精品解析：吉林省长春市第八十七中学2024-2025学年七年级小班下学期第一次月考数学试卷

七年级自我检测 数学试卷 （满分120分，时间120分） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列四个实数中，最小的是（ ） A. B. C. D. 0 2. 9的平方根是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 下列说法中，错误的是（ ） A. 0的平方根是0 B. 1的立方根是1 C. 的平方根是 D. 2是4的算术平方根 6. 若，，估计的值在（ ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 7. 将中根号外的数移到根号内，所得的结果为（ ） A. B. C. D. 8. 已知最简二次根式与是同类二次根式，则的值为（ ） A. B. C. D. 不确定 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 实数，3.1415926，，，，中，是无理数的是_______． 10. 比较大小：__________（填“>”、“<”或“=”）． 11. 计算：____． 12. 已知都是实数，且，则________． 13. 当________时，取最小值，其最小值为________． 14. 当时，______. 三、计算题（每小题3分，共33分） 15. 计算 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）． 16. （1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 四、解答题（共45分） 17. 正数x的两个平方根分别为3和． （1）求a的值； （2）求的立方根． 18. 若二次根式和都是最简二次根式，且它们是同类二次根式． （1）求、的值； （2）求的值． 19. 已知的算术平方根是3，的立方根是2，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值． （2）求的平方根． 20. 图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．请在图1、图2、图3中只用无刻度的直尺分别按要求画图． （1）在图1中找出格点D（不与点B重合），画出，使得； （2）在图2中找出格点E，画出，使得； （3）在图3中找出格点F，画出，使得是一个轴对称图形． 21. 有一块面积为的正方形纸片． （1）此正方形的边长约为________；（精确到十分位，参考数据：，） （2）小明想用这块纸片沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，他的这一想法能实现吗？为什么？ 22. 利用全等三角形面积相等可以解决与图形面积相关的问题． 初步感知 如图1，在中，为中线，过点作于点，过点作交的延长线于点．在延长线上取一点，连接，使． （1）填空：________．（填“”“”或“”） （2）求证：． （3）试说明：． 拓展应用 （4）如图2，在中，是钝角，点在边上，，点在边上，点在边的延长线上，，，若，的面积是9，求与的面积之和． 23. 如图1，已知长方形中，，，连结，动点P从点A出发，以的速度沿的方向运动向终点C运动，连结．设P点运动的时间为t（秒） （1）当时，_____；当时，______ ． （2）在点P的运动过程中，当平分或的面积时，求t的值． （3）如图2，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点，分别连结 ①当最短时，直接写出此时四边形的面积； ②当四边形的面积是长方形的面积时，直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级自我检测 数学试卷 （满分120分，时间120分） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列四个实数中，最小的是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键．利用实数大小的比较方法，按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴最小的数是 故选：B 2. 9的平方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键，如果一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根，即，那么x叫做a的平方根 根据平方根的概念，找出平方后等于9的数即可． 【详解】解：∵， ∴9的平方根是． 故选A． 3. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，最简二次根式的识别，解题的关键是熟练掌握二次根式的化简和最简二次根式的定义． 利用二次根式的化简和最简二次根式的定义，即根号内不含分母和开的尽方的因数或因式，逐项进行判断即可． 【详解】解：A.选项：不是最简二次根式，故本选项错误，不符合题意； B.选项：，不是最简二次根式，故本选项错误，不符合题意； C.选项：是最简二次根式，故本选项正确，符合题意； D.选项：，不是最简二次根式，故本选项错误，不符合题意； 故选C． 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式加减乘除运算法则计算选择即可． 【详解】因为， 所以A错误； 因为， 所以B正确； 因为不是同类二次根式，无法计算， 所以C错误； 因为， 所以D错误； 故选B． 【点睛】本题考查了二次根式加减乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 5. 下列说法中，错误的是（ ） A. 0的平方根是0 B. 1的立方根是1 C. 的平方根是 D. 2是4的算术平方根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方根，立方根，算术平方根的概念，解题的关键是准确掌握各类数的定义及运算规则． 依次分析各选项，根据平方根，立方根，算术平方根的定义判断对错． 【详解】A、0的平方根是0，A选项正确； B、1的立方根是1，B选项正确； C、，所以4的平方根是，而非，C选项错误； D、2是4的算术平方根，D选项正确． 故选：C． 6. 若，，估计的值在（ ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查估算无理数的大小，涉及不等式性质，先计算，再估算，从而确定即可得到答案，正确估算出是解决问题的关键． 【详解】解：，， ， ， ，则， 即估计的值在0和1之间， 故选：A． 7. 将中根号外的数移到根号内，所得的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质得把放到根号内并变为，即可得到答案，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 8. 已知最简二次根式与是同类二次根式，则的值为（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．先把化简为，再利用最简二次根式的定义和同类二次根式的定义得到，从而得到的值． 【详解】解：， 而最简二次根式与是同类二次根式， ， 解得． 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 实数，3.1415926，，，，中，是无理数的是_______． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查无理数的概念，算术平方根和立方根，无理数指的是无限不循环小数，掌握定义是解题关键． 首先计算算术平方根和立方根，然后根据无理数的概念求解即可． 【详解】∵，， ∴无理数有，． 故答案为：，． 10. 比较大小：__________（填“>”、“<”或“=”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较的方法．首先求出、的平方，比较出它们平方的大小关系即可求解． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：． 11. 计算：____． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的性质化简，再相减． 【详解】解： 故答案是：． 【点睛】本题考查了二次根式的减法，解题的关键是掌握二次根式的化简及性质． 12. 已知都是实数，且，则________． 【答案】64 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根被开方数的非负性，利用算术平方根被开方数的非负性求出x值，再代入求出y值，即可求解．熟练掌握并灵活运用算术平方根被开方数的非负性是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 将代入， 得：， ∴． 故答案为：64． 13. 当________时，取最小值，其最小值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键．根据二次根式的被开方数是非负数，即可求解． 【详解】解：，即， ， 当时，取最小值，其最小值为， 故答案为：，． 14. 当时，______. 【答案】###### 【解析】 【分析】根据不等式的性质可得，再根据二次根式的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、计算题（每小题3分，共33分） 15. 计算 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）． 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握混合运算法则． （1）根据算术平方根、立方根的性质计算即可； （2）根据算术平方根、二次根式乘法运算法则进行计算即可； （3）根据实数的混合运算法则进行计算即可； （4）根据二次根式乘除混合运算法则进行计算即可； （5）先根据二次根式的性质化简，再合并即可； （6）根据二次根式乘法和二次根式的性质化简，再进行计算即可； （7）根据二次根式的除法法则计算即可； （8）根据二次根式的乘除混合运算法则进行计算即可； （9）根据二次根式混合运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ； 【小问5详解】 解： ； 【小问6详解】 解： ； 【小问7详解】 解： ； 【小问8详解】 解： ； 【小问9详解】 解： ． 16. （1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）或；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根与立方根，熟练掌握平方根与立方根的定义进行求解是解决本题的关键． （1）根据题意可化为，根据平方根的定义可得出答案； （2）根据题意可化为，根据立方根的定义可得，计算即可得出答案． 【详解】解：（1）， ， ， 解得，或； （2）， ， 解得，． 四、解答题（共45分） 17. 正数x的两个平方根分别为3和． （1）求a的值； （2）求的立方根． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根的性质和开立方运算，解题的关键是熟练掌握正数有两个平方根，且互为相反数；0的平方根为0；负数没有平方根；求一个数的立方根的运算就是开立方． （1）根据平方根的性质，一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，即可解答； （2）由（1）求出x，再根据立方根的定义即可求解． 【小问1详解】 解：∵正数x的两个平方根是3和， ∴， 解得：； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴这个正数是， 即， ∴， ∴27的立方根是3， 即这个数的立方根为3． 18. 若二次根式和都是最简二次根式，且它们是同类二次根式． （1）求、的值； （2）求的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查的是同类二次根式的题目，解题的关键是掌握同类二次根式的定义． （1）根据同类二次根式的定义可得，直一步计算即可解答； （2）代入数据即可求解． 【小问1详解】 解：根据同类二次根式的定义，得， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴． 19. 已知的算术平方根是3，的立方根是2，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值． （2）求的平方根． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小和平方根，解题关键是熟练掌握平方根的定义和估算无理数的大小． （1）先估算的大小，求出它的整数部分c，再根据的算术平方根是3，的立方根是2，列出关于a，b的方程，解方程求出a，b即可； （2）把（1）中所求的a，b，c代入进行计算，从而求出它的平方根即可． 【小问1详解】 解：，即， ∴的整数部分为3， 的算术平方根是3，的立方根是2，c是的整数部分， ，，， 解得：，，； 【小问2详解】 解：由（1）可知：，，， ， ， ， ， ， 的平方根为：． 20. 图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．请在图1、图2、图3中只用无刻度的直尺分别按要求画图． （1）在图1中找出格点D（不与点B重合），画出，使得； （2）在图2中找出格点E，画出，使得； （3）在图3中找出格点F，画出，使得是一个轴对称图形． 【答案】（1） 如图，点D为所求． （2） 如图，点E为所求． （3） 如图，点F与为所求． 【解析】 【分析】本题考查根据轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质作图． （1）作出点B关于的对称点，即为所求； （2）取格点E，使得，即可得到； （3）作出以为腰的等腰三角形，即可解答． 【小问1详解】 解：∵点B与点D关于对称， ∴， ∴点D为所求． 【小问2详解】 解：连接，， 由图可得，，， ∴， ∴， ∴点E为所求． 【小问3详解】 解：∵由图可得， ∴是等腰三角形， ∴是轴对称图形． 21. 有一块面积为的正方形纸片． （1）此正方形的边长约为________；（精确到十分位，参考数据：，） （2）小明想用这块纸片沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，他的这一想法能实现吗？为什么？ 【答案】（1） （2）不能实现；理由如下： 设长方形的长为，则宽为， 依题意，得：， 解得：． ∵， ∴， ∴， ∵， 答：他的想法不能实现． 【解析】 【分析】（1）先根据正方形纸片的面积求出正方形纸片的边长为，然后再根据可得的近似值，即可解答； （2）设长方形的长为，则宽为,根据题意可得：，从而求出长方形纸片的长，然后再和（1）中的结论，进行比较即可解答． 【小问1详解】 ∵正方形纸片的面积为， ∴正方形的边长为， ∵， ∴， ∴此正方形的边长约为， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，准确熟练地进行计算解题的关键． 22. 利用全等三角形面积相等可以解决与图形面积相关的问题． 初步感知 如图1，在中，为中线，过点作于点，过点作交的延长线于点．在延长线上取一点，连接，使． （1）填空：________．（填“”“”或“”） （2）求证：． （3）试说明：． 拓展应用 （4）如图2，在中，是钝角，点在边上，，点在边上，点在边的延长线上，，，若，的面积是9，求与的面积之和． 【答案】（1）； （2）证明：由（1）可知：， ， ， ， ， ； （3）证明：由（1）可知，由（2）可知， ，， ； （4）与的面积之和为 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意易得，，，然后可得，于是得解； （2）由（1）可得，进而可得，利用即可得出结论； （3）由（1）可知，由（2）可知，然后根据三角形之间的面积关系即可得出结论； （4）由题意可得，进而可得，于是可得，设的底边上的高为h，则的底边上的高为h，进而根据各三角形之间的面积关系即可得出答案． 【详解】（1）解：∵在中，为中线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）略 （4）解：，，， ， 在和中， ， ， ， 设的底边上的高为h，则的底边上的高为h， ，， ， ， ， 与的面积之和为． 23. 如图1，已知长方形中，，，连结，动点P从点A出发，以的速度沿的方向运动向终点C运动，连结．设P点运动的时间为t（秒） （1）当时，_____；当时，______ ． （2）在点P的运动过程中，当平分或的面积时，求t的值． （3）如图2，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点，分别连结 ①当最短时，直接写出此时四边形的面积； ②当四边形的面积是长方形的面积时，直接写出t的值． 【答案】（1）1，3 （2）或； （3）①；②或 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程与几何应用，轴对称的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据运动速度和时间列式得出，再结合，，进行线段的和差运算，即可作答； （2）根据平分或的面积，得到或，据此列式进行计算可作答； （3）①结合垂线段最短，找出最短，即点与点重合，根据轴对称的性质，得出，结合边形的面积是长方形的面积，即可作答． ②由得出，然后进行分类讨论，即当点P在上时和点P在上时，再根据三角形的面积等于底与高的乘积的一半，即可作答． 【小问1详解】 解：∵动点P从点A出发，以的速度沿的方向运动向终点C运动， ∴当时，则， ∵，， ∴， ∴当时，则， ∴， 故答案为：1，3； 【小问2详解】 解：∵长方形中，，， ∵平分的面积， ∴，即， 解得； ∵平分的面积， ∴，即， 解得； ∴或； 【小问3详解】 解：①∵当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点，分别连结， ∴最短时，即最短， 此时（垂线段最短），即点与点重合， ∴； ②∵边形的面积是长方形的面积， ∴， ∵， ∴， 当点P在上时， ∴， 解出； 当点P在上时 ∴ 解出； 综上：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $