精品解析：海南省儋州市第三中学2024-2025学年高三下学期第三次月考数学试卷

儋州市第三中学2025届高三年级下学期第三次月考试卷 数学科 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．回答非选择题时，将答案写在答题纸上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 复数z满足，则的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合复数模的计算公式，即可求解. 【详解】由，设， 可得， 又由，所以，即. 故选：B. 2. 下列四个命题中，是真命题的为（ ） A. 任意，有 B. 任意，有 C. 存在，使 D. 存在，使 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式性质推证或举例子说明. 【详解】由于对任意，都有，因而有，故A为假命题． 由于，当时，不成立，故B为假命题． 由于，当时，，故C为真命题． 由于使成立的数只有，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方等于3，故D是假命题． 故选：C 3. 已知平面向量满足，，，，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据等式变形，再两边平方结合已知条件计算得出结果； 【详解】， 等式两边平方得， 因为，，，化简可得， 所以. 故选：A. 4. 水稻是世界最重要的食作物之一，也是我国60%以上人口的主粮.以袁隆平院士为首的科学家研制成功的杂交水稻制种技术在世界上被誉为中国的“第五大发明"，育种技术的突破，杂交水稻的推广，不仅让中国人端稳饭碗，也为解决世界粮食短缺问题作出了巨大贡献.某农场种植的甲、乙两种水稻在面积相等的两块稻田中连续6年的产量(单位：kg)如下： 品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 第6年 甲 900 920 900 850 910 920 乙 890 960 950 850 860 890 根据以上数据，下面说法正确的是（ ） A. 甲种水稻产量的平均数比乙种水稻产量的平均数大 B. 甲种水稻产量的中位数比乙种水稻产量的中位数小 C. 甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差相等 D. 甲种水稻的产量比乙种水稻的产量稳定 【答案】D 【解析】 【分析】分别计算两种水稻产量的平均数、中位数、极差、方差即可判断四个选项的正误，即可得出正确选项. 【详解】对于选项A：甲种水稻产量的平均数：， 乙种水稻产量的平均数：， 所以甲种水稻产量的平均数和乙种水稻产量的平均数相等，故选项A不正确； 对于选项B：甲种水稻产量分别为：，中位数为， 乙种水稻产量分别为，中位数为， 所以甲种水稻产量的中位数比乙种水稻产量的中位数大，故选项B不正确； 对于选项C：甲种水稻产量的极差为：，乙种水稻产量的极差为： ，甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差不相等，故选项C不正确； 对于选项D：甲种水稻的产量的方差为： 乙种水稻的产量的方差为： ， 甲种水稻产量的平均数和乙种水稻产量的平均数相等， 甲种水稻的产量的方差小于乙种水稻的产量的方差， 所以甲种水稻的产量比乙种水稻的产量稳定，故选项D正确， 故选：D. 5. 已知圆：，从这个圆上任意一点向轴作垂线段（在轴上），在直线上且 ，则动点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据得，再结合圆的方程求解即可. 【详解】设 ,则由得 ,因为 所以,即. 故选：D. 6. 若函数在与直线有两个交点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将分段，写出函数在每段的函数表达式，然后再画图，数形结合即可得到答案。 【详解】当，当， 所以画出函数的图像： 所以 故选：C 7. 已知正四棱台上底面边长为，下底面边长为，体积为，则正四棱台的侧棱与底面所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出相应图形，借助正四棱台的性质及体积公式可得其高，结合线面角定义计算即可得解. 【详解】如图所示，作于点， 则，即， ， 则， 由正四棱台的侧棱与底面所成角即为与底面所成角， 设其为，则，即. 故答案为：. 8. 设函数，若，则a的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数性质判断在不同区间的符号，在结合二次函数性质得为该二次函数的一个零点，结合恒成立列不等式求参数最值. 【详解】函数定义域为，而，，， 要使，则二次函数，在上，在上， 所以为该二次函数的一个零点，易得， 则，且开口向上， 所以，只需，故a的最小值为. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，，则（ ） A. 与的图象有相同的对称中心 B. 与的图象关于轴对称 C. 与的图象关于轴对称 D. 的解集为（） 【答案】ABD 【解析】 【分析】整体法求得的对称中心即可判断A；由奇偶函数的定义即可判断BC；数形结合即可判断D． 【详解】令（），得（）， 所以图象的对称中心为（）； 令（），得（）， 所以图象的对称中心为（）， 所以与的图象有相同的对称中心，故A正确； ， 所以与的图象关于轴对称，故B正确； ，故C不正确； 由，得，即，所以，， 解得（），故D正确． 故选：ABD． 10. 已知抛物线的焦点为是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ） A. 点的坐标为 B. 若，则 C. 以为直径的圆与轴相切 D. 若，则线段的中点到轴的距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由抛物线的方程可知焦点坐标及准线方程，再根据抛物线的性质对选项逐一判断即可得到结果. 【详解】抛物线的标准方程为，则，，易知点的坐标为，选项A错误； 若，则过点，根据抛物线的性质知，过焦点时，，选项B正确； 的中点到轴的距离，故以为直径圆与轴相切，选项C正确； 抛物线的准线方程为， 过点分别作准线的垂线，垂足分别为 所以， 所以，所以线段， 所以线段的中点到轴的距离为，选项D正确. 