组，余下6人分成2组，有种方法． 再将三组人员分配到三个镇： 因为这三组分配到三个地区有种方法， 所以安排方法总数． 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 如图，在三棱锥中，平面，，分别是棱，，的中点，，． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量及面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求出直线与平面所成角的正弦值； （2）利用向量法可求出点到平面的距离． 【小问1详解】 依题意：以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 又分别是棱，，的中点，，． 所以, 所以有：， 设平面的法向量为，则有 所以，令，有， 设直线与平面所成角为，则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 小问2详解】 因为，由（1）有平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为：. 16. 已知椭圆的下焦点为，其离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过的直线与椭圆交于两点（直线与坐标轴不垂直），过作轴的垂线，垂足分别为，若直线与交于点，证明：点的纵坐标为定值. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出的方程求解； （2）设出直线的方程与椭圆方程联立，可得，求出直线与方程，求出交点的纵坐标，得证. 【小问1详解】 由题意可知，， 解得， 故椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 设直线的方程为， ，则， 由，得，且， 则， 易知直线与的斜率均存在， 则直线的方程为①， 直线的方程为②， 联立①②消去得， ， 故点的纵坐标为定值. 17. 已知数列满足， （1）请证明是等比数列，并求数列的通项公式； （2）令，求数列前项的和． 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件得到，利用等比数列的定义即可求解，再由等比数列的通项公式，即可求解； （2）由（1）得，再由错位相减法，即可求解. 【小问1详解】 因为，则， 又，因此是以为首项，为公比的等比数列， 由，得到． 【小问2详解】 由（1）知，， 所以①， 则②， 由①②得到， 所以， 故． 18. 名男生与名女生，按照下列不同的要求，求不同的方案的方法总数，按要求列出式子，再计算结果，用数字作答. （1）从中选出名男生和名女生排成一列； （2）全体站成一排，男生互不相邻； （3）全体站成一排，甲不站排头，也不站排尾； （4）全体站成一排，甲、乙必须站在一起； 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用组合与排列先选后排，即可求解； （2）根据条件，利用不相邻问题插入法，即可求解； （3）利用特殊元素优先考虑，结合条件，即可求解； （4）利用相邻问题捆绑法，即可求解. 【小问1详解】 从名男生中任选名有种选法，从名女生中任选名有种选法， 再将选取的人排列有种排法，由乘法原理共有种排法， 【小问2详解】 先将女生全排有种，再从个空隙中选出3个将3个男生插入到3个空隙中有种， 由乘法原理共有种排法. 【小问3详解】 先排甲，有种方法，其余人有种排列方法，共有种， 【小问4详解】 甲乙必须相邻，先将甲乙捆绑有种，再与剩下的个人排列有种，共有种. 19. 设函数，. （1）当时，判断函数的单调性； （2）若函数在定义域内有两个不同的极值点，求实数的取值范围； （3）设的两个不同的极值点为，证明：. 【答案】（1）在和上单调递增，在上单调递减 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）当时易求出，利用的正负即可判断函数的单调性； （2）将问题转化为关于的带参数的一元二次方程有两个不同的正根，结合判别式、韦达定理等求出的取值范围； （3）利用第（2）问的结果，结合韦达定理将转化为关于的函数，再次利用导数求该函数的最值即可证明. 【小问1详解】 的定义域为，当时，， 令，得或， 当时，；当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 ，不妨设在上有两个不同的极值点， 即方程有两个不同的正根，则有 ，解得， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 ， 设，则， 则在上单调递增，所以， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$