广东省深圳市龙华中学2024-2025学年高二下学期3月期中考试数学试题

龙华中学2024-2025第二学期第一次阶段考试试卷 高二数学 命题人：欧阳哲 审题人：徐宝民 满分150分 考试时间120分钟 注意事项： 1.答题前，务必将自己的班级、姓名、考生号填写在答题卡规定的位置上. 2.答题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项涂在答题卷相应的位置.） 1. 过点和点的直线倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知非零向量和互相垂直，则的值是（ ） A. B. C. D. 3. 若直线与直线平行，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 4. 已知点的坐标为，动点满足，为坐标原点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 5. 记等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 13 B. 45 C. 104 D. 130 6. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 用0，1，2，3，4五个数组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有（ ） A. 48个 B. 60个 C. 72个 D. 120个 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，若（为的离心率），则（ ） A. B. 的虚轴长为 C. D. 的一条渐近线的斜率为 10. 函数 ，则下列说法正确的是 （ ） A. 当 时， 的极小值为 B. 为奇函数 C. 当 时， 一定有三个零点 D. 若直线 与 有三个交点 ，则 11. 在二项式的展开式中，前3项的系数成等差数列，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 展开式中所有奇数项的二项式系数和为128 C. 常数项为 D. 展开式中系数最大项为第3项和第4项 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知等比数列的前项积为，若，则__________. 13. 设函数的导数为，若，则______. 14. 某环保局派遣包括张三，李四，王五在内的12名工作人员到A，B，C三个镇开展环境保护的宣传工作，每个镇至少派遣3人，因工作需要，张三，李四，王五3人要派遣到同一个镇，则不同的派遣方案共有__________种．（结果用数字表示） 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 如图，在三棱锥中，平面，，分别是棱，，的中点，，． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求点到平面的距离． 16. 已知椭圆的下焦点为，其离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过的直线与椭圆交于两点（直线与坐标轴不垂直），过作轴的垂线，垂足分别为，若直线与交于点，证明：点的纵坐标为定值. 17. 已知数列满足， （1）请证明是等比数列，并求数列的通项公式； （2）令，求数列前项的和． 18. 名男生与名女生，按照下列不同的要求，求不同的方案的方法总数，按要求列出式子，再计算结果，用数字作答. （1）从中选出名男生和名女生排成一列； （2）全体站成一排，男生互不相邻； （3）全体站成一排，甲不站排头，也不站排尾； （4）全体站成一排，甲、乙必须站在一起； 19. 设函数，. （1）当时，判断函数的单调性； （2）若函数在定义域内有两个不同的极值点，求实数的取值范围； （3）设的两个不同的极值点为，证明：. 龙华中学2024-2025第二学期第一次阶段考试试卷 高二数学 命题人：欧阳哲 审题人：徐宝民 满分150分 考试时间120分钟 注意事项： 1.答题前，务必将自己的班级、姓名、考生号填写在答题卡规定的位置上. 2.答题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项涂在答题卷相应的位置.） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】B 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 【9题答案】 【答案】AB 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2）证明如下： 设直线的方程为， ，则， 由，得，且， 则， 易知直线与的斜率均存在， 则直线的方程为①， 直线的方程为②， 联立①②消去得， ， 故点的纵坐标为定值. 【17题答案】 【答案】（1） 因为，则， 又，因此是以为首项，为公比的等比数列， 由，得到． （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3） （4） 【19题答案】 【答案】（1）在和上单调递增，在上单调递减 （2） （3）证明如下： ， 设， ∴， ∴在上单调递增， ∴， ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $龙华中学2024-2025学年第二学期第一次质量监测试卷 高二年级数学答题卡 学校： 姓名： 贴条形码区 班级： 1.答题前，考生先将自己的姓名、学校、班级填写清楚，认真核对条形码上的 注 姓名、考号，并将条形码粘贴在指定位置。 2.选择题用2B铅笔填涂，涂满填涂框，黑度能达到完全遮盖选项字母的程度： 非选择题用黑色字迹笔书写。 项 3.请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4.保持卡面清洁，不能破损，禁用涂改液、涂改胶条。 缺考标识（考生禁填） 填涂样例 缺考考生由监考教师粘贴条形码， 口 正确填涂 并用2B铅笔填涂左边缺考标记。 1-8题为单选， 每题5分；9-11题为多选，每题6分，共58分 1.[A][B][c][D] 5.[A][B][c][D] 9.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][c][D] 3. [A]【B][c][D] ?.[A][B][C][D] 11.[A][B][c][D] 4.[A][B][c][D] 8.[A][B][C][D] 每题5分，共15分 12. 13. 14 15(13分，第1小题6分，第二小题7分) D才 ■ 第1页共2页 16.(15分，第1小题6分，第2小题9分) ■ 17.(15分，第1小题6分，第2小题9分) 18.(17分，第1小题3分，第2小题4分，第3、4小题5分) 第2页共2页 19.(17分，第1小题4分，第2小题6分，第三小题7分) ■《龙华中学2024-2025学年第二学期高二下第一阶段考数学试卷》参考答案 题号 1 2 4 6 6 7 6 9 10 答案 B B 0 8 AB BCD 题号 11 答案 ABD 1.B 【分析】根据两点坐标得到直线为x=0,即可得倾斜角 【详解】由过点(0,0)和点(0,1)的直线为x=0,即其倾斜角为90° 故选：B 2.C 【分析】利用ā⊥五一a.五=0代入坐标计算即得 【详解】由a1b可得a.b=2×4+31+2=0, 解得1=-10 3 故选：C. 3.B 【分析】本题可以通过直线与直线，得直线方程以及两直线平行的相关性质列出等式，然 后通过计算即可得出结果， 【详解】因为l/1儿2，所以a(a-2)-3=d-2a-3=(a-3)(a+1)=C,所以a=3或a=-1. 当a=3时，1：3x+3y-6=0,2:x+y-2=0,,l,重合： 当a=-1时，1：-x+3y-6=0,12:x-3y-2=0,符合题意. 综上a=-1. 故选：B. 4.B 【分析】求出P点的轨迹为以点C为圆心，r=2√2为半径的圆，从而OP列的最大值为CO+r, 得到答案， 【详解】点C的坐标为(1,1)，动点P满足PC=2√2， 故P点的轨迹为以点C为圆心，r=2√2为半径的圆， 圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=8, 答案第1页，共10页 圆心C(1,1)与原点O的距离为C0=V?+1下=√2， 则OP的最大值为C0+r=√2+22=3√2 故选：B 5.c 【分析】由等差数列的性质可得a+a3=a。+a=16,结合前n项和公式求解. 【详解】因为等差数列{a}的前n项和为Sn,且4+4=16， 则S=13(a+a-13色+4）&13=104. 2 2 故选：C. 6.A 【分析】根据导数的几何意义求切线方程即可. 【详解】由f'(x)=3x2+2x,则f'(-1)=1,而f(-1)=-2, 所以点(-1，f(-1)处的切线方程为y+2=x+1,即y=x-1. 故选：A 7.D 【分析】根据复合函数的导函数计算判断A,B,C,应用乘法求导运算判断D. 【详解】因为(ex)=-e-,所以A选项错误： 因为(cos3x)=-3sin3x,所以B选项错误； 因为可=[(x- 1 2r 所以C选项错误； 因为(xlnx)=lnr+l,所以D选项正确， 故选：D. 8.B 【分析】利用特殊元素优先法，结合计数原理以及排列数，可得答案。 