故选：BCD. 11. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 【答案】AC 【解析】 【分析】利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D. 【详解】由题，，令得或， 令得， 所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确； 因，，， 所以，函数在上有一个零点， 当时，，即函数在上无零点， 综上所述，函数有一个零点，故B错误； 令，该函数的定义域为，， 则是奇函数，是的对称中心， 将的图象向上移动一个单位得到的图象， 所以点是曲线的对称中心，故C正确； 令，可得，又， 当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知为等差数列的前n项和，且满足，，则_______. 【答案】92 【解析】 【分析】根据已知条件求得等差数列的首项和公差，从而求得. 【详解】设等差数列的公差为， 则，， 所以. 故答案为： 13. 某学校围棋社团组织高一与高二交流赛，双方各挑选业余一段、业余二段、业余三段三位选手，段位越高水平越高，已知高二每个段位的选手都比高一相应段位选手强一些，比赛共三局，每局双方各派一名选手出场，且每名选手只赛一局，胜两局或三局的一方获得比赛胜利，在比赛之前，双方都不知道对方选手的出场顺序．则第一局比赛高一获胜的概率为______，在一场比赛中高一获胜的概率为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一局先安排2个对手共9种不同安排方法，利用古典概型求解，安排一场三局比赛的出场顺序共36种，列出高一获胜的安排方法，利用古典概型求解. 【详解】设为高一出场选手，为高二出场选手，其中表示段位， 则第一局比赛中，共有，共9个基本事件，其中高一能取得胜利的基本事件为，，，共3个， 所以第一局比赛高一获胜的概率为， 在一场三局比赛中，共有不同的种安排方法， 其中高一能获胜的安排方法为，，，，，，共6种，故在一场比赛中高一获胜的概率为. 故答案为：； 14. 已知是方程的两个实数根，则______． 【答案】##0.96 【解析】 【分析】根据韦达定理以及正切的和差角公式可得，即可利用正弦二倍角公式以及相切互化齐次式求解. 【详解】因为是方程的两个实数根， 所以 因此 ， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知为锐角三角形，角对应的边分别为，且 （1）求A的值； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用正弦定理化简得到，得到，即可求解； （2）由（1）得到外接圆的直径，利用正弦定理和三角恒等变换的公式，得化简得到，根据锐角三角形，求得，结合三角函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：因为， 由正弦定理得， 又因为，可得，可得，即 因为，可得，所以，所以. 【小问2详解】 解：由（1）知，且，可得外接圆的直径， 又由正弦定理得 ， 因为为锐角三角形，可得，解得， 可得，所以，则， 所以的取值范围为． 16. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）把代入，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出函数的导数，利用导数探讨函数的单调性，求出的范围. 【小问1详解】 当时，函数，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 函数的定义域为， 求导得， 当时，，由，得，由，得， 则函数在上递增，在上递减，函数只有极大值，不合题意； 当时，由，得或， ①若，即，由，得或，由，得， 则函数在上递增，在上递减， 因此函数的极大值为，极小值为，符合题意； ②若，即，由，得或，由，得， 则函数在上递增，在上递减， 因此函数的极大值为，极小值为，符合题意； ③若，即，由在上恒成立，得在上递增， 函数无极值，不合题意， 所以的取值范围为. 17. 如图，在平面四边形ABCD中，△ABC等边三角形，，以AC为折痕将△ABC折起，使得平面平面ACD． （1）设E为BC的中点，求证：平面BCD． （2）若，求二面角的余弦值． 【答案】（1）因为平面平面ACD， 平面平面ACD＝AC，平面ACD，， 所以平面ABC，又平面ABC， 所以， 在等边△ABC中，因为E为BC的中点， 所以，又，，平面，平面，所以平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面ABC，然后利用线面垂直的判定定理结合条件即得； （2）利用坐标法，根据面面角的向量求法即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以C为坐标原点，分别以，所在的方向作为x轴、y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 设等边△ABC的边长为a， 则，，，，， ∴，，，， 设平面ABD的一个法向量为， 则，即， 令，则，，于是， 设平面BCD的一个法向量为， 即，则， 解得，令，则，于是， 所以， 由题意知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为． 18. 某食品生产厂生产某种市场需求量很大的食品，这种食品有A、B两类关键元素含量指标需要检测，设两元素含量指标达标与否互不影响．若A元素指标达标的概率为，B元素指标达标的概率为，按质量检验规定：两元素含量指标都达标的食品才为合格品． （1）一个食品经过检测，AB两类元素至少一类元素含量指标达标的概率； （2）任意依次抽取该种食品4个，设表示其中合格品的个数，求分布列及． 【答案】（1）； （2） 0 1 2 3 4 P 期望值为. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用对立事件、相互独立事件的概率公式计算即得. （2）求出合格品的概率，利用二项分布的概率求出分布列和数学期望. 【小问1详解】 令M为一个食品经过检测至少一类元素含量指标达标的事件，则是A，B都不达标的事件， 因此， 所以一个食品经过检测至少一类元素含量指标达标的概率为. 【小问2详解】 依题意，A，B两类元素含量指标都达标的概率为， 的所有可能取值为0，1，2，3，4，显然， 因此，，， ，， 所以的概率分布为： 0 1 2 3 4 P 数学期望. 19. 已知点是双曲线的上顶点． （1）若点的坐标为，延长交双曲线于点，求点的坐标； （2）双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于两点，当点运动时，求点的轨迹方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出直线的方程，联立双曲线方程，求出，进而求出，得到点的坐标； （2）联立与双曲线方程，由得到，求出和过点且与垂直的直线方程，表达出的坐标，结合得到轨迹方程，注意. 【小问1详解】 由题意得， 故直线方程为，即， 联立与得， 由韦达定理得，解得， 故，则点的坐标为； 【小问2详解】 联立与得， ， ，由，解得，则， 又，， 故，由题可知， 过点且与垂直的直线方程为，即， 令得，令得， 因为，所以，故，显然， 代入中得， 化简得，即； 【点睛】求轨迹方程常用的方法：直接法，相关点法，交轨法，定义法，求解过程中要注意一些轨迹问题中包含隐含条件，也就是曲线上的点的坐标的取值范围，有时还要补充特殊点的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 儋州市第三中学2025届高三年级下学期第三次月考试卷 数学科 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．回答非选择题时，将答案写在答题纸上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 复数z满足，则的范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四个命题中，是真命题的为（ ） A. 任意，有 B. 任意，有 C. 存在，使 D. 存在，使 3. 已知平面向量满足，，，，则（ ） A. B. C. D. 3 4. 水稻是世界最重要的食作物之一，也是我国60%以上人口的主粮.以袁隆平院士为首的科学家研制成功的杂交水稻制种技术在世界上被誉为中国的“第五大发明"，育种技术的突破，杂交水稻的推广，不仅让中国人端稳饭碗，也为解决世界粮食短缺问题作出了巨大贡献.某农场种植的甲、乙两种水稻在面积相等的两块稻田中连续6年的产量(单位：kg)如下： 品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 第6年 甲 900 920 900 850 910 920 乙 890 960 950 850 860 890 根据以上数据，下面说法正确的是（ ） A. 甲种水稻产量的平均数比乙种水稻产量的平均数大 B. 甲种水稻产量的中位数比乙种水稻产量的中位数小 C. 甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差相等 D. 甲种水稻的产量比乙种水稻的产量稳定 5. 已知圆：，从这个圆上任意一点向轴作垂线段（在轴上），在直线上且 ，则动点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 6. 若函数在与直线有两个交点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知正四棱台上底面边长为，下底面边长为，体积为，则正四棱台的侧棱与底面所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若，则a的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，，则（ ） A. 与的图象有相同的对称中心 B. 与的图象关于轴对称 C. 与的图象关于轴对称 D. 的解集为（） 10. 已知抛物线的焦点为是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ） A. 点的坐标为 B. 若，则 C. 以为直径的圆与轴相切 D. 若，则线段的中点到轴的距离为 11. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知为等差数列的前n项和，且满足，，则_______. 13. 某学校围棋社团组织高一与高二交流赛，双方各挑选业余一段、业余二段、业余三段三位选手，段位越高水平越高，已知高二每个段位的选手都比高一相应段位选手强一些，比赛共三局，每局双方各派一名选手出场，且每名选手只赛一局，胜两局或三局的一方获得比赛胜利，在比赛之前，双方都不知道对方选手的出场顺序．则第一局比赛高一获胜的概率为______，在一场比赛中高一获胜的概率为______． 14. 已知是方程的两个实数根，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知为锐角三角形，角对应的边分别为，且 （1）求A的值； （2）若，求的取值范围． 16. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围. 17. 如图，在平面四边形ABCD中，△ABC等边三角形，，以AC为折痕将△ABC折起，使得平面平面ACD． （1）设E为BC的中点，求证：平面BCD． （2）若，求二面角的余弦值． 18. 某食品生产厂生产某种市场需求量很大的食品，这种食品有A、B两类关键元素含量指标需要检测，设两元素含量指标达标与否互不影响．若A元素指标达标的概率为，B元素指标达标的概率为，按质量检验规定：两元素含量指标都达标的食品才为合格品． （1）一个食品经过检测，AB两类元素至少一类元素含量指标达标的概率； （2）任意依次抽取该种食品4个，设表示其中合格品的个数，求分布列及． 19. 已知点是双曲线的上顶点． （1）若点的坐标为，延长交双曲线于点，求点的坐标； （2）双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于两点，当点运动时，求点的轨迹方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $