精品解析：北京市陈经纶中学2024-2025学年九年级下学期数学第一次月考试卷

初三年级三月月练习 一、单选题 1. 如图是某几何体的三视图，则该几何体是【 】 A. 圆锥 B. 圆柱 C. 三棱柱 D. 三棱锥 2. 实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. 4 B. 1 C. D. 4. 下列图形中，不属于中心对称图形的是（ ） A. 圆 B. 等边三角形 C. 平行四边形 D. 线段 5. 2024年央视春晚的主题为“龙行龘（dá）龘，欣欣家国”．“龙行龘龘”寓意中华儿女奋发有为、昂扬向上的精神风貌．将分别印有“龙”“行”“龘”“龘”四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张则抽取的卡片上印有汉字“龘”的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 一组数据的方差为，将这组数据中的每一个数都减去，得到一组新数据，其方差为，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 7. 某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．现测得不同时刻的与的数据如表： 时间分钟 含药量毫克 则下列图象中，能表示与的函数关系的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 解不等式组： 9. 已知，求代数式的值． 10. 据新华网北京频道（2023年11月24日）报道，京雄高速五环至六环段主体已经完工，北京段计划于2023年12月31日全线贯通． 通车后，由西南五环至雄安新区可实现1小时通达，比原来节省了30分钟． 小艺爸爸发现通车后从西南五环去雄安新区出差比通车前少走27.5千米，如果平均车速比原来每小时多走17千米，正好和报道中描述的情况吻合，通车前小艺爸爸驾车去雄安新区出差的平均时速是多少？ 11. 如图，在 中，， 是 边的中线，过点 作 的平行线，过点 作 的平行线，两线交于点 ． （1）求证：四边形是矩形． （2）连接，交 于点 ，若，，求的值． 12. 在平面直角坐标系中，函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求这个函数的表达式； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出m的取值范围． 13. 第届冬季奥林匹克运动会，又称年北京冬奥会，将于年 月日至 月 日，在北京市和张家口市同时举行，为了调查同学们对冬奥知识的了解情况，小冬从初中三个年级各随机抽取人，进行了相关测试，获得了他们的成绩（单位：分），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析，下面给出了相关信息： 名同学冬奥知识测试成绩的统计图如图： 名同学冬奥知识测试成绩的频数分布直方图如图（数据分成组：，，，，，）： 测试成绩在这一组的是：． 小明的冬奥知识测试成绩为分． 根据以上信息，回答下列问题： （1）小明的测试成绩在抽取的 名同学的成绩中从高到低排名第______； （2）抽取的 名同学的成绩的中位数为______； （3）序号为的学生是七年级的，他们的成绩的方差为记；序号为的学生是八年级的，他们的成绩的方差记为，序号为的学生是九年级的，他们的成绩的方差记为，则，，的大小关系是______； （4）成绩分及以上记为优秀，若该校初中三个年级名同学都参加测试，估计成绩优秀的同学约为______人． 14. 某函数的图象如图所示，当时，在该函数图象上可找到个不同的点，，……，，使得，则的取值不可能为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题 15. 若有意义，则的取值范围是___________． 16. 把多项式分解因式的结果是______． 17. 若n为整数，且，则n的值为________________． 18. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和．则______． 19. 分式方程的解________． 20. 如图，在矩形中， ，分别为 ，的中点， 则的值为__________． 21. 如图，点A，B，C，D在 上，，，则_________． 22. 甲、乙、丙、丁4名同学参加中学生天文知识竞赛，成绩各不相同，根据成绩决出第1名到第4名的名次．甲和乙去询问名次，老师对甲说：“很遗憾，你和乙都不是第1名．”对乙说：“你不是第4名．”从这两个回答分析，4个人的名次排列可能有______种不同情况，其中甲是第4名有______种可能情况． 三、解答题 23. 计算：； 24. 某实验室在温度下培育一种植物幼苗，该种幼苗在此温度范围下的生长速度相同，现为了提高其生长速度，研究人员配制了一种营养素，在开始培育幼苗时添加到培育容器中，研究其对幼苗生长速度的影响．研究发现，使用一定量的营养素，会促进该种幼苗的生长速度，营养素超过一定量时，则会抑制幼苗的生长速度，并且在范围内的不同温度下，该种幼苗所能达到的最大生长速度相同． 经过进一步实验，获得了和温度下营养素用量与幼苗生长速度的部分数据如表所示：设营养素用量为毫克，温度下幼苗生长速度为毫米天，温度下幼苗生长速度为毫米天． （1）在不使用营养素时，该种幼苗的生长速度为__________毫米天； （2）根据表中数据，发现，都可近似看作的函数．在平面直角坐标系中，补全表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接这些点； （3）结合函数图象，回答下列问题： 在温度下，使用约___________毫克的营养素时，该种幼苗生长速度最快；此时，温度下该种幼苗生长速度比温度下该种幼苗生长速度快__________毫米天（结果保留小数点后两位）； 当该种幼苗的生长速度在和温度下均不低于毫米天时，营养素用量的取值范围为__________（结果保留小数点后两位）． 25. 如图， 是 的外接圆， 的直径 交 于点E，点D为的中点，连接． （1）求证：； （2）过点C作，交的延长线于点F，若，，求 的长． 26. 已知抛物线过，，，四点． （1）若为． ①求该抛物线的对称轴； ②比较，的大小，并说明理由； （2）若为，，判断是否成立，并说明理由． 27. 已知，点 为射线上的定点，点 为射线上的动点（不与 ， 重合），作线段 的垂直平分线，分别交，于C，D，连接 ，，过点 作的垂线，垂足为 ，交直线于点 ． （1）如图1，当点 在的延长线上时，依题意补全图形，并证明：； （2）当点 在射线上运动时，用等式表示线段，和的关系，并证明． 28. 对于平面内的点和点 ，给出如下定义： 若点是点 绕点旋转所得到的点，则称点是点 关于点的旋转点；若旋转角小于，则称点是点 关于点的锐角旋转点．如图1，点是点 关于点的锐角旋转点． （1）已知点，在点中，是点 关于点 的锐角旋转点的是______． （2）已知点，点在直线上，若点是点 关于点 的锐角旋转点，求实数 的取值范围； （3）点 是轴上的动点，，点是以 为圆心，3为半径的圆上一个动点，且满足．若直线上存在点 关于点 的锐角旋转点，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三年级三月月练习 一、单选题 1. 如图是某几何体的三视图，则该几何体是【 】 A. 圆锥 B. 圆柱 C. 三棱柱 D. 三棱锥 【答案】A 【解析】 【详解】由三视图判断几何体． 【分析】主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几何体为圆锥． 故选A． 2. 实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了，利用数轴比较数的大；由a所在位置，得出a的取值范围，即可判断、，根据不等式的性质得出的取值范围，即可判断、，即可求解， 【详解】解：由数轴可知：，则：、错误，不符合题意， ∵，则：正确，符合题意，错误，不符合题意， 故选：C． 3. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. 4 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的根的判别式，根据一元二次方程有两个相等的实数根，得到根的判别式，求出a的值即可． 【详解】解：∵ 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 即， ∴ ， ∴ ， 故选：B． 4. 下列图形中，不属于中心对称图形的是（ ） A. 圆 B. 等边三角形 C. 平行四边形 D. 线段 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A．是中心对称图形，故本选项错误； B．不是中心对称图形，故本选项正确； C．是中心对称图形，故本选项错误； D．是中心对称图形，故本选项错误． 故选B． 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 5. 2024年央视春晚的主题为“龙行龘（dá）龘，欣欣家国”．“龙行龘龘”寓意中华儿女奋发有为、昂扬向上的精神风貌．将分别印有“龙”“行”“龘”“龘”四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张则抽取的卡片上印有汉字“龘”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，根据有4张卡片，其中“龘”有2张卡片，代入公式，即可作答． 【详解】解：依题意，从中随机抽取一张则抽取的卡片上印有汉字“龘”的概率 故选：B 6. 一组数据的方差为，将这组数据中的每一个数都减去，得到一组新数据，其方差为，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案．本题考查方差的意义，当数据都加上同一个数（或减去同一个数）时，方差不变，即数据的波动情况不变． 【详解】解：一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，方差不变， ， 故选：B． 7. 某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．现测得不同时刻的与 的数据如表： 时间分钟 含药量毫克 则下列图象中，能表示与 的函数关系的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用表格中数据分别得出函数解析式，进而得出答案． 【详解】解：由表格中数据可得：，数据成比例增长，是正比例函数关系，设解析式为：， 则将 代入得：， 解得：， 故函数解析式为：， 由表格中数据可得：，数据成反比例递减，是反比例函数关系，设解析式为：， 则将代入得：， 故函数解析式为：． 故函数图象D正确． 故选：． 【点睛】此题主要考查了正比例函数与反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键． 8. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先分别求出不等式①②的解集，再将不等式①②的解集分别表示在数轴上即可得出答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 将不等式①和②的解集分别表示在数轴上： 由数轴可知，不等式组的解集为， ∴不等式组的解集为：． 9. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键．先根据分式减法法则计算括号内的式子，再根据分式除法法则化简得出最简结果，把变形后整体代入即可得答案． 【详解】解： ． ∵， ∴， ∴原式． 10. 据新华网北京频道（2023年11月24日）报道，京雄高速五环至六环段主体已经完工，北京段计划于2023年12月31日全线贯通． 通车后，由西南五环至雄安新区可实现1小时通达，比原来节省了30分钟． 小艺爸爸发现通车后从西南五环去雄安新区出差比通车前少走27.5千米，如果平均车速比原来每小时多走17千米，正好和报道中描述的情况吻合，通车前小艺爸爸驾车去雄安新区出差的平均时速是多少？ 【答案】通车前小艺爸爸驾车去雄安新区出差的平均时速是每小时千米． 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设通车前小艺爸爸驾车去雄安新区出差的路程为 千米，则通车后小艺爸爸驾车去雄安新区出差的路程为千米，再利用车速度之间的关系列方程，再解方程即可． 【详解】解：设通车前小艺爸爸驾车去雄安新区出差的路程为 千米，则通车后小艺爸爸驾车去雄安新区出差的路程为千米，则 ， 解得：， ∴， 答：通车前小艺爸爸驾车去雄安新区出差的平均时速是每小时千米． 11. 如图，在 中，， 是 边的中线，过点 作 的平行线，过点 作 的平行线，两线交于点 ． （1）求证：四边形是矩形． （2）连接，交 于点，若，，求的值． 【答案】（1）证明：， 是 边的中线， ， 又，， 四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，根据矩形的判定得出即可； （2）由题意过 点作，交 延长线于，根据矩形的性质和勾股定理以及根据三角形的面积进行分析即可求出答案． 【详解】解：（1）略 （2）过 点作，交 延长线于， ，， ， ， ， 又， ， ， 四边形是矩形， ， ， 又， ， ， ， ， ， 故． 12. 在平面直角坐标系中，函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求这个函数的表达式； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的综合应用．熟练掌握一次函数图象的平移，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键． （1）根据平移得到，再将，代入解析式即可得解； （2）根据题意，可得时直线在直线的上方，利用图象法求出的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到， ∴， ∴， 把点代入得 ， 解得， ∴这个一次函数的解析式是； 【小问2详解】 解：由题意，得时直线在直线的上方， 当时，， 把代入，得，解得， 如图： ∴当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值． 13. 第届冬季奥林匹克运动会，又称年北京冬奥会，将于年月日至月日，在北京市和张家口市同时举行，为了调查同学们对冬奥知识的了解情况，小冬从初中三个年级各随机抽取人，进行了相关测试，获得了他们的成绩（单位：分），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析，下面给出了相关信息： 名同学冬奥知识测试成绩的统计图如图： 名同学冬奥知识测试成绩的频数分布直方图如图（数据分成组：，，，，，）： 测试成绩在这一组的是：． 小明的冬奥知识测试成绩为分． 根据以上信息，回答下列问题： （1）小明的测试成绩在抽取的名同学的成绩中从高到低排名第______； （2）抽取的名同学的成绩的中位数为______； （3）序号为的学生是七年级的，他们的成绩的方差为记；序号为的学生是八年级的，他们的成绩的方差记为，序号为的学生是九年级的，他们的成绩的方差记为，则，，的大小关系是______； （4）成绩分及以上记为优秀，若该校初中三个年级名同学都参加测试，估计成绩优秀的同学约为______人． 【答案】（1）5 （2）74 （3） （4）140 【解析】 【分析】（1）根据图由大到小数即可得出结论； （2）根据中位数的定义，可以得到结论； （3）根据方差体现了某组数据的波动情况，波动越大，方差越大可得出结论； （4）由图可知，成绩在分以上的有人，总占比，再乘总人数即可得出结论． 【小问1详解】 在30名同学冬奥知识测试成绩的统计图中画出成绩为85分的水平线，如下图： 由图可知：小明的成绩是，位于第名； 故答案为：； 【小问2详解】 抽取的人数为， ∵，，，，，的人数分别为：人，人，人，人，人，人； 即中位数落在的范围内， 又∵的范围内的成绩为：70，73，74，74，75，75，77，78， ∴中位数是第和第个分数的平均数， ∴中位数为， 故答案为：； 【小问3详解】 为便于观察，画出年级分隔先，如图， ∵方差体现了某组数据的波动情况，波动越大，方差越大， 由上图可知，八年级数据波动最大，九年级波动最小， ∴， 故答案为：； 【小问4详解】 由直方图可知，成绩在分以上的有人，总占比， 即：（人）， 故答案为：． 【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，涉及中位数，方差，用样本估计总体等知识．利用统计图获取信息时，必须认真观察．分析．研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 14. 某函数的图象如图所示，当时，在该函数图象上可找到个不同的点，，……，，使得，则的取值不可能为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】，判断出点，，……，在正比例函数上，根据图象判断出正比例函数的图象与某函数的图象最多有5个交点，不可能有6个交点，即可得到答案． 【详解】解：设， 则……，， 即点，，……，在正比例函数上， 如图，正比例函数的图象与某函数的图象最多有5个交点，不可能有6个交点． 故选：D 【点睛】此题考查了正比例函数的图象和性质，根据题意构造正比例函数，利用数形结合是解题的关键． 二、填空题 15. 若有意义，则 的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的分母不为0时，分式有意义，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查分式有意义的条件．熟练掌握分式的分母不为0时，分式有意义，是解题的关键． 16. 把多项式分解因式的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键． 直接提取公因 ，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】 故答案为：． 17. 若n为整数，且，则n的值为________________． 【答案】4 【解析】 【分析】依据夹逼法确定出的大致范围，从而可得到n的值． 【详解】解：∵16＜21＜25， ∴4＜＜5． ∴n＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查的是估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键． 18. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和．则______． 【答案】0 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式是解决问题的关键．将点和代入之中得，，由此可得的值． 【详解】解：函数的图象经过点和， ，， ，， ． 故答案为：0． 19. 分式方程的解________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程，方程两边同乘以得整式方程，求出整式方程的解，再进行检验、判断即可． 【详解】解：， 去分母，整理得： 解得，， 经检验，是原方程的解， 所以，方程的解为； 故答案为： 20. 如图，在矩形 中， ，分别为 ， 的中点， 则的值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查矩形的性质，三角形中位线定理．连接 ，利用三角形中位线定理得出，进而利用矩形的性质解答即可． 【详解】解：连接 ， 四边形 是矩形， ， ，分别为 ， 的中点， 是是中位线， ， ， 故答案为：． 21. 如图，点A，B，C，D在上，，，则_________． 【答案】##100度 【解析】 【分析】本题考查了同弧上的圆周角的性质、三角形内角和等相关知识点，解题的关键是将已知角度与待求角度集中在同一个三角形内． 利用同弧上的圆周角相等得到，然后利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 22. 甲、乙、丙、丁4名同学参加中学生天文知识竞赛，成绩各不相同，根据成绩决出第1名到第4名的名次．甲和乙去询问名次，老师对甲说：“很遗憾，你和乙都不是第1名．”对乙说：“你不是第4名．”从这两个回答分析，4个人的名次排列可能有______种不同情况，其中甲是第4名有______种可能情况． 【答案】 ①. 8 ②. 4 【解析】 【分析】本题考查了列举法求所有可能结果数，根据题意分析分别讨论，即可求解． 【详解】解：依题意，甲和乙不是第1名，乙不是第4名，有以下8种情况， 第1名 第2名 第3名 第4名 ① 丙 乙 丁 甲 ② 丙 丁 乙 甲 ③ 丁 丙 乙 甲 ④ 丁 乙 丙 甲 ⑤ 丁 甲 乙 丙 ⑥ 丁 乙 甲 丙 ⑦ 丙 甲 乙 丁 ⑧ 丙 乙 甲 丁 其中①②③④四种情况是甲为第4名， 故答案为，． 三、解答题 23. 计算：； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用特殊锐角三角函数值，绝对值，负整数指数幂，二次根式的性质计算即可． 【详解】解：原式 ． 24. 某实验室在温度下培育一种植物幼苗，该种幼苗在此温度范围下的生长速度相同，现为了提高其生长速度，研究人员配制了一种营养素，在开始培育幼苗时添加到培育容器中，研究其对幼苗生长速度的影响．研究发现，使用一定量的营养素，会促进该种幼苗的生长速度，营养素超过一定量时，则会抑制幼苗的生长速度，并且在范围内的不同温度下，该种幼苗所能达到的最大生长速度相同． 经过进一步实验，获得了和温度下营养素用量与幼苗生长速度的部分数据如表所示：设营养素用量为 毫克，温度下幼苗生长速度为毫米天，温度下幼苗生长速度为毫米天． （1）在不使用营养素时，该种幼苗的生长速度为__________毫米天； （2）根据表中数据，发现，都可近似看作 的函数．在平面直角坐标系中，补全表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接这些点； （3）结合函数图象，回答下列问题： 在温度下，使用约___________毫克的营养素时，该种幼苗生长速度最快；此时，温度下该种幼苗生长速度比温度下该种幼苗生长速度快__________毫米天（结果保留小数点后两位）； 当该种幼苗的生长速度在和温度下均不低于毫米天时，营养素用量 的取值范围为__________（结果保留小数点后两位）． 【答案】（1） （2）描点，用平滑的曲线连接，得到的函数图象如下： （3），； 【解析】 【分析】（1）不使用营养素，即时，的值； （2）描点，连线即可； （3）看的最高点对应的 的值即为该种幼苗生长速度最快时所需要的营养素用量的毫克数，看此时的值即为温度下该种幼苗生长速度比温度下该种幼苗生长速度快多少毫米天；看、同时时，所对应的自变量的取值范围即可． 【小问1详解】 解：由表格可知： 当不使用营养素，即时，对应的值为， 即此时该种幼苗的生长速度为毫米天， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在温度下，直线与的交点为的最高点，此时该种幼苗生长速度最快，其所对应的营养素用量约为毫克；此时，直线与的交点比直线与的交点高约，表明温度下该种幼苗生长速度比温度下该种幼苗生长速度快毫米天， 故答案为：，； 当该种幼苗的生长速度在和温度下均不低于毫米天时，图象为直线及直线以上的部分，此时对应的自变量的取值范围为， 故答案为：． 25. 如图，是 的外接圆，的直径 交 于点E，点D为的中点，连接 ． （1）求证：； （2）过点C作，交 的延长线于点F，若，，求 的长． 【答案】（1） 证明：∵点为的中点， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，垂径定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）根据圆周角定理即可得到结论； （2）根据三角函数的定义得到，求得，连接 ，得到，求得，根据三角函数的定义即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ， ， ， ， 连接 ， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ． 26. 已知抛物线过，，，四点． （1）若为． ①求该抛物线的对称轴； ②比较，的大小，并说明理由； （2）若为，，判断是否成立，并说明理由． 【答案】（1）①； ②， 理由： ， 抛物线开口向下， ，， 点 到对称轴的距离为：，点 到对称轴的距离为， ， 点 和点 关于对称轴对称， ； （2） 若为，，成立， 理由如下： 当时，， 当时，， 当时，， 当 时，， ， ， ， ， ，即， 或， 当时，，则，符合题意， 当时，，则，与题意不相符， ，，， 两边同时乘以可得：， ， 若为，，成立． 【解析】 【分析】（1）①由可得点 和点关于对称轴对称，由此即可得到答案；②计算出点 和点 到对称轴的距离，由此即可得出答案； （2）先分别求出、、、的值，再根据可得，根据得到，从而推出，，，进而得到，表示出，即可得到答案． 【小问1详解】 解：①， 点 和点关于对称轴对称， 对称轴为直线； ②略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、不等式的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 27. 已知，点 为射线上的定点，点 为射线上的动点（不与 ，重合），作线段 的垂直平分线，分别交，于C，D，连接 ， ，过点 作 的垂线，垂足为 ， 交直线于点． （1）如图1，当点 在的延长线上时，依题意补全图形，并证明：； （2）当点 在射线上运动时，用等式表示线段，和的关系，并证明． 【答案】（1） 解：如图，补全图形如下： ∵，， ∴，， ∴设， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴，而， ∴． （2）或 【解析】 【分析】（1）先逐步根据提示画图，再证明，设，证明，可得，从而可得答案； （2）如图，过F作于H，证明，，，可得，，，证明，，可得，从而可得结论，同理可得当点 在线段上时的结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，当点 在的延长线上时，过F作于H， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 当点 在线段上时，如图，过F作于H， 同理可得：． 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，熟练的根据题意画出图形，作出辅助线是解本题的关键． 28. 对于平面内的点 和点 ，给出如下定义： 若点是点 绕点 旋转所得到的点，则称点是点 关于点 的旋转点；若旋转角小于，则称点是点 关于点 的锐角旋转点．如图1，点是点 关于点 的锐角旋转点． （1）已知点，在点中，是点 关于点的锐角旋转点的是______． （2）已知点，点 在直线上，若点 是点 关于点的锐角旋转点，求实数的取值范围； （3）点是 轴上的动点，，点是以为圆心，3为半径的圆上一个动点，且满足．若直线上存在点关于点 的锐角旋转点，请直接写出 的取值范围． 【答案】（1），． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）如图中，满足条件的点在半圆上（不包括点 以及轴上的点），点，满足条件． （2）如图中，以为圆心，3为半径作半圆，交轴于，当直线与半圆有交点（不包括 ，时，满足条件． （3）根据题意，点关于点 的锐角旋转点在半圆 上，设点 在半圆上，点在半圆上（将半圆绕点 旋转），如图3（1），半圆扫过的区域为图3（1）中阴影部分，求出图3（2），图3（3）中， 的值，可得结论． 【小问1详解】 解：如图，，， ，， 点不是点 关于点的锐角旋转点； ，作轴于点， ， ， ， 点是点 关于点的锐角旋转点； ，作轴于点， 则， ， ， ， 不是点 关于点的锐角旋转点； ，作轴于点， 则， ， ， 是点 关于点的锐角旋转点； 综上所述，在点，，，中，是点 关于点的锐角旋转点的是，， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：在轴上取点，当直线经过点 时，可得， 当直线经过点 时，则， 解得：， 当时，绕点逆时针旋转锐角时，点 一定可以落在某条直线上， 过点作直线，垂足在第四象限时，如图， 则，， ， 当时，取得最小值， ， ， ． 【小问3详解】 解：根据题意，点关于点 的锐角旋转点在半圆 上，设点 在半圆上，点在半圆上（将半圆绕点 旋转），如图3（1），半圆扫过的区域为图3（1）中阴影部分， 如图3（2）中，阴影部分与直线相切于点，，，过点作轴于点，过点作于点， ， ， ，， ， ， ，即， 解得， 如图3（3）中，阴影部分与相切于点，，，则，， ， 解得， 观察图象可知，． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，坐标与图形，解直角三角形，勾股定理，点 是点 关于点的锐角旋转点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点，特殊位置解决问题，属于压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $