精品解析：2024年山东省济南市钢城区部分校中考数学一模试题

2024年山东省济南市钢城区部分校中考数学一模试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分，共40分） 1. -2绝对值是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其从左面看到的形状图是（ ） A. B. C. D. 3. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 学校组织学生进行知识竞赛，5名参赛选手的得分分别为：96，97，98，96，98.下列说法中正确的是（ ） A. 该组数据的中位数为98 B. 该组数据的方差为0.7 C. 该组数据平均数为98 D. 该组数据的众数为96和98 5. 如图，将一块含的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若，那么∠2的度数是（ ）． A. B. C. D. 6. 已知点在轴上，则点的坐标是（　　） A. B. C. D. 7. 某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选到同一个宣传队的概率是（ ） A B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格线的格点上，将三角形ABC绕点P旋转90°，得到△A′B′C′，则点P的坐标为（　　） A. （0，4） B. （1，1） C. （1，2） D. （2，1） 9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线与直线经过点，且相交于另一点，抛物线与轴交于点，与轴交于另一点，过点的直线交抛物线于点，且轴，连接，当点在线段上移动时（不与、重合），下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 四边形的最大面积为13 二．填空题（共6小题，每题4分，共24分） 11 因式分解：______． 12. 如图，在4×4的正方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点假设飞镖击中游戏板的每一处是等可能的（击中边界或没有击中游戏板，则重投一次），任意投掷飞镖一次，飞镖击中阴影部分的概率是________． 13. 如果一个正六边形的周长等于12cm，那么这个正六边形的半径等于______cm． 14. 估计的值应在_____和_____之间（填写整数）． 15. 已知A、B两地相距4千米．上午8：00，甲从A地出发步行到B地，8：20乙从B地出发骑自行车到A地，甲、乙两人离A地的距离（千米）与甲所用的时间（分）之间的关系如图所示．由图中的信息可知，乙到达A地的时间为____． 16. 如图，在矩形中，，在边上且，若点在边上，将矩形沿直线折叠，折叠后点落在上的处，过点作于点，与交于点，则的值为 __________________． 三、解答题（本大题共10小题，共86.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解不等式组并写出它的正整数解． 19. 如图，菱形中，点E，F分别在边上，，求证：． 20. 某停车场入口“曲臂直杆道闸”在工作时，一曲臂杆绕点O匀速旋转，另一曲臂杆始终保持与地面平行．如图1，是曲臂直杆道闸关闭时的示意图，此时O、A、B在一条直线上．已知闸机高度为，，，入口宽度为． （1）如图2，因机器故障，曲臂杆最多可逆时针旋转，求此时点A到地面的距离； （2）在（1）的条件下，一辆宽为、高为的货车可否顺利通过入口？请说明理由．（参考数据： ，） 21. 校车安全是近几年社会关注重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的试验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使与l垂直，测得的长等于24米，最后在l上点D的同侧取点A，B，使． （1）求的长．（结果保留根号） （2）已知本路段对校车限速为千米/时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速?说明理由．（参考数据：，） 22. 如图，在中，，平分交于点，以点为圆心，长为半径作，交于点． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的半径． 23. “满筐圆实骊珠滑，入口甘香冰玉寒”，提子是一种甘甜爽口的水果，富含维生素C，深受大家喜爱、某水果超市为了解两种提子市场销售情况，购进了一批数量相等的“青提”和“红提”供客户对比品尝，其中购买“青提”用了480元，购买“红提”用了360元，已知每千克“青提”的进价比每千克“红提”的进价多3元． （1）求每千克“红提”和“青提”进价各是多少元． （2）若该水果商城决定再次购买同种“红提”和“青提”共40千克，且再次购买的费用不超过450元，且每种提子进价保持不变，若“红提”的销售单价为13元，“青提”的销售单价为18元，则该水果超市应如何进货，使得第二批的“红提”和“青提”售完后获得利润最大？最大利润是多少？ 24. 如图1，直线经过点，交反比例函数的图象于点，点为第二象限内反比例函数图象上的一个动点． （1）求反比例函数表达式； （2）过点作轴交直线于点，连接，若的面积是面积的2倍，请求出点坐标． （3）在反比例函数图象上是否存在点，使，若存在，请求出点横坐标，若不存在，请说明理由． 25. 在中，，．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段绕点P逆时针旋转a得到线段，连接． （1）观察证明如图1，当时 ①猜想与的数量关系为___________，并说明理由． ②直线与直线相交所成的较小角的度数是___________． （2）类比猜想 如图2，当时，请直接写出的值及直线与直线相交所成的小角的度数 （3）解决问题 当时，若点E，F分别是的中点，点P在直线上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值． 26. 如图，抛物线与轴相交于点、点，与轴交于点． （1）求这条抛物线的解析式； （2）如图1，若点为抛物线在第三象限图象上的点，且，求点的坐标； （3）如图2，点是抛物线上一动点，连接交线段于点当与相似时，求点D的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年山东省济南市钢城区部分校中考数学一模试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分，共40分） 1. -2的绝对值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义进行求解即可． 【详解】解：在数轴上，点-2到原点的距离是2，所以-2的绝对值是2， 故选：A． 2. 五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其从左面看到的形状图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体，根据所给几何体的形状，先确定从左面看，看到的图形分为几层几列，然后确定每层每列的小正方形个数即可得到答案． 【详解】解：从左边看，看到的图形分为上下两层共两列，从左边数，上下两层各有一个小正方形，第二列下面一层有一个小正方形，即看到的图形如下： 故选：D． 3. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先分别求出两个不等式的解，得出不等式组的解，再在数轴上的表示出解集即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解集为， 在数轴上表示为， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法和解集的表示，解题关键是熟练运用解不等式组的方法求解，准确在数轴上表示解集． 4. 学校组织学生进行知识竞赛，5名参赛选手的得分分别为：96，97，98，96，98.下列说法中正确的是（ ） A. 该组数据的中位数为98 B. 该组数据的方差为0.7 C. 该组数据的平均数为98 D. 该组数据的众数为96和98 【答案】D 【解析】 【分析】首先对数据进行重新排序，再根据众数，中位数，平均数，方差的定义进行求值计算即可． 【详解】解：数据重新排列为：96，96，97，98， 98， ∴数据的中位数为：97，故A选项错误； 该组数据的平均数为 ，故C选项错误； 该组数据的方差为：，故B选项错误； 该组数据的众数为：96和98，故D选项正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查数据中名词的理解，掌握众数，中位数，平均数，方差的定义及计算方法是解题的关键． 5. 如图，将一块含的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若，那么∠2的度数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用已知角的度数结合平行线的性质得出答案． 【详解】解：∵将一块含有30°的直角三角形的顶点放在直尺的边上，∠1=48°， ∴∠2=∠3=180°-48°-30°=102° 故选：D． 【点睛】此题主要考查平行线的性质，正确得出∠3的度数是解题的关键． 6. 已知点在轴上，则点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用x轴上点的坐标特点得出m的值，进而得出答案． 【详解】解：点在轴上， ， 解得：， ， 则点的坐标是：． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确得出m的值是解题关键． 7. 某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选到同一个宣传队概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，用列表法求出概率即可． 【详解】根据题意，设三个宣传队分别为列表如下： 小华\小丽 总共由9种等可能情况，她们恰好选择同一个宣传队的情况有3种， 则她们恰好选到同一个宣传队的概率是． 故选C 【点睛】本题考查了用列表法求概率，掌握列表法求概率是解题的关键．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数，概率=所求情况数与总情况数之比． 8. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格线的格点上，将三角形ABC绕点P旋转90°，得到△A′B′C′，则点P的坐标为（　　） A. （0，4） B. （1，1） C. （1，2） D. （2，1） 【答案】C 【解析】 【分析】选两组对应点，连接后作其中垂线，两中垂线的交点即为点P． 【详解】解：选两组对应点，连接后作其中垂线，两中垂线的交点即为点P，由图知，旋转中心P的坐标为（1，2） 故选：C． 【点睛】本题主要考查坐标与图形的变化﹣旋转，解题的关键是掌握旋转变换的性质． 9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题可先由二次函数y=ax2+bx+c图象得到字母系数的正负，再与一次函数y=ax+b的图象相比较看是否一致． 【详解】A、由抛物线可知，a＜0，x=﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确； B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误； C、由抛物线可知，a＞0，x=﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误； D、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误． 故选A． 10. 如图，抛物线与直线经过点，且相交于另一点，抛物线与轴交于点，与轴交于另一点，过点的直线交抛物线于点，且轴，连接，当点在线段上移动时（不与、重合），下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 四边形的最大面积为13 【答案】C 【解析】 【分析】】（1）当MN过对称轴的直线时，解得：BN=，而MN=，BN+MN=5=AB； （2）由BC∥x轴（B、C两点y坐标相同）推知∠BAE=∠CBA，而△ABC是等腰三角形，∠CBA≠∠BCA，故∠BAC=∠BAE错误； （3）如上图，过点A作AD⊥BC、BE⊥AC，由△ABC是等腰三角形得到：EB是∠ABC的平分线，∠ACB-∠ANM=∠CAD=∠ABC； （4）S四边形ACBM=S△ABC+S△ABM，其最大值为． 【详解】解：将点A（2，0）代入抛物线y=ax2-x+4与直线y=x+b 解得：a=，b=-， 设：M点横坐标为m，则M（m，m2-m+4）、N（m，m-）， 其它点坐标为A（2，0）、B（5，4）、C（0，4）， 则AB=BC=5，则∠CAB=∠ACB， ∴△ABC是等腰三角形． A、当MN过对称轴的直线时，此时点M、N的坐标分别为（，-）、（，）， 由勾股定理得：BN=，而MN=， BN+MN=5=AB， 故本选项错误； B、∵BC∥x轴（B、C两点y坐标相同）， ∴∠BAE=∠CBA，而△ABC是等腰三角形不是等边三角形， ∠CBA≠∠BCA， ∴∠BAC=∠BAE不成立， 故本选项错误； C、如上图，过点A作AD⊥BC、BE⊥AC， ∵△ABC是等腰三角形， ∴EB是∠ABC的平分线， 易证：∠CAD=∠ABE=∠ABC， 而∠ACB-∠ANM=∠CAD=∠ABC， 故本选项正确； D、S四边形ACBM=S△ABC+S△ABM， S△ABC=10， S△ABM=MN•（xB-xA）=-m2+7m-10，其最大值为， 故S四边形ACBM的最大值为10+=12.25，故本选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及到一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，以及等腰三角形、平行线等几何知识，是一道难度较大的题目． 二．填空题（共6小题，每题4分，共24分） 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了用完全平方公式进行因式分解，解题的关键是掌握完全平方公式：． 12. 如图，在4×4的正方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点假设飞镖击中游戏板的每一处是等可能的（击中边界或没有击中游戏板，则重投一次），任意投掷飞镖一次，飞镖击中阴影部分的概率是________． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】只需要用阴影部分面积除以整个正方形的面积即可得到答案． 【详解】解：由题意得： 一个阴影小三角形的面积为：， 则阴影部分面积为：， 正方形网格的面积为：， 所以飞镖击中阴影部分的概率为：， 故填：． 【点睛】本题考查了概率公式和用几何方法求概率，考查的核心是推理能力与模型思想． 13. 如果一个正六边形的周长等于12cm，那么这个正六边形的半径等于______cm． 【答案】2 【解析】 【分析】根据正六边形的定义可求出其边长为，再根据其性质可知其相邻两条半径与所夹边组成的三角形为等边三角形，即可求出答案． 【详解】解：根据题意可求出正六边形的边长，如图， 根据正六边形的性质可知， ∴为等边三角形， ∴，即正六边形的外接圆半径为2cm． 故答案为：2． 【点睛】本题考查正六边形的性质，等边三角形的性质与判定．熟练掌握正六边形的性质是解题关键． 14. 估计的值应在_____和_____之间（填写整数）． 【答案】 ①. 6 ②. 7 【解析】 【分析】先利用二次根式的运算法则将原式化简，再对无理数进行估算． 【详解】解：， ， ， ， ， 估计的值应在6和7之间， 故答案为：6，7． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，无理数的估算，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则． 15. 已知A、B两地相距4千米．上午8：00，甲从A地出发步行到B地，8：20乙从B地出发骑自行车到A地，甲、乙两人离A地的距离（千米）与甲所用的时间（分）之间的关系如图所示．由图中的信息可知，乙到达A地的时间为____． 【答案】8点40 【解析】 【分析】根据甲60分走完全程4千米，求出甲的速度，再由图中两图象的交点可知，两人在走了2千米时相遇，从而可求出甲此时用了0.5小时，则乙用了（0.5-）小时，所以乙的速度为：2÷，求出乙走完全程需要时间，此时的时间应加上乙先前迟出发的20分，即可求出答案． 【详解】因为甲60分走完全程4千米，所以甲的速度是4千米/时， 由图中看出两人在走了2千米时相遇,那么甲此时用了0.5小时,则乙用了(0.5−)小时， 所以乙的速度为：2÷=12, 所以乙走完全程需要时间为：4÷12= (时)=20分，此时的时间应加上乙先前迟出发的20分，现在的时间为8点40. 故答案为8点40. 【点睛】本题考查函数的图象. 16. 如图，在矩形中，，在边上且，若点在边上，将矩形沿直线折叠，折叠后点落在上的处，过点作于点，与交于点，则的值为 __________________． 【答案】##0.75 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，由翻折可得，，由矩形的性质得出，，求出，证明，由相似三角形的性质得出，，再证明，最后由正切的定义即可得出答案． 【详解】解：由翻折可得，， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共86.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，二次根数的化简，绝对值的性质计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，二次根数的化简，绝对值的性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 18. 解不等式组并写出它的正整数解． 【答案】不等式组的解集是，不等式组的正整数解是1，2 【解析】 【分析】分别求出两个不等式的解集，再求出解集的公共部分，根据不等式组的解集即可确定正整数解． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集是， ∴不等式组的正整数解是1，2． 【点睛】本题考查了解不等式组，求不等式组的正整数解等知识，正确求出不等式组的解集是关键． 19. 如图，菱形中，点E，F分别在边上，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】解法一：由菱形的性质可得，结合可证，再证明即可； 解法二：连接，由菱形的性质可得，根据等边对等角得出，再证明即可． 【详解】证明：解法一： ∵四边形是菱形， ∴ 又∵， ∴， ∴， 在△ADE和△CDF中， ∴ 解法二： 连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 在△ACE和△CAF中， D ∴， ∴． 【点睛】本题考查菱形性质，三角形全等的判定和性质，等边对等角．灵活运用菱形的性质和三角形全等的判定是解题的关键． 20. 某停车场入口“曲臂直杆道闸”在工作时，一曲臂杆绕点O匀速旋转，另一曲臂杆始终保持与地面平行．如图1，是曲臂直杆道闸关闭时的示意图，此时O、A、B在一条直线上．已知闸机高度为，，，入口宽度为． （1）如图2，因机器故障，曲臂杆最多可逆时针旋转，求此时点A到地面的距离； （2）在（1）的条件下，一辆宽为、高为的货车可否顺利通过入口？请说明理由．（参考数据： ，） 【答案】（1）点到地面的距离约为； （2）一辆宽为、高为的货车可顺利通过入口． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再根据已知易得，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）当，且时，设交于点，根据题意可得：，，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，比较即可解答． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由题意得：，， 在中，， ， ，， ， ， 此时点到地面距离约为； 【小问2详解】 解：一辆宽为、高为的货车可顺利通过入口， 理由：如图：当，且时，设交于点， 由题意得：，， ， 在中，， ， ， 入口宽度为， ， ， 一辆宽为、高为的货车可顺利通过入口． 21. 校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的试验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使与l垂直，测得的长等于24米，最后在l上点D的同侧取点A，B，使． （1）求的长．（结果保留根号） （2）已知本路段对校车限速为千米/时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速?说明理由．（参考数据：，） 【答案】（1）米 （2）此校车没有超速，理由见解析 【解析】 【分析】（1）分别在与中，利用正切函数，即可求得与的长，继而求得的长； （2）由从A到B用时2秒，即可求得这辆校车的速度，比较与50千米/小时的大小，即可确定这辆校车是否超速． 此题考查了解直角三角形的应用问题．此题难度适中，解题的关键是把实际问题转化为数学问题求解，注意数形结合思想的应用． 【小问1详解】 解：由题意得,在中, 解得. 在Rt△BDC 中, 解得 所以 (米). 【小问2详解】 解：校车从到用时秒,所以速度为 (米/秒), 因为米/秒千米/时<千米/时, 所以此校车没有超速． 22. 如图，在中，，平分交于点，以点为圆心，长为半径作，交于点． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求半径． 【答案】（1）直线与相切，见解析 （2）3 【解析】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、圆周角定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）过作于，证明得出，即可得证； （2）设，则，证明得出，再由勾股定理计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：直线与相切， 理由：过作于， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与相切； 【小问2详解】 解：设， ∵ ∴， ∵ ∴ ∵与相切 ∴ ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ 在中， 即， 解得或（舍去）， ∴的半径为3． 23. “满筐圆实骊珠滑，入口甘香冰玉寒”，提子是一种甘甜爽口的水果，富含维生素C，深受大家喜爱、某水果超市为了解两种提子市场销售情况，购进了一批数量相等的“青提”和“红提”供客户对比品尝，其中购买“青提”用了480元，购买“红提”用了360元，已知每千克“青提”的进价比每千克“红提”的进价多3元． （1）求每千克“红提”和“青提”进价各是多少元． （2）若该水果商城决定再次购买同种“红提”和“青提”共40千克，且再次购买的费用不超过450元，且每种提子进价保持不变，若“红提”的销售单价为13元，“青提”的销售单价为18元，则该水果超市应如何进货，使得第二批的“红提”和“青提”售完后获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）每千克“红提”的进价是9元，则每千克 “青提”的进价是12元； （2）购买“红提”10千克，则购买“青提”30千克，售完后获得利润最大，最大利润是元． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，以及一次函数的应用， （1）设每千克“红提”的进价是元，则每千克 “青提”的进价是元，根据题意列分式方程求解，检验后即可得到答案； （2）设购买“红提”千克，则购买“青提”千克，根据题意列不等式，求出的取值范围，令利润为，得到关于的函数关系式，再利用一次函数的增减性，最求最大值，即可得到答案． 【小问1详解】 解：设每千克“红提”的进价是元，则每千克 “青提”的进价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ， 答：每千克“红提”的进价是9元，则每千克 “青提”的进价是12元； 【小问2详解】 解：设购买“红提”千克，则购买“青提”千克， 由题意得：， 解得：， 令利润为， 则， ， 当时，有最大值，最大值为，此时， 即购买“红提”10千克，则购买“青提”30千克，售完后获得利润最大，最大利润是元． 24. 如图1，直线经过点，交反比例函数的图象于点，点为第二象限内反比例函数图象上的一个动点． （1）求反比例函数表达式； （2）过点作轴交直线于点，连接，若的面积是面积的2倍，请求出点坐标． （3）在反比例函数图象上是否存在点，使，若存在，请求出点横坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）点坐标为或 （3）存在，的横坐标为 【解析】 【分析】（1）本题将点代入求得的值，得到直线的解析式，将代入直线的解析式，算出的值，得到的坐标，将的坐标代入反比例函数中求解，即可解题． （2）本题根据点为第二象限内反比例函数图象上的一个动点，过点作轴交直线于点，分以下两种情况讨论，①当点在下方时，②当点在上方时，根据以上两种情况，结合“若的面积是面积的2倍”分析得到点纵坐标，将点纵坐标代入反比例函数解析式求解，即可解题． （3）本课过点作垂直交延长线于点过点作轴，，，利用等腰直角三角形性质证明，根据全等三角形性质得到点坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，联立直线的解析式和反比例函数解析式求解，即可解题． 【小问1详解】 解：过点， ， ， ， 点在上， ，即， ， ； 小问2详解】 解：①当点在下方时， ， ， 作轴，轴， ， ， ， ， 把代入中， ； ②当点在上方时， ， ， 为中点， ，， ， 把代入中， ； 综上所述：点坐标为或． 【小问3详解】 解：过点作垂直交延长线于点过点作轴，，， ，， 三角形为等腰直角三角形， 在和中， ， 所以，， ， 设直线的解析式为， 过，， ，解得， 直线的解析式为， ， 整理得，解得，（不合题意，舍去）， ， 的横坐标为． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的几何综合、用待定系数法求函数解析式、坐标与图形、等腰三角形性质、全等三角形的性质和判定、熟练掌握相关性质定理并灵活运用，即可解题． 25. 在中，，．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段绕点P逆时针旋转a得到线段，连接． （1）观察证明如图1，当时 ①猜想与的数量关系为___________，并说明理由． ②直线与直线相交所成的较小角的度数是___________． （2）类比猜想 如图2，当时，请直接写出的值及直线与直线相交所成的小角的度数 （3）解决问题 当时，若点E，F分别是的中点，点P在直线上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值． 【答案】（1）①，理由见解析；②； （2）；； （3）或． 【解析】 【分析】（）观察猜想：由“”可证，可得，，即可求解； （）类比探究：通过证明，可得， ，即可求解； （）分两种情形：当点在线段上时，延长交的延长线于，证明即可解决问题；当点在线段上时，同法可证：解决问题． 【小问1详解】 解： ，， 是等边三角形， ，， 由旋转的性质得，，， 是等边三角形， ，， ， ，， ， ，， 故答案为：； 如图中，延长交的延长线于，设交于点， 在和中， ，， ， 直线与直线相交所成的较小角的度数是； 故答案为：； 【小问2详解】 解：类比探究： 如图中，设交于点， ， ， ， ， ，， ， ， ∴直线与直线相交所成的小角的度数为； 【小问3详解】 解：如图，当点在线段上时，延长交的延长线于， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，，四点共圆， ，， ， ，设，则，， ； 如图中，当点在线段上时，同法可证：， 设，则，， ， ； 综上所述：的值为或． 【点睛】本题考查了旋转变换，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 26. 如图，抛物线与轴相交于点、点，与轴交于点． （1）求这条抛物线的解析式； （2）如图1，若点为抛物线在第三象限图象上的点，且，求点的坐标； （3）如图2，点是抛物线上一动点，连接交线段于点当与相似时，求点D的坐标． 【答案】（1） （2）； （3）或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法确定函数解析式； （2）如图，过点作于点，利用锐角三角函数的定义求得答案； （3）如图2，过点作轴于点，构造直角，设，则．并由题意知点位于第四象限．由于是公共角，所以当与相似时，有二种情况： ①．则．由锐角三角函数定义列出比例式，从而求得点的坐标． ②．则．由锐角三角函数定义列出比例式，从而求得点的坐标． 【小问1详解】 设抛物线解析式为：，将点，，分别代入得： ，解得， 故抛物线解析式为：； 【小问2详解】 如图1，过点作于点， ， ， 点，点， ， 设， ，解得或3（舍去）， 点的坐标为，； 【小问3详解】 如图2，过点作轴于点， 设，则．并由题意知点位于第四象限． ，． 是公共角， 当与相似时，有二种情况： ①时，， ． ，解得，（舍去）， ，； ②时，， 过点作于点． ，， ，． ， ． ． 在直角中，，． ． ． ， ， ． ，解得，（舍去） ，． 综上所述，当与相似时，点的坐标是，或，． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了用待定系数法求函数解析式、锐角三角函数、相似三角形的判定与性质、利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$