广东省深圳市龙华中学2024-2025学年高二下学期3月期中考试数学试题

龙华中学2024-2025第二学期第一次阶段考试试卷 高二数学 命题人：欧阳哲 审题人：徐宝民 满分150分 考试时间120分钟 注意事项： 1.答题前，务必将自己的班级、姓名、考生号填写在答题卡规定的位置上. 2.答题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项涂在答题卷相应的位置.） 1. 过点和点的直线倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知非零向量和互相垂直，则的值是（ ） A. B. C. D. 3. 若直线与直线平行，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 4. 已知点的坐标为，动点满足，为坐标原点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 5. 记等差数列的前项和为，若，则（ ） A 13 B. 45 C. 104 D. 130 6. 曲线在点处切线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 用0，1，2，3，4五个数组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有（ ） A. 48个 B. 60个 C. 72个 D. 120个 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，若（为的离心率），则（ ） A. B. 的虚轴长为 C. D. 的一条渐近线的斜率为 10. 函数 ，则下列说法正确的是 （ ） A. 当 时， 的极小值为 B. 奇函数 C. 当 时， 一定有三个零点 D. 若直线 与 有三个交点 ，则 11. 在二项式的展开式中，前3项的系数成等差数列，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 展开式中所有奇数项的二项式系数和为128 C. 常数项为 D. 展开式中系数最大项为第3项和第4项 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知等比数列的前项积为，若，则__________. 13. 设函数的导数为，若，则______. 14. 某环保局派遣包括张三，李四，王五在内的12名工作人员到A，B，C三个镇开展环境保护的宣传工作，每个镇至少派遣3人，因工作需要，张三，李四，王五3人要派遣到同一个镇，则不同的派遣方案共有__________种．（结果用数字表示） 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 如图，在三棱锥中，平面，，分别是棱，，的中点，，． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求点到平面的距离． 16. 已知椭圆下焦点为，其离心率为. （1）求椭圆标准方程； （2）过的直线与椭圆交于两点（直线与坐标轴不垂直），过作轴的垂线，垂足分别为，若直线与交于点，证明：点的纵坐标为定值. 17. 已知数列满足， （1）请证明是等比数列，并求数列的通项公式； （2）令，求数列前项的和． 18. 名男生与名女生，按照下列不同的要求，求不同的方案的方法总数，按要求列出式子，再计算结果，用数字作答. （1）从中选出名男生和名女生排成一列； （2）全体站成一排，男生互不相邻； （3）全体站成一排，甲不站排头，也不站排尾； （4）全体站成一排，甲、乙必须站在一起； 19. 设函数，. （1）当时，判断函数的单调性； （2）若函数在定义域内有两个不同的极值点，求实数的取值范围； （3）设的两个不同的极值点为，证明：. 龙华中学2024-2025第二学期第一次阶段考试试卷 高二数学 命题人：欧阳哲 审题人：徐宝民 满分150分 考试时间120分钟 注意事项： 1.答题前，务必将自己的班级、姓名、考生号填写在答题卡规定的位置上. 2.答题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项涂在答题卷相应的位置.） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】B 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 【9题答案】 【答案】AB 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2）证明见解析 【17题答案】 【答案】（1）证明见解析， （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3） （4） 【19题答案】 【答案】（1）在和上单调递增，在上单调递减 （2） （3）证明见解析 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$答案第 1页，共 10页 《龙华中学 2024-2025 学年第二学期高二下第一阶段考数学试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B B C A D B AB BCD 题号 11 答案 ABD 1．B 【分析】根据两点坐标得到直线为 0x  ，即可得倾斜角. 【详解】由过点 (0,0)和点(0,1)的直线为 0x  ，即其倾斜角为90 . 故选：B 2．C 【分析】利用 0a b a b       代入坐标计算即得． 【详解】由 a b  可得 2 4 3 2 0a b         ， 解得 10 3    . 故选：C． 3．B 【分析】本题可以通过直线 1l 与直线 2l 得直线方程以及两直线平行的相关性质列出等式，然 后通过计算即可得出结果. 【详解】因为 1 2/ /l l ，所以 2( 2) 3 2 3 ( 3)( 1) 0a a a a a a         ，所以 3a  或 1a   ． 当 3a  时， 1 2 1 2: 3 3 6 0, : 2 0, ,l x y l x y l l      重合； 当 1a   时， 1 : 3 6 0l x y    ， 2 : 3 2 0l x y   ，符合题意． 综上 1a   . 故选：B. 4．B 【分析】求出 P点的轨迹为以点C为圆心， 2 2r  为半径的圆，从而 OP 的最大值为 CO r ， 得到答案. 【详解】点C的坐标为  1,1 ，动点 P满足 2 2PC  ， 故 P点的轨迹为以点C为圆心， 2 2r  为半径的圆， 圆的方程为    2 21 1 8x y    ， 答案第 2页，共 10页 圆心  1,1C 与原点O的距离为 2 21 1 2CO    ， 则 OP 的最大值为 2 2 2 3 2CO r    . 故选：B 5．C 【分析】由等差数列的性质可得 1 13 6 8 16a a a a    ，结合前 n项和公式求解. 【详解】因为等差数列 na 的前 n项和为 nS ，且 6 8 16a a  ， 则    1 13 6 8 13 13 13 8 13 104 2 2 a a a a S        . 故选：C. 6．A 【分析】根据导数的几何意义求切线方程即可. 【详解】由   23 2f x x x   ，则  1 1f    ，而  1 2f    ， 所以点   1, 1f  处的切线方程为 2 1y x   ，即 1y x  . 故选：A 7．D 【分析】根据复合函数的导函数计算判断 A，B，C，应用乘法求导运算判断 D. 【详解】因为  '1 1e e ,x x   所以 A选项错误； 因为  'cos3 3sin3x x  ，所以 B选项错误； 因为     '1' 2 11 1 2 1 x x x         ，所以 C选项错误； 因为  'ln ln 1x x x  ，所以 D选项正确. 故选：D. 8．B 【分析】利用特殊元素优先法，结合计数原理以及排列数，可得答案. 【详解】若五位数的个位为零，其余数位随意安排，其情况数为 4 4A 24 ， 若五位数的个位不为零，而个位仅有 2,4两种选择，万位有3种选择，其情况数为 3 32 3 A 36   ， 答案第 3页，共 10页 所以五位数为偶数的情况数为 24 36 60  . 故选：B 9．AB 【分析】由双曲线方程可求焦点 1F ， 2F 的坐标，结合离心率定义求离心率 e，根据 1 2 2F F e∣ ∣ 求 a，再求虚轴长，由此判断 ABC，再由渐近线方程的定义求渐近线，由此确定渐近线的 斜率判断 D. 【详解】由 2 2 2 2: 1( 0)3 x yC a a a    ，知  1 2 ,0F a ，  2 2 ,0F a ， 2 2ae a  ， 由 1 2 2FF e ，得 4 4a  ，即 1a  ， 23 3a  ， 所以C的虚轴长为2 3，故 A，B正确，C错误； 由C的渐近线方程为 3y x  ，得两条渐近线的斜率分别为 3， 3 ，故 D错误． 故选：AB． 10．BCD 【分析】利用导数确定极值判断 A；利用奇函数的定义判断 B；由极大值、极小值的正负判 断 C；利用中心对称的性质判断 D. 【详解】对于 A，当 2a   时， 2( ) ( 1) ( 2)f x x x   ，求导得 ( ) 3( 1)( 1)f x x x    ， 当 1x   时， ( ) 0f x  ，当 1 1x   时， ( ) 0f x  ， ( 1)f  为 ( )f x 极大值，A错误； 对于 B，令 3( ) ( ) ( 1)g x f x a x a x     ，则 3( ) ( ) ( 1)( ) ( )g x x a x g x        ， 函数 ( )y f x a  是奇函数，B正确； 对于 C， 2( ) 3 1f x x a    ，当 2 0a   时，令 ( ) 0f x  的二根 2 1 (0,1) 3 ax   ， 1 1 ( 1,0) 3 ax     ，当 1x x 或 2x x 时， ( ) 0f x  ；当 1 2x x x  时， ( ) 0f x  ， 函数 ( )f x 在 1 2( , ), ( , )x x  上递增，在 1 2( , )x x 上递减， 1 2( ) (0) 0, ( ) (1) 0f x f a f x f      ， 由三次函数的图象特征知，函数 ( )y f x 的图象与 x轴有 3个交点，C正确； 对于 D，由选项 B知，函数 ( )y f x 的图象关于点 (0, )a 对称，而直线 y x a  关于点 (0, )a 对称， 因此函数 ( )y f x 的图象与直线 y x a  的 3个交点关于点 (0, )a 对称， 其交点的横坐标 1 2 3, ,x x x 满足 1 2 3 0x x x   ，D正确. 答案第 4页，共 10页 故选：BCD 11．ABD 【分析】求出展开式的通项，根据题意可得 1 0 21 12 C C C 2 4n n n    ，即可判断 A；根据二项式 定理的性质即可判断 B；令 x的指数等于零，即可判断 C；理由不等式法即可判断 D. 【详解】 1 2 n x x        展开式的通项为 21 1 1C C 2 2 kn k nkk k k n nk xT x x                 ， 则前 3项的系数分别为 0 1 2 1 1C , C , C 2 4n n n ， 对于 A，由题意可得 1 0 2 1 12 C C C 2 4n n n    ， 即  1 1 8 n n n    ，解得 8n  或 1n  （舍去）， 所以 8n  ，故 A正确； 对于 B， 8 1 2 x x        展开式中所有奇数项的二项式系数和为 82 128 2  ，故 B正确； 对于 C， 8 1 2 x x        展开式的通项为 4 1 8 1 C 2 k k k kT x     ， 令 4 0k   ，则 4k  ， 所以 8 1 2 x x        展开式中常数项为 4 84 1 35C 2 8   ，故 C错误； 对于 D，设展开式中第 1r  项的系数最大项， 则有 1 1 1 1 1 1C C 2 2 1 1C C 2 2 r r n nr r r r n nr r               ，解得 2r  或 3r  ， 所以展开式中系数最大项为第 3项和第 4项，故 D正确. 故选：ABD. 12． 2 【分析】根据等比数列下标和的性质计算可得结果. 【详解】由题意得， 5 1 2 3 4 5T a a a a a ， ∵ 2 2 1 5 3 2 4 3,a a a a a a  ， ∴ 5 1 2 3 4 5 3 32a a a a a a  ， 答案第 5页，共 10页 ∴ 3 2a  . 故答案为： 2 . 13． 1 2 /0.5 【分析】根据导数的定义变形求解即可. 【详解】       0 0 0 0 00 0 1 1 1 1 12 2lim lim 12 4 4 2 2 k k f x k f x f x k f x f x k k                       . 故答案为： 1 2 . 14．18774 【分析】分类讨论人员的分组情况并依次求出对应的不同分组方法数，再将各组安排到三个 镇，结合排列组合数及分类分步计数求不同的派遣方案数. 【详解】先分类讨论人员分组情况： 当张三､李四､王五所在组恰有 3人时，余下 9人分成 2组，有 3 49 9C C  210种方法； 当张三､李四､王五所在组恰有 4人时，先从其他 9人中选 1人到这组，再将余下 8人分成 2 组，有 4 1 3 8 9 8 2 2 CC C 819 A        种方法； 当张三､李四､王五所在组恰有 5人时，先从其他 9人中选 2人到这组，余下 7人分成 2组， 有 2 3 9 7C C 1260 种方法； 当张三､李四､王五所在组恰有 6人时，先从其他 9人中选 3人到这组，余下 6人分成 2组， 有 3 3 6 9 2 2 CC 840 A   种方法． 再将三组人员分配到三个镇： 因为这三组分配到三个地区有 3 3A 6 种方法， 所以安排方法总数为  210 819 1260 840 6 18774     ． 故答案为：18774 15．(1) 5 5 (2) 5 5 答案第 6页，共 10页 【分析】（1）依题意建立空间直角坐标系，求出直线 PA的方向向量及面DEF 的法向量，利 用向量的夹角公式，即可求出直线 PA与平面DEF 所成角的正弦值； （2）利用向量法可求出点 P到平面DEF 的距离． 【详解】（1）依题意：以A为坐标原点， , ,AB AC AP所在直线分别为 x轴、 y轴、 z轴建立 空间直角坐标系， 又 , ,D E F分别是棱 AB， BC，CP的中点， 1AB AC  ， 2PA  ． 所以         1 1 1 10,0,0 , 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,2 , ,0,0 , , ,0 , 0, ,1 2 2 2 2 A B C P D E F                 , 所以有：   1 1 10,0,2 , , ,1 , 0, ,0 2 2 2 AP DF DE                 ， 设平面DEF 的法向量为  , ,n x y z ，则有 , .n DF n DE     所以 1 1 0 22 2 1 00 2 n DF x y z x z yn DE y                  ，令 1z  ，有  2,0,1n  ， 设直线 PA与平面DEF 所成角为，则 2 5sin 52 5 n AP n AP        . 所以直线 PA与平面DEF 所成角的正弦值为 5 5 . （2）因为 1 ,0,2 2 DP        ，由（1）有平面DEF 的一个法向量为  2,0,1n  ， 所以点 P到平面DEF 的距离为： 1 2 5 55 n DP d n         . 16．(1) 2 2 1 8 4 y x   (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，列出 , ,a b c的方程求解； （2）设出直线 PQ的方程  2 0y kx k   与椭圆方程联立，可得 答案第 7页，共 10页 1 2 1 22 2 4 4, 2 2 kx x x x k k       ，求出直线PN与QM 方程，求出交点H的纵坐标，得证. 【详解】（1）由题意可知， 2 2 4 2 2 2 a b a        ， 解得 2 28, 4a b  ， 故椭圆C的标准方程为 2 2 1 8 4 y x   . （2）设直线 PQ的方程为  2 0y kx k   ，    1 1 2 2, , ,P x y Q x y ，则    1 20, , 0,M y N y ， 由 2 2 1 8 4 2 y x y kx        ，得  2 22 4 4 0k x kx    ，且  2 2Δ 16 16 2 0k k    ， 则 1 2 1 22 2 4 4, 2 2 kx x x x k k       ， 易知直线 PN与QM 的斜率均存在， 则直线 PN的方程为 2 1 2 1 y yy x y x     ①， 直线QM 的方程为 2 1 1 2 y yy x y x    ②， 联立①②消去 x得， 1 2 2 1 1 2 x y x yy x x        1 2 2 1 1 2 2 2x kx x kx x x     2 1 2 1 2 2 8 2 22 2 44 2 k kx x k kx x k            ， 故点 H 的纵坐标为定值 4 . 17．(1)证明见解析， 12 1nna   答案第 8页，共 10页 (2)   22 1 2 4nnT n     【分析】（1）根据条件得到  1 1 2 1n na a    ，利用等比数列的定义即可求解，再由等比数 列的通项公式，即可求解； （2）由（1）得   12 1 2nnb n   ，再由错位相减法，即可求解. 【详解】（1）因为 1 2 1n na a   ，则  1 1 2 2 2 1n n na a a      ， 又 1 1 4a   ，因此 1na  是以 4为首项， 2为公比的等比数列， 由 1 121 24 nn na      ，得到 12 1nna   ． （2）由（1）知，      12 1 1 2 1 2nn nb n a n      ， 所以  2 3 4 13 2 5 2 7 2 2 1 2nnT n           ①， 则    3 4 5 1 22 3 2 5 2 7 2 2 1 2 2 1 2n nnT n n              ②， 由①②得到    2 3 4 1 23 2 2 2 2 2 2 2 1 2n n nnT n                2 3 1 22 2 2 2 2 4 2 1 2n n nn           ， 所以       2 2 2 2 1 2 2 4 2 1 2 1 2 2 4 1 2 n n n nT n n              ， 故   22 1 2 4nnT n     ． 18．(1) 432 (2)1440 (3)3600 (4)1440 【分析】（1）根据条件，利用组合与排列先选后排，即可求解； （2）根据条件，利用不相邻问题插入法，即可求解； （3）利用特殊元素优先考虑，结合条件，即可求解； （4）利用相邻问题捆绑法，即可求解. 【详解】（1）从3名男生中任选 2名有 23C 种选法，从 4名女生中任选 2名有 2 4C 种选法， 答案第 9页，共 10页 再将选取的 4人排列有 44A 种排法，由乘法原理共有 2 2 4 3 4 4C C A 432 种排法， （2）先将女生全排有 44A 种，再从5个空隙中选出 3个将 3个男生插入到 3个空隙中有 3 5A 种， 由乘法原理共有 4 3 4 5A A 1440 种排法. （3）先排甲，有5种方法，其余6人有 66A 种排列方法，共有 6 65 A 3600  种， （4）甲乙必须相邻，先将甲乙捆绑有 22A 种，再与剩下的5个人排列有 6 6A 种，共有 2 6 2 6A A 1440  种. 19．(1)  f x 在 10, 2       和  1,  上单调递增，在 1 ,1 2       上单调递减 (2) 8 , 9      (3)证明见解析 【分析】（1）当 1a  时易求出  f x ，利用  f x 的正负即可判断函数  f x 的单调性； （2）将问题转化为关于 x的带参数 a的一元二次方程有两个不同的正根，结合判别式、韦 达定理等求出 a的取值范围； （3）利用第（2）问的结果，结合韦达定理将    1 2f x f x 转化为关于 a的函数，再次利用 导数求该函数的最值即可证明. 【详解】（1）  f x 的定义域为  0,  ，当 1a  时，      2 2 1 11 2 3 12 3 x xx xf x x x x x         ， 令   0f x  ，得 1 2 x  或1， 当  10, 1, 2 x        时，   0f x  ；当 1 ,1 2 x      时，   0f x  ， 所以  f x 在 10, 2       和  1,  上单调递增，在 1 ,1 2       上单调递减. （2）   21 2 3 12 3 ax axf x ax a x x       ，不妨设  f x 在  0,  上有两个不同的极值点 1 2,x x ， 即方程 22 3 1 0ax ax   有两个不同的正根，则有 答案第 10页，共 10页 1 2 1 2 2 2 0 3 0 2 1 0 2 Δ 9 8 0 a x x x x a a a                 ，解得 8 9 a  ， 所以 a的取值范围为 8 , 9      . （3）                   2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ln 3 4 7ln 2 3 4 ln 2 1 4 f x f x x x a x x a x x a x x a x x x x a x x a a a                     ， 设     7 8ln 2 1, 4 9 g a a a a     ，则   7 1 7 4 0 4 4 ag a a a      ， 则  g a 在 8 , 9      上单调递增，所以   8 16 5 5 9ln ln 9 9 9 9 16 g a g           ， 故    1 2 5 9ln 9 16 f x f x   . 第 1 页 共 2 页 、 1-8 题为单选，每题 5分；9-11 题为多选，每题 6 分，共 58 分 学校：_________________________ 姓名：_________________________ 班级：_________________________ 龙华中学 2024-2025 学年第二学期第一次质量监测试卷 高二年级数学答题卡 9. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 正确填涂 注 意 事 项 填涂样例 缺考考生由监考教师粘贴条形码， 并用 2B铅笔填涂左边缺考标记。 1. 答题前，考生先将自己的姓名、学校、班级填写清楚， 认真核对条形码上的 姓名、考号，并将条形码粘贴在指定位置。 2. 选择题用 2B 铅笔填涂，涂满填涂框，黑度能达到完全遮盖选项字母的程度； 非选择题用黑色字迹笔书写。 3. 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4. 保持卡面清洁，不能破损，禁用涂改液、涂改胶条。 缺考标识（考生禁填） 每题 5 分，共 15 分 12. 13. 14. 5. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 15（13 分，第 1 小题 6 分，第二小题 7 分） 16.（15 分，第 1 小题 6 分，第 2 小题 9 分） 1. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第 2 页 共 2 页 17.（15 分，第 1 小题 6 分，第 2 小题 9 分） 18.（17 分，第 1 小题 3 分，第 2 小题 4 分，第 3、4 小题 5 分） 19.（17 分，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第三小题 7 分）