【详解】若五位数的个位为零，其余数位随意安排，其情况数为A4=24, 若五位数的个位不为零，而个位仅有2,4两种选择，万位有3种选择，其情况数为 2×3×A=36, 答案第2页，共10页 所以五位数为偶数的情况数为24+36=60. 故选：B 9.AB 【分析】由双曲线方程可求焦点耳，耳的坐标，结合离心率定义求离心率e,根据IFl=2e 求α，再求虚轴长，由此判断ABC,再由渐近线方程的定义求渐近线，由此确定渐近线的 斜率判断D 【详解】由C哥=1a>0,知(2a0.R2a0,A-2-2. 由=2e,得4a=4,即a=1,3ad=3, 所以C的虚轴长为23，故A,B正确，C错误： 由C的渐近线方程为y=±3x,得两条渐近线的斜率分别为5，-√5，故D错误。 故选：AB. 10.BCD 【分析】利用导数确定极值判断A;利用奇函数的定义判断B;由极大值、极小值的正负判 断C:利用中心对称的性质判断D. 【详解】对于A,当a=-2时，f(x)=(x-1)(x+2),求导得f(x)=3(x-1)x+1), 当x<-1时，f'(x)>0,当-1<x<1时，f"(x)<0,f(-1)为f(x)极大值，A错误： 对于B,令g(x)=f(x)+a=x3+(a-1)x,则g(-x)=(x)3+(a-1(-x)=-g(x), 函数y=f(x)+a是奇函数，B正确： 对于C,f)=3x2+a-1,当-2<a<0时，令f'(=0的二根x= 1-e(0,), 图=，0e(10,当x<或x>%时，W>0:当<x<时，)0 函数f(x)在(-∞，），(x2,+∞)上递增，在(x,)上递减，f()>f(0)=-a>0,f(x3)<f1)=0, 由三次函数的图象特征知，函数y=∫(x)的图象与x轴有3个交点，C正确： 对于D,由选项B知，函数y=f(x)的图象关于点(O,-)对称，而直线y=x-a关于点(0，-a) 对称， 因此函数y=f(x)的图象与直线y=x-a的3个交点关于点(0，-a)对称， 其交点的横坐标x1,x2,X3满足x1+x2+x3=0,D正确 答案第3页，共10页 故选：BCD 11.ABD 【分析】求出展开式的通项，根据题意可得2×C=C+C,即可判断A:根据二项式 定理的性质即可判断B;令x的指数等于零，即可判断C;理由不等式法即可判断D 【详解】 √2 则前3项的系数分别为C心，CC n?A 对于A,白理意可得20=C+C, 1 2 即n=1+n-1 ,解得n=8或n=l(舍去)， 8 所以n=8,故A正确： 对于B 有奇数项的二项式系数和为3128。 对于C, 左+2 展开式的通项为T+ 2Cgr-4, 令k-4=0,则k=4, 所以人+ E+2 2C-3 展开式中常数项为 ， 故C错误； 对于D,设展开式中第r+1项的系数最大项， 1 2 则有 cc ,解得r=2或r=3, 1 2 所以展开式中系数最大项为第3项和第4项，故D正确 故选：ABD 12.2 【分析】根据等比数列下标和的性质计算可得结果. 【详解】由题意得，T=4a44, 44=G,44=G, .44,4a44=巧=32， 答案第4页，共10页 .43=2. 故答案为：2. 13.os 【分析】根据导数的定义变形求解即可： 1 k-f() 2 x-k-f 6o) 【详解】吗 2k 故答案为：子 14.18774 【分析】分类讨论人员的分组情况并依次求出对应的不同分组方法数，再将各组安排到三个 镇，结合排列组合数及分类分步计数求不同的派遣方案数. 【详解】先分类讨论人员分组情况： 当张三、李四、王五所在组恰有3人时，余下9人分成2组，有C。+Cg=210种方法： 当张三、李四、王五所在组恰有4人时，先从其他9人中选1人到这组，再将余下8人分成2 组，有c+ =819种方法： 当张三、李四、王五所在组恰有5人时，先从其他9人中选2人到这组，余下7人分成2组， 有C6C=1260种方法： 当张三，李四、王五所在组恰有6人时，先从其他9人中选3人到这组，余下6人分成2组， 有CgS号=840种方法」 A 再将三组人员分配到三个镇： 因为这三组分配到三个地区有A=6种方法， 所以安排方法总数为(210+819+1260+840)×6=18774. 故答案为：18774 15.) 5 5 答案第5页，共10页 【分析】(1)依题意建立空间直角坐标系，求出直线PA的方向向量及面DEF的法向量，利 用向量的夹角公式，即可求出直线PA与平面DEF所成角的正弦值： (2)利用向量法可求出点P到平面DEF的距离. 【详解】(1)依题意：以A为坐标原点，AB,AC,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立 空间直角坐标系， 又D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点，AB=AC=1,PA=2. 所以4(oa.,BL0o,C(10)P0..02)D00)（侵0F6}) 所以有：4=Qa2)nF-（nE-050 设平面DEF的法向量为i=(x,y),则有iLDF,n⊥DE. i.Dr=-1x+1 二x+2y+z=0 2 2 x=2z 所以 n.DE=y=0 y=0’令z=1,有元=(2,01)， i.AP 设直线PA与平面DEF所成角为O,则sin6= 2√5 2×V5-5 所以直线PA与平面DBr所成角的正弦值为5 ZA 由(1)有平面DEF的一个法向量为i=(2,0,1), 所以点P到平面DEF的距离为：d= |i.D上1+25 V55 16.)+=1 84 (2)证明见解析 【分析】(1)根据题意，列出a,b,c的方程求解； (2)设出直线P9的方程y=-2(k≠0)与椭圆方程联立，可得 答案第6页，共10页 4k 4 +书+25=十2，求出直线PN与2M方程，求出交点H的纵坐标，得证. 「a2-b2=4 【详解】(1)由题意可知， }2√2 la 2 解得a2=8,b2=4, 故椭圆C的标准方程为上+ 8+41. (2)设直线P9的方程为y=c-2(k≠0)， P(x,),2(x2,),则M(0),N(0y2), 霞关+，得2x-44=0,且A=16+6安2>0 y=k-2 4k 4 则6+52+26=F+2 易知直线PN与PM的斜率均存在， 则直线PN的方程为y=-当-当x+g①， 直线OM的方程为y=二立x+片@， 联立①②消去x得，y=+出(，-2)+5-2) X1+X2 X1+X2 8k -2+2=-2++2-4, x1+X2 4k k2+2 故点H的纵坐标为定值-4. M 17.(1)证明见解析，4=2+1-1 答案第7页，共10页 (2)Tn=(2n-1)2*2+4 【分析】(1)根据条件得到a1+1=2(a,+1),利用等比数列的定义即可求解，再由等比数 列的通项公式，即可求解； (2)由(1)得b=(21+1)2”H,再由错位相减法，即可求解 【详解】(1)因为4+1=2a+1,则a+1=2a.+2=2(a+1), 又4+1=4，因此{a+1}是以4为首项，2为公比的等比数列， 由a+1=42-1=2+1,得到a,=21-1. (2)由(1)知，b.=(2n+1)(a,+1)=(2n+1)2m, 所以T=3.22+5.23+7.24++(2n+1)21①， 则2T=3.2+5.24+7.2+…+(2n-1)2H+(2n+1)2”+2②， 由①-②得到 -Tm=3.22+2(2+24+…+2+2）(2n+1.2+: =2-(22+22++2+204H4-21H1)28, 所以-T=2. 21-2）44-2m+12=0-21p*4, 1-2 故Tn=(2n-1)·2+2+4. 18.(1)432 (2)1440 (3)3600 (4)1440 【分析】(1)根据条件，利用组合与排列先选后排，即可求解： (2)根据条件，利用不相邻问题插入法，即可求解： (3)利用特殊元素优先考虑，结合条件，即可求解； (4)利用相邻问题捆绑法，即可求解. 【详解】(1)从3名男生中任选2名有C种选法，从4名女生中任选2名有C种选法， 答案第8页，共10页 再将选取的4人排列有A4种排法，由乘法原理共有CCA4=432种排法， (2)先将女生全排有A4种，再从5个空隙中选出3个将3个男生插入到3个空隙中有A种， 由乘法原理共有A4A=1440种排法. (3)先排甲，有5种方法，其余6人有A种排列方法，共有5×A=3600种， (4)甲乙必须相邻，先将甲乙捆绑有A种，再与剩下的5个人排列有A种，共有 A3A8=1440种 19.(1)f(x)在0 和1，+∞)上单调递增，在 上单调递减 eg (3)证明见解析 【分析】(1)当a=1时易求出f'(x),利用'(x)的正负即可判断函数f(x)的单调性： (2)将问题转化为关于x的带参数α的一元二次方程有两个不同的正根，结合判别式、韦 达定理等求出a的取值范围： (3)利用第(2)问的结果，结合韦达定理将f(:)+∫()转化为关于α的函数，再次利用 导数求该函数的最值即可证明 【详解】(1)f(x)的定义域为(0，+∞)，当a=1时， (闭=+2x-3-2-+12- 令∫四=0，得x=或1， 当xe0+)时，f0:当xe合时，(<0. 所以f9在0匀和1+)上单调递增，在行 上单调递减 (2)f()=1+2ax-3a 2x2-3x+1 不妨设∫()在(0，+∞)上有两个不同的极值点 1,X2, 即方程2ax2-3ax+1=0有两个不同的正根，则有 答案第9页，共10页 2a≠0 30 3 X1+X2= 8 ,解得a> 70 =2a △=9a2-8a>0 8 所以a的取值范围为)+” f(:)+f(2)=h2)+a2+x?2)3a61+x2H4a (3) =h(s5片a[5+了-25]3a作+54a=-lnRa子子-1 设aahi创好aa号别r@&7h0 则g回在8+上单洞造，所以a>得】 g8=-lnl6+-+n9 999 161 故f()+f()>)+血16 5 9 16 答案第10页，共10页